Tóm tắt Luận án Nghiên cứu phương pháp sàng trường số ứng dụng trong phân tích mã

Thuật toán 4). 1.1.4. An toàn của hệ mật RSA và phân tích số thách đố RSA Hệ mật khóa công khai RSA có thể bị “phá vỡ” hoàn toàn nếu có thể phân tích được số modulo N. Độ phức tạp tính toán của NFS là 1/3[1/3,(64/9) ]NL . Các tính chất của của tiểu hàm mũ này được nghiên cứu trong [2]. 1.2. Phương pháp sàng trường số 1.2.1. Xây dựng các hiệu bình phương Phương pháp sàng trường số NFS cần phải tìm một tập U các cặp (a, b) sao cho: 2 ( , ) ( ) a b U a b     , 2 ( , ) ( ) a b U a bm y    , với    và y . Sau đó, áp dụng kết quả đối với vành các số nguyên đại số: 4 2 2 2 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b U a b U x a b a b                         2 ( , ) ( ) (mod ) a b U a bm y N     Khi đó, ta nhận được ước của N bằng cách tìm gcd(N, x±y). 1.2.2. Tính trơn và các cơ sở phân tích Để tìm tập U ở trên, cần phải xây dựng các cơ sở phân tích, sau đó xét tính trơn trong các cơ sở phân tích đó. Cơ sở phân tích hữu tỷ RFB bao gồm các số nguyên tố nhỏ hơn một ngưỡng B nào đó. Cơ sở phân tích đại số AFB gồm hữu hạn các iđêan nguyên tố bậc nhất của   . Cơ sở đặc trưng bậc hai QCB gồm các iđêan nguyên tố bậc nhất tương ứng với các cặp (s, q) thỏa mãn '( ) 0 (mod )f s q . 1.2.3. Tìm số chính phương đại số Phương pháp NFS dựa vào việc tìm các số chính phương trong và   , nên sẽ cần phải tìm tập U các cặp quan hệ (a, b) trơn trong các cơ sở phân tích hữu tỷ RFB, cơ sở phân tích đại số AFB, và cơ sở đặc trưng bậc hai QCB. 1.2.4. Chọn đa thức sàng 1.2.4.1. Bài toán chọn đa thức sàng Bài toán. (Chọn đa thức sàng của Montgomery). Tìm các đa thức sàng bậc d>2 sao cho hệ số của chúng bằng O(N1/2d). 1.2.4.2. Phương pháp chọn đa thức sàng tuyến tính Phương pháp base-m Cho   1/( 1) 1/d dN m N và     0 (0 ) d i i ii N a m a m là biểu diễn theo cơ số m của N. Thì khi đó          1 1 0... , d d d df x a x a x a g x x m là hai đa thức sàng có nghiệm chung m (mod N). 5 Phương pháp của Murphy Để đánh giá tính chất nghiệm của đa thức f, Murphy định nghĩa hàm          log 1 1 p p B p f q p với B là cận trơn cho trước và qp là số nghiệm của     0 mod f x p . Nếu  f càng nhỏ thì đa thức  f x càng tốt cho phương pháp NFS. Phương pháp của Kleinjung Kleinjung đề xuất một cải tiến cho phương pháp của Murphy đối với đa thức không monic g: chọn một số nguyên dương ad có nhiều ước nguyên tố nhỏ và thỏa mãn   mod dda x N p với p nguyên tố. 1.2.4.2. Phương pháp chọn đa thức sàng phi tuyến Phương pháp của Montgomery Montgomery đã giải quyết bài toán chọn đa thức sàng với trường hợp d = 2, tìm được các cặp đa thức sàng có hệ số cỡ O(N1/4). Phương pháp của Prest và Zimmermann Prest và Zimmermann chọn các đa thức lệch bậc d tùy ý, nếu chọn độ lệch   2 2 ( 2)( )d d ds O N thì các đa thức có hệ số trung bình cỡ     2 2 2 2 ( 2)( ) d d d d dO N . Koo và cộng sự đã tổng quát hóa các phương pháp xây dựng cấp số nhân mod N độ dài d+1 để chọn đa thức bậc bất kỳ có các hệ số cỡ  2( 1) /( )d dO N . 1.2.5. Sàng tìm quan hệ Chọn các cặp số nguyên (a, b) có các tính chất sau:  gcd(a, b)=1.  Chuẩn hữu tỷ  a bm = a+bm là trơn trên RFB.  Chuẩn đại số  a b = (-b)deg(f)f(-a/b) là trơn trên AFB. 6 1.3. Kết luận chương 1 Để làm nền tảng cơ sở cho các nội dung nghiên cứu tiếp theo, chương này của luận án đã trình bày tổng quan về các kết quả nghiên cứu đã được công bố có liên quan đến nội dung cần giải quyết của luận án. Cụ thể:  Giới thiệu về hệ mật khóa công khai RSA và độ an toàn của nó dựa vào việc giải bài toán phân tích số nguyên lớn; để thấy được sự cần thiết phải có những nghiên cứu về phương pháp phân tích số nguyên lớn nhanh nhất hiện nay, đó là phương pháp sàng trường số.  Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp sàng trường số, từ đó làm nền tảng để phát triển về lý thuyết, đánh giá và cài đặt thực hành phương pháp này.  Trên cơ sở tìm hiểu về bài toán chọn đa thức sàng của Montgomery và các phương pháp chọn đa thức sàng áp dụng cho phương pháp sàng trường số. Để từ đó làm tiền đề nghiên cứu phát triển thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc hai; xây dựng phương pháp và thuật toán chọn cặp đa thức sàng phi tuyến bậc ba; và đưa ra các thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc tổng quát cho phương pháp sàng trường số được trình bày trong Chương 2.  Trình bày chi tiết phương pháp sàng tìm quan hệ cho phương pháp sàng trường số. Từ đó có những cải tiến cài đặt thực hành cho phương pháp sàng trường số để phân tích thành công hợp số RSA; và đánh giá hiệu quả về mặt lý thuyết và thực hành của các thuật toán sàng áp dụng cho phương pháp sàng trường số được giải quyết trong Chương 3. 7 CHƯƠNG 2 CHỌN CẶP ĐA THỨC SÀNG CHO PHƯƠNG PHÁP SÀNG TRƯỜNG SỐ 2.1. Chọn cặp đa thức sàng bậc hai 2.1.1. Thuật toán sinh các cặp đa thức sàng bậc hai Sử dụng thuật toán của Montgomery (Thuật toán 5) để sinh các cặp đa thức sàng bậc hai với các hệ số cỡ O(N1/4). 2.1.2. Chọn cặp đa thức sàng bậc hai và tâm sàng Giả sử cặp đa thức sàng bậc hai f1(x) và f2(x) có 2 nghiệm tương ứng là x11, x12, x21, x22. Ta ký hiệu giá trị ρ(f1, f2) = min{|x1i-x2j |} là khoảng cách nhỏ nhất giữa các cặp nghiệm của 2 đa thức. Ta ký hiệu: 1 2 1 2 0 min{| |}| 2 i j i j x x x x x    là tâm sàng của cặp đa thức sàng bậc hai f1(x) và f2(x). Thực nghiệm 2.1. So sánh số quan hệ trung bình khi tâm miền sàng trục x tại điểm 0 và tại điểm x0 của các cặp đa thức sàng loại 1 (cặp đa thức sàng đồng thời có 2 nghiệm) và loại 2 (cặp đa thức sàng còn lại). Đối với các cặp đa thức loại 1 còn so sánh số quan hệ trung bình của các cặp đa thức sàng có giá trị ρ(f1, f2) nhỏ (đa thức loại 1a) và lớn (đa thức loại 1b). Bảng 2.1: Kết quả thực nghiệm 1. Đa thức loại 2 Đa thức loại 1a Đa thức loại 1b Số quan hệ trung bình với tâm miền sàng trục x tại điểm 0 153 255 234 Số quan hệ trung bình với tâm miền sàng trục x tại điểm x0 - 836 657 Khẳng định 2.1. Cặp đa thức sàng bậc hai đồng thời có hai nghiệm f1, f2 được gọi là tốt hơn cho NFS nếu có giá trị ρ(f1, f2) nhỏ hơn. Khi đó, việc 8 chọn tâm điểm sàng trục x tại x0 là trung điểm của 2 nghiệm có ρ(f1, f2) nhỏ nhất sẽ tốt hơn là tâm sàng tại điểm 0. Theo quan điểm của Murphy thì cặp đa thức sàng f1, f2 được gọi là tốt hơn cho NFS nếu có giá trị (f1, f2) = (f1) + (f2) nhỏ hơn. Thực nghiệm 2.2. So sánh số quan hệ khi tâm miền sàng trục x tại điểm 0 và tại điểm x0 của các cặp đa thức có ρmax, ρmin, max, min. Bảng 2.2: Kết quả thực nghiệm 2. ρmax ρmin max min Số quan hệ TB với tâm miền sàng trục x tại điểm 0 0 408 84 823 Số quan hệ TB với tâm miền sàng trục x tại điểm x0 230 910 245 1263 Nhận xét 2.2. Cặp đa thức sàng có ρmin không tốt bằng cặp đa thức sàng có min mặc dù cặp đa thức này có giá trị ρ lớn hơn. Thuật toán 6: Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc hai theo min và tâm sàng. Input: hợp số N. Output: cặp đa thức sàng bậc hai fi(x) và tâm sàng. Bước 1: Sinh tập các cặp đa thức sàng bậc hai theo phương pháp Montgomery. Bước 2: Chọn ra tập T các cặp đa thức sàng bậc hai đồng thời có 2 nghiệm. Bước 3: Tìm min và tâm sàng x0 của cặp đa thức sàng trong tập T. Với mỗi cặp đa thức sàng ta ký hiệu: (f1, f2) =   ' '1 2 1 1 2 2min ( ) (i j i jx x f x f x   Theo định nghĩa về đạo hàm thì sự biến thiên tại điểm sàng xs của 2 đa thức sàng ta nhận được: 9 (f1, f2)   1 2min ( ) (s sf x f x  Thực nghiệm 2.3. So sánh số quan hệ trung bình của các cặp đa thức sàng bậc hai có 2 nghiệm tại tâm sàng x0 theo . Bảng 2.3: Kết quả thực nghiệm 3. Giá trị  lớn nhất max Giá trị  nửa cao H Giá trị  nửa thấp L Giá trị  nhỏ nhất min 67 426 889 1183 Khẳng định 2.2. Cặp đa thức sàng bậc hai đồng thời có hai nghiệm f1, f2 được gọi là tốt hơn cho NFS nếu có giá trị (f1, f2) nhỏ hơn. Thuật toán 7: Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc hai theo min và tâm sàng. Input: hợp số N. Output: cặp đa thức sàng bậc hai fi(x). Bước 1: Sinh tập các cặp đa thức sàng bậc hai theo phương pháp Montgomery. Bước 2: Chọn ra tập T các cặp đa thức sàng bậc hai đồng thời có 2 nghiệm. Bước 3: Tìm min và tâm điểm sàng tối ưu x0 tương ứng trong tập T. 2.1.3. Một số nhận xét Kết quả của các thực nghiệm trên đã đưa ra được 2 thuật toán lựa chọn cặp đa thức sàng bậc hai và tâm sàng của chúng cho NFS. Trong đó, khi phân tích số nguyên lớn thì Thuật toán 7 sẽ nhanh hơn đáng kể so với Thuật toán 6 mà vẫn đảm bảo chọn ra được cặp đa thức sàng tốt gần tương đương. Kết quả này thực sự quan trọng khi thực hiện việc chọn cặp đa thức sàng để phân tích các số nguyên lớn. 10 2.2. Chọn cặp đa thức sàng bậc ba 2.2.1. Xây dựng cơ sở lý thuyết chọn cặp đa thức sàng bậc ba 2.2.1.1 Một số khái niệm Khái niệm về không gian Euclid trên ℝm. Định nghĩa về tích có hướng của 3 véc tơ trong ℝ4. Định nghĩa 2.1. (tích có hướng của 3 véc tơ) Cho 3 véc tơ =  0 1 2 3, , ,a a a a , =  0 1 2 3, , ,b b b b và =  0 1 2 3, , ,c c c c . Ta gọi tích có hướng của chúng là véc tơ, ký hiệu là     , được xác định bởi công thức sau     = 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2 a a a a a a a a a a a a b b b , b b b , b b b , b b b c c c c c c c c c c c c            . Từ định nghĩa trên ta xây dựng các tính chất cơ bản sau. 2.2.1.2 Các tính chất cơ bản Tính chất 2.1. Nếu  =  thì   ,    và   . Tính chất 2.2. Tích có hướng của 3 véc tơ là tuyến tính với mỗi véc tơ của tích, chẳng hạn với ,k h thì (k+h’)= k() + h(’). Tính chất 2.3. 1) Đổi thứ tự hai véc tơ cạnh nhau thì tích có hướng của 3 véc tơ đổi dấu, chẳng hạn  = (). 2) Nếu tích có hướng của 3 véc tơ trong đó có hai véc tơ giống nhau thì nhận được véc tơ không. Từ các tính chất trên ta thu được bổ đề quan trọng dưới đây. 11 Bổ đề 2.1. Giả sử 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' u u u v v v w w w                        , với , ,i i iu v w  , i = 1, 2, 3 ta có:  det( A) ' ' '          trong đó A = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 u u u v v v w w w           . Định lý 2.1 dưới đây đưa ra một điều kiện cần và đủ để tích có hướng của 3 véc tơ  =  trên không gian ℤ4. Định lý 2.1. Cho 4 véc tơ khác véc tơ không , ,  và  ℤ4, ta có:  =  khi và chỉ khi span(,,) = {}. Định lý 2.2 dưới đây đưa ra công thức cho phép xác định chuẩn của véc tơ tích có hướng của 3 véc tơ trên không gian ℤ4. Định lý 2.2. Ký hiệu A, B, C là các góc giữa  và , giữa  và , giữa  và  thì     = 2 2 21 2cos Acos BcosC cos A cos B cos C       . Tuy nhiên, việc xác định chuẩn theo công thức trong Định lý 2.2 là rất phức tạp. Hệ quả 2.1 dưới đây cho phép ta xác định cận dưới của chuẩn tích có hướng của 3 véc tơ trên ℤ4 áp dụng cho một số trường hợp góc A, B, C đặc biệt. Hệ quả 2.1. Nếu các góc A, B, C  2 3 3 ,        và số các góc tù là chẵn thì      1 2    . 2.2.2. Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc ba Thuật toán 8: Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc ba. Input: hợp số N. 12 Output: cặp đa thức sàng bậc ba fi(x) có các hệ số cỡ 2/9( )O N . Bước 1: Tìm   4 có tọa độ là cấp số nhân theo modulo N. Bước 2: Tìm cơ sở ban đầu {’, ’,’} của lưới L = {}. Bước 3: Rút gọn cơ sở ban đầu để được cơ sở “nhỏ nhất” {, , }. Bước 4: Tìm các đa thức có hệ số nhỏ tương ứng với véc tơ tổ hợp tuyến tính của , , . 2.2.2.1. Tìm   4 có tọa độ là cấp số nhân theo modulo N. Chọn số nguyên tố p = O(N1/3) sao cho p = 3r +1 và rN  1 (mod p), a = 3b N p  và b = O(N1/3). Ta tìm được  = (a,b2,bp,p2), thỏa mãn |||| = O(N2/3). 2.2.2.2. Tìm cơ sở ban đầu cho L = {}. Theo định lý 2.1 ta tìm cơ sở của L là tìm 3 véc tơ , ,  thỏa mãn  =  như sau:  = (-b2, a, 0, 0).  = (t, -s, 1, 0), với s ≡ p b (mod a) và t = 2b s bp a  .  = (v, -u, 0, 1), với u ≡ s2 (mod a) và v = 2 2b u p a  . 2.2.2.3. Thuật toán rút gọn cơ sở lưới. Thuật toán 9: Thuật toán rút gọn cơ sở lưới. Input: {’, ’, ’} là 3 véc tơ độc lập tuyến tính trong ℤ4. Output: {, , } thoả mãn các điều kiện sau:     = ' ' '    ||||×||||×|||| < 2     . 1.[Initiliatian] {, , } = {’, ’, ’}; Continue = 1; 2.[Loop] 13 While (Continue = 1) { Continue = 0; InOrder{, , }; //sắp xếp giảm dần q  , ,            ; if (q>0) {  q; Continue = 1;} else { q  , ,            ; if (q>0) {  q; Continue = 1;} q  , ,            ; if (q>0) {  q; Continue = 1; } } Return {, , }. Nhận xét 2.3. Vòng lặp 2 sẽ dừng chỉ khi tất cả các giá trị q tính được trong đó đều bằng 0 và cũng giống như thuật toán của Montgomegy ta có tất cả các góc giữa các cặp véc tơ đầu ra đều nằm trong đoạn 2 3 3 ,        . Hệ quả 2.1 của định lý 2.2 cho phép đánh giá trong trường hợp số góc tù chẵn là:      2  = O(N2/3). Khi các véc tơ tại đầu ra có chuẩn xấp xỉ nhau ta có chuẩn của các véc tơ này cỡ O(N2/9), tức là: 2/9( )O N     . 2.2.2.4. Chọn cặp đa thức sàng Giả sử cơ sở rút gọn của {} là  = (a0, a1, a2, a3),  = (b0, b1, b2, b3) và =(c0, c1, c2, c3). Ký hiệu 14 2 3 0 1 2 3A( x ) a a x a x a x    . 2 3 0 1 2 3B( x ) b b x b x b x    . 2 3 0 1 2 3C( x ) c c x c x c x    . Lấy một ngưỡng K nào đó ta tìm tất cả các đa thức bất khả quy trên ℤ trong tập {uA(x) + vB(x) + wC(x): -Ku, v, wK} Cuối cùng so sánh để chọn ra cặp đa thức sàng có các hệ số nhỏ. Do các đa thức A(x), B(x), và C(x) có các hệ số cỡ O(N2/9), nên các hệ số của đa thức f(x) cũng có độ lớn cỡ O(N2/9). 2.2.3. Một số nhận xét Dựa vào cơ sở lý thuyết mới xây dựng cho phép ta chọn được cặp đa thức sàng bậc ba các hệ số cỡ O(N2/9) cho phương pháp sàng trường số. Trong khi đó, phương pháp của Prest và Zimmermann tạo ra cặp đa thức sàng bậc 3 với các hệ số trung bình cỡ O(N5/24), do xét đến điều kiện về độ lệch của các đa thức sàng. Thuật toán 8 có thể sinh ra được rất nhiều cặp đa thức sàng phi tuyến bậc 3 cho NFS, tùy thuộc vào cách chọn K. Nhưng không phải tất cả các cặp đa thức sàng đó đều tốt cho phương pháp NFS nên có thể cần phải xét thêm hàm  f của Murphy. 2.3. Chọn cặp đa thức sàng bậc tổng quát 2.3.1. Chọn cặp đa thức sàng dựa vào cấp số nhân 2.3.1.1 Một số khái niệm cơ bản  Rút gọn lưới và chuẩn của véc tơ.  Kết quả đã biết về tích chập. 15 2.3.1.2 Chọn cặp đa thức dựa vào cấp số nhân Mệnh đề 2.1. Cho trước số nguyên N và cấp số nhân 0 1, ,..., dc c c có d+1 số hạng công bội m và thỏa mãn 0 (mod ) i ic c m N , thì có thể sinh ra d đa thức bậc tối đa d có nghiệm chung m modulo N có hệ số cỡ 1/ dc với max| |ic c . 2.3.2. Xây dựng thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc tổng quát 2.3.2.1 Chọn cấp số nhân Hệ quả 2.2. Cho trước số nguyên N và cấp số nhân 1, ,..., dm m N modulo N có công bội 1/ dm N , thỏa mãn rằng ( 1) /( )d d dm N O N   , thì có thể sinh ra cặp đa thức bậc d có nghiệm chung m modulo N với các hệ số cỡ 2( 1) /( )d dO N  và tích chập cỡ 2( 1) /( )d dO N  . Xây dựng ma trận có dạng như sau: 1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d d L c c c c                        Ta chứng minh được rằng sau khi thực hiện thuật toán LLL đối với ma trận L sẽ tìm ra tối thiểu 2 véc tơ ngắn có hệ số cỡ 2( 1) /( )d dO N  . 2.3.2.2 Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc tổng quát Từ Hệ quả 2.2, cho ta thuật toán sinh đa thức sàng phi tuyến bậc d như sau. Thuật toán 10: Thuật toán sinh cặp đa thức sàng phi tuyến bậc d. Input: Số nguyên cần phân tích N, bậc d. Output: Cặp đa thức sàng f1 và f2 bậc d có nghiệm chung m modulo N. 16 (1). Tính 1/ dm N    . (2). Tạo cấp số nhân 1, ,..., dm m N . (3). Sử dụng thuật toán LLL đối với ma trận L để tìm các véc tơ ngắn 1( ,..., )db b . (4). Biểu diễn ,0 ,( ,..., ) t i i i da ab và tính ,0 ,1 mod d j i i jj a a m N    , với i = 1, 2. (5). Trả về cặp đa thức ,0 d j i i jj f a x   và nghiệm chung m mod N. Về mặt thực hành, việc thực hiện bước kiểm tra các hệ số đầu và hệ số cuối có ước nguyên tố nhỏ trước khi áp dụng ( )iF và phép xoay đa thức của Murphy sẽ loại bỏ được rất nhiều đa sàng có tính chất tồi. Thuật toán 11: Thuật toán chọn cặp đa thức phi tuyến bậc d tốt. Input: Số nguyên cần phân tích N, bậc của cặp đa thức phi tuyến d, ngưỡng của phép xoay đa thức J. Output: Cặp đa thức sàng (f1, f2) có tính chất tốt. (1). Sử dụng Thuật toán 10 sinh cặp đa thức phi tuyến (f1, f2) bậc d có nghiệm chung m modulo N. (2). Kiểm tra các hệ số đầu và cuối là bội của 60. (3). Tính ( )if và ghi vào tệp “Alphas.txt”. (4). Thực hiện phép xoay đa thức với 1 2 3, , (0, ]j j j J : (4).1 1 2 3, , 1 1 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( )j j jf x j f x j f x j x m    . (4).2 Tính 1 2 3, , ( )j j jf , ghi vào tệp “Alphas.txt”. (5). Return “Cặp đa thức fi có nghiệm chung m modulo N có giá trị ( )if nhỏ nhất trong tệp Alphas.txt”. 2.3.3. Một số nhận xét Áp dụng Hệ quả 2.2 thì: 17  Có thể sinh ra cặp đa thức sàng bậc 2 có nghiệm chung m modulo N với các hệ số cỡ 1/ 4( )O N và tích chập cỡ ( )O N . Kết quả này trùng với phương pháp của Montgomery.  Có thể sinh ra cặp đa thức sàng bậc 3 có nghiệm chung m modulo N với các hệ số cỡ 2 / 9( )O N và tích chập cỡ 4 / 3( )O N . Kết quả này trùng với phương pháp luận án đã xây dựng.  Có thể sinh ra cặp đa thức bậc d = 4 có nghiệm chung m modulo N với các hệ số cỡ 3/16( )O N và tích chập cỡ 3/ 2( )O N . Kết quả này tốt hơn phương pháp của Prest và Zimmermann sinh ra các đa thức có hệ số cỡ 5/14( )O N và tích chập cỡ 10 / 7( )O N . 2.4. Kết luận chương 2 Các kết quả của chương này bao gồm: (1). Đưa ra các Thuật toán 6 và Thuật toán 7 để chọn cặp đa thức sàng bậc hai và tâm sàng của chúng cho phương pháp sàng trường số. Thuật toán 7 thực hiện nhanh hơn Thuật toán 6; việc sàng tìm quan hệ tại tâm sàng sẽ giúp cho phương pháp NFS thực hiện nhanh hơn. (2). Xây dựng phương pháp và cơ sở lý thuyết (bao gồm: Định lý 2.1, Định lý 2.2, và Hệ quả 2.1) cho thuật toán chọn cặp đa thức sàng phi tuyến bậc ba cho phương pháp sàng trường số. Kết quả thu được Thuật toán 8, dùng để tìm các cặp đa thức sàng phi tuyến bậc 3 có các hệ số cỡ O(N2/9); góp phần giải trường hợp riêng của bài toán chọn đa thức sàng Montgomery. (3). Tổng quát hóa thuật toán chọn cặp đa thức sàng dựa vào cấp số nhân đặc biệt, từ đó xây dựng được Thuật toán 10 và Thuật toán 11 để chọn cặp đa thức sàng phi tuyến bậc tổng quát. Các kết quả nêu trên đã được tác giả công bố trên các bài báo số [1], [4], và [6] (Danh mục các công trình khoa học đã công bố). 18 CHƯƠNG 3 CẢI TIẾN VÀ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ THUẬT TOÁN SÀNG CHO PHƯƠNG PHÁP SÀNG TRƯỜNG SỐ 3.1. Thuật toán NFS tổng quát Thuật toán 12: Thuật toán NFS tổng quát. Input: Hợp số N. Output: Ước không tầm thường p của N. Bước 1: Chọn đa thức sàng. Bước 2: Xây dựng các cơ sở phân tích. Bước 3: Sàng tìm quan hệ. Bước 4: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Bước 5: Khai căn bậc hai và tìm ước. 3.2. Cải tiến cài đặt thuật toán sàng tuyến tính 3.2.1. Thuật toán sàng tuyến tính Thuật toán sàng tuyến tính (Thuật toán 13) gồm 2 bước chính:  Các phần tử (a, b) có chuẩn hữu tỷ chia hết cho (p, m mod p) trong RFB thì a có dạng a = -bm+kp với k .  Các phần tử (a, b) có chuẩn đại số chia hết cho (p, r) trong AFB thì a có dạng a = -br+kp với k . 3.2.2. Song song hóa thuật toán sàng tuyến tính Giả sử thực hiện thuật toán trên M tiến trình, tiến trình t thực hiện sàng với các giá trị b trong khoảng WS*(t-1) đến WS*t. Sau khi tất cả các tiến trình kết thúc việc sàng trong khoảng WS đã xác định thì lặp lại công việc sàng của các tiến trình như trên với giá trị b mới bắt đầu từ WS*M. Công việc này được thực hiện lặp lại đối với các tiến trình đến 19 khi nhận đủ các quan hệ cần tìm. Khi đó bước sàng tìm quan hệ sẽ kết thúc. Thuật toán 14: Thuật toán sàng tuyến tính phiên bản song song cho tiến trình thứ t. Input: - Các cơ sở phân tích RFB, AFB; - Đa thức f(x), nghiệm m của f(x) mod N; - Khoảng sàng C; - WS, t, b0: trong đó b0 là giá trị đầu tiên của b cho tiến trình thứ t với số lượng giá trị cần sàng WS. Output: - Tập quan hệ rels = {(a0, b0), (a1, b1),, (al, bl)}. 1. b= b0+WS*(t-1) 2. rels=[] 3. while ((b b0+WS*t) and (#rels < #RFB + #AFB + #QCB + 1)) (a) b=b+1 (b) a[i]=i+bm với i  [-C;C] (c) với mỗi (p, r)  RFB Chia a[j] cho p tối đa số mũ có thể với j=-bm+kp với k thỏa mãn –C j C. (d) e[i]=(-b)deg(f)f(-i/b) với i  [-C;C] (e) với mỗi (p, r)  AFB Chia e[j] cho p tối đa số mũ có thể với j=-br+kp với k thỏa mãn –C j C. (f) for i  [-C;C] if a[i]=e[i]=1 và gcd(i, b)=1 thêm (i, b) vào rels 4. return rels. 20 3.2.3. Kết quả phân tích số 135 chữ số Hệ thống tính toán hiệu tại Học viện Kỹ thuật mật mã là hệ thống tính toán với bộ nhớ phân tán. Tích hợp thuật toán 14 ở trên vào chương trình msieve phiên bản 1.21 để phân tích số nguyên hợp số N có 135 chữ số thập phân. Kết quả là:  Thời gian lựa chọn đa thức là 29 giờ.  Tổng số tiến trình t = 112, và khoảng sàng WS = 2000000. Tổng thời gian sàng là 6,66 ngày. Thời gian chạy tổng cộng của tất cả các tiến trình: 64489521 giây = 746 ngày. 3.3. Đánh giá hiệu quả của thuật toán sàng lưới 3.3.1. Thuật toán sàng lưới 3.3.1.1. Hoạt động của sàng lưới Phần tử mảng A[c, d] biểu diễn số nguyên: 1 2a bm c u d u     , với 1 1 1u a b m  và 2 2 2u a b m  . Do đó các phần tử để được sàng với p khi:  1 2 0 mod c u d u p    . 3.3.1.2. Cài đặt thuật toán sàng lưới cho NFS Với mỗi  ,q s Q thực hiện:  Xác định lưới của (a, b) tương ứng với   mod a bs q .  Xây dựng các trục tọa độ (c, d) cỡ C cho lưới này.  Với mỗi  ,p r P chuyển   mod a br p về mặt phẳng (c, d).  Với mỗi miền sàng của mặt phẳng (c, d) kiểm tra tính trơn của cặp (c, d). 3.3.2. Kết quả quan trọng về lý thuyết lưới Bổ đề 3.1. m là một lưới khi và chỉ khi là một tập rời rạc, nhóm con cộng tính của m . Luận án phát biểu mệnh đề tổng quát với lưới n chiều như sau. 21 Mệnh đề 3.1. Giả sử  1 2( , ,..., ) \ 0 n n     và q . ,q là tập hợp xác định như sau:  , | , 0 (mod )nq x x q    (trong đó .,. là một tích vô hướng chuẩn tắc). Khi đó, ,qL là lưới trong n và thỏa mãn: , 1 2 det gcd( , ,..., , ) q n q q      3.3.3. Hiệu quả của thuật toán sàng lưới 3.3.3.1. Khẳng định của Pollard Các quan hệ  ,a b sẽ tạo thành một lưới con ,q trong 2 với   21,m   và q là số nguyên tố. Sử dụng Mệnh đề 3.1 với lưới 2 chiều để chứng minh Khẳng định 3.1 của Pollard. Khẳng định 3.1 (của Pollard). Trong NFS, tổng số các số nguyên cần phải sàng theo thuật toán sàng lưới nhỏ hơn rất nhiều so với thuật toán sàng tuyến tính. Thực tế, nó có thể giảm theo hệ số:    1 log 1/1 logq M k W q B   . 3.3.3.2. Phân tích một số kết quả thực nghiệm Bảng 3.1. Hiệu suất của thuật toán sàng tuyến tính. Khoảng sàng Số lượng quan hệ Số lượng số kiểm tra H 2000x2000 113.290 4.000.000 2,832.10-2 3000x3000 220.345 9.000.000 2,448.10-2 4000x4000 353.298 16.000.000 2,208.10-2 5000x5000 508.540 25.000.000 2,034.10-2 Kết quả thực hiện thuật toán sàng lưới thay đổi theo ki, với k1 = 0,447, k2 = 0,269, k3 = 0,160. 22 Bảng 3.2. Thuật toán sàng lưới thay đổi theo ki, i = 1, 2, 3. Khoảng sàng Số lượng quan hệ Số lượng số kiểm tra k1 k2 k3 k1 k2 k3 2000x2000 47.338 71.285 112.403 607.285 1.010.887 1.774.362 3000x3000 96.426 144.494 196.896 1.365.960 2.273.003 3.318.761 4000x4000 159.065 237.819 323.660 2.428.342 4.043.587 5.902.669 5000x5000 233.919 349.359 475.143 3.794.283 6.320.513 9.225.408 Bảng 3.3. Hiệu suất của thuật toán sàng lưới. Khoảng sàng H k1 k2 k3 2000x2000 7,795.10-2 7,051.10-2 6,330.10-2 3000x3000 7,059.10-2 6,356.10-2 5,932.10-2 4000x4000 6,550.10-2 5,881.10-2 5,483.10-2 5000x5000 6,165.10-2 5,527.10-2 5,150.10-2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2000x2000 3000x3000 4000x4000 5000x5000 k=0,447 k=0,269 k=0,160 line Hình 3.1: So sánh hiệu suất của 2 thuật toán sàng. 23 Nhận xét 3.1.  Tính được hệ số giảm giữa lượng số nguyên đem sàng của thuật toán sàng lưới so với thuật toán sàng tuyến tính theo ki l