Tuyển tập phương trình - Hệ phương trình - tuyển sinh lớp 10, năm 2017 - 2018

x + 1 ) + 1 1+ x2 > 0, ∀x ∈ ( 0; 1 2 ] Bài 19. Giải phương trình: x √ 2x+ 3+ 3( √ x+ 5+ 1) = 3x+ √ 2x2 + 13x+ 15+ √ 2x+ 3. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, 2017. Lời giải. Điều kiện:  2x+ 3 ≥ 0 x+ 5 ≥ 0 2x2 + 13x+ 15 ≥ 0 ⇔ { 2x+ 3 ≥ 0 x+ 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 3 2 . Phương trình đã cho tương đương với √ 2x+ 3 (x− 1) + 3√x+ 5+ 3− 3x− √ (2x+ 3) (x+ 5) = 0 ⇔ √2x+ 3 (x− 1)− 3 (x− 1) +√x+ 5 ( 3−√2x+ 3 ) = 0 ⇔ (x− 1) (√ 2x+ 3− 3 ) − (√ 2x+ 3− 3 )√ x+ 5 = 0 ⇔ (√ 2x+ 3− 3 ) (√ x+ 5− x+ 1 ) = 0 ⇔ [√ 2x+ 3 = 3√ x+ 5 = x− 1 . Với √ 2x+ 3 = 3 ta có x = 3. Với √ x+ 5 = x− 1⇔ { x− 1 ≥ 0 x+ 5 = (x− 1)2 ⇔ { x ≥ 1 x2 − 3x− 4 = 0 ⇔ x = 4. Vậy nghiệm của phương trình là x = 3, x = 4. Bài 20. Giải phương trình (√ x+ 5−√x+ 1) (√x2 + 6x+ 5+ 1) = 4. Trích từ đề Lê Hồng Phong Nam Định vòng 2, 2017. Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ −1. Nhân hai vế với √x+ 5+√x+ 1 > 0 ta được:√ x2 + 6x+ 5+ 1 = √ x+ 5+ √ x+ 1⇔ (√ x+ 5− 1 ) (√ x+ 1− 1 ) = 0 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 8 Từ đó⇔ x = 0 hoặc x = −4 (loại). Bài 21. Giải phương trình 4x2 = (3x− 2) (√2x+ 1− 1)2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hà Tĩnh, 2017. Lời giải. Điều kiện x ≥ −1 2 . Khi đó ta có 4x2 = (3x− 2) (√ 2x+ 1− 1 )2 ⇔ (√ 2x+ 1− 1 )2 (√ 2x+ 1+ 1 )2 = (3x− 2) (√ 2x+ 1− 1 )2 ⇔ (√ 2x+ 1− 1 )2 [(√ 2x+ 1+ 1 )2 − 3x+ 2] = 0 ⇔ [√ 2x+ 1 = 1 2 √ 2x+ 1 = x− 4 Giải từng phương trình và kết hợp điều kiện ta được nghiệm là x = 0; x = 8+ 2 √ 13. Bài 22. Giải phương trình: x+ 2 √ 7− x = 2√x− 1+√−x2 + 8x− 7+ 1. Trích từ đề thi vào 10 Chuyên, Sở giáo dục Bình Phước, 2017. Lời giải. Điều kiện 1 ≤ x ≤ 7. Ta có: x+ 2 √ 7− x = 2√x− 1+ √ −x2 + 8x− 7+ 1 ⇔2(√7− x−√x− 1) + (x− 1) + √ (x− 1)(7− x) = 0 ⇔2(√7− x−√x− 1) +√x− 1(√x− 1−√7− x) = 0 ⇔(√7− x−√x− 1)(2−√x− 1) = 0 ⇔ [√ x− 1 = 2√ x− 1 = √7− x ⇔ [ x = 5 x = 4 (thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4, x = 5. Bài 23. Giải phương trình: √ x2 + 2x− x− 1+ 2 (x− 1)√ x2 + 2x = 0. Lời giải. Điều kiện: [ x < −2 x > 0 . Khi đó:√ x2 + 2x− x− 1+ 2 (x− 1)√ x2 + 2x = 0⇔ x2 + 2x− (x+ 1) √ x2 + 2x+ 2 (x− 1) = 0 ⇔ x2 + 2x− (x− 1) √ x2 + 2x− 2 √ x2 + 2x+ 2 (x− 1) = 0 ⇔ √ x2 + 2x (√ x2 + 2x− x+ 1 ) − 2 (√ x2 + 2x− x+ 1 ) = 0 ⇔ (√ x2 + 2x− 2 ) (√ x2 + 2x− x+ 1 ) = 0⇔ [√ x2 + 2x = 2√ x2 + 2x = x− 1 . ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 9 • √ x2 + 2x = 2⇔ x2 + 2x− 4 = 0⇔ [ x = −1− √ 5 x = −1+ √ 5 (TMĐK). • √ x2 + 2x = x− 1 (x ≥ 1)⇔ x2 + 2x = x2 − 2x+ 1⇔ x = 1 4 (Loại). Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { −1−√5;−1+√5 } . Bài 24. Giải phương trình: (√ 3x+ 4−√3x+ 2) (1+√9x2 + 18x+ 8) = 2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Đắk Lắk, 2017. Lời giải. Điều kiện: x ≥ −2 3 . Khi đó:(√ 3x+ 4−√3x+ 2 ) ( 1+ √ 9x2 + 18x+ 8 ) = 2 ⇔ (√ 3x+ 4−√3x+ 2 ) ( 1+ √ 9x2 + 18x+ 8 ) = (√ 3x+ 4−√3x+ 2 ) (√ 3x+ 4+ √ 3x+ 2 ) ⇔ [√ 3x+ 4−√3x+ 2 = 0 1+ √ 9x2 + 18x+ 8 = √ 3x+ 4+ √ 3x+ 2 . • √3x+ 4−√3x+ 2 = 0⇔ 2√ 3x+ 4+ √ 3x+ 2 = 0⇒ Phương trình vô nghiệm. • 1+ √ 9x2 + 18x+ 8 = √ 3x+ 4+ √ 3x+ 2 ⇔ 1+ √ (3x+ 4) (3x+ 2)−√3x+ 4−√3x+ 2 = 0 ⇔ ( 1−√3x+ 4 ) ( 1−√3x+ 2 ) = 0⇔ [√ 3x+ 4 = 1√ 3x+ 2 = 1 ⇔  x = −1 (loại) x = −1 3 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1 3 . Bài 25. Giải phương trình √ x2 + 4x+ 12 = 2x− 4+√x+ 1. Trích từ đề thi vào 10, Sở giáo dục Thái Bình, 2017. Lời giải. ĐK: x ≥ −1. Nhận thấy VP = 2x− 4+√x+ 1 > 2⇔ x > 25− √ 65 8 > 2 (*). Phương trình đã cho tương đương với√ (x− 2)2 + 8(x+ 1) = 2(x− 2) +√x+ 1 ⇔ (x− 2)2 + 8 (√ x+ 1 )2 = 4(x− 2)2 + 4(x− 2)√x+ 1+ (√ x+ 1 )2 ⇔ 3(x− 2)2 + 4(x− 2)√x+ 1− 7 (√ x+ 1 )2 = 0 ⇔ ( x− 2−√x+ 1 ) ( 3(x− 2) + 7√x+ 1 ) = 0 ⇔ x− 2−√x+ 1 = 0 do (∗) ⇔ √x+ 1 = x− 2 ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 10 ⇔ x2 − 5x+ 3 = 0⇔  x = 5−√13 2 (loại) x = 5+ √ 13 2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 5+ √ 13 2 . Bài 26. Giải phương trình √ 2x+ 1−√x− 3 = 2. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Toán Hùng Vương Phú Thọ, 2017. Lời giải. Điều kiện: x ≥ 3, ta có: (1) √ 2x+ 1 = √ x− 3+ 2 ⇔ 2x+ 1 = x− 3+ 4√x− 3+ 4 ⇔ 4√x− 3 = x ⇔ 16(x − 3) = x2 ⇔ x2 − 16x + 48 = 0 ⇔ [ x = 4 x = 12 Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện. Vậy PT đã cho có hai nghiệm x = 4; x = 12. Bài 27. Giải phương trình 3 √ x2 − 1 4 + √ x2 + x+ 1 4 = 1 2 (2x3 + x2 + 2x+ 1). Trích từ đề tuyển sinh lớp 10, chuyên Đồng Tháp, 2017. Lời giải. 3 √ x2 − 1 4 + √ x2 + x+ 1 4 = 1 2 (2x3 + x2 + 2x+ 1) ⇔ 3 √√√√x2 − 1 4 + √( x+ 1 2 )2 = 1 2 (x2+ 1)(2x+ 1)⇔  2x+ 1 ≥ 0 3 √ x2 − 1 4 + x+ 1 2 = 1 2 (x2 + 1)(2x+ 1) ⇔  x ≥ −1 2 3 √( x+ 1 2 )2 = (x2 + 1) ( x+ 1 2 ) ⇔  x ≥ −1 2( x+ 1 2 ) (x2 + 1− 3) = 0 ⇔  x ≥ −1 2 x = −12 x = ± √ 2 . Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 2 ; x = √ 2. Bài 28. Giải phương trình √ (x2 + 2x)2 + 4 (x+ 1)2 − √ x2 + (x+ 1)2 + (x2 + x)2 = 2007. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Sư phạm Hà Nội vòng 2, 2017. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 11 Lời giải. ĐKXĐ: ∀x ∈ R√ (x2 + 2x)2 + 4 (x+ 1)2 − √ x2 + (x+ 1)2 + (x2 + x)2 = 2007 ⇔ √ ((x+ 1)2 − 1)2 + 4 (x+ 1)2 − √ 1+ 2(x2 + x) + (x2 + x)2 = 2007 ⇔ √ (x2 + 2x+ 2)2 − √ (x2 + x+ 1)2 = 2007 ⇔ x2 + 2x+ 2− x2 − x− 1 = 2007 ⇔ x = 2006. Bài 29. Giải phương trình: ( x2 − 6x+ 5) (√x− 2− x+ 4) = 0. Trích từ đề thi vào 10, Trường THPT Năng Khiếu V1, 2017. Lời giải. Điều kiện xác định x ≥ 2 x2 − 6x+ 5⇔ [ x = 1 (loại) x = 5 (nhận) √ x− 2− x+ 4 = 0⇔ { x ≥ 4 x− 2 = x2 − 8x+ 16 ⇔ x = 6 Kết luận, tập nghiệm của phương trình là S = {5; 6} Bài 30. Giải phương trình √ x+ 1−√x− 7 = √12− x. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng năm 2017. Lời giải. Điều kiện của phương trình là 7 ≤ x ≤ 12. Với điều kiện đó, phương trình tương đương √ x+ 1 = √ 12− x+√x− 7 ⇔x+ 1 = 12− x+ 2√12− x√x− 7+ x− 7 ⇔x− 4 = 2√12− x√x− 7 ⇔x2 − 8x+ 16 = −4x2 + 76x− 336 ⇔5x2 − 84x+ 352 = 0 ⇔  x = 445 x = 8 Thử lại, ta được tập nghiệm của phương trình là S = { 44 5 ; 8 } . Bài 31. Giải phương trình (x+ 1)3 = (x4 + 3x3) √ x+ 3. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng, 2017. Lời giải. Điều kiện x ≥ −3. Ta có (x+ 1)3 = (x4 + 3x3) √ x+ 3⇔ (x+ 1)3 = (x√x+ 3)3 ⇔ x+ 1 = x√x+ 3. Bình phương hai vế suy ra: x2 + 2x+ 1 = x2(x+ 3)⇔ x3 + 2x2 − 2x− 1 = 0 (*) Ta có (∗)⇔ (x− 1)(x2 + 3x+ 1) = 0⇔  x = 1 x = −3±√5 2 . ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 12 Thử lại ta chọn được hai nghiệm x1 = 1, x2 = −3−√5 2 . §Hệ phương trình Bài 32. Giải hệ phương trình  4x2 = y+ 3 y 4y2 = x+ 3 x . Lời giải. ĐKXĐ: x, y 6= 0. Hệ phương trình đã cho tương đương { 4x2y = y2 + 3 (1) 4y2x = x2 + 3 (2) . Trừ hai phương trình cho nhau ta có: 4x2y− 4y2x = y2 − x2 ⇔ 4xy(x− y) + (x− y)(x+ y) = 0 ⇔ (x− y)(x+ y+ 4xy) = 0 ⇔ [ x = y x+ y+ 4xy = 0 TH1: x = y. Thay vào phương trình (1) ta có 4x3 = x2 + 3⇔ 4x3 − x2 − 3 = 0⇔ (x− 1)(4x2 + 3x+ 3) = 0 Vì 4x2 + 3x+ 3 = ( 2x+ 3 4 )2 + 39 16 > 0 nên ta có x = 1. Hệ có nghiệm (x, y) = (1, 1). TH2: x+ y+ 4xy = 0⇒ 4xy = −x− y. Thay vào phương trình (1) ta có x(−x− y) = y2 + 3⇔ x2 + xy+ y2 + 3 = 0 (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (1, 1). Bài 33. Giải hệ phương trình: { x2 + y2 − xy = 1 x+ x2y = 2y3. Lời giải. Hệ đã cho tương đương với:{ x2 + y2 − xy = 1 (1) x.1+ x2y = 2y3. (2) Từ (1) và (2) suy ra: x(x2 + y2 − xy) + x2y = 2y3 ⇔ x3 − 2y3 + xy2 = 0. Với y = 0⇒ x = 0 : không thỏa mãn hệ. Với y 6= 0, chia cả hai vế cho y3 ta được ( x y )3 − 2+ x y = 0. Đặt t = x y ta có: t3 + t− 2 = 0⇔ (t− 1)(t2 + t+ 2) = 0⇔ t = 1⇒ x = y. Do đó ta có: { x = y x2 + y2 − xy = 1 ⇔ { x = y x2 = 1 ⇔ x = y = ±1. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 13 Bài 34. Giải hệ phương trình: { x √ y+ y √ x = 6 x2y+ xy2 = 20 Lời giải. ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0. Hệ đã cho tương đương {√ xy( √ x+ √ y) = 6 xy(x+ y) = 20. Đặt {√ xy = u√ x+ √ y = v ĐK: u, v > 0. Hệ trở thành { uv = 6 u2(v2 − 2u) = 20 ⇔  v = 6 u u2 ( 36 u2 − 2u ) = 20 ⇔  v = 6 u u3 = 8 ⇔ { v = 3 u = 2 (TM) Hay {√ xy = 2√ x+ √ y = 3 ⇔  {√ x = 2√ y = 1{√ x = 1√ y = 2 ⇔  { x = 4 y = 1 (TM){ x = 1 y = 4 (TM). Bài 35. Giải hệ phương trình { x+ y+ 2xy = 2 x3 + y3 = 8 Lời giải. Đặt { S = x+ y P = x.y Điều kiện S2 ≥ 4P. Hệ phương trình đã cho trở thành { S+ 2P = 2 S ( S2 − 3P) = 8 ⇔  P = 2− S 2 S ( S2 − 6− 3S 2 ) = 8 ⇒ 2S3 + 3S2 − 6S− 16 = 0⇔ (S− 2) (2S2 + 7S+ 8) = 0⇔ S = 2⇒ P = 0. Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình:X2 − 2X = 0⇔ X = 0,X = 2. Kết luận: { x = 0 y = 2 . hoặc { x = 2 y = 0 Bài 36. Giải hệ phương trình { x3 + xy2 − 10y = 0 x2 + 6y2 = 10 . Lời giải. Dễ thấy x 6= 0 và y 6= 0. Khi đó, hệ phương trình đã cho tương đương ( x y )3 + x y = 10 y2( x y )2 + 6 = 10 y2 Trừ hai phương trình theo vế ta được ( x y )3 − ( x y )2 + x y − 6 = 0 hay x y = 2. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được y2 = 1 hay y = ±1. Từ đó x = ±2. Vậy các nghiệm của hệ phương trình đã cho là (2; 1) và (−2;−1). ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 14 Bài 37. Giải hệ phương trình { x2 + 2y = xy+ 4 x2 − x+ 3− x√6− x = (y− 3)√y− 3 (x, y ∈ R) . Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Bắc Ninh, 2017. Lời giải. Điều kiện x ≤ 6; y ≥ 3. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với (x− 2)(x+ 2− y) = 0⇔ [ x = 2 y = x+ 2 • Với x = 2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được 1 = √(y− 3)3 ⇔ y = 4. • Với y = x+ 2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được x2 − x+ 3 = (x− 1)√x− 1+ x√6− x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số thực dương ta có (x− 1)√x− 1+ x√6− x ≤ (x− 1) 2 + (x− 1) 2 + x2 + 6− x 2 = x2 − x+ 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { x− 1 = √x− 1 x = √ 6− x ⇔ x = 2 ⇒ y = 4 (thỏa mãn điều kiện). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 4) Chú ý: Có thể trình bày lời giải phương trình trên bằng cách phân tích thành tổng của các bình phương. Bài 38. Giải hệ phương trình { xy+ x+ y = x2 − 2y2 x √ 2y− y√x− 1 = 2(x− y) . Trích từ đề thi vào 10 chuyên Hùng Vương, Gia Lai, 2017. Lời giải. Điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0. Ta có: xy+ x+ y = x2 − 2y2 ⇔ (x+ y)(x− 2y− 1) = 0. (1) Do điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0 nên x+ y > 0, vì vậy (1)⇔ x = 2y+ 1. Do đó x √ 2y− y√x− 1 = 2(x− y)⇔ (y+ 1)(√2y− 2) = 0⇔ [ y = −1y = 2. Kết hợp với điều kiện x ≥ 1, y ≥ 0, ta được nghiệm của hệ phương trình là (x; y)=(5; 2). Bài 39. Giải hệ phương trình { x2 − 2xy = 2y− x x2 + 2x = 9− y . Lời giải. Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có x2 + x− 2xy− 2y = 0⇔ (x+ 1)(x− 2y) = 0⇔ [ x = −1 x = 2y ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 15 Xét x = −1 thay vào phương trình còn lại ta thu được y = 10. Xét x = 2y thay vào phương trình còn lại ta thu được 4y2+ 5y− 9 = 0⇔ [ y = 1⇒ x = 2 y = −9 4 ⇒ x = −9 2 . Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm (x; y) là (−1; 10), (2; 1), ( −9 2 ;−9 4 ) . Bài 40. Giải hệ phương trình  x2 + y2 − 4xy ( 2 x− y − 1 ) = 4(4+ xy)√ x− y+ 3 √ 2y2 − y+ 1 = 2y2 − x+ 3 . Lời giải. ĐK: x− y > 0 (**). Xét phương trình x2 + y2 − 4xy ( 2 x− y − 1 ) = 4(4+ xy) ⇔ x2 − 2xy+ y2 + 2xy− 8xy x− y − 16 = 0 ⇔ (x− y) ( (x− y)2 − 16 ) + 2xy(x− y− 4) = 0 ⇔ (x− y− 4) ( x2 + y2 + 4(x− y) ) = 0 ⇔ x = y+ 4 do (∗∗). Thay x = y+ 4 vào phương trình sau ta được 2y2 − y+ 1− 3 √ 2y2 − y+ 1− 4 = 0 ⇔  √ 2y2 − y+ 1 = −1 (loại)√ 2y2 − y+ 1 = 4 ⇔ 2y2 − y− 15 = 0⇔  y = −52 ⇒ x = 32 y = 3⇒ x = 7 Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm ( 3 2 ;−5 2 ) và (7; 3). Bài 41. Giải hệ phương trình { x3 + y3 + 1 = 3xy x2 + 2xy+ 2y2 = 5 . Lời giải. Ta có: x3 + y3 + 1 = 3xy⇔ (x+ y+ 1) [ (x− y)2 + (x− 1)2 + (y− 1)2 ] = 0⇔ [ x+ y+ 1 = 0 x = y = 1 • Rõ ràng x = y = 1 là một nghiệm của hệ. • Với x+ y+ 1 = 0 ta có y = −x− 1 thay vào phương trình còn lại ta được x2+ 2x− 3 = 0. Giải ra ta được x = 1 và x = −3. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 16 Vậy hệ có 3 nghiệm (1; 1), (1;−2), (−3, 2). Bài 42. Giải hệ phương trình: {√ x (√ x+ 2y− 3) = 0 x2 − 6xy− y2 = 6 Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ 0 và y ≥ −x 2 . √ x (√ x+ 2y− 3 ) = 0⇔ { x = 0 x+ 2y = 9 • TH1. x = 0 suy ra −y2 = 6 (loại) • TH2. x+ 2y = 9⇒ x = 9− 2y. Thay vào ta có: (9− 2y)2 − 6 (9− 2y) y− y2 = 6 ⇒ 15y2 − 90y+ 75 = 0 ⇒ { y = 5⇒ x = −1 (loại) y = 1⇒ x = 7(nhận) Vậy tập nghiệm của hệ là: (x; y) = (7; 1) Bài 43. Giải hệ phương trình sau: { x2 + y2 − xy+ 4y+ 1 = 0 y(7− x2 − y2 + 2xy) = 2(x2 + 1) . Trích từ đề thi vào 10 chuyên Thái Nguyên, 2017. Lời giải. Ta có: { x2 + y2 − xy+ 4y+ 1 = 0 y(7− x2 − y2 + 2xy) = 2(x2 + 1) (1) ⇔ { x2 + 1 = −y2 + xy− 4y y(7− x2 − y2 + 2xy) = 2(−y2 + xy− 4y) ⇔ { x2 + 1 = −y2 + xy− 4y y[15− (x− y)2 − 2(x− y)] = 0. (2) Do y = 0 không thỏa mãn hệ đã cho nên từ (2), ta có:{ x2 + 1 = −y2 + xy− 4y 15− (x− y)2 − 2(x− y) = 0 ⇔  [ x− y = −5 x− y = 3 x2 + 1 = −y2 + xy− 4y ⇔  { x− y = −5 x2 + 1 = −y2 + xy− 4y{ x− y = 3 x2 + 1 = −y2 + xy− 4y. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 17 Ta có: { x− y = −5 x+ 1 = −y2 + xy− 4y ⇔ { x = y− 5 (y− 5)2 + 1 = −y2 + (y− 5)y− 4y ⇔ { x = y− 5 y2 − y+ 26 = 0. (hệ vô nghiệm) Ta có: { x− y = 3 x2 + 1 = −y2 + xy− 4y ⇔ { x = y+ 3 (y+ 3)2 + 1 = −y2 + (y+ 3)y− 4y ⇔ { x = y+ 3 y2 + 7y+ 10 = 0 ⇔  { x = 1 y = −2{ x = −2 y = −5. Vậy nghiệm của hệ là (1;−2); (−2;−5). Bài 44. Giải hệ phương trình  x+ 2 x = 2y+ 1 y√ x− 1+√2− y = 1 . Trích từ đề thi vào 10, chuyên Vinh vòng 2, 2017. Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1, y ≤ 2, y 6= 0. Phương trình đầu tương đương với x2y+ 2y = 2y2 + x ⇔ (x− 2y)(xy− 1) = 0⇔ { x− 2y = 0 xy− 1 = 0 . Với x = 2y, thay vào phương trình còn lại ta được√ 2y− 1+√2− y = 1⇔ 2√(2y− 1)(2− y) = −y (Vô nghiệm). Với y = 1 x , thay vào phương trình còn lại ta được √ x− 1+ √ 2− 1 x = 1. Vì x ≥ 1 nên VT ≥ 1 = VP, do đó x = 1. Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (1; 1). Bài 45. Giải hệ phương trình { x2 − 4xy+ x+ 4y = 2 x2 − y2 = −3 . Lời giải. Ta viết phương trình thứ nhất của hệ như sau x2 + x− 2− 4xy+ 4t = 0 hay (x− 1)(x+ 2)− 4y(x− 1) = 0 Suy ra (x− 1)(x+ 2− 4y) = 0, dẫn tới x = 1 hoặc x = 4y− 2. Với x = 1 thay vào phương trình thứ hai ta có y = ±2. Với x = 4y− 2 thay vào phương trình thứ hai ta được 15y2 − 16y+ 7 = 0. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 18 Ta thấy phương trình này vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (1; ±2). Bài 46. Giải hệ phương trình:  4 √ x+ 1− xy √ y2 + 4 = 0√ x2 − xy2 + 1+ 3√x− 1 = xy2 . Lời giải. Điều kiện { x ≥ 1 x2 − xy2 + 1 ≥ 0 , kết hợp với phương trình (1), ta có: y > 0. Từ (1), ta có: 4 √ x+ 1− xy√y2 + 4 = 0⇔ 4√x+ 1 = xy√y2 + 4 ⇔ 16(x+ 1) = x2y2(y2 + 4)⇔ (y4 + 4y2)x2 − 16x− 16 = 0. Giải phương trình theo ẩn x ta được x = 4 y2 hoặc x = −4 y2 + 4 < 0 (loại). Với x = 4 y2 ⇔ xy2 = 4 thế vào phương trình (2), ta được: √x2 − 3+ 3√x− 1 = 4. Điều kiện x ≥ √3, ta có:√ x2 − 3+ 3√x− 1 = 4 ⇔( √ x2 − 3− 1) + 3(√x− 1− 1) = 0 ⇔ x 2 − 4√ x2 − 3+ 1 + 3(x− 2)√ x− 1+ 1 = 0 ⇔(x− 2) ( x+ 2√ x2 − 3+ 1 + 3√ x− 1+ 1 ) = 0 ⇔x− 2 = 0 ( vì x+ 2√ x2 − 3+ 1 + 3√ x− 1+ 1 > 0 ) ⇔ x = 2. Với x = 2 ta có { y2 = 2 y > 0 ⇔ y = √2. Kết hợp với điều kiện trên, hệ phương trình có nghiệm (2, √ 2). Bài 47. Giải hệ phương trình { x2 − 2y2 = xy+ x+ y x √ 2y− y√x− 1 = 4x− 4y. Lời giải. Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 0. Phương trình thứ nhất trong hệ tương đương với x2 − xy− 2y2 − (x+ y) = 0⇔ (x+ y)(x− 2y− 1) = 0⇔ [ x = −y x = 2y+ 1  Trường hợp 1: x = −y Từ điều kiện của bài toán x ≥ 1⇒ −y ≥ 1⇔ y ≤ −1. Mặt khác y ≥ 0. Do đó hệ vô nghiệm.  Trường hợp 2: x = 2y+ 1, thay vào phương trình thứ 2 trong hệ ta được (2y+ 1) √ 2y− y√2y = 4(2y+ 1)− 4y ⇔(y+ 1)√2y = 4(y+ 1) ⇔√2y = 4(do y+ 1 > 0)⇔ y = 8 Khi đó hệ có nghiệm (x; y) = (17; 8). ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 19 Bài 48. Giải hệ phương trình { x2 + xy− 2y2 = 0 (1) xy+ 3y2 + x = 3 (2) Lời giải. Phương trình (1) ⇔ (x2 − y2) + y(x − y) = 0 ⇔ (x − y) (x+ 2y) = 0, ta được x = y hoặc x = −2y • Với x = y, từ (2) ta có: 4x2 + x − 3 = 0, ta được x1 = −1, x2 = 34 . Khi đó, x1 = y1 = −1, x2 = y2 = 34 . • Với x = −2y, từ (2) ta có y2 − 2y− 3 = 0, ta được y1 = −1, y2 = 3 Nếu y = −1⇒ x = 2. Nếu y = 3⇒ x = −6. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (−1;−1); ( 3 4 ; 3 4 ) ; (2;−1); (−6; ). Bài 49. Giải hệ phương trình { x2 + y2 + xy = 1 2x6 − 1 = xy(2x2y2 − 3) . Lời giải. Ta có 2x6 − 1 = xy(2x2y2 − 3)⇔ 2x6 = 2xy ( x2y2 − 1 ) − xy+ 1 ⇔ 2x6 = (xy− 1) ( 2x2y2 + 2xy− 1 ) ⇔ 2x6 = (xy− 1) [ 3x2y2 − (xy− 1)2 ] ⇔ 2x6 = (−x2 − y2) [ 3x2y2 − ( x2 + y2 )2] do x2 + y2 + xy = 1 ⇔ 2x6 = x6 + y6 ⇔ x6 = y6 ⇔ [ x = y x = −y. Với x = y ta có 3x2 = 1 nên hệ phương trình có hai nghiệm (√ 3 3 ; √ 3 3 ) và ( − √ 3 3 ;− √ 3 3 ) . Với x = −y ta có x2 = 1 nên hệ phương trình có hai nghiệm (1;−1) và (−1; 1). Bài 50. Giải hệ phương trình:  x2 + 4y− 13+ (x− 3) √ x2 + y− 4 = 0 (x+ y− 3)√y+ (y− 1)√x+ y+ 1 = x+ 3y− 5 . Lời giải. Điều kiện:  y ≥ 0 x+ y+ 1 ≥ 0 x2 + y− 4 ≥ 0 . ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 20 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với (x+ y− 3)(√y− 1) + (y− 1)(√x+ y+ 1− 2) = 0 ⇔ (x+ y− 3)(y− 1)√ y+ 1 + (x+ y− 3)(y− 1)√ x+ y+ 1+ 2 = 0 ⇔ (x+ y− 3)(y− 1) ( 1√ y+ 1 + 1√ x+ y+ 1+ 2 ) = 0⇔ [ y = 1 y = 3− x . Với y = 1, thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được (x2 − 9) + (x− 3) √ x2 − 3 = 0, Hay (x− 3)(x+ 3+ √ x2 − 3) = 0⇔ [ x− 3 = 0 x+ 3+ √ x2 − 3 = 0 . Thay y = 3− x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: x2 − 4x− 1+ (x− 3) √ x2 − x− 1 = 0, Hay (x2 − x− 1)− (3− x) √ x2 − x− 1− 3x = 0⇔ [√ x2 − x− 1 = 3√ x2 − x− 1 = −x . Giải các phương trình này ta được x = 1−√41 2 ⇒ y = 5+ √ 41 2 và x = −1⇒ y = 4. Vậy nghiệm của hệ là (3; 1), (−1; 4), ( 1−√41 2 ; 5+ √ 41 2 ) . Bài 51. Giải hệ phương trình { x+ y = √ x+ 3y x2 + y2 + xy = 3. Trích từ đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội vòng 2, 2017. Lời giải. Điều kiện xác định : x+ y ≥ 0, x+ 3y ≥ 0.{ x+ y = √ x+ 3y x2 + y2 + xy = 3 ⇔ { x2 + y2 + 2xy = x+ 3y x2 + y2 + xy = 3 ⇔ { (x− 3)(y− 1) = 0 x2 + y2 + xy = 3 • Với x = 3, y2 + 3y+ 6 = 0 (vô nghiệm). • Với y = 1, x2+ x− 2 = 0⇔ x = 1, x = −2, ta loại nghiệm x = −2 do x+ y = −2+ 1 < 0. Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (1; 1). Bài 52. Giải hệ phương trình { 5x+ √ x+ 12− 2y = −2 (1) 2x+ 6 √ x+ 12+ 3y = −3 (2) Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang, 2017. ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 21 Lời giải. Điều kiện: x ≥ −12. Nhân 3 vào hai vế của (1) và nhân 2 vào hai vế của (2) rồi cộng lại, ta được 19x+ 15 √ x+ 12+ 12 = 0 Đặt t = √ x+ 12 ≥ 0 ta được phương trình 19t2 + 15t− 216 = 0⇔ t = 3, t = −72 19 . Ta nhận t = 1⇒ x = −3⇒ y = −5. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (−3;−5). Bài 53. Giải hệ phương trình { x3 − 3x = y3 + y (1) x2 = y2 + 3 (2) . Lời giải. Dễ thấy với y = 0 khi và chỉ khi x2 − 3 = 0 hay x = ±√3. Xét y 6= 0. Thay x2 − 3 = y2 vào (1) ta được xy = y2 + 1 hay x − y = 1 y (3). Thay (3) vào (2) với chú ý (2) tương đương (x− y)(x+ y) = 3, ta được x = 2y. Kết hợp (3) ta được y = ±1. Do đó x = ±2. Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm (√ 3; 0 ) , ( −√3; 0 ) , (2; 1) và (−2;−1). Bài 54. Giải hệ phương trình { 6x+ 4y+ 2 = (x+ 1)2 6y+ 4x− 2 = (y− 1)2. Lời giải. Xét hệ phương trình { 6x+ 4y+ 2 = (x+ 1)2 (1) 6y+ 4x− 2 = (y− 1)2. (2) Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta được: 6x+ 4y+ 2− 6y− 4x+ 2 = (x+ 1)2 − (y− 1)2 ⇔2x− 2y+ 4 = (x+ 1)2 − (y− 1)2 ⇔2(x− y+ 2) = (x+ y)(x− y+ 2) ⇔(x− y+ 2)(x+ y− 2) = 0 ⇔ [ y = x+ 2 y = 2− x. • Trường hợp 1: y = x+ 2, thay vào (1) ta được: x2 − 8x− 9 = 0⇔ [ x = −1 x = 9. Với x = −1 ta được y = 1. Với x = 9 ta được y = 11. • Trường hợp 2: y = 2− x, thay vào (1) ta được: x2 = 9⇔ [ x = 3 x = −3. Với x = 3 ta được y = −1. Với x = −3 ta được y = 5. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (−1; 1), (9; 11), (3;−1), (−3; 5). Bài 55. Giải hệ phương trình: { 2x3 + x2y+ 2x2 + xy+ 6 = 0 x2 + 3x+ y = 1 (I). ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 22 Lời giải. Ta có (I)⇔ { (x2 + x)(2x+ y) = −6 (x2 + x) + (2x+ y) = 1 Đặt u = x2 + x; v = 2x+ y. Hệ đã cho trở thành: { uv = −6 u+ v = 1 ⇔  { u = −2 v = 3{ u = 3 v = −2 • Với { u = −2 v = 3 ⇒ { x2 + x = −2 2x+ y = 3 . Hệ PT này vô nghiệm. • Với { u = 3 v = −2 ⇒ { x2 + x = 3 2x+ y = −2 ⇔ { x2 + x− 3 = 0 y = −2x− 2 ⇔  x = −1−√13 2 y = √ 13− 1 ;  x = −1+√13 2 y = − √ 13− 1 . Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm ( −1−√13 2 ; √ 13− 1 ) ; ( −1+√13 2 ;−√13− 1 ) . Bài 56. Giải hệ phương trình {√ 2x+ √ 2y = 6√ 2x+ 5+ √ 2y+ 9 = 8 . Lời giải. Đặt √ 2x = a ≥ 0;√2y = b ≥ 0 ta có hệ { a+ b = 6(1)√ a2 + 5+ √ b2 + 9 = 8(2) . Thay a = 6− b từ (1) vào (2) ta được√ (6− b)2 + 5 = 8− √ b2 + 9 ⇔ (6− b)2 + 5 = 64− 16 √ b2 + 9+ b2 + 9 ⇔ 4 √ b2 + 9 = 8+ 3b ⇔ 7b2 − 48b+ 80 = 0 ⇔  b = 4 b = 20 7 . Suy ra  (a; b) = (2; 4) (a; b) = ( 22 7 ; 20 7 ) . Vậy  (x; y) = (2; 8) (x; y) = ( 242 49 ; 200 49 ) . Bài 57. Giải hệ phương trình: { |x− 1|+ 2√y+ 2 = 5 3 √ y+ 2− |x− 1| = 5 . Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, 2017. Lời giải. Giải hệ phương trình: { |x− 1|+ 2√y+ 2 = 5 3 √ y+ 2− |x− 1| = 5 . Đặt A = |x− 1| ≥ 0; B = √y+ 2 ≥ 0. Ta có: { A+ 2B = 5 3B− A = 5 ⇔ { A+ 2B = 5 −A+ 3B = 5 ⇔ { A = 1 B = 2 . ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 23 Do đó: { |x− 1| = 1√ y+ 2 = 2 ⇔ { |x− 1| = 1 y+ 2 = 4 ⇔  [ x− 1 = 1 x− 1 = −1 y = 2 ⇔  [ x = 2 x = 0 y = 2 . Vậy (x; y) = {(2; 2), (0; 2)} là nghiệm của hệ. Bài 58. Giải hệ phương trình { x2 + 9y2 + 8xy+ 24 = 0 x− 3y+ xy = 0 . Lời giải. { x2 + 9y2 + 8xy+ 24 = 0 x− 3y+ xy = 0 ⇔ { (x− 3y)2 + 14xy+ 24 = 0 (x− 3y) + xy = 0 . Đặt a = x− 3y, b = xy. Hệ phương trình trở thành { a2 + 14b+ 24 = 0 (1) a+ b = 0 (2) (2)⇒ b = −a. Thay vào phương trình (1) ta được a2 − 14a+ 24 = 0⇔ a = 2 hoặc a = 12. • Với a = 2⇒ b = −2. Ta có { x− 3y = 2 xy = −2 ⇔ { x = 3y+ 2 3y2 + 2y+ 2 = 0 (Vô nghiệm). • Với a = 12⇒ b = −12. Ta có { x− 3y = 12 xy = −12 ⇔ { x = 3y+ 12 y2 + 4y+ 4 = 0 ⇔ { x = 6 y = −2 . Vậy nghiệm của hệ là (6;−2). Bài 59. Giải hệ phương trình:  x2−|x| =|yz| y2−|y| =|xz| z2−|z| =|yx| Lời giải.  x2−|x| =|yz| y2−|y| =|xz| z2−|z| =|yx| ⇔  |x|(|x| − 1) =|yz| |y|(|y| − 1) =|xz| |z|(|z| − 1) =|yx| ⇒|xyz| = (|x| − 1)(|y| − 1)(|z| − 1)(xyz 6= 0)(vô lý). Lại có (x, y, z) = (0, 0, 0) là một nghiệm của hệ. Với mọi (x, y, z) = (0, a, b) hoặc (x, y, z) = (0, 0, b) đều không thoả mãn hệ; vai trò của x,y,z như nhau. Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (0, 0, 0). Bài 60. Giải hệ phương trình { 2 √ x+ 3y+ 2− 3√y = √x+ 2 x2 − 3x− 4√y+ 10 = 0 Lời giải. Điều kiện xác định: x ≥ −2, y ≥ 0 . Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có √ 3. √ 3y + √ x+ 2 ≤ √(3+ 1)(3y+ x+ 2), cho nên phương trình thứ nhất tương đương với √ y = √ x+ 2, thay vào phương trình thứ hai ta được x2 − 3x − 4√x+ 2+ 10 = 0 ⇔ (x − 2)2 + (x− 2) 2 x+ 6+ 4 √ x+ 2 = 0 ⇔ (x − 2)2 = 0 hoặc 1+ 1 x+ 6+ 4 √ x+ 2 = 0 (vô nghiệm do x+ 2 ≥ 0). Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (2; 4). ? Tuyển tập PT - HPT kì thi TUYỂN SINH 10 năm 2017-2018 ? by Mr. Cuong T A o M Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang 24 §Các vấn đề nghiệm nguyên Bài 61. a) Cho n = 2018.20172016 − 112017 − 62016. Chứng minh n chia hết cho 17. b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: