Tính bị chặn của một số toán tử trên không gian hardy kiểu mới

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt vi

Mở đầu 1

Chương 1. Toán tử tích phân bậc không nguyên trên không gian

Hardy Musielak-Orlicz 6

1.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Trọng Muckenhoupt và một số không gian hàm . . . . . . . . . 8

1.2.1 Không gian loại thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Trọng Muckenhoupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Hàm Musielak-Orlicz và trọng Muckenhoupt đều . . . . 10

1.2.4 Không gian Musielak-Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5 Không gian Hardy Musielak-Orlicz . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Phân tích nguyên tử của HϕpRnq . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Đặc trưng phân tử của HϕpRnq . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Tính bị chặn của toán tử Iα trên không gian Hardy Musielak-Orlicz 20

pdf137 trang | Chia sẻ: honganh20 | Ngày: 26/02/2022 | Lượt xem: 290 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Tính bị chặn của một số toán tử trên không gian hardy kiểu mới, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
q. Tiếp theo, ta đặt }b}Lipδ : sup x,yPRn xy |bpxq  bpyq| |x  y|δ . 49 Khi đó, chỉ cần xét hình cầu bất kỳ B : BpxB, rBq với xB P Rn và rB P p0,8q thỏa mãn B XBp0, 1q  H. Trước hết, nhận xét rằng nếu hình cầu B˜ : BpxB˜, rB˜q nằm trong hình cầu B thì với mọi x P Bc, ta có |x  xB˜| ¤ |x  xB| |xB  xB˜| ¤ 2|x  xB|. Do đó, » B˜c Φp|x  xB˜|nqwpxqdx ¥ » Bc Φp|x  xB˜|nqwpxqdx Á » Bc Φp|x  xB|nqwpxqdx. (2.25) Có hai khả năng có thể xảy ra đối với rB. Trường hợp thứ nhất là rB ¥ 1. Khi đó, tồn tại hình cầu B1 : BpxB1, 1q sao cho B1 € B và B1 X Bp0, 1q  H. Điều này cùng với (2.25) cho ta khẳng định 1 wpBq » Bc Φp|x  xB|nqwpxqdx À 1 wpB1q » B1c Φp|x  xB1 |nqwpxqdx. (2.26) Từ B1 X Bp0, 1q  H và rB1  1, ta thấy rằng B1 € Bp0, 3q. Hơn nữa, từ (1.4) và w P AqpRnq với q P r1, ipΦqp1 δ{nqq, ta có wpB1q wpBp0, 3qq Á  |B1| |Bp0, 3q| q Á 1 hay wpBp0, 3qq  wpB1q. Kết hợp điều này với (2.26) kéo theo 1 wpBq » Bc Φp|x  xB|nqwpxqdx À 1 wpBp0, 3qq » B1c Φp|x  xB1 |nqwpxqdx. (2.27) Với mọi y P B1 và mọi x R B1, ta có 1 |x  y| ¤ 1 |x  xB1 | |xB1  y| ¤ 3|x  xB1 |, và vì vậy, 1 |x  xB1 | À inf yPB1 1 1 |x  y| 50 với mọi x R B1. Ước lượng này dẫn đến » B1c Φ  1 |x  xB1 |n wpxqdx À » B1c inf yPB1 Φ  1 p1 |x  y|qn wpxqdx À » Rn inf yPB1 Φ  1 p1 |x  y|qn wpxqdx ¤ » Rn Φ  1 p1 |x|qn wpxqdx   8. Kết hợp ước lượng này với (2.27) cho ta 1 wpBq » Bc Φp|x  xB|nqwpxqdx À 1. (2.28) Mặt khác, vì b là một hàm Lipschitz bậc δ có giá compact nằm trong hình cầu đơn vị Bp0, 1q nên ta có thể đặt M : max xPBp0,1q |bpxq|   8. Do đó, » B |bpyq  bB|dy ¤ 2 » B |bpyq|dy  2 » BXBp0,1q |bpyq|dy ¤ 2M |B XBp0, 1q| À 1. Vì vậy, từ (2.28), ta suy ra Φ1  1 wpBq » Bc Φp|x  xB|nqwpxqdx » B |bpyq  bB|dy À 1. (2.29) Bây giờ ta xét trường hợp rB   1. Khi đó, dễ thấy rằng B € Bp0, 3q bởi vì B XBp0, 1q  H. Hơn nữa, ta có thể viết Φ1  1 wpBq » Bc Φp|x  xB|nqwpxqdx » B |bpyq  bB|dy À Φ1  1 wpBq » rB¤|xxB | 1 Φp|x  xB|nqwpxqdx » B |bpyq  bB|dy Φ1  1 wpBq » |xxB |¥1 Φp|x  xB|nqwpxqdx » B |bpyq  bB|dy : I1 I2. Ta chỉ cần xét trường hợp I1 bởi vì I2 được xử lí tương tự như trường hợp 51 rB ¥ 1 ở trên. Bởi tính Lipschitz bậc δ của b, ta có » B |bpyq  bB|dy ¤ 1 |B| » B » B |bpxq  bpyq|dxdy ¤ }b}Lipδ |B| » B » B |x  y|δdxdy À }b}Lipδ |B|r δ B  }b}Lipδr nδ B . (2.30) Hơn nữa, tồn tại N P N thỏa mãn 2N1rB ¤ 1   2NrB. Từ ipΦqp1 δ{nq ¡ 1, ta có thể lấy p P p0, ipΦqq và q P p1, pp1δ{nqq sao cho w P AqpRnq. Bây giờ, sử dụng tính chất 1 kiểu trên của Φ với chú ý rằng 2j1rB   1 với mọi j  1, . . . , N , ta có Φ  1 p2j1rBqn À 1 2pj1qnrnB Φp1q  1 2pj1qnrnB . Điều này cùng với (1.4) và (2.30) dẫn đến I1  Φ1  1 wpBq » rB¤|xxB | 1 Φp|x  xB|nqwpxqdx » B |bpyq  bB|dy À Φ1  1 wpBq N¸ j1 » 2j1rB¤|xxB | 2jrB Φp|x  xB|nqwpxqdx }b}Lipδr nδ B À Φ1  N¸ j1 1 wpBq » 2jB Φ  1 p2j1rBqn wpxqdx }b}Lipδr nδ B À Φ1  N¸ j1 2pj1qn rnB wp2jBq wpBq }b}Lipδr nδ B À Φ1  N¸ j1 2jnpq1q rnB }b}Lipδr nδ B . (2.31) Vì Φ có tính chất p kiểu dưới nên hàm ngược Φ1 của nó có tính chất p1 kiểu 52 trên (xem, chẳng hạn, [76]). Vì vậy, từ rB À 2N và q   pp1 δ{nq, ta suy ra Φ1  N¸ j1 2jnpq1q rnB À Φ1  N¸ j1 2jnpq1q rnB r ppnδq B 1 rnδB  Φ1  N¸ j1 2jnpq1qrppnδqnB 1 rnδB ¤ Φ1  N¸ j1 2jnpq1qrnpq1qB 1 rnδB ¤ Φ1  N¸ j1 2pNjqnpq1q 1 rnδB À 1 rnδB . Điều này cùng với (2.31) sinh ra I1 À }b}Lipδ . Từ đó, ta có }b}BMOΦwpRnq À }b}Lipδ . Vì vậy, Mệnh đề 2.3.3 được chứng minh xong. 2.3.2 Tính bị chặn của hoán tử rb, T s trên không gian Hardy-Orlicz có trọng Định lí 2.3.4 ([38]). Cho b P BMOpRnq và w P AipΦqp1δ{nqpRnq thỏa mãn » Rn Φpp1 |x|qnqwpxq dx   8, trong đó ipΦq, δ P p0, 1s với ipΦqp1 δ{nq ¡ 1. Khi đó, hai khẳng định sau tương đương: (i) với mọi toán tử δ-Calderón-Zygmund T, hoán tử rb, T s bị chặn từ HΦw pRnq vào LΦwpRnq; (ii) b P BMOΦwpRnq. Để chứng minh Định lí 2.3.4, ta cần các kết quả bổ trợ sau. Mệnh đề 2.3.5 ([38]). Cho w P A 8 pRnq. Khi đó, tồn tại hằng số dương C sao cho với mọi b P BMOΦwpRnq, ta có }b}BMOpRnq ¤ C}b}BMOΦwpRnq. 53 Chứng minh. Rõ ràng, từ (1.4) và với mọi hình cầu B : BpxB, rBq € Rn, ta có 1 wpBq » Bc Φp|x  xB|nqwpxqdx ¥ 1 wpBq » 2BzB Φp|x  xB|nqwpxqdx Á wp2BzBq wpBq Φ  1 |B| Á Φ  1 |B| . Điều này dẫn đến Φ1  1 wpBq » Bc Φp|x  xB|nqwpxqdx » B |bpyq  bB|dy Á 1 |B| » B |bpyq  bB|dy. Đánh giá này chứng tỏ rằng }b}BMOpRnq À }b}BMOΦwpRnq và do đó Mệnh đề 2.3.5 được chứng minh xong. Bổ đề 2.3.6 ([38]). Cho ipΦq, δ P p0, 1s với ipΦqp1 δ{nq ¡ 1, w P AipΦqp1δ{nq và T là một toán tử δ-Calderón-Zygmund. Khi đó, tồn tại hằng số dương C sao cho với mọi b P BMOpRnq, q P p1, ipΦqp1 δ{nqq và mọi pHΦw pRnq, qq-nguyên tử a liên kết với hình cầu B € Rn, ta có }pb  bBqTa}LΦwpRnq ¤ C}b}BMOpRnq. Chứng minh. Rõ ràng, ta thấy tồn tại p P p0, ipΦqq sao cho w P App1δ{nqpRnq với pp1 δ{nq ¡ 1. Điều này cũng chứng tỏ rằng qwp   1 δ n , trong đó qw là lũy thừa trọng tới hạn của w. Do đó, bởi [25, Định lí 2.8], toán tử T bị chặn từ HpwpRnq vào LpwpRnq và từ LqwpRnq vào chính nó. Các sự kiện này cùng với [13, Mệnh đề 2.21] cho ta tính bị chặn của T từ HΦw pRnq vào LΦwpRnq. Vì vậy, }pb2B  bBqTa}LΦwp2Bq  |b2B  bB|}Ta}LΦwp2Bq À }b}BMOpRnq}a}HΦw pRnq À }b}BMOpRnq, (2.32) trong đó ta đã sử dụng đánh giá |b2B  bB| À }b}BMOpRnq. Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder, [52, Bổ đề 2.3] và tính bị chặn của T trên LqwpRnq (xem [25, Định lí 2.8]), ta nhận được » 2B |bpxq  b2B||Tapxq|wpxqdx ¤ }b  b2B}Lq1w p2Bq}Ta}L q wp2Bq À wp2Bq1{q 1 }b}BMOpRnq}a}LqwpRnq ¤ wp2Bq}b}BMOpRnqΦ1  1 wp2Bq . 54 Hàm Φ có tính tựa lõm bởi vì nó có tính chất 1 kiểu trên (xem [46, Bổ đề 4.1]). Cho nên, kết hợp đánh giá này với [52, Bổ đề 2.3] và tính tựa lõm của Φ, ta suy ra rằng » 2B Φ  |pbpxq  b2BqTapxq| λ wpxqdx À wp2BqΦ  1 wp2Bq » 2B |pbpxq  b2BqTapxq| λ wpxqdx À wp2BqΦ  }b}BMOpRnq λ Φ1  1 wp2Bq với mọi λ ¡ 0. Đánh giá này chứng tỏ rằng }pb  b2BqTa}LΦwp2Bq À }b}BMOpRnq. (2.33) Do đó, từ (2.32) và (2.33), ta suy ra }pb  bBqTa}LΦwp2Bq À }pb  b2BqTa}LΦwp2Bq }pb2B  bBqTa}LΦwp2Bq À }b}BMOpRnq. (2.34) Bây giờ, ta ký hiệu Sj : 2jBz2j1B với mọi j P N, j ¥ 2. Khi đó, sử dụng điều kiện khử của a và w P AqpRnq với q P r1, pp1 δ{nqq, dễ thấy rằng với mọi x P Sj, ta có |pbpxq  bBqTapxq|  |bpxq  bB|     » B apyqrKpx, yq Kpx, xBqsdy     ¤ |bpxq  bB| » B |apyq||Kpx, yq Kpx, xBq|dy ¤ |bpxq  bB| » B |apyq| |y  xB| δ |x  xB|nδ dy ¤ |bpxq  bB| rδB |x  xB|nδ » B |apyq|dy À |bpxq  bB|2jpnδq 1 |B| » B |apyq|dy À |bpxq  bB|2jpnδq  1 wpBq » B |apyq|qwpyqdy 1{q ¤ |bpxq  bB|2jpnδqΦ1 1 wpBq  . Vì w P App1δ{nqpRnq với pp1 δ{nq ¡ 1 nên ta có thể lấy q P p1, pp1 δ{nqq sao cho ppn δq  nq ¡ 0. Do đó, sử dụng (1.4), tính chất p kiểu dưới và tính chất 55 1 kiểu trên của Φ, ta suy ra » p2Bqc Φ  |pbpxq  bBqTapxq| λΦ1p 1wpBqq wpxqdx À 8 ¸ j2 2jppnδq » Sj Φ  |bpxq  bB| λ wpxqdx ¤ wpBq 8 ¸ j2 2jppnδqwp2 jBq wpBq 1 wp2jBq » 2jB Φ  |bpxq  bB| λ wpxqdx À wpBq 8 ¸ j2 2jrppnδqnqs 1 wp2jBq » 2jB Φ  |bpxq  bB| λ wpxqdx À wpBq 8 ¸ j2 2jrppnδqnqsΦ  1 wp2jBq » 2jB |bpxq  bB| λ wpxqdx (2.35) với λ ¡ 0 bất kỳ. Hơn nữa, dễ thấy rằng |b2jB  bB| ¤ j¸ k1 |b2k1B  b2kB| ¤ j¸ k1 1 |2kB| » 2kB |bpxq  b2k1B|dx À j}b}BMOpRnq. Điều này cùng với [52, Bổ đề 2.3] cho ta 1 wp2jBq » 2jB |bpxq  bB| λ wpxqdx ¤ 1 wp2jBq » 2jB |bpxq  b2jB| λ wpxqdx |b2jB  bB| λ À }b}BMOpRnq j}b}BMOpRnq λ  pj 1q}b}BMOpR n q λ . Vì vậy, từ tính chất 1 kiểu trên của Φ, ta nhận được Φ  1 wp2jBq » 2jB |bpxq  bB| λ wpxqdx À pj 1qΦ  }b}BMOpRnq λ . Do đó, từ (2.35), ta suy ra » p2Bqc Φ  |pbpxq  bBqTapxq| λΦ1p 1wpBqq wpxqdx À wpBq 8 ¸ j2 2jrppnδqnqspj 1qΦ  }b}BMOpRnq λ À wpBqΦ  }b}BMOpRnq λ . Kết hợp điều này với w P AqpRnq và định nghĩa của các pHΦw pRnq, qq-nguyên tử 56 dẫn đến }pb  bBqTa}LΦwpp2Bqcq  inf λ ¡ 0 : » p2Bqc Φ  |pbpxq  bBqTapxq| λ wpxqdx ¤ 1 (  Φ1  1 wpBq inf λ ¡ 0 : » p2Bqc Φ  |pbpxq  bBqTapxq| λΦ1  1 wpBq wpxqdx ¤ 1 ( À Φ1  1 wpBq inf λ ¡ 0 : wpBqΦ  }b}BMOpRnq λ ¤ 1 (  Φ1  1 wpBq }b}BMOpRnq Φ1p 1wpBqq  }b}BMOpRnq. Ước lượng này cùng với (2.34) cho ta đánh giá }pb  bBqTa}LΦwpRnq À }pb  bBqTa}LΦwp2Bq }pb  bBqTa}LΦwpp2Bqcq À }b}BMOpRnq và do đó, ta kết thúc chứng minh của Bổ đề 2.3.6. Bổ đề 2.3.7 ([38]). Cho ipΦq, δ P p0, 1s với ipΦqp1δ{nq ¡ 1, w P AipΦqp1δ{nqpRnq và T là một toán tử δ-Calderón-Zygmund. Nếu T 1  0 thì T bị chặn trên HΦw pRnq. Chứng minh. Vì w P AipΦqp1δ{nqpRnq với ipΦqp1 δ{nq ¡ 1 nên tồn tại p P p0, ipΦqq sao cho pp1δ{nq ¡ 1 và w P App1δ{nqpRnq. Điều này cùng với giả thiết T 1  0 và [48, Định lí 1] chỉ ra T bị chặn trên HpwpRnq với mọi p P p nnδ , 1s. Hay nói một cách tương đương làMφ T bị chặn từ HpwpRnq vào LpwpRnq. Ngoài ra, với q : pp1 δ{nq, toán tửMφ cũng bị chặn từ LqwpRnq vào chính nó. Do đó, kết hợp với tính bị chặn của T trên LqwpRnq (xem [25, Định lí 2.8]) ta suy ra Mφ T bị chặn trên LqwpRnq. Vì vậy, từ [13, Mệnh đề 2.21(i)], ta nhận được tính bị chặn củaMφ T từ HΦw pRnq vào LΦwpRnq, tức là, T bị chặn trên HΦw pRnq. Bổ đề sau dựa theo Ky [46, Định lí 3.5]. Bổ đề 2.3.8 ([38]). Cho ipΦq, δ P p0, 1s có tính chất ipΦqp1 δ{nq ¡ 1. Cho w P AipΦqp1δ{nqpRnq và X là một không gian p-tựa-Banach với p P p0, ipΦqq bất kỳ. Giả sử rằng T là một toán tử tuyến tính xác định trên không gian tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tục với tính chất supt}Ta}X : a là một pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tụcu À 1. Khi đó, T nhận một thác triển liên tục duy nhất tới một toán tử tuyến tính bị chặn từ HΦw pRnq vào X . 57 Bây giờ, ta đưa ra chứng minh của Định lí 2.3.4. Chứng minh của Định lí 2.3.4. Trước hết, ta chứng minh (ii) kéo theo (i). Vì Φ có chỉ số tới hạn ipΦq thỏa mãn ipΦqp1 δ{nq ¡ 1 và w P AipΦqp1δ{nqpRnq nên tồn tại p P p0, ipΦqq sao cho pp1 δ{nq ¡ 1 và w P App1δ{nqpRnq. Bởi Bổ đề 2.3.8, chỉ cần chứng minh rằng với mọi pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tục a liên kết với hình cầu B : BpxB, rBq với xB P Rn và r P p0,8q, ta có }rb, T spaq}LΦwpRnq À }b}BMOΦwpRnq. (2.36) Từ Bổ đề 2.3.6 và tính bị chặn của T từ HΦw pRnq vào LΦwpRnq (xem chứng minh của Bổ đề 2.3.6), để nhận được (2.36), ta chỉ cần chứng minh }pb  bBqa}HΦw pRnq À }b}BMOΦwpRnq. (2.37) Để thấy điều này, ta tiến hành như sau. Từ tính tựa lõm của Φ, ta suy ra rằng Φ1 có tính chất tựa lồi. Điều này cùng với tính bị chặn củaMφ trên LqwpRnq với q : pp1 δ{nq và [52, Bổ đề 2.3] cho ta đánh giá Φ1  1 wp2Bq » 2B ΦpMφprb  bBsaqpxqqwpxqdx À 1 wp2Bq » 2B Mφprb  bBsaqpxqwpxqdx ¤  1 wp2Bq » 2B rMφprb  bBsaqpxqsqwpxqdx 1{q À  1 wp2Bq » 2B |pbpxq  bBqapxq| qwpxqdx 1{q ¤ }a}L8p2Bq  1 wp2Bq » 2B |bpxq  bB| qwpxqdx 1{q À Φ1  1 wpBq }b}BMOpRnq hay » 2B ΦpMφprb  bBsaqpxqqwpxqdx À wpBqΦ  Φ1  1 wpBq }b}BMOpRnq  }b}BMOpRnq À }b}BMOpRnq. Do đó, từ [46, Bổ đề 4.3(i)], ta suy ra }Mφprb  bBsaq}LΦwp2Bq À }b}BMOΦwpRnq. 58 Bây giờ, ta kiểm tra chuẩn Luxembourg của Mφprb  bBsaq trên miền còn lại. Rõ ràng, với mọi x R 2B và y P B, ta thấy rằng |x  y|  |x  xB| và Mφprb  bBsaqpxq À sup tPp0,8q 1 tn » B |bpyq  bB||apyq|    φ x  y t    dy À 1 |x  xB|n » B |bpyq  bB||apyq|dy. (2.38) Chú ý rằng vì a là một pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tục nên ta có ước lượng sau A : » B |bpyq  bB||apyq|dy ¤ Φ1  1 wpBq » B |bpyq  bB|dy. Kết hợp đánh giá này với (2.38) cho ta }Mφprb  bBsaq}LΦwpp2Bqcq À A}|  xB|n}LΦwpBcq  A inf ! λ ¡ 0 : » Bc Φ  1 λ|x  xB|n wpxqdx ¤ 1 )  A inf ! λ ¡ 0 : Φ1  1 wpBq » Bc Φ  |x  xB| n λ wpxqdx ¤ Φ1  1 wpBq ) ¤ A inf ! λ ¡ 0 : Φ1  1 wpBq » Bc Φ  |x  xB| n λ wpxqdx » B |bpyq  bB|dy ¤ A ) À A inf ! λ ¡ 0 : max ! 1 λp , 1 λ1{p ) }b}BMOΦwpRnq ¤ A )  A inf ! λ ¡ 0 : }b}BMOΦwpRnq A ¤ mintλp, λ1{pu )  Amin ! }b}pBMOΦwpRnq Ap , }b} 1{p BMOΦwpRnq A1{p )  mintA1p, A11{pu}b}BMOΦwpRnq À }b}BMOΦwpRnq. Tiếp theo, ta chứng minh (i) kéo theo (ii). Ký hiệu tRjunj1 là các biến đổi Riesz cổ điển. Khi đó, từ Bổ đề 2.3.6 và với mọi pHΦw pRnq,8q-nguyên tử a liên kết với hình cầu B và mọi j P t1, . . . , nu, ta có }Rjprb  bBsaq}LΦwpRnq À }rb, Rjspaq}LΦwpRnq }pb  bBqRja}LΦwpRnq À }rb, Rjs}HΦw pRnqÑLΦwpRnq }b}BMOpRnq, trong đó }rb, Rjs}HΦw pRnqÑLΦwpRnq : sup }f} HΦw pRnq ¤1 }rb, Rjspf q}LΦwpRnq. 59 Vì vậy, từ đặc trưng biến đổi Riesz của HΦw pRnq (xem [13, Định lí 1.5]), ta thấy pb  bBqa P H Φ w pRnq và }pb  bBqa}HΦw pRnq À }b}BMOpRnq n¸ j1 }rb, Rjs}HΦw pRnqÑLΦwpRnq. (2.39) Với mọi hình cầu B : BpxB, rBq € Rn có tâm xB P Rn và bán kính rB P p0,8q, đặt a : 12Φ 1  1 wpBq pf  fBqχB, trong đó f : signpbbBq. Rõ ràng, a là một pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên kết với hình cầu B. Để đơn giản việc trình bày, ta đặt A : Φ1 1 wpBq  » B |bpyq  bB|dy và }b}B : Φ1  1 wpBq » Bc Φ  1 |x  xB|n wpxqdx » B |bpyq  bB|dy. Từ [52, Bổ đề 2.2], với mọi x R B, ta có 1 |x  xB|n 1 2Φ 1  1 wpBq » B |bpxq  bB|dx  1 |x  xB|n » B rbpxq  bBsapxqdx ÀMφprb  bBsaqpxq. Kết hợp ước lượng này với (2.39) sinh ra đánh giá 1 Á }Mφprb  bBsaq}LΦwpBcq Á A}|  xB|n}LΦwpBcq  A inf ! λ ¡ 0 : » Bc Φ  1 λ|x  xB|n wpxqdx ¤ 1 )  A inf ! λ ¡ 0 : Φ1  1 wpBq » Bc Φ  |x  xB| n λ wpxqdx ¤ Φ1  1 wpBq )  A inf ! λ ¡ 0 : Φ1  1 wpBq » Bc Φ  |x  xB| n λ wpxqdx » B |bpyq  bB|dy ¤ A ) Á A inf ! λ ¡ 0 : min ! 1 λp , 1 λ1{p ) }b}B ¤ A )  A inf ! λ ¡ 0 : }b}B A ¤ maxtλp, λ1{pu )  Amax ! }b}pB Ap , }b} 1{p B A1{p ) Á maxtA1p,A11{pumint}b}pB, }b} 1{p B u Á mint}b}pB, }b} 1{p B u. Điều này chỉ ra hàm b P BMOΦwpRnq và do đó, Định lí 2.3.4 được chứng minh xong. 60 Định lí tiếp theo cho ta một điều kiện đủ về tính bị chặn của hoán tử rb, T s trên HΦw pRnq. Định lí 2.3.9 ([38]). Cho ipΦq, δ P p0, 1s có tính chất ipΦqp1 δ{nq ¡ 1 và T là một toán tử δ-Calderón-Zygmund. Cho b P BMOΦwpRnq và w P AipΦqp1δ{nqpRnq thỏa mãn » Rn Φpp1 |x|qnqwpxq dx   8. Nếu T 1  0 thì hoán tử rb, T s bị chặn trên HΦw pRnq, tức là, tồn tại hằng số dương C sao cho với mọi f P HΦw pRnq, ta có }rb, T spf q}HΦw pRnq ¤ C}f}HΦw pRnq. Chứng minh của Định lí 2.3.9. Theo Bổ đề 2.3.8, chỉ cần chứng minh rằng với mọi pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tục a liên kết với hình cầu B, ta có }rb, T spaq}HΦw pRnq À }b}BMOΦwpRnq. (2.40) Từ (2.37) và Bổ đề 2.3.7, để chứng minh (2.40) ta chỉ cần chứng minh }pb  bBqTa}HΦw pRnq À }b}BMOΦwpRnq. Vì w P AipΦqp1δ{nqpRnq nên tồn tại q P p1, ipΦqp1 δ{nqq sao cho w P AqpRnq. Do đó, kết hợp với T là một toán tử δ-Calderón-Zygmund và Bổ đề 2.2.7, ta thấy rằng Ta là một pHΦw pRnq,8, εq-phân tử liên kết với hình cầu B với ε : n δ  nq{p ¡ 0; hơn nữa, nó có biểu diễn Ta  8 ¸ j0 λjaj, trong đó taju8j0 là các pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên kết với các hình cầu t2j1Bu8j0 và các hệ số Φp|λj |q À 2jε với mọi j P Z. Vì vậy, từ (2.37) và Mệnh đề 2.3.5, ta nhận được }pb  bBqTa} p HΦw pRnq À 8 ¸ j0 |λj | p r}pb  b2j1Bqaj} p HΦw pRnq }pb2j1B  bBqaj} p HΦw pRnqs À }b}pBMOΦwpRnq 8 ¸ j0 2jεp }b}BMOpRnq 8 ¸ j0 pj 1q2jεp À }b}pBMOΦwpRnq, và do đó, Định lí 2.3.9 được chứng minh xong. 61 2.4 Không gian Hardy Musielak-Orlicz 2.4.1 Không gian BMOϕpRnq Được tạo cảm hứng từ các kết quả trong [52] và các Mục 2.2 và 2.3, trong mục này chúng tôi tìm không gian con thực sự BMOϕpRnq của BMOpRnq sao cho nếu b thuộc không gian con này thì hoán tử rb, T s của các toán tử Calderón- Zygmund cổ điển bị chặn từ không gian Hardy Musielak-Orlicz HϕpRnq vào không gian Musielak-Orlicz LϕpRnq. Hơn nữa, nếu T có thêm tính chất T 1  0 thì hoán tử rb, T s bị chặn trên HϕpRnq. Ngoài ra, một lí do quan trọng khác thúc đẩy nghiên cứu này xuất phát từ chính các không gian loại Hardy Musielak- Orlicz mà chúng gắn liền với việc nghiên cứu tích theo từng điểm của hai hàm thuộc H1pRnq và BMOpRnq. Năm 2007, Bonami, Iwaniec, Jones và Zinsmeister đã chỉ ra trong [6] rằng tích này có thể được phân tích thành tổng của một hàm khả tích và một hàm thuộc không gian Hardy-Orlicz có trọng HΦw pRnq. Ở đây, hàm Orlicz Φ và trọng Muckenhoupt w được cho bởi Φptq  tlogpe tq , @t P r0,8q và wpxq  1 logpe |x|q , @x P R n. Tuy nhiên, không gian HΦw pRnq không phải là không gian tốt nhất cho phân tích của tích trên. Cải tiến vấn đề này, năm 2012, Bonami, Grellier và Ky [5] đã đưa ra không gian H logpRnq và chứng tỏ rằng nó là không gian tốt nhất cho phân tích này theo nghĩa là ta không thể thay thế nó bởi một không gian nhỏ hơn. Không gian H logpRnq là một ví dụ tự nhiên của các không gian rất tổng quát loại Hardy Musielak-Orlicz HϕpRnq mà nó được giới thiệu và nghiên cứu bởi Ky trong [46]. Không giống như các không gian Hardy có trọng hay các không gian Hardy- Orlicz có trọng, các khó khăn cốt yếu khi làm việc trên các không gian Hardy Musielak-Orlicz HϕpRnq không chỉ đến từ tính Orlicz của hàm ϕ, mà còn đến từ tính không tách được của biến không gian x và biến thời gian t xuất hiện trong hàm Musielak-Orlicz ϕpx, tq với x P Rn và t P r0,8q. Cũng vậy, các ước lượng kiểu Jensen hoặc Ho¨lder có thể không còn hữu hiệu trong tình huống 62 này. Chìa khóa cho các vấn đề này bao gồm nhiều công cụ quan trọng sau đây. Trước hết là lấy t thích hợp để nó cho ta các ước lượng thuận tiện hơn; chẳng hạn, ta có thể chọn t  }χB}1Lϕ để thu được ϕpB, }χB}1Lϕq  1. Thứ hai là xây dựng họ hàm một biến tΦBuB€Rn, phụ thuộc vào các hình cầu B € Rn, sao cho chúng có cùng các chỉ số tới hạn như ϕ đều theo mọi hình cầu B € Rn. Họ hàm này cho ta đẳng thức trọng yếu Φ1B 1 ϕpB,1q   }χB} 1 Lϕ đều theo mọi hình cầu B € Rn. Thứ ba là xem các hàm pb  bBqχB với mọi hình cầu B € Rn là các bội của các pHϕpRnq, qq-nguyên tử với q P pqpϕq,8s để đưa ta đến các ước lượng cần thiết mà các đánh giá kiểu Jensen hoặc đánh giá kiểu Ho¨lder không thể áp dụng được (xem Bổ đề 2.4.8 bên dưới). Tất nhiên, chúng ta cũng cần sự kết hợp khéo léo giữa lí thuyết nội suy với các ước lượng đã biết trong các không gian Hardy có trọng (xem Bổ đề 2.4.9 bên dưới). Để phát biểu định nghĩa của không gian BMOϕpRnq, ta nhắc lại rằng một hàm tăng trưởng ϕ được gọi là thỏa mãn điều kiện hội tụ bị chặn địa phương đều nếu khẳng định sau đúng: Cho K € Rn là tập compact bất kỳ và tfmu là dãy các hàm đo được sao cho fmpxq hội tụ về f pxq với hầu hết x P Rn. Nếu tồn tại hàm khả tích không âm g sao cho |fmpxq| ¤ gpxq với hầu hết x P Rn và sup t¡0 » K gpxq ϕpx, tq ϕpK, tq dx   8 thì sup t¡0 » K |fmpxq  f pxq| ϕpx, tq ϕpK, tq dx Ñ 0. Chú ý rằng các hàm tăng trưởng điển hình như là ϕpx, tq  wpxqΦptq, trong đó w thuộc lớp trọng Muckenhoupt A 8 pRnq và Φ là một hàm Orlicz, và ϕpx, tq  tp rlogpe |x|q logpe tpqsp , 0   p ¤ 1, thỏa mãn điều kiện này (xem [46] để biết thêm chi tiết). Theo Cao và cộng sự [13], không gian Hardy Musielak-Orlicz HϕpRnq được định nghĩa là không gian tất cả các phân bố f P S 1pRnq sao choMφf P LϕpRnq với (tựa) chuẩn }f}Hϕ : }Mφf}LϕpRnq, trong đóMφf là hàm cực đại của f cho bởi (2.2). Chú ý rằng ánh xạ }  }HϕpRnq xác định một tựa chuẩn trên HϕpRnq, độ lớn của nó phụ thuộc vào việc chọn φ, nhưng không gian HϕpRnq độc lập với sự chọn lựa này. 63 Định nghĩa 2.4.1 ([39]). Cho ϕ là một hàm tăng trưởng thỏa mãn điều kiện » Rn ϕpx, p1 |x|qnqdx   8. Với mỗi hình cầu B € Rn, ta ký hiệu ΦB và Φ1B là hai hàm được xác định bởi các công thức ΦBptq  ϕpB, tq ϕpB, 1q và Φ 1 B ptq  supts : ΦBpsq ¤ tu với mọi t P r0,8q. Một hàm khả tích địa phương b được gọi là thuộc không gian BMOϕpRnq nếu }b}BMOϕpRnq : sup B€Rn ! Φ1B  1 ϕpB, 1q » Bc ϕpx, |xxB| n qdx » B |bpyqbB|dy )   8, trong đó supremum được lấy trên tất cả các hình cầu B : BpxB, rBq € Rn với xB P Rn và rB P p0,8q. Nhận xét 2.4.2 ([39]). (i) Dễ thấy rằng với mỗi hình cầu cố định B € Rn, hàm ΦBptq tăng theo t P r0,8q khi ϕ tăng theo biến thứ hai. Hơn nữa, từ tính chất p kiểu dưới đều của ϕ, ta suy ra rằng ΦBpstq  1 ϕpB, 1q » B ϕpx, stqdx À 1 ϕpB, 1q » B spϕpx, tqdx  spΦBptq với mọi s P p0, 1q, mọi t P r0,8q và mọi hình cầu B € Rn. Do đó, ΦB có tính chất p kiểu dưới đều theo mọi hình cầu B € Rn. Tương tự, ta cũng có thể chỉ ra rằng ΦB có tính chất 1 kiểu trên đều theo mọi hình cầu B € Rn. Hơn nữa, theo [76], hàm Φ1B có tính chất p1 kiểu trên và tính chất 1 kiểu dưới đều theo mọi hình cầu B € Rn. Ngoài ra, ta có ΦBp1q  1 và Φ1B pΦBptqq ¥ t với mọi t P r0,8q và mọi hình cầu B € Rn. (ii) Từ tính chất p kiểu dưới đều và tính chất 1 kiểu trên đều của ϕ, ta cũng có thể định nghĩa hai hàm Φ và Ψ bằng cách đặt Φptq  inf xPRn ϕpx, tq ϕpx, 1q ¤ supxPRn ϕpx, tq ϕpx, 1q  Ψptq với mỗi t P r0,8q. Rõ ràng, các hàm Φ và Ψ có cùng các chỉ số tới hạn như ϕ. Hơn nữa, với mọi t P r0,8q ta có Φptq  inf B€Rn ΦBptq và Ψptq  sup B€Rn ΨBptq. Vì vậy, nếu Ψptq À Φptq với mọi t P r0,8q, nói cách khác, Ψ  Φ, thì không gian BMOϕpRnq có thể được định nghĩa một cách tương đương bằng cách thay thế 64 các hàm ΦB bởi Φ hoặc Ψ. Nói riêng, tính tương đương giữa Φ và Ψ có thể xuất hiện khi ϕ là một hàm tách biến. Nhận xét 2.4.3 ([39]). (i) Nếu ϕpx, tq  wpxqt với w P A 8 pRnq thì không gian BMOϕpRnq trùng với không gian BMOwpRnq đã được nghiên cứu bởi Bloom [4], Liang, Ky và Yang [52]. Cũng vậy, khi ϕpx, tq  wpxqtp với p P p0, 1s và w P A 8 pRnq, không gian BMOϕpRnq vừa được khảo sát trong Mục 2.2. Khi ϕpx, tq  wpxqΦptq với w P A 8 pRnq và Φ là một hàm Orlicz, không gian BMOϕpRnq trở thành không gian BMOΦwpRnq đã được nghiên cứu trong Mục 2.3. (ii) Cho ϕ P Aipϕqp1δ{nqpRnq là một hàm tăng trưởng với tích phân thỏa mãn » Rn ϕpx, p1 |x|qnqdx   8, trong đó ipϕq, δ P p0, 1s và ipϕqp1 δ{nq ¡ 0. Khi đó, không gian BMOϕpRnq là một không gian hàm không tầm thường; hơn nữa, mọi hàm Lipschitz bậc δ có giá compact thuộc không gian này (xem Mệnh đề 2.4.4 bên dưới). (iii) Dưới các giả thiết về δ, ϕ như trong (ii), không khó khăn để kiểm tra được rằng BMOϕpRnq € BMOpRnq; hơn nữa, bao hàm thức này liên tục (xem Mệnh đề 2.4.6). Mệnh đề 2.4.4 ([39]). Cho ipϕq, δ P p0, 1s với ipϕqp1 δ{nq ¡ 1. Cho ϕ P Aipϕqp1δ{nqpRnq thỏa mãn » Rn ϕpx, p1|x|qnqdx   8. Nếu b là một hàm Lipschitz bậc δ có giá compact thì b thuộc không gian BMOϕpRnq. Chứng minh. Để đơn giản việc trình bày, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng supp b € Bp0, 1q. Bây giờ, ta đặt }b}Lipδ : sup x,yPRn xy |bpxq  bpyq| |x  y|δ . Khi đó, ta chỉ cần xét hình cầu bất kỳ B : BpxB, rBq với xB P Rn và rB P p0,8q thỏa mãn B XBp0, 1q  H. Trước hết nhận xét rằng nếu B˜ : BpxB˜, rB˜q là hình cầu bất kỳ nằm trong B thì với mọi x P Bc, ta có |x  xB˜| ¤ |x  xB| |xB  xB˜| ¤ 2|x  xB|. 65 Do đó, » B˜c ϕpx, |x  xB˜| n qdx ¥ » Bc ϕpx, |x  xB˜| n qdx Á » Bc ϕpx, |x  xB| n qdx. (2.41) Có hai khả năng có thể xảy ra đối với rB. Trường hợp thứ nhất là rB ¥ 1. Khi đó, tồn tại hình cầu B1 : BpxB1, 1q sao cho B1 € B và B1 X Bp0, 1q  H. Điều này cùng với (2.41) cho ta đánh giá 1 ϕpB, 1q » Bc ϕpx, |x  xB| n qdx À 1 ϕpB1, 1q » B1c ϕpx, |x  xB1 | n qdx. (2.42) Từ B1 X Bp0, 1q  H và rB1  1, ta thấy B1 € Bp0, 3q. Hơn nữa, từ (1.6) và ϕ P AqpRnq với q P r1, ipϕqp1 δ{nqq, ta có ϕpB1, 1q ϕpBp0, 3q, 1q Á  |B1| |Bp0, 3q| q Á 1 hay ϕpBp0, 3q, 1q  ϕpB1, 1q. Điều này cùng với (2.42) kéo theo 1 wpBq » Bc ϕp|x  xB| n qdx À 1 wpBp0, 3qq » B1c ϕp|x  xB1 | n qdx. (2.43) Với mọi y P B1 và mọi x R B1, ta có 1 |x  y| ¤ 1 |x  xB1 | |xB1  y| ¤ 3|x  xB1 |. Đánh giá này sinh ra 1 |x  xB1 | À inf yPB1 1 1 |x  y| với mọi x R B1. Ước lượng này dẫn đến » B1c ϕpx, |x  xB1 | n qdx À » B1c inf yPB1 ϕpx, p1 |x  y|qnqdx À » Rn inf yPB1 ϕpx, p1 |x  y|qnqdx ¤ » Rn ϕpx, p1 |x|qnqdx   8. Kết hợp đánh giá này với (2.43) cho ta 1 ϕpB, 1q » Bc ϕpx, |x  xB| n qdx À 1. 66 Ước lượng này chứng tỏ rằng Φ1B  1 ϕpB, 1q » Bc ϕpx, |x  xB| n qdx À 1. (2.44) Mặt khác, vì b là hàm Lipschitz bậc δ có giá compact thuộc hình cầu đơn vị Bp0, 1q nên ta có thể đặt M : max xPBp0,1q |bpxq|   8. Do đó, » B |bpyq  bB|dy ¤ 2 » B |bpyq|dy  2 » B

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdftinh_bi_chan_cua_mot_so_toan_tu_tren_khong_gian_hardy_kieu_m.pdf
Tài liệu liên quan