Đề tài Sáng kiến kinh nghiệm - Một số bất đẳng thức nâng cao

MỤC LỤC

-------I. PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đềtài

2. Mục tiêu nghiên cứu

3. Nhiệm vụnghiên cứu

4. Phương pháp nghiên cứu

5. Một sốkết quả đạt được

II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN

Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep)

Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞRỘNG

Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞRỘNG

Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO)

Chương VII: MỘT MỞRỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC

SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI

Chương VIII: SỬDỤNG TÍNH CHẤT THỨTỰCỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC

pdf50 trang | Chia sẻ: maiphuongdc | Ngày: 30/05/2013 | Lượt xem: 1537 | Lượt tải: 8download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề tài Sáng kiến kinh nghiệm - Một số bất đẳng thức nâng cao, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
g tự : 1a b ab ab a b a b ab a b ab b+> ⇒ + >+ − + − > www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 16 Bài 8:Cho x , y > 0 và α 2≥ .CMR: 12 ( )x y x yα α α−+ ≥ + α Giải: Ta có 1 2 22 ( ) 2x yx y x y x y x y α α α α α α− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + ⇔ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có : 2 2 2 2. 1 ; . 1x x y y x y x y x y x y α α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥ + − ≥ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α− Từ đó suy ra : 2 2 2 2 2 2x y x y x y α α α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + (đpcm) Bài 9:Cho a,b,c,p > 0 và số nguyên dương n . CMR: (1) 1 ( )3 ( )n p n p n p n p n pa b c a b c+ + + − ++ + ≥ + + HD: 3 3 3(1) 3 n p n p n pa b c a b c a b c a b c + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≥ Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli ta có : 3 3( ). 1 ( ) n pa an p n p a b c a b c +⎛ ⎞ ≥ + + − +⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ,… Bài 10:Cho a, b,c > 0.CMR: 2 2 2 2 3 2 a b c b c c a a b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2) HD: 2 22 2 2(2) a b c b c a c a b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ≥3. Áp dụng hệ quả BĐT Bernoulli và BĐT: 3 2 a b c b c c a a b + + ≥+ + + Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR: a/ 2 2 2 2 3sin A+sin sin 3 2 B C ⎛ ⎞+ ≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ (3) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 17 b/ 2 2 2 2 2 2 1 2tan tan tan 3 2 2 2 A B C −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ HD: a/ 2 22 2 2(3) sin sin sin 3 3 3 3 A B A⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ≤ Áp dụng 1t tα α α≥ + − với 22 ; sin 2 t Aα = = và 2 2 2 9sin sin sin 4 A B C+ + ≤ b/ Áp dụng: tan tan tan 3 2 2 2 A B C+ + ≥ Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) III.1.BĐT CHEBYSHEV 1/Cho hai dãy n số và đều tăng hoặc đều giảm tức là : 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., nb b b 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≤ ≤ ≤⎧⎨ ≤ ≤ ≤⎩ hoặc thì ta có : 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≥ ≥ ≥⎧⎨ ≥ ≥ ≥⎩ 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ....n n n na b a b a b a a a b b b n n + + + + + + + + +≥ n Dấu bằng xảy ra khi 1 2 ... na a a= = = hoặc 1 2 ... nb b b= = = 2/Cho hai dãy n số và có một dãy tăng hoặvà một dãy giảm tức là : 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., nb b b 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≤ ≤ ≤⎧⎨ ≥ ≥ ≥⎩ hoặc 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≥ ≥ ≥⎧⎨ ≤ ≤ ≤⎩ thì ta có : 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ....n n n na b a b a b a a a b b b n n + + + + + + + + +≤ n Dấu bằng xảy ra khi 1 2 ... na a a= = = hoặc 1 2 ... nb b b= = = Chứng minh:Ta CM cho trường hợp: 1 2 1 2 ... ... n n a a a b b b ≤ ≤ ≤⎧⎨ ≤ ≤ ≤⎩ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 18 Gọi 1 2 ... na a aa n + + += khi đó tồn tại k sao cho 1 1... ...k ka a a a + na≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (1) Ứng với k ở trên lấy b sao cho 1kb b bk+≤ ≤ khi đó ta có 1 1... ...k kb b b b + nb≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (2) Từ (1) và (2) suy ra ( )( )i ia a b b 0− − ≥ với mọi i=1,2,…,n hay 0i i i ia b ab ba ab− − + ≥ với mọi i. Cộng n BĐT lại ta được : 0i i i ia b a b b a nab− − +∑ ∑ ∑ ≥ . Vì i ina a nab b a= ⇒ =∑ ∑ 1i i i i ia b a b a bn⇒ ≥ =∑ ∑ ∑ ∑ .Từ đó suy ra đpcm Dấu bằng chỉ xảy ra khi ta có ( )( )i ia a b b 0− − = với mọi i , nếu (ai) không là dãy hằng thì khi đó ,tức 1 na a a< < 1 nb b b= = 1 2 ... nb b b= = = III.2.Bài tập áp dụng : Bài 1:Cho tùy ý .CMR: 1 2, ,..., na a a 22 2 2 1 2 1 2... ...n na a a a a a n n + + + + + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ HD: Giả sử .Xét dãy b1 2 ... na a a≤ ≤ ≤ k=ak Bài 2:Cho .CMR: 2a b+ ≥ 1n n n na b a b 1+ ++ ≤ + với mọi số tự nhiên n Bài 3:Cho x,y > 0.CMR: 3 3 7 7 11 11( )( )( ) 4( )x y x y x y x y+ + + ≤ + Bài 4:Cho m lẻ và .CMR: 1 2 ... na a a+ + + ≥ n 1 1 1 n n m m k k k k a a + = = ≤∑ ∑ HD:Giả sử thì a b≥ n na b≥ Bài 5:Cho n số không âm .CMR với mọi số nguyên dương m ta có : 1 2, ,..., na a a 1 2 1 2... ... mm m m n na a a a a a n n + + + + + +⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ HD: Giả sử thì 1 20 ... na a a≤ ≤ ≤ ≤ 1 20 ...m m na a am≤ ≤ ≤ ≤ Áp dụng BĐT Tsêbưsep và quy nạp Bài 6: Cho n số dương .CMR với mọi số nguyên dương k,l ta có : 1 2, ,..., na a a www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 19 1 2 1 2 1 2... ... .... k k k l l l k l k l k l n na a a a a a a a a n n n n + + ++ + + + + + + + +≤ HD:Áp dụng BĐT Tsêbưsep cho hai dãy 1 2 1 2 ... ... k k n l l l n a a a a a a ⎧ k≤ ≤ ≤⎪⎨ ≤ ≤ ≤⎪⎩ Bài 7:Cho tam giác ABC.CMR: 3 aA bB cC a b c π+ + ≥+ + Bài 8:Cho a,b không âm có tổng bằng 2.CMR: 3 3 4a b a b4+ ≥ + Bài 9:Cho a,b,c > 0 và số tự nhiên n.CMR: a/ 1 1 1 3 n n n n n n a b c a b a b c + + ++ + + +≥+ + c b/ 3( ) a b c a b ca b c abc + + ≥ .Hãy tổng quát bài toán Bài 10: Cho a,b tùy ý ,m và n là hai số tự nhiên có cùng tính chẵn lẻ.CMR: ( )( ) 2(m m n n m n m na b a b a b+ ++ + ≤ + ) Bài 11:Cho tam giác ABC.CMR: a/ cos cos cos 1 2 a A b B c C a b c + + ≤+ + b/ sin sin sin sin sin sin sin sin sinA A B B B B C C C C A A A B C A B B C C A + + ++ + ≥ ++ + + + Bài 12: a/ Cho a,b,c > 0 và .CMR: 2 2 2 1a b c+ + ≥ 3 3 3 1 2 a b c b c c a a b + + ≥+ + + b/ Cho a,b,c,d > 0 và .CMR: 2 2 2 2 1a b c d+ + + ≥ 3 3 3 3 1 3 a b c d b c d a c d a b d a b c + + ++ + + + + + + + ≥ c/Hãy chứng minh bài toán tổng quát Bài 13:Cho là các cạnh của đa giác lồi n cạnh có chu vi là p.CMR: 1 2, ,..., na a a www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 20 1 2 2 n i i i a n p a n= ≥− −∑ Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG IV.1.Chứng minh BĐT Côsi bằng phương pháp đạo hàm: a/ Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số f(x) = ex - x-1 trên R ta chứng minh được BĐT: (1) với mọi 1xe x≥ + x R∈ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 b/ BĐT Côsi :Cho các số dương .Ta có 1 2, ,..., na a a 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n + + + ≥ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a= = = Chứng minh: Gọi 1 1 n k k T n = = ∑a .Áp dụng (1) ta có : 1 , 1,2,..., ka kT ae k T − ≥ = n Nhân n BĐT trên lại ta được 1 k n a kn nT n k kn a e T a T T −∑ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ∏ a∏ ∏ Dấu bằng xảy ra 1 2 1 2... 1 ...n n aa a a a a T T T ⇔ = = = = ⇔ = = = c/ BĐT Côsi mở rộng: Cho và Ta có BĐT 1 2, ,..., 0nx x x > 1 2, ,..., 0np p p > 1 2 1 2 ... 1 1 2 2 1 2 1 2 .... ... ... n n p p p pp p n n n n x p x p x px x x p p p + + +⎛ ⎞+ + +≤ ⎜ + + +⎝ ⎠⎟ .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... nx x x= = = Đặc biệt nếu thì ta được BĐT CôSi. 1 2 ... 1np p p= = = = Chứng minh: www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 21 Đặt 1 1 n k k k n k k x p T p = = = ∑ ∑ . Áp dụng (1) ta có : 1 ( . k k k k k x x pp pk T T k x e x T e T − −≤ ⇒ ≤ 1) Nhân n BĐT trên lại ta được : 1 1 1 1 1 . n kn n k k k k x n n 1 n kp p pTp p k k k x T e x T − = ∑∑ ∑ ∑≤ ⇒∏ ∏ ≤ IV.2.Bài tập áp dụng : Bài 1:CMR với mọi số dương a , b ta có : 2 a b b a a ba b ++⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ Giải : Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 2 2 b a a b a b ab ab ab a ba b ab a b a b a b + + +≤ + = ≤ ≤+ + + ⇒ 2 a b b a a ba b ++⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠ .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b Bài 2:Với x > 0 .CMR: 11 11 1 1 x x x x +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ < +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 1 1 1 1(1 ) 1.11 2 11 .1 1 1 1 1 x x xx xx x x x x + +⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ = = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1 x 1.Vì + ≠ nên dấu bằng không xảy ra. Chú ý :Có thể chứng minh cách khác bằng cách áp dụng định lí Lagrange như sau: www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 22 Xét hàm số ( )1( ) ln(1 ) ln( 1) lnf x x x x x x = + = + − Ta có / 1( ) ln( 1) ln 1 f x x x x = + − − + Hàm số g(t) = lnt liên tục trên [x ;x+1] có đạo hàm trên (x;x+1) nên /ln( 1) ln 1 1( ; 1) : ( ) 1 1 x xx x x g c c x + −∃ ∈ + = = > + suy ra f tăng trên ( 0; )+∞ Vậy f(x) > f(x+1) từ đó suy ra đpcm. Bài 3:Cho 2 4(0;2) . : 1 2 9 xxx CMR ⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠ < Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 2 2 2 2 2 2 1(1 ) 2(1 )9 1 2 21 . 1 . 1 22 4 2 2 2 x x x x x x x x +⎛ ⎞− + +⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + ≤ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ 1= suy ra 2 41 2 9 xx⎛ ⎞− <⎜ ⎟⎝ ⎠ .Vì 11 1 2 2 x− ≠ + nên dấu bằng không xảy ra. Bài 4:Cho các số dương 1 2 3, ,x x x và các số thỏa hệ : 1 2 3, ,y y y 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 3 3 y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x = + +⎧⎪ = + +⎨⎪ = + +⎩ trong đó thỏa : 0ija > i1 i2 i3 1 2 3 1( 1,2,3) 1( 1,2,3)j j j a a a i a a a j + + = =⎧⎨ + + = =⎩ CMR: 1 2 3 1 2 3x x x y y y≤ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 23 Giải: Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: i1 i2 i3 i3i1 i2 i1 1 i2 2 i3 3 1 2 3 i1 1 i2 2 i3 3 i1 i2 i3 . . a a a aa a i a x a x a xx x x a x a x a x y a a a + +⎛ ⎞+ +≤ = +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ + = 2 3y với i =1,2,3 Nhân 3 BĐT trên lại ta được: 11 21 31 11 21 31 13 23 33 1 2 3 1. . a a a a a a a a ax x x y y+ + + + + + ≤ ⇒ 1 2 3 1 2 3x x x y y y≤ Bài 5:Cho n số dương 1 2, ,..., nx x x thỏa 1 2 ... 1nx x x+ + + = . Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 ... ( 0)n aa a n ix x x a > Giải:Đặt 1 ; n k k k k aa a b a= = =∑ thì 1 1 n k k b = =∑ .Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1. ... ... ( ... ) nbb b n n n n n n x x x b b bx x x x x x a a a a a a a ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤ + + + = + + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a 1 21 2 1 1 2 1 2 1 21 2 1 1 2 1 2 . ...1. ... . ... n n n aa aa a a aa a n naa a a a n a a ax x x x x x a a a aa ⇒ ≤ ⇒ ≤ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 1 ;1... i i in n x ax ixx x a a a a a ⎧ =⎪ ⇔ = ∀⎨ = = = =⎪⎩ ∑ Vậy max = 1 21 2 ... n aa a nx x x 1 2 1 2. ... n aa a n a a a a a khi ;ii ax i a = ∀ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 24 Bài 6: Cho p , q dương và 1 1 1 p q + = .CMR với mọi x , y dương ta có : p qx yxy p q ≤ + .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi p qx y= Giải : Áp dụng BĐT CôSi mở rộng ta có: 1 1 1 1 ( ) .( ) p q pp q p qp q x y x yxy x y p q p q +⎛ ⎞= ≤ + =⎜ ⎟⎝ ⎠ q + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi p qx y= Tổng quát : Với và 1 2, ,..., 0np p p > 1 1 1 n k kp= =∑ thì ( ) ( ) ( ) 1 21 21 2 11 1 1 21 2 1 2 1 2 ... ... ... n n n pp p pp p npp p n n n x x xx x x x x x p p p = ≤ + + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 2 1 2 ... n pp p nx x x= = = Bài 7:Cho p , q > 0 và p+q =1.CMR với mọi (0; ) 2 x π∈ ta có 1 1 tan cot 1p qp x q x+ ≥ Hướng dẫn: Áp dụng bài 6 Bài 8 : (BĐT Holder ) Cho ; p > 0 , q > 0 và 0; 0 ( 1,2,..., )i ix y i> > = n 1 1 1p q+ = .Ta có : www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 25 1 1 1 1 1 n n np q p q i i i i i i i x y x y = = = ⎛ ⎞ ⎛≤ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ ∑ ⎞⎟⎠ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 1 ... p p n q q n x x y y = = Chứng minh:Đặt ( ) ( )1 1A ; Bp qp qi ix y= =∑ ∑ Áp dụng bài 6 ta có : 1 1 1 1 1. . . . . p q p q i ii i i i i i p q x yx y x y x y A B p A q B AB p A q B p q ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + ⇒ ≤ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1=∑ ∑∑ Suy ra 1 1 1 1 1 n n np q p q i i i i i i i x y x y = = = ⎛ ⎞ ⎛≤ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝∑ ∑ ∑ ⎞⎟⎠ n Chú ý :Nếu p = q =2 ta được BĐT Bunhiacopxki Bài 9: (BĐT Mincopxki) Cho các số không âm và p > 1 ta có BĐT: 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,na a a b b b ( ) ( )1 11( ) p p p ppi i i ia b a b⎡ ⎤+ ≤ +⎣ ⎦∑ ∑ p∑ Chứng minh: Đặt 1 1 pq p = − > ta có 1 1 1 p q + = .Áp dụng BĐT Holder ta có : www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p i i i i i i i i p p q pp q p q i i i i i i p p p pp p p i i i i a b a a b b a b a a b b a b a b a b − − − − − + = + + + ≤ + + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ p q ( ) ( )1 111( ) pp p pp ppi i i ia b a b−−⎡ ⎤⇒ + ≤ +⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ( ) ( )1 11( ) p p pp ppi i i ia b a b⎡ ⎤⇒ + ≤ +⎣ ⎦∑ ∑ ∑ n n Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG V.1. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Cho m dãy số thực không âm: Ta có: 1 2 1 2 1 2, ,..., ; , ,..., ;...; , ,...,n na a a b b b c c c ( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2. ... . ... ... . ... ( ... )( ... )...( ... )m m m m m m m m m mn n n n n na b c a b c a b c a a a b b b c c c+ + + ≤ + + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 2 2 2: : ... : : : ... : ... : : ... :n na b c a b c a b c= = = ( Nếu m chẵn thì không vần giả thiết ai,bi,ci không âm ) Chứng minh: Giả sử ( ) ( ) ( )1 11 2 1 2 1 2... 0 ; ... 0 ; ... 0m m m m m m m m mm mn n nA a a a B b b b C c c c= + + + ≠ = + + + ≠ = + + + ≠1m (Vì nếu một trong các số A,B,C bằng 0 thì BĐT đúng ) Đặt ; ;...; ( 1, 2,..., )i i ii i i a b cx y z i n A B C = = = = .Khi đó 1 1 1 ... 1 n n n m m m i i i i i i x y z = = = = = = =∑ ∑ ∑ Theo BĐT Côsi cho m số không âm ( i=1,2,…,n) ta có: , ,...,m m mi i ix y z www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 27 m m i i i i i x y zx y z m + +≤ m i ( i=1,2,…,n) 1 1 1 1 1... ... 1 n n n n m m m i i i i i i i i i i mx y z x y z m m= = = = ⎛ ⎞⇒ ≤ + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ = 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ... ... 1 ... ... ... ... ... ( ... ... ... ... ) ( ... )( ... )...( ... ) n n n n n n m m m m m m m m m m n n n n n n a b ca b c a b c A B C A B C A B C a b c a b c a b c AB C a b c a b c a b c a a a b b b c c c ⇒ + + + ≤ ⇒ + + + ≤ ⇒ + + + ≤ + + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xi = yi =…= zi hay tức là : : ... : : : ... :i i ia b c A B C= 1 1 1 2 2 2: : ... : : : ... : ... : : ... :n na b c a b c a b c= = = n V.2.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1:CMR nếu x,y,z là 3 số không âm thì ta có : n m n m n m n m n m n mx y y z z x x y z+ ++ + ≤ + + + với m , n là 2 số tự nhiên Giải : Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... . ... ... . ... ... . ... ... n m n mn m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n mn m n m n m n m n m n m x y y z z x x x y y y yz z z zx x x y z y z x x y y z z x x y z + + + + + + + + + ++ + + + + = + + ≤ + + + + ⇒ + + ≤ + + Suy ra n m n m n m n m n m n mx y y z z x x y z+ + ++ + ≤ + + Bài 2 :Cho các số dương x,y,z và a,b,c thỏa 1a b c x y z + + = .CMR: a/ ( )32 2 2 2 2 23 3 3x y z a b c+ + ≥ + + b/ ( ) 11 1 1 nn n n n n nn n nx y z a b c ++ + ++ + ≥ + + www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 28 Giải :Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : a/ ( ) 33 32 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3 33 3 3 3 2 2 2 2 2 2( )( )( ) a a b b c ca b c x y z x x y y z z a b c a b cx y z x y z x y z x y z ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ + + + + + + = + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 2 2 2 3 31 1 1 1: : : ,a b c ax y z a x y z y x b z x = = ⇒ = = c 2 23 33 3 11 (a b c a b a c a a ab ac x y z x x b x c x = + + = + + = + + ) Khi đó : 2 23 3 33 2 23 3 33 2 23 3 33 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x a a b c y b a b c z c a b c ⎧ = + +⎪⎪ = + +⎨⎪ = + +⎪⎩ b/ ( ) 11 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1... ... ... ( )( ) n n n nn n n n nn n n nn n nn n n n n n n n n n n a b c a a b b c cx y z x x y y z z a b cx y z x y z x y z ++ + + + ++ + + ++ + + + + + = ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ + + + + = + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 11 1 1 1: : : ,n n n n na b c ax y z a x y z y x b z x + += = ⇒ = = c www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 29 Khi đó : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n n nn n n n n n nn n n n n n n nn n n n x a a b cn ny b a b c z c a b c + + + + + + + + + + + + ⎧ = + +⎪⎪ = + +⎨⎪ = + +⎪⎩ Bài 3:Cho các số dương a1,a2,…,an.CMR: 1 2 1 2... ... k k k n na a a a a a n n + + + + + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ k Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ... 1...1 1...1 ... 1...1 ... 1 1 ... 1 ... k k n n kk k k k k k k k k k n n a a a a a a a a a n a a a − − + + + = + + + ≤ + + + + + + ≤ + + + ⇒ 1 2 1 2... ... k k k n na a a a a a n n + + + + + +⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ k Dấu đẳng thức xảy ra khi và khi a1 = a2= …= an. Bài 4:Cho các số dương p , q , x , y , z .CMR với mọi số nguyên dương n ta có : 1 1n n n n nx y z x y py qz pz qx px qy p q 1nz− − −+ ++ + ≥+ + + + Giải: • Với n = 1 Áp dụng BĐT Svacxo ta có: x y z py qz pz qx px qy + ++ + + 2 2 2 2( ) ( )( ) x y z x y z 3 pxy qxz pyz qyx pzx qzy p q xy yz zx p q + += + + ≥ ≥+ + + + + + + • Với n > 1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có : www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 30 ( )21 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) n n n n n n n n x y z x yx py qz y pz qx z px qy py qz pz qx px qy − − − − − − + + ⎡ ⎤= + + + + +⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ nz + 2 2 2( ) ( ) ( ) n n n n n n x y zx py qz y pz qx z px qy py qz pz qx px qy − − − ⎡ ⎤⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ + + +⎣ ⎦ ( )21 1 1 2 2 2 2 2 2( ) ( ) n n n n n n n n n n n n x y z x y zp x y y z z x q x z y x z y py qz pz qx px qy − − − − − − − − − ⇒ + + ⎛ ⎞⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎜ ⎟⎣ ⎦ + + +⎝ ⎠ 1 1 1( )( ) n n n n n n x y zp q x y z py qz pz qx px qy − − − ⎛ ⎞≤ + + + + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ Áp dụng bài 1 ta có 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 n n n n n n n n n n x y y z z x x y z x z y x z y x y z − − − − − − − − − − + + ≤ + + + + ≤ + + 1 1 n n − − Do đó : 1 1n n n n nx y z x y py qz pz qx px qy p q 1nz− − −+ ++ + ≥+ + + + Bài 5:CMR nếu a,b,c là ba số dương và n là số nguyên dương thì ta có : 13 2 3 nn n na b c a b c b c c a a b −+ +⎛ ⎞+ + ≥ ⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠ Giải: • Với n =1 Áp dụng BĐT Svacxo ta có: 2 2 2 2( ) 2( ) 2 a b c a b c a b c b c c a a b ab ac bc ba ca cb ab bc ca + ++ + = + + ≥ ≥+ + + + + + + + 3 • Với . Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : 2n ≥ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 31 ( ) . .1...1 . .1...1 . .1...1 n n n n n n n n a b c a b cb c c a a b b c c a a b + + = ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ [ ] 2( ) ( ) ( ) (1 1 1 )n n n n n n na b c b c c a a b b c c a a b −⎛ ⎞≤ + + + + + + + + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ 1 2 1 ( ) 2 3 ( ) 2 3 n n n n n n n n n a b ca b c b c c a a b a b c a b c b c c a a b − − − ⎛ ⎞⇒ + + ≤ + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ + +⇒ ≤ + ++ + + 3 0 Bài 6: a/Cho .CMR: ,i ia b > 1 1 2 2 1 2 1 2( )( )...( ) ... ...n nn n na b a b a b a a a b b b+ + + ≥ + n n b/Cho .CMR: 0ia > ( )1 2 1 2(1 )(1 )...(1 ) 1 ... nnn na a a a a a+ + + ≥ + c/Cho .CMR: 0ia > 1 2 2 3 1 1(1 )(1 )...(1 ) 1 n na a a na na na n ⎛ ⎞+ + + ≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ Hướng dẫn: a/ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : 1 2 1 2 1 2 1 2( ... ... ) ( ... ... ) n nn n n nn n n n n n na a a b b b a a a b b b+ = + n 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) n n n n nn n n n n n n na b a b a b⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡≤ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ n ⎤⎦ 1 1 2 2( )( )...( )n na b a b a b≤ + + + ⇒ 1 1 2 2 1 2 1 2( )( )...( ) ... ...n nn n na b a b a b a a a bb b+ + + ≥ + n n www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 32 b/Áp dụng a/ bằng cách thay 1 2 ... nb b b= = = = 1 c/ Áp dụng b/ Bài 7:Cho a,b,c,x,y,z > 0 và ax+by+cz = 1.CMR: ( )11 1 1 ; 2nn n nn n n n n nx y z a b c n−− − −+ + ≥ + + ∀ ≥ Giải: Ta có: 1 = ( )nax by cz= + + ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1... . ... . ... . nn n n n n n n n na a a x b b b y c c c z− − − − − − − − −+ + ( ) ( )11 1 1 nn n n n nn n na b c x y z−− − −≤ + + + + n ⇒ ( )11 1 1 ; 2nn n nn n n n n nx y z a b c n−− − −+ + ≥ + + ∀ ≥ Bài 8 :Cho các số dương a,b,c,p,q,r,d,x,y,z thỏa điều kiện n n nax by cz d+ + = .CMR: ( )11 mnm n m n m nn mn m n mm m m mnp q r a p b q c rx y z d +++ ++ + ≥ + + với m , n nguyên dương Giải:a/ ... . ... ... . ... ... . ... m n n nn m n mn m n m n m m m m n n nn m n m n m n m n mm m m n n nn m n m n m n m n m m m p pa p ax ax x x q qb q by by y y r rc r cz cz z z + ++ + + + + + + + + + + + + = = = Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 33 ( ) ( ) nn m mm n m n m n n n nn mn m n m m m m n m m m m p q ra p b q c r ax by cz x y z p q rd x y z +++ + ⎛ ⎞+ + ≤ + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )11 mnm n m n m nn mn m n mm m m mnp q r a p b q c rx y z d +++ +⇒ + + ≥ + + Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) VI.1. BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Cho > 0,ta có BĐT : 1 2, ,..., nb b b 2 2 1 1 1 n in ii n i i i i a a b b = = = ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝≥ ∑∑ ⎠∑ .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi { }, 1,2,...,ji i j aa i j n b b = ∈ Chứng minh:Áp dụng BĐT Bunhiacopxi cho hai dãy 1 2, ,..., nb b b và 1 2 1 2 , ,..., n n a a a b b b ta có: ( )2 22 2 . . ii i ii i i ii aa a ab b b bb ⎛ ⎞ ≤ ⇒ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ib ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi { }, 1,2,...,ji i j aa i j n b b = ∈ VI.2.Bài tập áp dụng Bài 1:a/Cho > 0 .CMR: 1 2, ,..., na a a 2 1 1 1n n i i i i n a a= = ≥∑ ∑ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 34 b/ Cho ( )ib là một hoán vị của ( )ia .CMR: 2 i i i a a b ≥∑ ∑ Bài 2:Cho a,b,c là ba cạnh tam giác .CMR : a/ 2 2 2a b c a b c b c a a c b a b c + + ≥ ++ − + − + − + b/ 2 2 2a b c a b c pb qc pc qa pa qb p q + ++ + ≥+ + + + với p,q> 0 c/ 3a b c b c a a c b a b c + ++ − + − + − ≥ d/ 1 2 2 2 2 2 2 a b c b c a a c b a b c + ++ − + − + − ≥ HD : c/VT= 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c a b c a b a c b c a b c ab bc ca a b c + ++ + ≥+ − + − + − + + − − − ≥ d/ Tương tự c/ Bài 3:Cho các số dương a,b,c,d.CMR: a/ 3 2 a b c b c c a a b + + ≥+ + + b/ 3a b c pb qc pc qa pa qb p q + + ≥+ + + + ( với p,q >0 ) c/ 2a b c d b c c d d a a b + + + ≥+ + + + HD: Viết 2 ( ) a a b c a b c =+ + ,… Bài 4:Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tại M,N,P. CMR: 1 4MNP ABC S S≤ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 35 HD: 1 3 4 4 APN APN APN MNP ABC ABC BPM CMN S S SS S S S S ≤ ⇔ + + ≥ 2 2 2( ) ( ) ( ) 4 p a p b p c bc ac ab − − − 3⇔ + + ≥ Mà 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) (3 2 ) 1 ( ) 4 4 p a p b p c p p a b c bc ac ab ab bc ca ab bc ca − − − − + ++ + ≥ ≥+ + + + 3≥ Bài 6:Cho a,b,c,d dương.CMR: a/ 3 3 3 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a b b c c a 2+ ++ + ≥+ + + b/ 2 2 3 2 3 2 3 2 3 a b c d b c d c d a d a b a b c + + ++ + + + + + + + 3≥ c/ 8 3 a b b c c d d a b c d c d a d a b a b c + + + ++ + ++ + + + + + + + ≥ HD: a/ Viết 3 4 2 ( 2 a a a b a a b =+ + ) ,… b/ Viết 2 2 3 ( 2 3 a a b c d a b c d =+ + + + ) ,… c/ Viết 2( ) ( )( a b a b b c d a b b c d + +=+ + + + + ) ,… Bài 7:Cho 1 2, ,..., nx x x > 0 và 1 2, ,..., ni i ix x x là hoán vị của (xi) .CMR : 2 1 1 1 ( ) k n n k k k ki x x x n= = ≥∑ ∑ HD: 2 2 21 1 1 1 ( ) 1 ( k k n kn n k k kn k ki i i x x 1 ) n k k x x x nx = = = = ≥ = ≥ ∑∑ ∑ ∑∑ = ( theo BĐT Bunhiacopxki) Bài 8:a/ Cho x,y,z > 0 và xy+yz+zx = 1 . CMR: 3 3 3 1 2 x y z y z z x x y + + ≥+ + + www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 36 b/ Cho x,y,z,t > 0 và xy+yz+zt+tx = 1 . CMR: 3 3 3 3 1 3 x y z t y z t z x t t x y x y z + + ++ + + + + + + + ≥ c/ Cho xi > 0 và , 1 2 2 3 1... 1nx x x x x x+ + + = 1 n i i S x = =∑ CMR: 3 1 1 1 n i i i x S a n= ≥− −∑ HD:a/ Viết 3 4 ( ) x x y z x y z =+ + ,… và 2 2 2x y z xy yz zx+ + ≥ + + b/ Viết 3 4 ( ) x x y z t x y z t =+ + + + ,… và 2 2 2 23( ) 2( )x y z t xy xz xt yz yt zt+ + + ≥ + + + + + c/ 2 24 2 2 ( ) ( ) ii i i aaVT a S a S a = ≥− − ∑∑ ∑ i 2i Mà 2 2 2 2 ( 1)i iS n a S a n a≤ ⇒ − ≤ −∑ ∑ ∑ ∑ 21 1 1 1i VT a n n ⇒ ≥ ≥− −∑ ( vì ) 2 1ia ≥∑ Bài 9:Cho a,b,c > 1.CMR: a/ 2 2 8 1 1 a b b a + ≥− − b/ 2 2 2log log log 9b c aa b c a b c b a c a b c + + ≥+ + + + + HD: log log log 3b c aa b c+ + ≥ ( BĐT Côsi ) Bài 10:Cho a,b,c > 0 và abc=1.CMR: 3 3 3 1 1 1 ( ) ( ) ( )a b c b c a c a b 3 2 + + ≥+ + + HD:Đặt 1 1, ,x y z a b = = = 1 c và 2 2 2 3 2 2 x y z x y z y z z x x y + ++ + ≥ ≥+ + + www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 37 Bài 11: Cho n số dương và 1 2, ,..., na a a 1 1 n i i a = =∑ .CMR: 1 2 2 n i i i a n a n= ≥ 1− −∑ HD: 22 2 2 2 1 ( ) 1 1 12 2 2 22 n ii i i i i i i aa nVT a a a a a n n = = ≥ = ≥ =− − − − ∑∑ ∑ ∑ ∑ 1− (Vì 2 21 1i ia an ≥ ⇒ ≥∑ ∑ n ) Bài 12:Cho tam giác ABC.CMR: 2 2 2 2 9a b ch h h r bc ca ab R + + ≥ 2 HD: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (9 )a b c a b ch h h h h h r r bc ca ab ab bc ca a b c R + ++ + ≥ ≥ ≥+ + + + 29 (Vì 1 1 1 a b ch h h r + + = 1 và ) 2 2 2 2 2 2 24 (sin sin sin )a b c R A B C+ + = + + Bài 13:Cho hình hộp chữ nhật có , ,α β γ là góc của đường chéo với các cạnh có kích thước a,b,c.CMR: 4 4 4cos cos cos 1 a b c a b α β γ+ + ≥ c+ + HD: 2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = Bài 14: là các cạnh của một đa giác n cạnh chu vi là p.CMR: 1 2, ,..., na a a 1 2 2 n i i i a n p a n= ≥− −∑ HD:Viết 2 2 ( 2

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfSKKN-MOT-SO-BAT-DANG-THUC-NANG-CAO.pdf
Tài liệu liên quan