Tóm tắt Luận văn Phương pháp Lagrange cho bài toán cực trị có điều kiện và ứng dụng

áp nghiên cứu - Phân tích, tổng hợp các tài liệu trong nƣớc và ngoài nƣớc để tìm hiểu những vấn đề liên quan đến đề tài. - Hệ thống hóa lý thuyết đã thu thập. - Thảo luận, trao đổi. - Dựa trên các kết quả đã đạt đƣợc để sáng tạo và giải một số bài toán mới. 5. Cấu trúc luận văn: Phần mở đầu. Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Chƣơng 2. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI. Chƣơng 3. ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN 3 CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. KHÔNG GIAN n VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN  Một số khái niệm và tính chất cơ bản: - Với mỗi số nguyên không âm n, tập n là tập tất cả các bộ n số thực có thứ tự. Một phần tử của n đƣợc viết là: 1 2( , ,... ), , 1,n ix x x x x i n    . - Trên n ta định nghĩa phép cộng và phép nhân nhƣ sau: với mọi  và với mọi 1 2 1 2( , , , ), ( , , , ) n n nx x x x y y y y     , 1 1 2 2( , ,..., )n nx y x y x y x y     , 1 2( , ,..., )nx x x x    . - Tập n cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hƣớng ở trên tạo thành một không gian vectơ n chiều trên và thƣờng đƣợc gọi là không gian vectơ n hoặc không gian n cho ngắn gọn. - Không gian vectơ n có một cơ sở chính tắc:  1 1;0;0;...;0 ,e     2 0;1;0;...;0 , ..., 0;0;...;0;1ne e  . Khi đó, một vectơ trong n có thể đƣợc viết dƣới dạng: 1 n i i i x x e   . - Tích vô hƣớng trên n là ánh xạ: , : n n  xác định bởi 1 1 2 2 1 , ... n i i n n i x y x y x y x y x y       . - Độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x đƣợc định nghĩa bởi: 2 1 , n i i x x x x     . - Không gian n cùng với tính vô hƣớng .,. tạo thành một không gian Hilbert. 4 Định nghĩa 1.1.1. (Hình cầu mở và hình cầu đóng) - Hình cầu mở tâm tại điểm 0 nx  và bán kính 0  là tập các điểm trong nR định nghĩa bởi  0 0( , ) nB x x x x     . - Hình cầu đóng tâm tại điểm 0 nx  và bán kính 0  là tập các điểm trong n định nghĩa bởi  0 0[ , ] nB x x R x x     . Định nghĩa 1.1.2. (Tập mở trong n ) Tập nS  là mở nếu với mỗi x S tồn tại 0  sao cho hình cầu mở 0( , )B x S  . Định lý 1.1.3. (Định lý về các tập mở trong n ) 1. Tập rỗng là một tập mở. 2. n là một tập mở. 3. Hợp các tập mở là một tập mở. 4. Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở. Định lý 1.1.4. (Mọi tập mở là họ của các hình cầu mở) Giả sử nS  là một tập mở. Với mỗi x S chọn 0x  sao cho ( , )xB x S  . Khi đó ( , )x x S S B x    . Định nghĩa 1.1.5. (Tập đóng trong n ) nS  là đóng khi và chỉ khi phần bù của S trong n : ( \ )n S là tập mở. Định lý 1.1.6. Ta có một số tính chất sau của các tập đóng: 1. Tập rỗng là một tập đóng. 2. Toàn không gian n là một tập đóng. 3. Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng. 4. Giao các tập đóng là một tập đóng. Định lí 1.1.7. (Các tập đóng trong và các khoảng đóng) Giả sử S là một tập đóng bất kì trong . Khi đó: 5 (( , ] [ , ))i i i I S a b      , với các số thực i ia b và tập chỉ số I nào đó. Định nghĩa 1.1.8. (Tập bị chặn trong n ) Tập nS  đƣợc gọi là bị chặn nếu nó chứa đƣợc trong một hình cầu (mở hay đóng) bán kính  nào đó. Định lý 1.1.9. (Cận trên và cận dưới của một tập trong ) 1. Giả sử S  là một tập mở bị chặn và giả sử a là một cận dưới lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S . Khi đó, a S và b S . 2. Giả sử S  là một tập đóng bị chặn và giả sử a là một cận dưới lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S . Khi đó, a S và b S . Định nghĩa 1.1.10. (Heine – Tập Compact trong n ) Tập nS  đƣợc gọi là Compact khi và chỉ khi S đóng và bị chặn. 1.2. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa 1.2.11. Cho nA  . Khi đó, ánh xạ : pf A xác định bởi 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ) p n nx x x x A f x x x    . - Khi 1p  , f đƣợc gọi là hàm thực nhiều biến. - Khi 1p  , f đƣợc gọi là hàm vectơ nhiều biến. Tập A đƣợc gọi là miền xác định của hàm số, các số 1 2, ,..., nx x x đƣợc gọi biến số của hàm f. Định nghĩa 1.2.12. (Giới hạn của hàm vectơ n biến) Cho hàm vectơ : n pf A  và điểm a A . Ta nói rằng hàm f tiến đến giới hạn pb khi x tiến đến a , hay b là giới hạn của hàm f tại a , nếu với mọi 0  cho trƣớc tồn tại 0  ( phụ thuộc vào  ) sao cho với mọi x A thỏa mãn 6 0 x a    ta có ( )f x b   . Khi đó ta viết lim ( ) x a f x b   hay ( )f x b khi x a . Vì sự hội tụ trong không gian n là sự hội tụ theo tọa độ nên với 1 1( ,..., ), ( ,..., )n nx x x a a a  ta còn dùng kí hiệu 1 1 1 ... lim ( ,..., ) n n n x a x a f x x b    . Định nghĩa 1.2.13. (Hàm liên tục nhiều biến) a. Hàm : n pf A  đƣợc gọi là liên tục tại một điểm 0x trên A nếu 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x   . b. Hàm : n pf A  đƣợc gọi là liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi điểm a A . c.Hàm f đƣợc gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi 0  tồn tại ( ) 0    (chỉ phụ thuộc vào  ) sao cho với mọi ',x x A thỏa mãn 'x x   ta đều có '( ) ( )f x f x   . d. Hàm 1( ,..., ) : n p pf f f A   liên tục tại a A khi và chỉ khi các hàm thành phần của nó liên tục tại a . Định nghĩa 1.2.14. (Hàm liên tục theo từng biến) Hàm : n pf A  đƣợc gọi là liên tục theo biến ix tại điểm 1( ,..., )na a a nếu với mọi 0  tồn tại 0  sao cho với mọi  1 1 1( ,..., , , ,... )i i i i i i nx A x a a x a a A     thỏa mãn i ix a   ta đều có 1 1 1 1( ,..., , , ,..., ) ( ,..., )i i i n nf a a x a a f a a     . Định lí 1.2.15. Cho hàm : n pf A  là hàm liên tục trên A . Nếu A là tập Compact trong n thì ( )f A là tập Compact trong p . 7 Định lí 1.2.16. Nếu : nf A  là hàm liên tục trên A và A là tập Compact trong n thì hàm f đạt được cận trên đúng và cận dưới đúng trên A . Định nghĩa 1.2.17. (Hàm bị chặn) Hàm : n pf A  đƣợc gọi là bị chặn trên A nếu ( )f A là tập bị chặn trong p , tức là nếu tồn tại số 0M  sao cho ( )f x M với mọi x A . 1.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO 1.3.1. Đạo hàm riêng Giả sử 1 2, ,..., ne e e là cơ sở chính tắc trong không gian n , U là một tập hợp mở trong n và :f U  là một hàm số của n biến số, 1( ,..., )nx x x U  . Định nghĩa 1.3.18. Đạo hàm riêng cấp một: Xét giới hạn 0 ( ) ( ) lim i t f x te f x t   , Nếu nó tồn tại thì đƣợc gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f tại x hay đạo hàm riêng theo biến ix của hàm f tại x và kí hiệu là ( )iD f x hay ( ) i f x x   hoặc ' ( ) ix f x . Định nghĩa 1.3.19. Đạo hàm riêng cấp cao: Cho tập hợp mở nU  và điểm a U . Giả sử :f U  là hàm số sao cho ( )iD f x tồn tại với mọi x U . Nhƣ thế ta có ánh xạ : , ( )i iD f U x D f x  . Nếu hàm số iD f có đạo hàm theo biến thứ j tại a tức là nếu tồn tại ( )( )j iD D a thì đạo hàm này đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f tại a theo các biến thứ các biến thứ i và thứ j hay theo các biến ix và jx và đƣợc kí hiệu là , ( )i jD f a hay 8 2 2 ( ), ( ) ( ) i j i j j i f f a a f a x x x x x x                . Định nghĩa 1.3.20. (Gradien của f ): là hàm vectơ mà thành phần là các đạo hàm riêng theo từng biến của f . Kí hiệu grad f hoặc f xác định bởi 1 2 ( , ,..., ) n f f f f x x x      . 1.3.2. Đạo hàm của hàm hợp * Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp Cho hàm , : n pf g A  : 1 ( )( ) ( ) ( ),( 1,..., ) m i j i ji fg g f a b a j n x y x           . * Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến Giả sử U là tập mở trong n , a U và :f U  . Ta kí hiệu toán tử 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( )a n n n T x a x a x a x x x               , xác định nhƣ sau 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n a ii f T f x a a x      , ở đây 1( ,..., )na a a , Và ( )kaT  là luỹ thừa hình thức 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ) k k a n n n T x a x a x a x x x                  . Định lí 1.3.21. (Công thức Taylor) Giả sử U là một tập mở trong n , a U và 0r  sao cho ( , )B a r U . Cho ( )kf C U , khi đó với mọi ( , )x B a r tồn tại  ,a x  sao cho 9 2 11 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1! 2! ( 1)! ! k k a a af x f a T f T f T f T f k k         . 1.3.3. Vi phân hàm nhiều biến Định nghĩa 1.3.22. (Vi phân cấp một) Giả sử U là tập mở trong n , : nf U  là hàm vectơ xác định trên U sao cho với mọi x U 1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( )) . n mf x f x f x f x  Trong đó, : ( 1,2,..., )if U i m  là các hàm thành phần của hàm vectơ f , xác định trên U . Định nghĩa 1.3.23. (Vi phân cấp cao) Cho tập hợp mở nU  , :f U  , a U . Giả sử 2 ( )f C U . Nhƣ ta đã biết hàm f khả vi tại a và với 1 2( , ,... )nh h h h ta có 1 ( ) ( ) . n i ii f Df a h a h x     Mỗi đạo hàm riêng i f x   là một ánh xạ từ U vào . Vì i f x   có các đạo hàm riêng liên tục nên nó là hàm khả vi tại a và với 1 2( , ..., )nk k k k ta có 2 1 ( )( ) n j i i jj f f D a k k x x x        . Biểu thức 2 1 1 1 ( ) ) n n n i i j i i jj i j f f D a h k h k x x x               Là một dạng song tuyến tính trên n n , ma trận của dạng song tuyến tính là ma trận vuông 2 1 , ( ) i j i j n f a x x           . Ánh xạ song 10 tuyến tính từ n n  xác định bởi ma trận này đƣợc gọi là đạo hàm cấp hai của f tại a , kí hiệu là 2 ( )D f a hay ''( )f a . Nếu lấy k h thì biểu thức 2 2 , 1 ( )( , ) ( ) n i j i ji j f D f a h h a h h x x      Đƣợc gọi là vi phân cấp hai của f tại a , kí hiệu là 2 ( )d f a . Thông thƣờng ta kí hiệu i ih dx , khi đó vi phân cấp hai đƣợc viết dƣới dạng 2 2 , 1 ( ) ( ) n i j i ji j f a d f a dx dx x x      . Tƣơng tự nhƣ trên thì ta sẽ định nghĩa đƣợc các vi phân cấp cao hơn của f . 1.4. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM Định nghĩa 1.4.24. (Hàm lồi) Cho  là một tập con lồi của n . Một hàm f xác định trên một tập lồi  đƣợc gọi là lồi nếu với mỗi 1 2,x x  và mỗi ,0 1   , ta có:  1 2 1 2(1 ) ( ) (1 ) ( )f ax x af x f x      . Hơn nữa, nếu với mỗi ,0 1   và 1 2x x , ta có:  1 2 1 2(1 ) ( ) (1 ) ( ),f ax x af x f x      thì f đƣợc gọi là lồi chặt. Định nghĩa 1.4.25. (Hàm lõm) Một hàm g xác định trên một tập lồi  đƣợc gọi là lõm nếu hàm f g  là lồi. Hàm g là lõm chặt nếu g là lồi chặt. Định nghĩa 1.4.26. (Ma trận xác định)  Ma trận A n n đƣợc gọi là xác định dƣơng (tƣơng ứng xác định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ , 0nx x  dạng toàn phƣơng xác định bởi ( ) .TQ x x A x 11 chỉ nhận các giá trị dƣơng (tƣơng ứng chỉ nhận các giá trị âm; nhận cả giá trị âm và giá trị dƣơng), tức là 0, , 0T nx Ax x x    .  Nếu dạng toàn phƣơng chỉ nhận giá trị không âm (tƣơng ứng chỉ nhận giá trị không dƣơng), ma trận đƣợc gọi là nửa xác định dƣơng (tƣơng ứng nửa xác định âm) và ma trận không xác định chính xác khi nó không là ma trận nửa xác định dƣơng hoặc ma trận nửa xác định âm. Mệnh đề 1.4.27. Cho 1f và 2f là những hàm lồi trên tập lồi  . Khi đó hàm 1 2f f là lồi trên  . Mệnh đề 1.4.28. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi  . Khi đó af là hàm lồi với bất kì 0a  . Từ hai mệnh đề trên chúng ta có thể nhận thấy rằng tổ hợp 1 1 2 2 ... m ma f a f a f   của các hàm lồi cũng lồi. Cuối cùng, chúng ta xét các tập xác định bởi các bất đẳng thức ràng buộc cho hàm lồi. Mệnh đề 1.4.29. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi  . Tập  , ( )c x x f x c    là lồi với mỗi số thực c . Ta thấy rằng, vì giao của các tập lồi cũng là tập lồi nên tập các điểm đồng thời thỏa mãn 1 1 2 2( ) , ( ) ,..., m mf x c f x c f c   , Sao cho với mỗi if là một hàm lồi, xác định một tập lồi. Điều này rất quan trọng trong toán học, bởi vì tập ràng buộc thường được định nghĩa bằng cách này. Mệnh đề 1.4.30. (Tính chất của hàm lồi khả vi) Cho 1f C . Khi đó f là lồi trên một tập lồi  nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ( )( )f y f x f x y x   , với mọi ,x y . Đối với hàm khả vi cấp hai liên tục thì có một đặc tính khác trong tính lồi. Mệnh đề 1.4.31. Cho 2f C . Khi đó f là lồi trên tập lồi  12 chứa một điểm trong nếu và chỉ nếu ma trận Hessian F (ma trận của đạo hàm riêng cấp hai) là nửa xác định dương trong  . 1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.5.1. Cực trị tự do Cho hàm : nf  . Bài toán cực trị tự do là bài toán: tìm 0 nx  sao cho 0( ) inf ( ) x D f x f x   hoặc 0( ) sup ( ). x D f x f x   Nhƣ vậy, bài toán cực trị tự do là bài toán tìm 0x để hàm f đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên n . Những giá trị đó chúng ta gọi là cực trị toàn cục (xem định nghĩa ở bên dƣới). Định nghĩa 1.5.32. (Cực trị địa phƣơng) 1. Một điểm * nx  đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng của f nếu tồn tại 0  sao cho ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x  . Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x  , *x x thì *x đƣợc gọi là điểm cực tiểu địa phƣơng thực sự của f trên ( *, )B x  . 2. Một điểm * nx  đƣợc gọi là một điểm cực đại địa phƣơng của f nếu tồn tại 0  sao cho ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x  . Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x  , *x x thì *x đƣợc gọi là điểm cực tiểu địa phƣơng thực sự của f trên ( *, )B x  . Định nghĩa 1.5.33. (Cực trị toàn cục) 1. Một điểm * nx  đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục của : nf  nếu ( ) ( *)f x f x với mọi nx . Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi , *nx x x  thì *x đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục thực sự của f trên n . 2. Một điểm * nx  đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục 13 của : nf  nếu ( ) ( *)f x f x với mọi nx . Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi , *nx x x  thì *x đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục thực sự của f trên n . i. Điều kiện cần cấp một Định lý 1.5.34. (Định lý Fermat) Cho hàm 1f C xác định trên n . Nếu *x là một điểm cực trị địa phương của f trên n thì ( *) 0f x  . Định nghĩa 1.5.35. Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của f đều bằng 0 đƣợc gọi là điểm dừng của hàm. Hàm f chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm dừng. Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần để có cực trị, nên điểm dừng chƣa chắc là điểm cực trị. Điều kiện cần cho điểm cực trị địa phƣơng dẫn đến n phƣơng trình (mỗi một phƣơng trình cho mỗi thành phần của f ) với n ẩn (các thành phần của *x ), trong nhiều trƣờng hợp có thể giải để xác định nghiệm. Chúng ta minh họa bằng ví dụ sau: ii. Điều kiện cần cấp hai Mệnh đề 1.5.36. Giả sử *x là một điểm cực tiểu địa phương trên n của hàm 2f C : n  . Khi đó, i. ( *) 0f x  , ii. 2 ( *) 0Td f x d  , với mọi d. (1.5.2) Để đơn giản chúng ta thường kí hiệu 2 ( )f x , ma trận n n của đạo hàm riêng cấp hai của f , ma trận Hessian của f kí hiệu là ( )F x . Điều kiện (1.5.2) là tương đương với ma trận ( *)F x là nửa xác định dương. iii. Điều kiện đủ cấp hai Mệnh đề 1.5.37. Cho 2f C là một hàm xác định trong n . 14 Giả sử điểm *x thỏa mãn các điều kiện 1. ( *) 0f x  , 2. ( *)F x xác định dấu. Khi đó *x là một điểm cực tiểu địa phương thực sự của f nếu ( *)F x xác định dương và *x là một điểm cực đại địa phương thực sự của f nếu ( *)F x xác định âm. Nếu ( *)F x không xác định thì *x không phải là cực trị của f. Nhận xét 1.5.38. Chúng ta có thể dùng tiêu chuẩn sau để nhận biết ma trận ( *)F x là xác định dương hay xác định âm: 1. Nếu tất cả các định thức con chính của ( *)F x đều dương thì điểm dừng *x là điểm cực tiểu của nó. 2. Nếu ( *)F x có các định thức con chính cấp lẻ âm và tất cả các định thức con chính cấp chẵn dương thì điểm dừng *x là điểm cực đại của nó. Nhận xét 1.5.39. Đối với trường hợp hàm hai biến, chúng ta có tiêu chuẩn chi tiết hơn như sau: Giả sử hàm 2f C đi từ 2  có điểm dừng 0 0( , )x y . Gọi  là định thức của ma trận 0 0( , )F x y , tức là   2 '' '' '' 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) . ( , )xy xx yyf x y f x y f x y   . 1. Nếu 0  thì điểm dừng 0 0( , )x y là điểm cực trị của hàm số:  0 0( , )x y là điểm cực đại nếu '' 0xxf  ,  0 0( , )x y là điểm cực tiểu nếu '' 0xxf  . 2. Nếu 0  thì 0 0( , )x y không phải cực trị của hàm f . 3. Nếu 0  ta không kết luận gì về cực trị tại 0 0( , )x y . (Muốn có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác). 1.5.2. Cực trị có điều kiện 15 Cho tập nD  , hàm :f D . Bài toán cực trị có điều kiện là bài toán: tìm 0x D sao cho 0( ) inf ( ) x D f x f x   hoặc 0( ) sup ( ) x D f x f x   . Nhƣ vậy, bài toán cực trị có điều kiện là bài toán tìm 0x để hàm f đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên tập D. Những giá trị đó chúng ta gọi là cực trị toàn cục có điều kiện (xem định nghĩa ở bên dƣới). Định nghĩa 1.5.40. (Cực trị địa phƣơng có điều kiện) Cho f liên tục trên một tập Compact D . Lúc đó, bài toán có ít nhất một nghiệm. 1. Một điểm *x đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện của :f D nếu có tồn tại 0  sao cho ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x D  . Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x D  , *x x thì *x đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực sự của f trên ( *, )B x D  . 2. Một điểm *x đƣợc gọi là một điểm cực đại địa phƣơng có điều kiện của :f D R nếu có tồn tại 0  sao cho ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x D  . Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi .., *x x thì *x đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực sự của f trên ( *, )B x D  . Định nghĩa 1.5.41. (Cực trị toàn cục có điều kiện) 1. Một điểm *x đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện của :f D nếu có tồn tại 0  sao cho ( ) ( *)f x f x với mọi x D . Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi x D , *x x thì *x đƣợc 16 gọi là một điểm cực tiểu toàn cục thực sự có điều kiện của f trên D . 2. Một điểm *x đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục có điều kiện của :f D nếu ( ) ( *)f x f x với mọi x D . Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi , *x D x x  thì *x đƣợc gọi là một điểm cục đại toàn cục thực sự có điều kiện của f trên D . * Sự tồn tại nghiệm Định lý 1.5.42. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm (tối ưu) của (P) là tồn tại t sao cho tập  ( ) : ( ) ,F D x f x t x D     khác  , đóng và bị chặn dưới. Định lý 1.5.43. Cho f là một hàm lồi xác định trên tập lồi D . Ký hiệu  là tập tất cả các điểm cực tiểu của hàm f . Khi đó  là tập lồi, và bất kì điểm cực tiểu địa phương nào của f cũng là cực tiểu toàn cục. Định lý 1.5.44. Cho 1f C là hàm lồi trên tập lồi D . Nếu có một điểm *x D sao cho, với mọi y D , ( *)( *) 0f x y x   , thì *x là một điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện của f trên D . Định nghĩa 1.5.45. (Hƣớng chấp nhận đƣợc) Cho x D ( D là một tập lồi), một vectơ d là một hƣớng chấp nhận đƣợc tại x nếu có một 0  thỏa mãn x d D  với mọi  , 0 .   Mệnh đề 1.5.46. (Điều kiện cần cấp một ) Cho D là tập hợp con của nR và cho 1f C là một hàm trên D . Nếu *x là một điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D , khi đó với bất kì nd  mà d là một hướng chấp nhận được tại *x , ta có ( *) 0.f x d  17 Mệnh đề 1.5.47. (Điều kiện cần cấp 2) Cho D  là một tập con lồi của n và cho 2f C là một hàm trên D . Nếu *x là một điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D , khi đó với bất kì nd  mà d là một hướng chấp nhận được tại *x . Ta có: i. ( *) 0f x d  (1.5.4) ii. Nếu *( ) 0f x d  thì khi đó 2 *( ) 0.Td f x d  (1.5.5) Mệnh đề 1.5.48. (Điều kiện đủ) Cho D  là một tập con lồi của n và cho 2f C là một hàm trên D . Nếu 0x D thỏa mãn: i. ( *) 0f x d  ; ii. T ( *) 0,d f x d d   thỏa mãn ( *)d 0f x  . thì x* là cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D. CHƢƠNG 2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI 2.1. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Chúng ta xem xét Bài toán phi tuyến dạng: 1 2 min ( ) ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, , m n f x h x h x h x x D              (2.2.1) trong đó m n và các hàm , , ( 1,2,..., )if h i m liên tục, và có các 18 đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Để kí hiệu đơn giản, chúng ta giới thiệu hàm giá trị vectơ 1 2( , ,..., )mh h h h và (2.2.1) đƣợc viết lại min ( ) ( ) 0 n f x h x x D       (2.2.2) Với ( ) 0h x  đƣợc xem nhƣ là hàm điều kiện, trong khi đó điều kiện nx D  là một điều kiện cố định. Bỏ qua điều kiện cố định, trong chƣơng này, chúng ta giả sử rằng D là cả không gian n hoặc nghiệm của (2.2.2) nằm ở phần trong của D . Một điểm x D mà thỏa mãn tất cả các hàm điều kiện thì đƣợc gọi là điểm chấp nhận đƣợc. Tập tất cả các điểm chấp nhận đƣợc gọi là tập điểm chấp nhận đƣợc. Bài toán (2.2.2) là một trƣờng hợp đặc biệt của bài toán tìm cực trị tổng quát ở mục 1.5.2. Vì  : ( ) 0,nx h x x D    , ta có bài toán (2.2.2) tƣơng đƣơng với bài toán tìm min ( ) x f x  . Định nghĩa 2.1.1. (Điểm chính quy) Một điểm *x thỏa mãn điều kiện ( *) 0h x  đƣợc gọi là điểm chính quy của điều kiện nếu các vectơ gradient 1 2( *), ( *),..., ( *)mh x h x h x   là độc lập tuyến tính. Chú ý rằng nếu h là affine, ( ) Ah x x b  thì sự chính quy tƣơng đƣơng với A có hạng là m . Tại một điểm chính quy *x của mặt S định nghĩa bởi ( ) 0h x  thì không gian tiếp xúc là mặt  : ( *) 0M y h x y   . 2.1.1. Điều kiện cần cấp một Định lý 2.1.2. Cho *x là một điểm chính quy của các điều 19 kiện ( ) 0h x  và là một điểm cực trị địa phương có điều kiện (một điểm cực tiểu hoặc cực đại) của f thỏa mãn các điều kiện này. Khi đó tất cả ny thỏa mãn ( *) 0h x y  , (2.2.3) cũng phải thỏa mãn ( *) 0f x y  (2.2.4) Định lý 2.1.3. Cho *x là một điểm cực trị địa phương có điều kiện của f với các điều kiện ( ) 0h x  và *x là một điểm chính quy của điều kiện này. Khi đó, có một m sao cho ( *) ( *) 0Tf x h x    . (2.2.5) Từ Định lý 2.1.2 trước nếu *x là nghiệm của bài toán (2.2.2) thì có một m thỏa mãn ( *) ( *) 0Tf x h x    và cùng với điều kiện ( *) 0h x  cho ta một hệ gồm n m phương trình với n m ẩn gồm *,x  . Từ đó, rất thuận lợi để giới thiệu hàm Lagrange kết hợp với bài toán có điều kiện. Định nghĩa hàm Lagrange như sau ( , ) ( ) ( )Tx f x h x    . (2.2.6) Khi đó, các điều kiện cần có thể được biểu diển dưới dạng ( , ) 0x x   , (2.2.7) ( , ) 0x   . (2.2.8) Cách biểu diễn này là một sự trình bày đơn giản của các điều kiện cần. 2.1.2. Điều kiện cần cấp hai Trong suốt phần này, chúng ta giả sử 2,f h C . Định lí 2.1.4. Giả sử *x là một cực tiểu địa phương có điều kiện của f với ( ) 0h x  và *x là một điểm chính quy của các điều 20 kiện này. Khi đó, tồn tại một m sao cho ( *) ( *) 0Tf x h x    . (2.2.9) Nếu M là không gian tiếp xúc  : ( *) 0M y h x y   , thì khi đó ma trận ( *) ( *) ( *)TL x F x H x  (2.2.10) (ở đây F, H lần lượt là ma trận Hessian của f, h) là nửa xác định dương trên M , tức là ( *) 0Ty L x y  với mọi y M . 2.1.3. Điều kiện đủ cấp hai Định lý 2.1.5. Giả sử có một điểm *x thỏa mãn ( *) 0h x  , và một mR sao cho ( *) ( *) 0Tf x h x    . (2.2.14) Cũng giả sử rằng ma trận ( *) ( *) ( *)TL x F x H x  xác định dương trên  : ( *) 0nM y h x y    , nghĩa là với , 0y M y  thì ta luôn có ( *) 0Ty L x y  . Khi đó, *x là một cực tiểu địa phương có điều kiện thực sự của f với ( ) 0h x  . 2.2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI 2.2.1. Chuyển về bài toán không dùng phƣơng pháp nhân tử Lagrange Với công cụ cấp trung học phổ thông, một trong những phƣơng pháp giải bài toán nhiều biến số là làm giảm dần các biến số bằng cách tìm cực trị theo từng phƣơng. Nếu trong (2.2.1), từ các điều kiện ràng buộc ta biểu diễn lần lƣợt biến , 1,ix i n dƣới dạng hàm ẩn 1 2 1 1( , ,..., , ,..., )i i i i nx x x x x x   thay vào (2.2.1) ta đƣợc bài toán mới chỉ có 1n biến, lần lƣợt nhƣ vậy cho đến khi hết các điều kiện ràng buộc, thì bài toán cực tiểu có điều kiện nêu trên quy về bài toán cực trị tự do n m biến. 21 2.2.2. Phƣơng pháp nhân tử Lagrange Trƣớc tiên ta nhắc lại Bài toán (P): min ( )f x (2.3.1) Với ( ) 0, 1, , . i n h x i m x D       (2.3.2) , ; 1,if h i n là các hàm có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục. Hàm Lagrange là hàm n m biến số với nhân tử Lagrange , 1,ni R i m   : ( , ) ( ) ( ), 1,i iL x f x h x i m    Theo điều kiện cần đã nhắc ở phần trƣớc. Nếu bài toán đạt cực trị tại  1 2* , ,..., nx x x x thì tồn tại các số 1 2, ,..., m   sao cho bộ m n số  1 2 1 2, ,..., , , ,...,n mx x x    là nghiệm của hệ phƣơng trình: 1 2 1 2 ... 0, 1, 0, 1, . m m i i i i i j hh hL f i n x x x x x h j m                     Nói cách khác điều kiện cần để bài toán đạt cực trị tại  1 2* , ,..., nx x x x là tồn tại các số 1 2, ,..., m   sao cho  1 2 1 2, ,..., , , ,...,n mx x x    là điểm dừng của hàm Lag