Khóa luận Tăng cường hoạt động nhận thức của học sinh thông qua dạy học chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hình học 10

ơng trình: 1∆ : 0111 =++ cybxa 2∆ : 0222 =++ cybxa Khi đó hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó có phương trình 0 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 =+ ++−+ ++ ba cybxa ba cybxa và 0 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 =+ ++++ ++ ba cybxa ba cybxa 2. Góc giữa hai đường thẳng: Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b. Hay đơn gảin hơn là góc giữa a và b. Kí hiệu: (a, b) Khi a // b hoặc a ≡b, ta qui ước góc giữa chúng bằng 0. 3. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình: 1∆ : 0111 =++ cybxa 2∆ : 0222 =++ cybxa Khi đó cosin của góc tạo bởi 21,∆∆ được tính theo công thức: Cos ( 21,∆∆ ) = ),cos( . 212 2 2 2 2 1 2 1 2121 nn baba bbaa rr=++ + Với 21,nn rr là hai vectơ pháp tuyến tương ứng của 21,∆∆ . B - HỆ THỐNG BÀI TẬP Bài 1: Lập phương tình tổng quát của đường thẳng (d) trong mỗi trường hợp sau: Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 25 a. (d) đi qua điểm M (2; 1) và có vectơ chỉ phương ar = (7; 3) b. (d) đi qua điểm N (-5; -8) và có hệ số góc k = -3 Hướng dẫn và giải a/. VTCP của đường thẳng (d) là da r = (7; 3) Suy ra VTPT của (d) là: dn r = (3; -7) Vậy phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M (2; 1) và nhận dn r = (3; -7) làm vectơ pháp tuyến là: 3(x – 2) – 7(y – 1) = 0 ⇔ 3x – 7y + 1 = 0 b/. Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k là: y = kx + m Ta có: k = – 3 => (d): y = -3x + m Do N ∈ (d) => -8 = -3(-5) + m Từ đó suy ra: m = -23 Vậy phương tình tổng quát của (d) là: y = -3x – 23 Hay 3x + y + 23 = 0 Bài 2: Cho điểm M ( 1; 2). Lập phương trình của đường thẳng (∆ ) đi qua điểm M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau. Hướng dẫn giải Gọi (∆ ) là đường thẳng qua M (1; 2) và chắn trên hai trục tọa độ những đoạn bằng nhau. Phương trình đường thẳng (∆ ) theo đoạn chắn có dạng: 1=+ b y a x Với ⎢⎣ ⎡ −= =⇒= ba ba ba - - - O 1 3-1 1 2 3 y x M (1 ; 2) 2x – y = 0 x – y + 1 = 0 x + y – 3 = 0 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 26 ƒ a = b => x +y = a thế tọa độ điểm M (1; 2) vào phương trình ta được a = 1 + 2 = 3 Vậy ( 1∆ ): x + y – 3 = 0 ƒ a = - b => x – y = a thế tọa độ điểm M (1; 2) vào phương trình ta được a = 1 -2 = - 1 Vậy ( 2∆ ): x – y + 1 = 0 Trường hợp đặc biệt khi 0== ba Khi đó (∆ ) đi qua O (0; 0) và M (1; 2) Ta có PTTS của ( 3∆ ): ⇔− −=− − 02 0 01 0 yx 2x – y = 0 Vậy có 3 đường thẳng (∆ ) đi qua M (1; 2) và chắn trên 2 trục tọa độ những đoạn bằng nhau là: ( 1∆ ): x + y – 3 = 0 ( 2∆ ): x – y + 1 = 0 ( 3∆ ): 2x – y = 0 Bài 3: Cho ∆ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là: AB: 2x – 3y – 1= 0 BC: x + 3y + 7 = 0 CA: 5x – 2y + 1 = 0 Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B. Hướng dẫn giải - Đường cao BH AC nên nhận AC hoặc vectơ chỉ phương của AC làm VTPT. - Đường cao BH qua điểm B là giao điểm của AB và BC. Giải Cách 1: Do BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥AC. Vì BH ⊥AC nên đường cao BH nhận AC làm vectơ pháp tuyến. H A B C Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 27 Vì AB ∩AC = {A} nên tọa độ của điểm A thỏa mãn hệ phương trình: ) 11 7; 11 5( 11 7 11 5 0125 0132 −−⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= −= ⇒⎩⎨ ⎧ =+− =−− A y x yx yx Vì BC ∩ AC = {C} nên tọa độ của điểm C thỏa mãn hệ phương trình: )2;1( 2 1 0125 073 −−⇒⎩⎨ ⎧ −= −=⇒⎩⎨ ⎧ =+− =++ C y x yx yx Vậy AC = ( ) 11 15; 11 6 −− Tương tự BC ∩AB = {B} suy ra B (-2; - ) 3 5 Vậy phương trình đường cao BH đi qua điểm B (-2; - ) 3 5 và nhận AC = ( ) 11 15; 11 6 −− làm vectơ pháp tuyến là: – 11 6 (x + 2) – 11 15 (y + 3 5 ) = 0 ⇔ – 6x – 12 – 15y – 25 = 0 ⇔ 6x + 15y + 37 = 0 Cách 2: ƒ Do BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥AC. ƒ Vậy đường cao BH nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng AC làm VTPT. VTPT của đường thẳng AC là: )2;5( −=ACnr Suy ra VTCP của đường thẳng AC là: )5;2(=ACur ƒ Do B là giao điểm của hai đường thẳng AB và BC nên tọa độ giao điểm của B là nghiệm của hệ phương trình: ) 3 5;2( 3 5 2 073 0132 −−⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −= ⇒⎩⎨ ⎧ =++ =−− B y x yx yx Vậy phương trình đường cao BH qua điểm B (-2; - 3 5 ) và nhận )5;2(=ACur làm VTPT là: 2(x + 2) + 5(y + 3 5 ) = 0 ⇔ 6x + 15y + 37 = 0 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 28 Bài 4: Cho ∆ABC có phương trình 3 cạnh AB: 2x + y + 4 = 0 AC: 2x – y – 4 = 0 BC: x + 2y – 7 = 0 Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ba điểm H, G, O có thẳng hàng không ? Tìm hệ thức liên hệ giữa GH và GO. Hướng dẫn giải: - Vẽ hình minh họa bài toán: - Dự đoán 3 điểm O, H, G thẳng hàng Và GH = 2 GO. - Như vậy cần xác định tọa độ của O, G, H Và chứng minh: GH = 2 OG Giải: Dễ dàng xác định tọa độ 3 điểm A, B, C là: A (0; - 4); B (-5; 6); C (3; 2) Gọi H (x, y) là trực tâm của ∆ABC Ta có: =AH (x; y + 4), )6;3(=AC =BH (x + 5; y – 6), )4;8( −=BC Vì H là trực tâm nên: ⎩⎨ ⎧ = =⇔⎩⎨ ⎧ =−+ =−−⇔⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = 2 3 02163 01648 0. 0. y x yx yx ACBH BCAH => H (3; 2) Trọng tâm G = ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=++−+− 3 4; 3 2 3 264; 3 350 Gọi O (x0, y0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, khi đó: ( ) )1; 2 5( 1 2 5 3126 452010 )2()3()4()0( )6()5()4(0 0 0 00 00 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 22 22 −⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −=⇔ ⎩⎨ ⎧ −=+ =+−⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −+−=++− −++=++−⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = O y x yx yx yxyx yxyx OCOA OBOA G H B A O C Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 29 => GH = 2 OG Suy ra 3 điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO. Bài 5: Cho 2 đường thẳng 1∆ : x + 2y – 3 = 0 2∆ : 3x – y + 2 = 0 Viết phương trình đường thẳng (∆ ) đi qua điểm P (3; 1) và cắt 1∆ , 2∆ lần lượt ở A, B sao cho (∆ ) tạo với 1∆ và 2∆ một tam giác cân có cạnh đáy là AB. Hướng dẫn giải - Gọi O là giao điểm của 1∆ và 2∆ - ∆ OAB cân tại O nên (∆ ) sẽ vuông góc với các đường phân giác của góc AOB P 2 1 A B O Giải Gọi O là giao điểm của 1∆ và 2∆ Phương trình các đường phân giác góc O là: ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−−=−+ +−=−+ 10 23 5 32 10 23 5 32 yxyx yxyx ( ) ( )( ) ( )⎢⎢⎣ ⎡ =+−−++ =−−++−⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ +−−=−+ +−=−+⇔ 022312232 022312232 )23()32(2 )23()32(2 yx yx yxyx yxyx Do đường thẳng (∆) đi qua điểm P (3; 1) và vuông góc với các đường phân giác nói trên nên có phương trình là: ⎢⎢⎣ ⎡ =+−+−− =+−−++ 0625)32()122( 0)625()23()122( yx yx Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 30 Cách khác Phương trình của (∆ ) có dạng:a(x – 3) + b(y – 1) = 0 (a2 + b2 ≠ 0) hay ax + by – (3a + b) = 0 ( 1∆ ): x + 2y – 3 = 0 ( 2∆ ): 3x – y + 2 = 0 VTPT của ∆ , 1∆ , 2∆ lần lượt là: nr = (a; b), 1nr = (1; 2), 2nr = (3; -1) Tam giác ABC là tam giác cân có cạnh đáy AB, nên: BA ˆˆ = hay (∆ , 1∆ ) = (∆ , 2∆ ) (góc nhọn) => Cos (∆ , 1∆ ) = Cos (∆ , 2∆ ) 10 3 5 2 . . . . 2 2 1 1 baba nn nn nn nn −=+⇔=⇔ rr rr rr rr ⎢⎢⎣ ⎡ −−=+ −=+⇔ −=+⇔ )3()2(2 3)2(2 3)2(2 baba baba baba ⎢⎢⎣ ⎡ −=+ +=−⇔ ba ba )221()23( )122()23( ƒ Với ba )122()23( +=− , chọn b = )23( − Ta có: 122 +=a Vậy phương trình của ∆ là: 0)625()23()122( =+−−++ yx ƒ Với ba )221()23( −=+ , chọn b = )23( + , Ta có: 221−=a Vậy phương trình của (∆ ) là: 0625)32()122( =+−+−− yx Bài 6:. Tìm điểm M trên đường thẳng (∆): x – y + 2=0 cách đều hai điểm E (0; 4) và F (4; -9) Hướng dẫn giải M I E F d ∆ Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 31 - Kiểm tra được E (0; 4) và F (4; -9) không thuộc (∆) - M cách đều 2 điểm E và F M nằm trên đường trung trực (d) của EF. Vậy {M} = (∆) ∩ (d) Hoặc: M ∈ (∆) => tọa độ M thỏa mãn phương trình (∆) ME = MF =>M? Giải Cách 1: Kiểm tra được E (0; 4) và F (4; -9) không thuộc (∆) Ta có: EF = (4; -13) Gọi I là trung điểm của EF => I = (2; 5 2 − ) Gọi (d) là đường trung trực của đoạn thẳng EF Suy ra (d) đi qua điểm I và nhận EF làm VTPT. Vậy phương trình đường thẳng (d) là: 4(x – 2) – 13(y 5 2 + ) = 0 4x – 13y – 2 81 = 0 8x – 26y – 81 = 0 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= −= ⇔ ⎩⎨ ⎧ =−− =+− 18 97; 18 133 18 97 18 133 081268 02 M y x yx yx Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng (∆ ) là: (∆ ):⎩⎨ ⎧ +−= = tx ty 2 M ∈ (∆ ) => M(-2 + t; t), t∈R Theo giả thiết: ME = MF ⇔ ME2 = MF2 ⇔ ( –2 + t)2 + (4 – t)2 = (4 + 2 – t)2 + (– 9 – t)2 ⇔ 4 – 4t + t2 + 16 – 8t + t2 = 36 – 12t + t2 + 81 + 18t + t2 ⇔ 18t + 97 = 0 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 32 ⇔ t = 18 97− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−⇒ 18 97; 18 133M Bài 7: Cho A (1; 2) và (d): 2x – 6y + 3 = 0. Tìm trên (d) 2 điểm B, C sao cho ∆ABC vuông cân tại A. Hướng dẫn giải: • Lập phương trình qua A sao cho góc hợp bởi đường thẳng đó với (d) là 450 ∆ABC vuông cân tại A AB = AC = AH 2 • Tìm trên (d) điểm M sao cho MA = AH 2 bằng cách chuyển (d) về PTTS. Giải Cách 1: Gọi nr = (a, b), (a2 + b2 ≠ 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng (∆ ) qua A và hợp với (d) một góc 450 (∆ ): a(x – 1) + b(y – 2) = 0 ⇔ ax + by – a – 2b = 0 Cos(d, ∆ ) = 2 2 . . 2 2 =⇔ ∆ ∆ nn nn d d rr rr (với );( )6;2( ban nd = −= ∆ r r ) ⎢⎢⎣ ⎡ = −= ⇔=−+⇔=−++ −⇔ 2 2 0232 2 2 )6(2 62 22 2222 ba ba baba ba ba • Với a = -2b chọn ⇒⎩⎨ ⎧ = −= 1 2 b a AB: -2x + y = 0 ⇒Tọa độ B là nghiệm của hệ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇒⎩⎨ ⎧ =+− =+− 5 3; 10 3 0362 02 B yx yx • Với a = 2 b chọn ⇒⎩⎨ ⎧ = = 2 1 b a AC: x + 2y – 5 = 0 ⇒Tọa độ C là nghiệm của hệ: C A (1; 2) B H 450 45 0 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 33 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇒⎩⎨ ⎧ =+− =−+ 10 13; 5 12 0362 052 C yx yx Cách 2: Phương trình tham số của (d) là: )( 3 2 3 Rt ty tx ∈ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = +−= M ∈ (d) ⇔ M ( Rttt ∈+− ),;3 2 3 d(A, d) = 102 7 )6(2 3122 22 =−+ +− = AH Do ∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC = AH 2 = 52 7 Ta tìm điểm M ∈ (d) sao cho AM = 52 7 ( ) 20 4923 2 5 20 49 2 2 2 =−+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⇔ =⇔ tt AM ⇔ 200t2 – 380t + 156 = 0 ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⇒ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = = ⇔ 5 3; 10 3 10 13; 5 12 5 3 10 13 M M t t Vậy B = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 5 3; 10 3 và C = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 10 13; 5 12 Trong bài toán này ta có thể thay đổi tọa độ của B và C cho nhau. Bài 8. Cho 3 điểm A (m; 5 – m), B (1; 2), C (3; 4). Khi m thay đổi có nhận xét gì độ dài AB, AC. Từ đó kết luận gì về điểm A của ∆ABC. Hướng dẫn giải Ta có: AB uuur = (1 – m; –3 + m) AC uuur = (3 – m; m – 1) 22 )3()1( −+−==⇒ mmACAB Suy ra ∆ABC luôn cân tại A khi m thay đổi nên A luôn nằm trên đường trung trực của BC. Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 34 Bài 9 Cho A (3; 1), B (4; -3). Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA2 + MB2 = 45 Hướng dẫn giải Gọi (L) là quỹ tích cần tìm, giả sử M (x; y) MA2 = x2 + y2 – 6x – 2y + 10 MB2 = x2 + y2 – 8x + 6y + 25 M (x; y) ∈ (L) ⇔ MA2 + MB2 = 45 ⇔ x2 + y2 – 7x + 2y – 5 = 0 Vậy: Tập hợp các điểm M thỏa MA2 + MB2 = 45 nằm trên đường cong (L) có phương trình: x2 + y2 – 7x + 2y – 5 = 0 CHỦ ĐỀ 2: ĐƯỜNG TRÒN A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương trình đường tròn Trên mặt phẳng tọa độ, đường tròn (C) có tâm I (a; b) bán kính R (R > 0) có phương trình là: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 2. Nhận dạng phương trình đường tròn Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 > c, là phương trình đường tròn tâm I (-a;- b), bán kính R = cba −+ 22 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Cho điểm M (x0; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I (a; b). Gọi (∆ ) là tiếp tuyến của (C) tại M. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là đường thẳng qua điểm M và nhận vectơ IM = (x0 – a; y0 – b) làm VTPT. Phương trình (∆ ) là: (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0 B – HỆ THỐNG BÀI TẬP Bài 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn? Tìm tâm và bán kính? a. x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 b. x2 + y2 – 4x – 2y + 2007 = 0 c. 2x2 + 2y2 – 3x – y – 3 = 0 d. x2 + 2y2 – 2x + 4y + 2 = 0 I (a; b) M (x0; y0) (C) ∆ Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 35 Hướng dẫn giải - Đưa phương trình đã cho về dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 Khi đó tâm I (a, b), bán kính R > 0. - Hoặc đưa phương trình về dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, với a2 + b2 > c. Khi đó: tâm I (-a;- b), bán kính R = cba −+ 22 Giải a/. x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0 (C1) (C1) có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 Với: 2 2 1 2 4 2 4 4 a a b b c c = − = −⎧ ⎧⎪ ⎪= − ⇒ = −⎨ ⎨⎪ ⎪= − = −⎩ ⎩ Ta có: R2 = a2 + b2 – c = 12 + 22 + 4 = 9 Vậy (C1) có tâm I (1; 2), bán kính R = 3 b/. x2 + y2 – 4x -2y + 2007 = 0 (C2) (C2) có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 Với 2 4 2 2 2 1 2007 2007 a a b b c c = − = −⎧ ⎧⎪ ⎪= − ⇒ = −⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎩ ⎩ Ta có: a2 + b2 – c = 22 + 12 – 2007 = -2002 < 0. Suy ra (C2) không phải là phương trình đường tròn. c/. 2x2 + 2y2 – 3x – y – 3 = 0 (C3) (C3) có thể viết lại: x2 + y2 2 3− x 2 1− y 2 3− = 0 (C3) có dạng x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 Với 3 32 2 4 1 12 2 4 3 3 2 2 a a b b c c ⎧ ⎧= − = −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= − ⇒ = −⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪= − = −⎪ ⎪⎩ ⎩ Ta có R2 = a2 + b2 – c = 0 16 34 2 3 16 1 16 9 >=++ Vậy (C3) có tâm I ( 4 3 ; 2 1 ), bán kính R = 4 34 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 36 d/. x2 + 2y2 – 2x + 4y + 2 = 0 (C4) Do hệ số trước x2 và y2 không bằng nhau nên (C4) không phải là phương trình đường tròn. Bài 2: Cho (Cm): x2 + y2 – 2(m – 1)x + 2(m + 5)y + m + 21 = 0 . Tìm giá trị của m để (Cm) là đường tròn. Hướng dẫn giải Từ phương trình (Cm) ta tìm tâm I (a; b), bán kính R = cba −+ 22 Để Cm là đường tròn thì R > 0 Giải (Cm) có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 Với 1 5 21 a m b m c m = − +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩ (Cm) là phương trình đường tròn a2 + b2 – c > 0 ⇔ (- m +1)2 + (m + 5)2 – m – 21 > 0 ⇔ 2m2 + 7m + 5 > 0 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ −> −< 1 2 5 m m Bài 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng d1: 3x + 4y – 1 = 0 ; d2: 3x – 4y + 2 = 0 và có tâm I nằm trên đường thẳng có phương trình d: 2x – y + 1 = 0 Hướng dẫn giải Cách 1: Tâm I ∈ d ⇒ I (t; 2t + 1) Do (C) tiếp xúc với d1 và d2 nên: d(I, d1) = d (I, d2) ⇒ t ⇒ tâm I và bán kính R Cách 2: d1 và d2 cắt nhau tại điểm M, điểm M sẽ cách đều 2 tiếp điểm A, B của d1 và d2 với (C) Khi đó tâm I sẽ là giao điểm của (d) và hai đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d1) và (d2) Giải Cách 1: d2 d d1 I R Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 37 Phương trình tham số của đường thẳng (d) là: )( 21 Rt ty tx ∈⎩⎨ ⎧ += = Vì I ∈ (d) ⇒ I (t; 1 + 2t) Khoảng cách từ I đến d1 và d2 lần lượt là: d (I, d1) = 5 311 43 1)12(43 22 +=+ −++ ttt d (I, d2) = 5 25 43 2)12(43 22 +=+ ++− ttt Do (C) tiếp xúc với d1 và d2 nên d (I, d1) = d (I, d2) = R 5 25 5 311 +=+⇔ tt = R ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −= −= ⇔⎢⎣ ⎡ −−=+ +=+⇔ 16 5 6 1 25311 25311 t t tt tt + Với t = 6 1− , tâm và bán kính của (C) lần lượt là I ( 6 1− ; 3 2 ), R = 30 7 + Với t = 16 5− , tâm và bán kính của (C) lần lượt là I 80 7, 8 3; 16 5 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− R Vậy có hai đường tròn là: (C1): (x + 6 1 )2 + (y - 3 2 )2 = 900 49 (C2): 6400 49 8 3 16 5 22 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + yx Cách 2: Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 là: ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = −= ⇔ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−−=−− +−=−+ 8 3 6 1 5 243 5 143 5 243 5 143 y x yxyx yxyx Trường hợp 1: Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 38 Tọa độ tâm I của (C) là nghiệm của hệ: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+− 8 3 012 y yx ) 8 3; 16 5( 8 3 16 5 −⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = −= ⇔ I y x Bán kính của (C) là R = d (I, d1) = 80 7 5 1 8 12 16 15 = −+− Vậy phương trình của (C) là: 6400 49 8 3 16 5 22 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + yx (C1) Trường hợp 2: Tọa độ tâm I của (C) là nghiệm của hệ: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+− −= 012 6 1 yx x ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = −= ⇔ 3 2 6 1 y x hay I ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 3 2; 6 1 Bán kính của (C) là: R = d (I, d1) = 30 7 5 1 3 8 6 3 = −+− Vậy phương trình của (C): 900 49 3 2 6 1 22 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + yx (C2) Bài 4 : Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A (3; 0), B (0; 4), C (0; - 4). Giải Gọi I (x; y) là tâm của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C Khi đó ta có: ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = 22 22 ICIA IBIA Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 39 6 250 6 73 0; 6 7 0 6 7 0786 0786 81696 81696 )4()3( )4()3( 2 2 2222 2222 2222 2222 =+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +== ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −=⇔⎩⎨ ⎧ =++ =+−⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ +++=++− +−+=++−⇔⎪⎩ ⎪⎨⎧ −−+=+− −+=+−⇔ IAR I y x yx yx yyxyxx yyxyxx yxyx yxyx Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: 2 2 2 6 25 6 7 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + yx Bài 5. Cho 2 đường tròn: (C1): (x – 5)2 + y2 = 25 (C2): x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0 Viết phương trình đường tròn đi qua 2 giao điểm của hai đường tròn trên và qua điểm A (0; 1). Hướng dẫn giải Cách 1: - Tìm giao điểm của hai đường tròn: B, C - Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C Gọi I (a; b) là tâm của đường tròn khi đó ta có: ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = 22 22 ICIA IBIA => I, bán kính R = IA Cách 2: Tìm hai giao điểm B, C của hai đường tròn, Phương trình đường tròn có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (C) Thế tọa độ của A, B, C vào phương trình (C) => tâm I (-a; -b), bán kính R = cba −+ 22 Bài 6: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0 và đường thẳng ∆ : 3x – 4y + m + 2 = 0. Tùy theo m, biện luận số giao điểm của ∆ và (C). Hướng dẫn giải - Tìm tâm và bán kính của đường tròn. - Tính khoảng cách từ tâm đến đường thẳng ∆ . + Nếu d (I, ∆ ) Có 2 giao điểm. Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 40 + Nếu d (I, ∆ ) = R thì ∆ tiếp xúc (C) => Có 1 giao điểm. + Nếu d (I, ∆ ) > R thì ∆ không cắt (C) => Không có giao điểm Giải (C): x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0 có tâm I (2; 1), R = 412 22 −+ = 1 Khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ là: d (I, ∆ ) = 5 4 43 21.42.3 22 +=+ ++− mm + Nếu d (I, ∆ ) < R ⇔ 4+m < 5 ⇔ –5 < m + 4 < 5 ⇔ – 9 < m < 1 thì ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. Suy ra số giao điểm là hai. + Nếu d (I, ∆ ) = R ⇔ 4+m = 5 ⎢⎣ ⎡ −= =⇔⎢⎣ ⎡ −=+ =+⇔ 9 1 54 54 m m m m Khi đó (∆ ) tiếp xúc với (C) suy ra số giao điểm là một. + Nếu d (I, ∆ ) > R ⇔ 4+m > 5 ⇔ ⎢⎣ ⎡ −< >⇔⎢⎣ ⎡ −<+ >+ 9 1 54 54 m m m m thì ∆ không cắt (C), số giao điểm là không. Bài 7: Cho 2 đường tròn: (C1): (x – 3)2 + y2 = 4 (C2): x2 + y2 – 12x – 6y + 44 = 0 a. Chứng minh (C1) và (C2) ở ngoài nhau. b. Viết phương trình các đường thẳng tiếp xúc với 2 đường tròn trên. Hướng dẫn giải a/. (C1) có tâm I, bán kính R (C2) có tâm J, bán kính R’ (C1) và (C2) ngoài nhau ⇔ IJ > R + R’ b/. Gs: ∆ : y = mx + n là phương trình tiếp tuyến chung nm Jd Id , 1),( 2),( ⇒⎩⎨ ⎧ =∆ =∆ Xét trường hợp (d): x = x0. Giải a/. (C1) có tâm I (3; 0), bán kính R = 2 (C2) có tâm J (6; 3), bán kính R’ = 14436 22 =−+ Ta có: IJ = 231833 22 ==+ Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 41 ' 1223 ' RRIJ RRIJ +>⇒ +=+>=⇒ Vậy (C1) và (C2) ở ngoài nhau b/. Giả sử (∆ ): y = mx + n hay mx – y + n = 0 là phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) (∆ ) tiếp xúc (C1) và (C2) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ +− =+ + ⇔⎩⎨ ⎧ =∆ =∆⇔ )2(1 1 36 )1(2 1 3 1),( 2),( 2 2 m nm m nm Jd Id Từ (1) và (2) nmnm +−=+⇒ 3623 ⎢⎣ ⎡ −= −=⇔⎢⎣ ⎡ +−−=+ +−=+⇔ )4(52 )3(96 )36(23 )36(23 mn mn nmnm nmnm Thế (3) vào (1) ta được: 1266 2 +=−⇒ mm ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −= += ⇔ =+−⇔ +=−⇔ 8 179 8 179 0494 1)33( 2 22 m m mm mm Suy ra: n = 6 – 9m ( ) ( )⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−= −−= ⇒ 17933 8 1 17933 8 1 n n + Thế (4) vào (1) ta được: 1222 2 +=− mm 20 121 1)1( 22 22 =⇒=⇔ +=+−⇔ +=−⇔ nm mmm mm Xét đường thẳng, (d): x - x0 = 0 (d) tiếp xúc với (C1) và (C2) 516 23 16 23 0 0 0 0 0 =⇔ ⎩⎨ ⎧ ±=− ±=−⇔⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =− =−⇔ x x x x x Vậy có 4 tiếp tuyến chung với (C1) và (C2) là: y = 2; x = 5 Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 42 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]17933179 8 1 17933179 8 1 −−−= +−+= xy xy Bài 8: Cho hai đường tròn không đồng tâm và bán kính khác nhau có phương trình là: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (C1) x2 + y2 + 2a’x +2b’x + c’ = 0 (C2) Tùy theo giá trị các hệ số, hãy xác định số tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên. Hướng dẫn tìm tòi lời giải Để giải bài tập này học sinh nên vẽ hình minh họa và dựa vào hình vẽ đoán nhận, phát hiện, dự đoán số tiếp tuyến chung của hai đường tròn, từ đó rút ra điều kiện tương ứng. Giải Giả sử đường tròn (C1), (C2) có tâm và bán kính tương ứng là: I (a; b), R và I’ (a’, b’), R’ ƒ Hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi II’ = R + R’ . Khi đó hai đường tròn có 3 tiếp tuyến chung. ƒ Hai đường tròn tiếp xúc trong khi và chỉ khi II’ = 'RR − . Khi đó hai đường tròn có duy nhất một tiếp tuyến chung tại tiếp điểm của chúng. ƒ Hai đường tròn cắt nhau 'RR − < II’ < 'RR + . Khi đó hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung ƒ Hai đường tròn rời nhau: IJ > 'RR + . Khi đó 2 dường tròn có 4 tiếp tuyến chung. ƒ Đường tròn lớn chứa đường tròn nhỏ: IJ < 'RR − . Khi đó hai đường tròn không có điểm chung nên không có tiếp tuyến chung. Bài 9: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (∆ ) ⎩⎨ ⎧ +−= += ty tx 2 21 và Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 43 đường tròn : 16)2()1(:)( 22 =−+− yxε Gợi ý tìm lời giải Giải hệ phương trình ⎩⎨ ⎧ ∆ )( )( ε bằng cách thay x và y trong phương trình của ∆ vào phương trình của (ε ) Giải Tọa độ giao điểm của (∆ ) và (ε ) là nghiệm hệ phương trình: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+− +−= += )3(16)2()1( )2(2 )1(21 22 yx ty tx Thay (1), (2) vào (3) ta được: (1 + 2t – 1)2 + ( - 2 + t – 2)2 = 16 ⇔ (2t)2 + (t – 4)2 = 16 ⇔ 5t2 – 8t = 0 ⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ = = 5 8 0 t t Thay t = 0, t = 5 8 vào phương trình của ∆ ta có tọa độ giao điểm của (∆ ) và (ε ) là: (1; - 2) và ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 5 2; 5 21 Bài 10: Tùy theo tham số m. Hãy biện luận số giao điểm của đường thẳng (∆ ) và đường tròn (ε ) sau đây: (∆ ): 3x + y + m = 0 (ε ): x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0 Gợi ý: Tính d = d (I, ∆ ) rồi so sánh d và R (I là tâm và R là bán kính của đường tròn). Giải Đường tròn (ε ) có: tâm I (2; -1) và bán kính R = 2114 =−+ d = d (I, ∆ ) = 10 5 10 12.3 +=+− mm * Trường hợp 1: d > R ⇔ 10252 10 5 >+⇔>+ mm ⎢⎢⎣ ⎡ −> −−<⇔ ⎢⎢⎣ ⎡ >+ −<+⇔ 5102 1025 1025 1025 m m m m Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị Lắm Trang 44 thì (∆ ) và (ε ) không cắt nhau tức (∆ ) và (ε ) không có điểm chung. * Trường hợp 2: d = R 1025 =+⇔ m ⎢⎢⎣ ⎡ −−= +−=⇔ 1025 1025 m m thì (∆ ) tiếp xúc với (ε ). Khi đó (∆ ) và (ε ) có một điểm chung duy nhất * Trường hợp 3: d < R 10251025 +−<<−−⇔ m thì (∆ ) cắt (ε ) tại 2 điểm phân biệt. Khi đó (∆ ) và (ε ) có hai điểm chung. CHỦ ĐỀ 3: ĐƯỜNG CÔNIC ĐƯỜNG ELIP A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa đường Elip Cho hai điểm cố định F1 và F2 , với F1F2 = 2c (c > 0) Đường Elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF1+ MF2 = 2a, trong đó a là số dương cho trước lớn hơn c. Hai điểm F1 và F2 được gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của elip. 2. Phương trình chính tắc của Elip Cho elip (E) có hai tiêu điểm F1(-c;0) ; F2(c;0) và có độ dài trục lớn 2a (0 < c < a). Phương trình chính tắc của elip có dạng: 12 2 2 2 =+ b y a x Trong đó b2 = a2 - c2 (0 < b < a) 3. Hình dạng của Elip (E): 12 2 2 2 =+ b y a x + (E) có 2 trục đối xứng là Ox và Oy. + (E) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. + Hai tiêu điểm F1,F2 luôn nằm trên trục lớn A1A2. + Mọi điểm của Elip nếu không phải là đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở của nó có kích thước 2a, 2b và giới hạn bởi các đường thẳng x=± a,y =± b. Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở của elip. 4. Tâm sai của Elip Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e , tức là e = a c Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Ts.Lê Văn Phúc SVTH: Nguyễn Thị