Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt vi
Mở đầu 1
Chương 1. Toán tử tích phân bậc không nguyên trên không gian
Hardy Musielak-Orlicz 6
1.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Trọng Muckenhoupt và một số không gian hàm . . . . . . . . . 8
1.2.1 Không gian loại thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Trọng Muckenhoupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Hàm Musielak-Orlicz và trọng Muckenhoupt đều . . . . 10
1.2.4 Không gian Musielak-Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Không gian Hardy Musielak-Orlicz . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Phân tích nguyên tử của HϕpRnq . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Đặc trưng phân tử của HϕpRnq . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Tính bị chặn của toán tử Iα trên không gian Hardy Musielak-Orlicz 20
137 trang |
Chia sẻ: honganh20 | Ngày: 26/02/2022 | Lượt xem: 395 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Tính bị chặn của một số toán tử trên không gian hardy kiểu mới, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
q. Tiếp theo, ta đặt
}b}Lipδ : sup
x,yPRn
xy
|bpxq bpyq|
|x y|δ
.
49
Khi đó, chỉ cần xét hình cầu bất kỳ B : BpxB, rBq với xB P Rn và rB P p0,8q
thỏa mãn B XBp0, 1q H.
Trước hết, nhận xét rằng nếu hình cầu B˜ : BpxB˜, rB˜q nằm trong hình cầu
B thì với mọi x P Bc, ta có
|x xB˜| ¤ |x xB| |xB xB˜| ¤ 2|x xB|.
Do đó,
»
B˜c
Φp|x xB˜|nqwpxqdx ¥
»
Bc
Φp|x xB˜|nqwpxqdx
Á
»
Bc
Φp|x xB|nqwpxqdx.
(2.25)
Có hai khả năng có thể xảy ra đối với rB. Trường hợp thứ nhất là rB ¥ 1.
Khi đó, tồn tại hình cầu B1 : BpxB1, 1q sao cho B1 B và B1 X Bp0, 1q H.
Điều này cùng với (2.25) cho ta khẳng định
1
wpBq
»
Bc
Φp|x xB|nqwpxqdx À
1
wpB1q
»
B1c
Φp|x xB1 |nqwpxqdx. (2.26)
Từ B1 X Bp0, 1q H và rB1 1, ta thấy rằng B1 Bp0, 3q. Hơn nữa, từ (1.4)
và w P AqpRnq với q P r1, ipΦqp1 δ{nqq, ta có
wpB1q
wpBp0, 3qq Á
|B1|
|Bp0, 3q|
q
Á 1
hay
wpBp0, 3qq wpB1q.
Kết hợp điều này với (2.26) kéo theo
1
wpBq
»
Bc
Φp|x xB|nqwpxqdx À
1
wpBp0, 3qq
»
B1c
Φp|x xB1 |nqwpxqdx. (2.27)
Với mọi y P B1 và mọi x R B1, ta có
1 |x y| ¤ 1 |x xB1 | |xB1 y| ¤ 3|x xB1 |,
và vì vậy,
1
|x xB1 |
À inf
yPB1
1
1 |x y|
50
với mọi x R B1. Ước lượng này dẫn đến
»
B1c
Φ
1
|x xB1 |n
wpxqdx À
»
B1c
inf
yPB1
Φ
1
p1 |x y|qn
wpxqdx
À
»
Rn
inf
yPB1
Φ
1
p1 |x y|qn
wpxqdx
¤
»
Rn
Φ
1
p1 |x|qn
wpxqdx 8.
Kết hợp ước lượng này với (2.27) cho ta
1
wpBq
»
Bc
Φp|x xB|nqwpxqdx À 1. (2.28)
Mặt khác, vì b là một hàm Lipschitz bậc δ có giá compact nằm trong hình cầu
đơn vị Bp0, 1q nên ta có thể đặt M : max
xPBp0,1q
|bpxq| 8. Do đó,
»
B
|bpyq bB|dy ¤ 2
»
B
|bpyq|dy 2
»
BXBp0,1q
|bpyq|dy
¤ 2M |B XBp0, 1q| À 1.
Vì vậy, từ (2.28), ta suy ra
Φ1
1
wpBq
»
Bc
Φp|x xB|nqwpxqdx
»
B
|bpyq bB|dy À 1. (2.29)
Bây giờ ta xét trường hợp rB 1. Khi đó, dễ thấy rằng B Bp0, 3q bởi vì
B XBp0, 1q H. Hơn nữa, ta có thể viết
Φ1
1
wpBq
»
Bc
Φp|x xB|nqwpxqdx
»
B
|bpyq bB|dy
À Φ1
1
wpBq
»
rB¤|xxB | 1
Φp|x xB|nqwpxqdx
»
B
|bpyq bB|dy
Φ1
1
wpBq
»
|xxB |¥1
Φp|x xB|nqwpxqdx
»
B
|bpyq bB|dy
: I1 I2.
Ta chỉ cần xét trường hợp I1 bởi vì I2 được xử lí tương tự như trường hợp
51
rB ¥ 1 ở trên. Bởi tính Lipschitz bậc δ của b, ta có
»
B
|bpyq bB|dy ¤
1
|B|
»
B
»
B
|bpxq bpyq|dxdy
¤
}b}Lipδ
|B|
»
B
»
B
|x y|δdxdy
À }b}Lipδ |B|r
δ
B
}b}Lipδr
n δ
B .
(2.30)
Hơn nữa, tồn tại N P N thỏa mãn 2N1rB ¤ 1 2NrB. Từ ipΦqp1 δ{nq ¡ 1, ta
có thể lấy p P p0, ipΦqq và q P p1, pp1 δ{nqq sao cho w P AqpRnq. Bây giờ, sử dụng
tính chất 1 kiểu trên của Φ với chú ý rằng 2j1rB 1 với mọi j 1, . . . , N , ta
có
Φ
1
p2j1rBqn
À
1
2pj1qnrnB
Φp1q
1
2pj1qnrnB
.
Điều này cùng với (1.4) và (2.30) dẫn đến
I1 Φ1
1
wpBq
»
rB¤|xxB | 1
Φp|x xB|nqwpxqdx
»
B
|bpyq bB|dy
À Φ1
1
wpBq
N¸
j1
»
2j1rB¤|xxB | 2jrB
Φp|x xB|nqwpxqdx
}b}Lipδr
n δ
B
À Φ1
N¸
j1
1
wpBq
»
2jB
Φ
1
p2j1rBqn
wpxqdx
}b}Lipδr
n δ
B
À Φ1
N¸
j1
2pj1qn
rnB
wp2jBq
wpBq
}b}Lipδr
n δ
B
À Φ1
N¸
j1
2jnpq1q
rnB
}b}Lipδr
n δ
B .
(2.31)
Vì Φ có tính chất p kiểu dưới nên hàm ngược Φ1 của nó có tính chất p1 kiểu
52
trên (xem, chẳng hạn, [76]). Vì vậy, từ rB À 2N và q pp1 δ{nq, ta suy ra
Φ1
N¸
j1
2jnpq1q
rnB
À Φ1
N¸
j1
2jnpq1q
rnB
r
ppn δq
B
1
rn δB
Φ1
N¸
j1
2jnpq1qrppn δqnB
1
rn δB
¤ Φ1
N¸
j1
2jnpq1qrnpq1qB
1
rn δB
¤ Φ1
N¸
j1
2pNjqnpq1q
1
rn δB
À
1
rn δB
.
Điều này cùng với (2.31) sinh ra I1 À }b}Lipδ . Từ đó, ta có
}b}BMOΦwpRnq À }b}Lipδ .
Vì vậy, Mệnh đề 2.3.3 được chứng minh xong.
2.3.2 Tính bị chặn của hoán tử rb, T s trên không gian
Hardy-Orlicz có trọng
Định lí 2.3.4 ([38]). Cho b P BMOpRnq và w P AipΦqp1 δ{nqpRnq thỏa mãn
»
Rn
Φpp1 |x|qnqwpxq dx 8, trong đó ipΦq, δ P p0, 1s với ipΦqp1 δ{nq ¡ 1. Khi
đó, hai khẳng định sau tương đương:
(i) với mọi toán tử δ-Calderón-Zygmund T, hoán tử rb, T s bị chặn từ HΦw pRnq
vào LΦwpRnq;
(ii) b P BMOΦwpRnq.
Để chứng minh Định lí 2.3.4, ta cần các kết quả bổ trợ sau.
Mệnh đề 2.3.5 ([38]). Cho w P A
8
pRnq. Khi đó, tồn tại hằng số dương C sao
cho với mọi b P BMOΦwpRnq, ta có
}b}BMOpRnq ¤ C}b}BMOΦwpRnq.
53
Chứng minh. Rõ ràng, từ (1.4) và với mọi hình cầu B : BpxB, rBq Rn, ta có
1
wpBq
»
Bc
Φp|x xB|nqwpxqdx ¥
1
wpBq
»
2BzB
Φp|x xB|nqwpxqdx
Á
wp2BzBq
wpBq
Φ
1
|B|
Á Φ
1
|B|
.
Điều này dẫn đến
Φ1
1
wpBq
»
Bc
Φp|x xB|nqwpxqdx
»
B
|bpyq bB|dy Á
1
|B|
»
B
|bpyq bB|dy.
Đánh giá này chứng tỏ rằng }b}BMOpRnq À }b}BMOΦwpRnq và do đó Mệnh đề 2.3.5
được chứng minh xong.
Bổ đề 2.3.6 ([38]). Cho ipΦq, δ P p0, 1s với ipΦqp1 δ{nq ¡ 1, w P AipΦqp1 δ{nq
và T là một toán tử δ-Calderón-Zygmund. Khi đó, tồn tại hằng số dương C sao
cho với mọi b P BMOpRnq, q P p1, ipΦqp1 δ{nqq và mọi pHΦw pRnq, qq-nguyên tử
a liên kết với hình cầu B Rn, ta có
}pb bBqTa}LΦwpRnq ¤ C}b}BMOpRnq.
Chứng minh. Rõ ràng, ta thấy tồn tại p P p0, ipΦqq sao cho w P App1 δ{nqpRnq
với pp1 δ{nq ¡ 1. Điều này cũng chứng tỏ rằng qwp 1
δ
n , trong đó qw là
lũy thừa trọng tới hạn của w. Do đó, bởi [25, Định lí 2.8], toán tử T bị chặn
từ HpwpRnq vào LpwpRnq và từ LqwpRnq vào chính nó. Các sự kiện này cùng với
[13, Mệnh đề 2.21] cho ta tính bị chặn của T từ HΦw pRnq vào LΦwpRnq. Vì vậy,
}pb2B bBqTa}LΦwp2Bq |b2B bB|}Ta}LΦwp2Bq
À }b}BMOpRnq}a}HΦw pRnq À }b}BMOpRnq,
(2.32)
trong đó ta đã sử dụng đánh giá |b2B bB| À }b}BMOpRnq. Bằng cách áp dụng
bất đẳng thức Ho¨lder, [52, Bổ đề 2.3] và tính bị chặn của T trên LqwpRnq (xem
[25, Định lí 2.8]), ta nhận được
»
2B
|bpxq b2B||Tapxq|wpxqdx ¤ }b b2B}Lq1w p2Bq}Ta}L
q
wp2Bq
À wp2Bq1{q
1
}b}BMOpRnq}a}LqwpRnq
¤ wp2Bq}b}BMOpRnqΦ1
1
wp2Bq
.
54
Hàm Φ có tính tựa lõm bởi vì nó có tính chất 1 kiểu trên (xem [46, Bổ đề 4.1]).
Cho nên, kết hợp đánh giá này với [52, Bổ đề 2.3] và tính tựa lõm của Φ, ta suy
ra rằng
»
2B
Φ
|pbpxq b2BqTapxq|
λ
wpxqdx
À wp2BqΦ
1
wp2Bq
»
2B
|pbpxq b2BqTapxq|
λ
wpxqdx
À wp2BqΦ
}b}BMOpRnq
λ
Φ1
1
wp2Bq
với mọi λ ¡ 0. Đánh giá này chứng tỏ rằng
}pb b2BqTa}LΦwp2Bq À }b}BMOpRnq. (2.33)
Do đó, từ (2.32) và (2.33), ta suy ra
}pb bBqTa}LΦwp2Bq À }pb b2BqTa}LΦwp2Bq }pb2B bBqTa}LΦwp2Bq
À }b}BMOpRnq.
(2.34)
Bây giờ, ta ký hiệu Sj : 2jBz2j1B với mọi j P N, j ¥ 2. Khi đó, sử dụng
điều kiện khử của a và w P AqpRnq với q P r1, pp1 δ{nqq, dễ thấy rằng với mọi
x P Sj, ta có
|pbpxq bBqTapxq| |bpxq bB|
»
B
apyqrKpx, yq Kpx, xBqsdy
¤ |bpxq bB|
»
B
|apyq||Kpx, yq Kpx, xBq|dy
¤ |bpxq bB|
»
B
|apyq|
|y xB|
δ
|x xB|n δ
dy
¤ |bpxq bB|
rδB
|x xB|n δ
»
B
|apyq|dy
À |bpxq bB|2jpn δq
1
|B|
»
B
|apyq|dy
À |bpxq bB|2jpn δq
1
wpBq
»
B
|apyq|qwpyqdy
1{q
¤ |bpxq bB|2jpn δqΦ1
1
wpBq
.
Vì w P App1 δ{nqpRnq với pp1 δ{nq ¡ 1 nên ta có thể lấy q P p1, pp1 δ{nqq sao
cho ppn δq nq ¡ 0. Do đó, sử dụng (1.4), tính chất p kiểu dưới và tính chất
55
1 kiểu trên của Φ, ta suy ra
»
p2Bqc
Φ
|pbpxq bBqTapxq|
λΦ1p 1wpBqq
wpxqdx
À
8
¸
j2
2jppn δq
»
Sj
Φ
|bpxq bB|
λ
wpxqdx
¤ wpBq
8
¸
j2
2jppn δqwp2
jBq
wpBq
1
wp2jBq
»
2jB
Φ
|bpxq bB|
λ
wpxqdx
À wpBq
8
¸
j2
2jrppn δqnqs 1
wp2jBq
»
2jB
Φ
|bpxq bB|
λ
wpxqdx
À wpBq
8
¸
j2
2jrppn δqnqsΦ
1
wp2jBq
»
2jB
|bpxq bB|
λ
wpxqdx
(2.35)
với λ ¡ 0 bất kỳ. Hơn nữa, dễ thấy rằng
|b2jB bB| ¤
j¸
k1
|b2k 1B b2kB|
¤
j¸
k1
1
|2kB|
»
2kB
|bpxq b2k 1B|dx À j}b}BMOpRnq.
Điều này cùng với [52, Bổ đề 2.3] cho ta
1
wp2jBq
»
2jB
|bpxq bB|
λ
wpxqdx ¤
1
wp2jBq
»
2jB
|bpxq b2jB|
λ
wpxqdx
|b2jB bB|
λ
À
}b}BMOpRnq j}b}BMOpRnq
λ
pj 1q}b}BMOpR
n
q
λ
.
Vì vậy, từ tính chất 1 kiểu trên của Φ, ta nhận được
Φ
1
wp2jBq
»
2jB
|bpxq bB|
λ
wpxqdx
À pj 1qΦ
}b}BMOpRnq
λ
.
Do đó, từ (2.35), ta suy ra
»
p2Bqc
Φ
|pbpxq bBqTapxq|
λΦ1p 1wpBqq
wpxqdx À wpBq
8
¸
j2
2jrppn δqnqspj 1qΦ
}b}BMOpRnq
λ
À wpBqΦ
}b}BMOpRnq
λ
.
Kết hợp điều này với w P AqpRnq và định nghĩa của các pHΦw pRnq, qq-nguyên tử
56
dẫn đến
}pb bBqTa}LΦwpp2Bqcq inf
λ ¡ 0 :
»
p2Bqc
Φ
|pbpxq bBqTapxq|
λ
wpxqdx ¤ 1
(
Φ1
1
wpBq
inf
λ ¡ 0 :
»
p2Bqc
Φ
|pbpxq bBqTapxq|
λΦ1
1
wpBq
wpxqdx ¤ 1
(
À Φ1
1
wpBq
inf
λ ¡ 0 : wpBqΦ
}b}BMOpRnq
λ
¤ 1
(
Φ1
1
wpBq
}b}BMOpRnq
Φ1p 1wpBqq
}b}BMOpRnq.
Ước lượng này cùng với (2.34) cho ta đánh giá
}pb bBqTa}LΦwpRnq À }pb bBqTa}LΦwp2Bq }pb bBqTa}LΦwpp2Bqcq À }b}BMOpRnq
và do đó, ta kết thúc chứng minh của Bổ đề 2.3.6.
Bổ đề 2.3.7 ([38]). Cho ipΦq, δ P p0, 1s với ipΦqp1 δ{nq ¡ 1, w P AipΦqp1 δ{nqpRnq
và T là một toán tử δ-Calderón-Zygmund. Nếu T 1 0 thì T bị chặn trên
HΦw pRnq.
Chứng minh. Vì w P AipΦqp1 δ{nqpRnq với ipΦqp1 δ{nq ¡ 1 nên tồn tại p P
p0, ipΦqq sao cho pp1 δ{nq ¡ 1 và w P App1 δ{nqpRnq. Điều này cùng với giả thiết
T 1 0 và [48, Định lí 1] chỉ ra T bị chặn trên HpwpRnq với mọi p P p nn δ , 1s.
Hay nói một cách tương đương làMφ T bị chặn từ HpwpRnq vào LpwpRnq. Ngoài
ra, với q : pp1 δ{nq, toán tửMφ cũng bị chặn từ LqwpRnq vào chính nó. Do
đó, kết hợp với tính bị chặn của T trên LqwpRnq (xem [25, Định lí 2.8]) ta suy ra
Mφ T bị chặn trên LqwpRnq. Vì vậy, từ [13, Mệnh đề 2.21(i)], ta nhận được tính
bị chặn củaMφ T từ HΦw pRnq vào LΦwpRnq, tức là, T bị chặn trên HΦw pRnq.
Bổ đề sau dựa theo Ky [46, Định lí 3.5].
Bổ đề 2.3.8 ([38]). Cho ipΦq, δ P p0, 1s có tính chất ipΦqp1 δ{nq ¡ 1. Cho
w P AipΦqp1 δ{nqpRnq và X là một không gian p-tựa-Banach với p P p0, ipΦqq bất
kỳ. Giả sử rằng T là một toán tử tuyến tính xác định trên không gian tất cả các
tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tục với tính chất
supt}Ta}X : a là một pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tụcu À 1.
Khi đó, T nhận một thác triển liên tục duy nhất tới một toán tử tuyến tính bị
chặn từ HΦw pRnq vào X .
57
Bây giờ, ta đưa ra chứng minh của Định lí 2.3.4.
Chứng minh của Định lí 2.3.4. Trước hết, ta chứng minh (ii) kéo theo (i). Vì
Φ có chỉ số tới hạn ipΦq thỏa mãn ipΦqp1 δ{nq ¡ 1 và w P AipΦqp1 δ{nqpRnq nên
tồn tại p P p0, ipΦqq sao cho pp1 δ{nq ¡ 1 và w P App1 δ{nqpRnq. Bởi Bổ đề 2.3.8,
chỉ cần chứng minh rằng với mọi pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tục a liên kết với
hình cầu B : BpxB, rBq với xB P Rn và r P p0,8q, ta có
}rb, T spaq}LΦwpRnq À }b}BMOΦwpRnq. (2.36)
Từ Bổ đề 2.3.6 và tính bị chặn của T từ HΦw pRnq vào LΦwpRnq (xem chứng minh
của Bổ đề 2.3.6), để nhận được (2.36), ta chỉ cần chứng minh
}pb bBqa}HΦw pRnq À }b}BMOΦwpRnq. (2.37)
Để thấy điều này, ta tiến hành như sau. Từ tính tựa lõm của Φ, ta suy ra rằng
Φ1 có tính chất tựa lồi. Điều này cùng với tính bị chặn củaMφ trên LqwpRnq
với q : pp1 δ{nq và [52, Bổ đề 2.3] cho ta đánh giá
Φ1
1
wp2Bq
»
2B
ΦpMφprb bBsaqpxqqwpxqdx
À
1
wp2Bq
»
2B
Mφprb bBsaqpxqwpxqdx
¤
1
wp2Bq
»
2B
rMφprb bBsaqpxqsqwpxqdx
1{q
À
1
wp2Bq
»
2B
|pbpxq bBqapxq|
qwpxqdx
1{q
¤ }a}L8p2Bq
1
wp2Bq
»
2B
|bpxq bB|
qwpxqdx
1{q
À Φ1
1
wpBq
}b}BMOpRnq
hay
»
2B
ΦpMφprb bBsaqpxqqwpxqdx À wpBqΦ
Φ1
1
wpBq
}b}BMOpRnq
}b}BMOpRnq À }b}BMOpRnq.
Do đó, từ [46, Bổ đề 4.3(i)], ta suy ra
}Mφprb bBsaq}LΦwp2Bq À }b}BMOΦwpRnq.
58
Bây giờ, ta kiểm tra chuẩn Luxembourg của Mφprb bBsaq trên miền còn
lại. Rõ ràng, với mọi x R 2B và y P B, ta thấy rằng |x y| |x xB| và
Mφprb bBsaqpxq À sup
tPp0,8q
1
tn
»
B
|bpyq bB||apyq|
φ
x y
t
dy
À
1
|x xB|n
»
B
|bpyq bB||apyq|dy.
(2.38)
Chú ý rằng vì a là một pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tục nên ta có ước lượng sau
A :
»
B
|bpyq bB||apyq|dy ¤ Φ1
1
wpBq
»
B
|bpyq bB|dy.
Kết hợp đánh giá này với (2.38) cho ta
}Mφprb bBsaq}LΦwpp2Bqcq À A}| xB|n}LΦwpBcq
A inf
!
λ ¡ 0 :
»
Bc
Φ
1
λ|x xB|n
wpxqdx ¤ 1
)
A inf
!
λ ¡ 0 : Φ1
1
wpBq
»
Bc
Φ
|x xB|
n
λ
wpxqdx
¤ Φ1
1
wpBq
)
¤ A inf
!
λ ¡ 0 : Φ1
1
wpBq
»
Bc
Φ
|x xB|
n
λ
wpxqdx
»
B
|bpyq bB|dy ¤ A
)
À A inf
!
λ ¡ 0 : max
! 1
λp
,
1
λ1{p
)
}b}BMOΦwpRnq ¤ A
)
A inf
!
λ ¡ 0 :
}b}BMOΦwpRnq
A
¤ mintλp, λ1{pu
)
Amin
!
}b}pBMOΦwpRnq
Ap
,
}b}
1{p
BMOΦwpRnq
A1{p
)
mintA1p, A11{pu}b}BMOΦwpRnq À }b}BMOΦwpRnq.
Tiếp theo, ta chứng minh (i) kéo theo (ii). Ký hiệu tRjunj1 là các biến đổi
Riesz cổ điển. Khi đó, từ Bổ đề 2.3.6 và với mọi pHΦw pRnq,8q-nguyên tử a liên
kết với hình cầu B và mọi j P t1, . . . , nu, ta có
}Rjprb bBsaq}LΦwpRnq À }rb, Rjspaq}LΦwpRnq }pb bBqRja}LΦwpRnq
À }rb, Rjs}HΦw pRnqÑLΦwpRnq }b}BMOpRnq,
trong đó
}rb, Rjs}HΦw pRnqÑLΦwpRnq : sup
}f}
HΦw pRnq
¤1
}rb, Rjspf q}LΦwpRnq.
59
Vì vậy, từ đặc trưng biến đổi Riesz của HΦw pRnq (xem [13, Định lí 1.5]), ta thấy
pb bBqa P H
Φ
w pRnq và
}pb bBqa}HΦw pRnq À }b}BMOpRnq
n¸
j1
}rb, Rjs}HΦw pRnqÑLΦwpRnq. (2.39)
Với mọi hình cầu B : BpxB, rBq Rn có tâm xB P Rn và bán kính
rB P p0,8q, đặt
a : 12Φ
1
1
wpBq
pf fBqχB,
trong đó f : signpbbBq. Rõ ràng, a là một pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên kết với
hình cầu B. Để đơn giản việc trình bày, ta đặt A : Φ1
1
wpBq
»
B
|bpyq bB|dy
và
}b}B : Φ1
1
wpBq
»
Bc
Φ
1
|x xB|n
wpxqdx
»
B
|bpyq bB|dy.
Từ [52, Bổ đề 2.2], với mọi x R B, ta có
1
|x xB|n
1
2Φ
1
1
wpBq
»
B
|bpxq bB|dx
1
|x xB|n
»
B
rbpxq bBsapxqdx
ÀMφprb bBsaqpxq.
Kết hợp ước lượng này với (2.39) sinh ra đánh giá
1 Á }Mφprb bBsaq}LΦwpBcq Á A}| xB|n}LΦwpBcq
A inf
!
λ ¡ 0 :
»
Bc
Φ
1
λ|x xB|n
wpxqdx ¤ 1
)
A inf
!
λ ¡ 0 : Φ1
1
wpBq
»
Bc
Φ
|x xB|
n
λ
wpxqdx
¤ Φ1
1
wpBq
)
A inf
!
λ ¡ 0 : Φ1
1
wpBq
»
Bc
Φ
|x xB|
n
λ
wpxqdx
»
B
|bpyq bB|dy ¤ A
)
Á A inf
!
λ ¡ 0 : min
! 1
λp
,
1
λ1{p
)
}b}B ¤ A
)
A inf
!
λ ¡ 0 : }b}B
A
¤ maxtλp, λ1{pu
)
Amax
!
}b}pB
Ap
,
}b}
1{p
B
A1{p
)
Á maxtA1p,A11{pumint}b}pB, }b}
1{p
B u
Á mint}b}pB, }b}
1{p
B u.
Điều này chỉ ra hàm b P BMOΦwpRnq và do đó, Định lí 2.3.4 được chứng minh
xong.
60
Định lí tiếp theo cho ta một điều kiện đủ về tính bị chặn của hoán tử rb, T s
trên HΦw pRnq.
Định lí 2.3.9 ([38]). Cho ipΦq, δ P p0, 1s có tính chất ipΦqp1 δ{nq ¡ 1 và T là
một toán tử δ-Calderón-Zygmund. Cho b P BMOΦwpRnq và w P AipΦqp1 δ{nqpRnq
thỏa mãn
»
Rn
Φpp1 |x|qnqwpxq dx 8. Nếu T 1 0 thì hoán tử rb, T s bị chặn
trên HΦw pRnq, tức là, tồn tại hằng số dương C sao cho với mọi f P HΦw pRnq, ta
có
}rb, T spf q}HΦw pRnq ¤ C}f}HΦw pRnq.
Chứng minh của Định lí 2.3.9. Theo Bổ đề 2.3.8, chỉ cần chứng minh rằng với
mọi pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên tục a liên kết với hình cầu B, ta có
}rb, T spaq}HΦw pRnq À }b}BMOΦwpRnq. (2.40)
Từ (2.37) và Bổ đề 2.3.7, để chứng minh (2.40) ta chỉ cần chứng minh
}pb bBqTa}HΦw pRnq À }b}BMOΦwpRnq.
Vì w P AipΦqp1 δ{nqpRnq nên tồn tại q P p1, ipΦqp1 δ{nqq sao cho w P AqpRnq.
Do đó, kết hợp với T là một toán tử δ-Calderón-Zygmund và Bổ đề 2.2.7,
ta thấy rằng Ta là một pHΦw pRnq,8, εq-phân tử liên kết với hình cầu B với
ε : n δ nq{p ¡ 0; hơn nữa, nó có biểu diễn
Ta
8
¸
j0
λjaj,
trong đó taju8j0 là các pHΦw pRnq,8q-nguyên tử liên kết với các hình cầu t2j 1Bu8j0
và các hệ số Φp|λj |q À 2jε với mọi j P Z . Vì vậy, từ (2.37) và Mệnh đề 2.3.5,
ta nhận được
}pb bBqTa}
p
HΦw pRnq À
8
¸
j0
|λj |
p
r}pb b2j 1Bqaj}
p
HΦw pRnq }pb2j 1B bBqaj}
p
HΦw pRnqs
À }b}pBMOΦwpRnq
8
¸
j0
2jεp }b}BMOpRnq
8
¸
j0
pj 1q2jεp
À }b}pBMOΦwpRnq,
và do đó, Định lí 2.3.9 được chứng minh xong.
61
2.4 Không gian Hardy Musielak-Orlicz
2.4.1 Không gian BMOϕpRnq
Được tạo cảm hứng từ các kết quả trong [52] và các Mục 2.2 và 2.3, trong mục
này chúng tôi tìm không gian con thực sự BMOϕpRnq của BMOpRnq sao cho
nếu b thuộc không gian con này thì hoán tử rb, T s của các toán tử Calderón-
Zygmund cổ điển bị chặn từ không gian Hardy Musielak-Orlicz HϕpRnq vào
không gian Musielak-Orlicz LϕpRnq. Hơn nữa, nếu T có thêm tính chất T 1 0
thì hoán tử rb, T s bị chặn trên HϕpRnq. Ngoài ra, một lí do quan trọng khác thúc
đẩy nghiên cứu này xuất phát từ chính các không gian loại Hardy Musielak-
Orlicz mà chúng gắn liền với việc nghiên cứu tích theo từng điểm của hai hàm
thuộc H1pRnq và BMOpRnq. Năm 2007, Bonami, Iwaniec, Jones và Zinsmeister
đã chỉ ra trong [6] rằng tích này có thể được phân tích thành tổng của một hàm
khả tích và một hàm thuộc không gian Hardy-Orlicz có trọng HΦw pRnq. Ở đây,
hàm Orlicz Φ và trọng Muckenhoupt w được cho bởi
Φptq tlogpe tq , @t P r0,8q
và
wpxq
1
logpe |x|q , @x P R
n.
Tuy nhiên, không gian HΦw pRnq không phải là không gian tốt nhất cho phân
tích của tích trên. Cải tiến vấn đề này, năm 2012, Bonami, Grellier và Ky [5]
đã đưa ra không gian H logpRnq và chứng tỏ rằng nó là không gian tốt nhất cho
phân tích này theo nghĩa là ta không thể thay thế nó bởi một không gian nhỏ
hơn. Không gian H logpRnq là một ví dụ tự nhiên của các không gian rất tổng
quát loại Hardy Musielak-Orlicz HϕpRnq mà nó được giới thiệu và nghiên cứu
bởi Ky trong [46].
Không giống như các không gian Hardy có trọng hay các không gian Hardy-
Orlicz có trọng, các khó khăn cốt yếu khi làm việc trên các không gian Hardy
Musielak-Orlicz HϕpRnq không chỉ đến từ tính Orlicz của hàm ϕ, mà còn đến
từ tính không tách được của biến không gian x và biến thời gian t xuất hiện
trong hàm Musielak-Orlicz ϕpx, tq với x P Rn và t P r0,8q. Cũng vậy, các ước
lượng kiểu Jensen hoặc Ho¨lder có thể không còn hữu hiệu trong tình huống
62
này. Chìa khóa cho các vấn đề này bao gồm nhiều công cụ quan trọng sau đây.
Trước hết là lấy t thích hợp để nó cho ta các ước lượng thuận tiện hơn; chẳng
hạn, ta có thể chọn t }χB}1Lϕ để thu được ϕpB, }χB}1Lϕq 1. Thứ hai là xây
dựng họ hàm một biến tΦBuBRn, phụ thuộc vào các hình cầu B Rn, sao cho
chúng có cùng các chỉ số tới hạn như ϕ đều theo mọi hình cầu B Rn. Họ
hàm này cho ta đẳng thức trọng yếu Φ1B
1
ϕpB,1q
}χB}
1
Lϕ đều theo mọi hình
cầu B Rn. Thứ ba là xem các hàm pb bBqχB với mọi hình cầu B Rn là
các bội của các pHϕpRnq, qq-nguyên tử với q P pqpϕq,8s để đưa ta đến các ước
lượng cần thiết mà các đánh giá kiểu Jensen hoặc đánh giá kiểu Ho¨lder không
thể áp dụng được (xem Bổ đề 2.4.8 bên dưới). Tất nhiên, chúng ta cũng cần
sự kết hợp khéo léo giữa lí thuyết nội suy với các ước lượng đã biết trong các
không gian Hardy có trọng (xem Bổ đề 2.4.9 bên dưới).
Để phát biểu định nghĩa của không gian BMOϕpRnq, ta nhắc lại rằng một
hàm tăng trưởng ϕ được gọi là thỏa mãn điều kiện hội tụ bị chặn địa phương
đều nếu khẳng định sau đúng: Cho K Rn là tập compact bất kỳ và tfmu là
dãy các hàm đo được sao cho fmpxq hội tụ về f pxq với hầu hết x P Rn. Nếu tồn
tại hàm khả tích không âm g sao cho |fmpxq| ¤ gpxq với hầu hết x P Rn và
sup
t¡0
»
K
gpxq
ϕpx, tq
ϕpK, tq
dx 8
thì
sup
t¡0
»
K
|fmpxq f pxq|
ϕpx, tq
ϕpK, tq
dx Ñ 0.
Chú ý rằng các hàm tăng trưởng điển hình như là ϕpx, tq wpxqΦptq, trong đó
w thuộc lớp trọng Muckenhoupt A
8
pRnq và Φ là một hàm Orlicz, và
ϕpx, tq
tp
rlogpe |x|q logpe tpqsp , 0 p ¤ 1,
thỏa mãn điều kiện này (xem [46] để biết thêm chi tiết).
Theo Cao và cộng sự [13], không gian Hardy Musielak-Orlicz HϕpRnq được
định nghĩa là không gian tất cả các phân bố f P S 1pRnq sao choMφf P LϕpRnq
với (tựa) chuẩn
}f}Hϕ : }Mφf}LϕpRnq,
trong đóMφf là hàm cực đại của f cho bởi (2.2). Chú ý rằng ánh xạ } }HϕpRnq
xác định một tựa chuẩn trên HϕpRnq, độ lớn của nó phụ thuộc vào việc chọn
φ, nhưng không gian HϕpRnq độc lập với sự chọn lựa này.
63
Định nghĩa 2.4.1 ([39]). Cho ϕ là một hàm tăng trưởng thỏa mãn điều kiện
»
Rn
ϕpx, p1 |x|qnqdx 8. Với mỗi hình cầu B Rn, ta ký hiệu ΦB và Φ1B là
hai hàm được xác định bởi các công thức
ΦBptq
ϕpB, tq
ϕpB, 1q và Φ
1
B ptq supts : ΦBpsq ¤ tu
với mọi t P r0,8q. Một hàm khả tích địa phương b được gọi là thuộc không gian
BMOϕpRnq nếu
}b}BMOϕpRnq : sup
BRn
!
Φ1B
1
ϕpB, 1q
»
Bc
ϕpx, |xxB|
n
qdx
»
B
|bpyqbB|dy
)
8,
trong đó supremum được lấy trên tất cả các hình cầu B : BpxB, rBq Rn với
xB P Rn và rB P p0,8q.
Nhận xét 2.4.2 ([39]). (i) Dễ thấy rằng với mỗi hình cầu cố định B Rn,
hàm ΦBptq tăng theo t P r0,8q khi ϕ tăng theo biến thứ hai. Hơn nữa, từ tính
chất p kiểu dưới đều của ϕ, ta suy ra rằng
ΦBpstq
1
ϕpB, 1q
»
B
ϕpx, stqdx À
1
ϕpB, 1q
»
B
spϕpx, tqdx spΦBptq
với mọi s P p0, 1q, mọi t P r0,8q và mọi hình cầu B Rn. Do đó, ΦB có tính
chất p kiểu dưới đều theo mọi hình cầu B Rn. Tương tự, ta cũng có thể chỉ
ra rằng ΦB có tính chất 1 kiểu trên đều theo mọi hình cầu B Rn. Hơn nữa,
theo [76], hàm Φ1B có tính chất p1 kiểu trên và tính chất 1 kiểu dưới đều theo
mọi hình cầu B Rn. Ngoài ra, ta có ΦBp1q 1 và Φ1B pΦBptqq ¥ t với mọi
t P r0,8q và mọi hình cầu B Rn.
(ii) Từ tính chất p kiểu dưới đều và tính chất 1 kiểu trên đều của ϕ, ta cũng
có thể định nghĩa hai hàm Φ và Ψ bằng cách đặt
Φptq inf
xPRn
ϕpx, tq
ϕpx, 1q ¤ supxPRn
ϕpx, tq
ϕpx, 1q Ψptq
với mỗi t P r0,8q. Rõ ràng, các hàm Φ và Ψ có cùng các chỉ số tới hạn như ϕ.
Hơn nữa, với mọi t P r0,8q ta có
Φptq inf
BRn
ΦBptq và Ψptq sup
BRn
ΨBptq.
Vì vậy, nếu Ψptq À Φptq với mọi t P r0,8q, nói cách khác, Ψ Φ, thì không gian
BMOϕpRnq có thể được định nghĩa một cách tương đương bằng cách thay thế
64
các hàm ΦB bởi Φ hoặc Ψ. Nói riêng, tính tương đương giữa Φ và Ψ có thể xuất
hiện khi ϕ là một hàm tách biến.
Nhận xét 2.4.3 ([39]). (i) Nếu ϕpx, tq wpxqt với w P A
8
pRnq thì không
gian BMOϕpRnq trùng với không gian BMOwpRnq đã được nghiên cứu bởi
Bloom [4], Liang, Ky và Yang [52]. Cũng vậy, khi ϕpx, tq wpxqtp với p P p0, 1s
và w P A
8
pRnq, không gian BMOϕpRnq vừa được khảo sát trong Mục 2.2.
Khi ϕpx, tq wpxqΦptq với w P A
8
pRnq và Φ là một hàm Orlicz, không gian
BMOϕpRnq trở thành không gian BMOΦwpRnq đã được nghiên cứu trong Mục
2.3.
(ii) Cho ϕ P Aipϕqp1 δ{nqpRnq là một hàm tăng trưởng với tích phân thỏa mãn
»
Rn
ϕpx, p1 |x|qnqdx 8, trong đó ipϕq, δ P p0, 1s và ipϕqp1 δ{nq ¡ 0. Khi
đó, không gian BMOϕpRnq là một không gian hàm không tầm thường; hơn
nữa, mọi hàm Lipschitz bậc δ có giá compact thuộc không gian này (xem Mệnh
đề 2.4.4 bên dưới).
(iii) Dưới các giả thiết về δ, ϕ như trong (ii), không khó khăn để kiểm tra
được rằng BMOϕpRnq BMOpRnq; hơn nữa, bao hàm thức này liên tục (xem
Mệnh đề 2.4.6).
Mệnh đề 2.4.4 ([39]). Cho ipϕq, δ P p0, 1s với ipϕqp1 δ{nq ¡ 1. Cho ϕ P
Aipϕqp1 δ{nqpRnq thỏa mãn
»
Rn
ϕpx, p1 |x|qnqdx 8. Nếu b là một hàm Lipschitz
bậc δ có giá compact thì b thuộc không gian BMOϕpRnq.
Chứng minh. Để đơn giản việc trình bày, không mất tính tổng quát, ta có thể
giả sử rằng supp b Bp0, 1q. Bây giờ, ta đặt
}b}Lipδ : sup
x,yPRn
xy
|bpxq bpyq|
|x y|δ
.
Khi đó, ta chỉ cần xét hình cầu bất kỳ B : BpxB, rBq với xB P Rn và rB P p0,8q
thỏa mãn B XBp0, 1q H.
Trước hết nhận xét rằng nếu B˜ : BpxB˜, rB˜q là hình cầu bất kỳ nằm trong
B thì với mọi x P Bc, ta có
|x xB˜| ¤ |x xB| |xB xB˜| ¤ 2|x xB|.
65
Do đó,
»
B˜c
ϕpx, |x xB˜|
n
qdx ¥
»
Bc
ϕpx, |x xB˜|
n
qdx
Á
»
Bc
ϕpx, |x xB|
n
qdx.
(2.41)
Có hai khả năng có thể xảy ra đối với rB. Trường hợp thứ nhất là rB ¥ 1.
Khi đó, tồn tại hình cầu B1 : BpxB1, 1q sao cho B1 B và B1 X Bp0, 1q H.
Điều này cùng với (2.41) cho ta đánh giá
1
ϕpB, 1q
»
Bc
ϕpx, |x xB|
n
qdx À
1
ϕpB1, 1q
»
B1c
ϕpx, |x xB1 |
n
qdx. (2.42)
Từ B1 X Bp0, 1q H và rB1 1, ta thấy B1 Bp0, 3q. Hơn nữa, từ (1.6) và
ϕ P AqpRnq với q P r1, ipϕqp1 δ{nqq, ta có
ϕpB1, 1q
ϕpBp0, 3q, 1q Á
|B1|
|Bp0, 3q|
q
Á 1
hay
ϕpBp0, 3q, 1q ϕpB1, 1q.
Điều này cùng với (2.42) kéo theo
1
wpBq
»
Bc
ϕp|x xB|
n
qdx À
1
wpBp0, 3qq
»
B1c
ϕp|x xB1 |
n
qdx. (2.43)
Với mọi y P B1 và mọi x R B1, ta có
1 |x y| ¤ 1 |x xB1 | |xB1 y| ¤ 3|x xB1 |.
Đánh giá này sinh ra
1
|x xB1 |
À inf
yPB1
1
1 |x y|
với mọi x R B1. Ước lượng này dẫn đến
»
B1c
ϕpx, |x xB1 |
n
qdx À
»
B1c
inf
yPB1
ϕpx, p1 |x y|qnqdx
À
»
Rn
inf
yPB1
ϕpx, p1 |x y|qnqdx
¤
»
Rn
ϕpx, p1 |x|qnqdx 8.
Kết hợp đánh giá này với (2.43) cho ta
1
ϕpB, 1q
»
Bc
ϕpx, |x xB|
n
qdx À 1.
66
Ước lượng này chứng tỏ rằng
Φ1B
1
ϕpB, 1q
»
Bc
ϕpx, |x xB|
n
qdx
À 1. (2.44)
Mặt khác, vì b là hàm Lipschitz bậc δ có giá compact thuộc hình cầu đơn
vị Bp0, 1q nên ta có thể đặt M : max
xPBp0,1q
|bpxq| 8. Do đó,
»
B
|bpyq bB|dy ¤ 2
»
B
|bpyq|dy 2
»
B
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- tinh_bi_chan_cua_mot_so_toan_tu_tren_khong_gian_hardy_kieu_m.pdf