Luận án Nghiên cứu giải pháp nâng cao độ chính xác của mô hình số bề mặt được thành lập từ ảnh radar

randient pha giữa các pixel liền kề được giới hạn (-π, π). Lúc này pha đóng sẽ được xác định như sau: kjiji  2,,  (2.29) Với k là số nguyên âm hoặc dương 1,...,0,1,...,0,,  NjMiji  (2.30) Trong đó: i, j là hai chỉ số tương ứng vị trí hàng và cột của ma trận ảnh số. Với một giá trị pha đóng ψi,j đã biết trước, muốn xác định giá trị pha mở  i,j, thì giả sử rằng đạo hàm của  i,j có độ lớn nhỏ hơn π tại mọi vị trí. Do đó cần có phương pháp để xác định giá trị  từ ψ. Đây là mục tiêu của bài toán mở pha. Trong bài toán mở pha có hai thành phần đạo hàm theo chỉ số i và j.   1,...,0,2,...0,,,1,   NjMiW jijix ji  (2.31) 0,  x ji khác. Và   2,...,0,1,...0,,,1,   NjMiW jijiy ji  (2.32) 0,  x ji khác Trong đó: chỉ số x, y tương ứng với đạo hàm theo phương i và phương j. Đối với bài toán mở pha, nhiều thuật toán đã được đưa ra để giải quyết vấn đề hồi phục lại giá trị pha, phương pháp phổ biến để giải bài toán mở pha bao gồm: - 60 - cực tiểu nhỏ nhất, theo bài toán mạng, theo đường đi (Path-following) và năm 1998 Costantini [29], đã biến đổi bài toán mở pha thành bài toán mạng cực tiểu hóa toàn cục. Trong mô hình mạng của Costantini, mỗi vòng xoay theo kim đồng hồ tính tổng giá trị pha gradien của 2x2 pixel xung quanh được mô tả là một node. Node tương ứng với phần dư dương hoặc âm thì được đánh dấu tương ứng + hoặc -. Hai node kề nối nhau tạo thành một arc. Bài toán tối ưu hóa bằng cách dùng phương pháp cực tiểu chi phí dòng mạng (MCF - Minimum Cost Flow) để xác định các ràng buộc cho phép đạt lời giải pha chính xác. Ngoài ra Chaubey [23], cũng khẳng định rằng mở pha là một trong những bước quan trọng nhất trong quá trình tạo DEM bằng phương pháp InSAR. Khó khăn trong mở pha là do các pha giao thoa bị nhiễu. Nguyên nhân gây ra nhiễu pha có thể do lỗi hệ thống, mất tương quan của cặp ảnh, đồng đăng ký sai, bài toán lọc nhiễu pha không phù hợp với dữ liệu. Vì vậy để kết quả DEM đạt độ chính xác cao thì tất cả các công đoạn trong quy trình phải được kiểm soát chặt chẽ. 2.9.6. Chuyển đổi pha thành giá trị độ cao Chuyển đổi từ pha sang độ cao liên quan đến chuyển đổi pha đã mở sang độ cao địa hình mặc dù các điểm ảnh vẫn nằm trong hệ tọa ảnh Radar. Công thức tính chuyển đã được trình bày trong mục 2.8 (công thức 2.22) Độ cao được tính từ pha giao thoa theo công thức sau:   B H B R ha 2 tan 2 sin  (2.33) Trong đó: )cos(   BB 2.9.7. C yê ổi tọ và nắn chỉnh hình học - Hi u chỉnh hình học (Geocoding) Chuyển đổi hình học đề cập đến việc chuyển đổi tọa độ từ tọa độ Radar (khoảng cách/phương vị/chiều cao) sang hệ tọa độ trắc địa Ở bước xử lý này cần thực hiện các yêu cầu sau:  Chuyển đổi mô hình DSM trên hệ tọa độ Radar thành hệ tọa độ trên mặt đất.  Tái chia mẫu ảnh ở tỷ lệ tầm xiên thành ảnh tham chiếu trên mặt đất. - 61 -  Xoay hướng phương vị thành hướng Bắc. Để chuyển đổi tọa độ của một điểm trên hệ tọa độ Radar (khoảng cách/phương vị/chiều cao) sang hệ tọa độ trắc địa, thì sử dụng phương trình [30]:   tsts sl D VVRR R f   2 (2.34) tssl RRR  (2.35)           1 2 arg 2 .2 arg 22      t s t ss hb zR ha yRxR (2.36) Trong đó: fd: là tần số Doppler. Rs, Vs là vị trí và vận tốc của bộ cảm. Rt, Vt là vị trí và vận tốc của đối tượng. a, b là bán trục lớn, bán trục bé của ellipsoid tham chiếu. Rs và Vs được tính dựa vào việc nội suy từ quỹ đạo vệ tinh. 2.9.8. Đánh giá hất ƣợng của DSM Để đánh giá độ chính xác của mô hình số bề mặt (DSM) thường tính độ cao tương đối giữa các điểm lẫy mẫu của DSM so sánh với dữ liệu tham chiếu. Sai số trung phương được tính như sau [14]:    n i ih n RMSE 1 21 (2.37) Với rs hhh  Trong đó: h là tổng khoảng chênh lệch độ cao. hs là độ cao của điểm trên DSM. hr là độ cao của điểm tham khảo. n là số điểm lẫy mẫu. Đơn vị của RMSE thường là mét. Ngoài ra độ chính xác của DSM được thành lập bằng phương pháp InSAR, có thể được đánh giá bằng tổng độ lệch pha SPD ( sum of the diference). Đối với mỗi pixel trong giao thoa tương ứng với một độ lệch pha SPD. Trong toàn bộ ảnh - 62 - giao thoa, giá trị SPD được tổng hợp từ các giá trị SPD thành phần của toàn bộ pixel với công thức tính là [141]:        1 0 1 0 , p x q y local yxSPDSPD (2.38) Trong đó qp là kích thước của ảnh,  yxSPDlocal , là độ lệch pha của pixel có vị trí hàng x, cột y. TIỂU KẾT CHƢƠN 2 Viễn thám radar chủ động hoạt động trong dải phổ siêu cao tần của sóng điện từ, với bước sóng khoảng từ 1cm đến 100cm. Nguồn năng lượng tạo ra từ anten có thể được phát đi theo một hướng quan tâm, và thu lại tín hiệu phản hồi - năng lượng tán xạ ngược, có độ phân giải từ thấp đến cao với góc nhìn xiên. Viễn thám radar có thể hoạt động trong mọi điều kiện của khí quyển, được sử dụng để nghiên cứu các đối tượng của bề mặt Trái Đất, xác định vị trí của các chúng. Hệ thống radar có thể tạo hình ảnh hay không tạo hình ảnh theo các trị số đo. Các hệ thống vệ tinh và tư liệu ảnh radar đang được sử dụng hiện nay trong thành lập bản đồ, trong xây dựng DEM, DSM. Phương pháp đo ảnh radar sử dụng chủ yếu hiện nay là phương pháp đo giao thoa - InSAR. Trong qui trình xây dựng DSM tử ảnh radar theo phương pháp InSAR, các công đọan: đồng đăng ký ảnh và lọc nhiễu pha là những công đoạn quan trọng, ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng của ảnh giao thoa để tạo ra sản phẩm DSM. Đồng đăng ký ảnh là bước đầu tiên trong qui trình tạo giao thoa và là bước quan trọng nhất ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng của ảnh giao thoa. Để nâng cao độ chính xác của DSM được thành lập ảnh giao thoa của phương pháp InSAR thì việc chiết xuất các điểm đặc trưng trên ảnh và kích thước của cửa sổ cần phải được nghiên cứu. Ngoài ra, để quá trình giải mở pha đạt chính xác cao thì lọc nhiễu pha là một bước quan trọng trong quy trình xử lý InSAR. Một phương pháp lọc nhiễu lý tưởng phải có khả năng giảm tối đa các vùng pha bị lỗi nhưng vẫn bảo tồn được các vân giao thoa. - 63 - CHƢƠNG 3 GIẢI PHÁP NÂNG CAO ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA DSM ĐƢỢC THÀNH LẬP BẰNG ẢNH RADAR Radar giao thoa độ mở tổng hợp (InSAR) là một kỹ thuật sử dụng thông tin pha để tạo ra DSM và đo biến dạng địa hình. Tuy nhiên, việc xử lý dữ liệu InSAR vẫn là một nhiệm vụ đầy thách thức đối với các nhà khoa học. Đối với mỗi cặp ảnh đã chọn, cần phải xử lý một số bước để cho ra được sản phẩm InSAR tốt nhất. Trong đó có đồng đăng ký ảnh và lọc nhiễu pha. Đối với đồng đăng ký ảnh có hai vấn đề cần lưu ý: Đầu tiên là việc lựa chọn điểm khớp phải là điểm đặc trưng trên ảnh SAR. Thứ hai là độ chính xác khớp điểm còn phụ thuộc vào hai yếu tố: kích thước cửa sổ và phương pháp khớp. Nhìn chung, phương pháp khớp điểm được dựa trên tương quan chéo cực đại. Kích thước cửa sổ là thông số rất quan trọng cần phải được xem xét. Kích thước cửa sổ quá lớn sẽ không chỉ tác động đến khối lượng tính toán mà còn phát sinh điểm khống chế giả. Tuy nhiên, kích thước cửa sổ quá nhỏ, có thể sẽ gây ra sự nhầm lẫn sang các điểm khác gần với điểm thực tế tương ứng trong cửa sổ tìm kiếm. Do đó, sẽ dẫn đến kết quả đồng đăng ký không đáng tin cậy. Đã có rất nhiều các nghiên cứu khảo sát các phương pháp để tìm ra kích thước cửa sổ tối ưu cho việc khớp điểm. Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có lý thuyết nào được phát triển để hướng dẫn lựa chọn kích thước cửa sổ phù hợp. Như đã trình bày về cơ sở lý thuyết trong chương 2 để chuyển giá trị pha thành giá trị độ cao, chúng ta cần phải thực hiện bài toán mở pha. Tuy nhiên để bài toán này được chính xác thì pha giao thoa phải có chất lượng tốt, các vân phải rõ nét. Nhưng do bản chất thu nhận ảnh SAR và do ảnh hưởng của địa hình nên ảnh giao thoa thường bị nhiễu, nhất là khu vực nhiệt đới gió mùa như ở Việt Nam, vì vậy chúng ta cần phải lọc nhiễu cho toàn ảnh. Do đó, một giải pháp đáng tin cậy nhằm nâng cao độ chính xác đồng đăng ký ảnh và thuật toán lọc nhiễu phù hợp là rất cần được nghiên cứu để nâng cao độ chính xác của DSM. - 64 - 3.1. Giải pháp nâng cao độ chính xác của đồng đăng ký ảnh trong thành lập DSM Như đã phân tích ở mục 2.9.1, các nhược điểm chính làm ảnh hưởng đến độ chính xác đồng đăng ký ảnh bao gồm: sử dụng điểm khớp được phân bố theo lưới ô vuông (grid), sử dụng một cửa sổ có kích thước cố định. Trong nghiên cứu này, NCS đề xuất giải pháp khắc phục hai nhược điểm trên. Giải pháp bao gồm: tự động chiết tách điểm đặc trưng và xác định cửa sổ tối ưu. Quá trình đồng đăng ký ảnh thường sử dụng các cặp điểm khớp thu được thông qua một mạng lưới (grid) với khoảng cách mắt lưới tùy chọn. Tuy nhiên, phương pháp sử dụng grid sẽ cho độ chính xác xác định cặp điểm ảnh khớp rất thấp khi các điểm mắt lưới không phải là điểm đặc trưng, hay nằm ở vùng ảnh có sự đồng nhất cao. Điều này thể hiện thông qua giá trị tương quan chéo của cặp điểm sẽ thấp. Xuất phát từ nhược điểm này, một giải pháp tự động chiết tách điểm đặc trưng được đưa ra. Giải pháp sử dụng phép biến đổi sóng nhỏ (wavelet) phân tích ảnh chính, tính giá trị gradient cực đại của hệ số wavelet, từ đó chiết tách các điểm đặc trưng trên ảnh chính. Kích thước cửa sổ được xem như là một yếu tố có thể ảnh hưởng lớn đến kết quả đồng đăng ký ảnh. Việc lựa chọn kích thước cửa sổ là một bước quan trọng trong đồng đăng ký ảnh. Một phần của giải pháp đưa ra để nâng cao độ chính xác đồng đăng ký ảnh là chương trình tự động phân tích ảnh chính để xác định kích thước cửa sổ tối ưu. Giải pháp bao gồm phân tích hệ số tự tương quan của ảnh chính bằng phép biến đổi sóng nhỏ (wavelet) 1 chiều, dựa trên hệ số wavelet để xác định kích thước cửa sổ tối ưu. Với giải pháp được đề xuất, qui trình đồng đăng ký ảnh được mô tả như sau: - 65 - Hình 3.1. Các bƣớc trong quá trình đồng đăng ký ảnh SAR 3.1.1. Khái niệm chung về các phƣơng pháp xử lý tín hiệu Biến đổi tín hiệu hay phân tích tín hiệu là thay đổi cách biểu diễn một tín hiệu hoặc một hàm nhờ sử dụng một phép toán nào đó. Nhờ đó chúng ta có thể phân tích một vấn đề kỹ thuật phức tạp thành các khía cạnh đơn giản hơn để dễ giải quyết. Các phép biến đổi tín hiệu có vai trò khác nhau trong các ứng dụng xử lý tín hiệu như: lọc, nhận dạng mẫu, dãn, định vị và nén tín hiệu. Hiệu suất của mỗi ứng dụng phụ thuộc vào nhiều yếu tố, và do đó mỗi ứng dụng cần một kỹ thuật biến đổi khác nhau để có được một kết quả tốt nhất. Trong các ứng dụng xử lý tín hiệu rời - 66 - rạc, các biến đổi wavelet rất phổ biến nhờ một số tính chất nổi bật. Trong chương này chúng ta sẽ xét một số biến đổi tín hiệu và ứng dụng nó trong phân tich tín hiệu ảnh SAR. 3.1.1.1. Phép biến đổi Fourier Biến đổi Fourier dựa trên cơ sở chia một tín hiệu thành tổng các hàm sin với tần số khác nhau hay nó là kỹ thuật biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số. Nhưng hạn chế lớn của phương pháp này là khi biến đổi sang miền tần số thì thông tin thời gian bị mất đi, khi nhìn vào một biến đổi Fourier của tín hiệu không thể biết được thời gian xảy ra sự kiện. Nó chỉ thích hợp với các tín hiệu dừng, không thích hợp trong xử lý những tín hiệu liên tục. Dennis Gabor đã khắc phục hạn chế trên bằng cách chấp nhận biến đổi Fourier để phân tích trong một đoạn ngắn của tín hiệu theo thời gian gọi là cửa sổ tín hiệu, việc này biến tín hiệu thành các hàm hai chiều của thời gian và tần số. Tuy nhiên, nó vẫn có nhược điểm là kích thước cửa sổ thời gian thì bằng nhau đối với mọi tần số. Ta cần biến đổi kích thước cửa sổ mềm dẻo hơn để đạt độ chính xác cao cả về thời gian và tần số. Ngoài ra, Kumar [63] kết luận rằng biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transform - STFT) với cửa sổ thời gian ngắn có thể quan sát được sự biến đổi của phổ theo thời gian nhưng không áp dụng được trong một thời gian tối ưu hoặc sự phân tích tần số cho tín hiệu liên tục [99]. Phép biến đổi Fourier là một công cụ toán học hữu ích và quan trọng nhưng nó chỉ cung cấp thông tin có tính toàn cục, thích hợp cho những tín hiệu tuần hoàn, không chứa các đột biến hoặc các thay đổi không dự báo được. Công thức biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT, được mô tả như sau [99]:       dtetwtxftSTFT ft 2.,   (3.1) Với f là tần số và w(t −τ ) là hàm cửa số, trong đó t đóng vai trò để dịch chuyển cửa sổ theo x. - 67 - Hình 3.2. Phép biến đổi Fourier trong thời gian ngắn (STFT) [99] 3.1.1.2. Phép biến đổi wavelet Một lý do chính trong việc khám phá wavelet và phép biến đổi wavelet là phép biến đổi Fourier không chứa thông tin cục bộ của tín hiệu. Vì thế phép biến đổi Fourier không được sử dụng để phân tích tín hiệu trong cùng một miền thời gian và tần số. Trong khi đó, wavelet lại có ưu điểm chính là khả năng thực hiện phân tích cục bộ, thể hiện được đặc tính của dữ liệu mà các kỹ thuật phân tích khác không có. Wavelet là dạng sóng có thời gian duy trì tới hạn với giá trị trung bình bằng không. Wavelet có thời gian giới hạn, bất thường và bất đối xứng. Phân tích wavelet chia các tín hiệu thành các tham số dịch chuyển và tham số tỷ lệ của các wavelet mẹ. Hình 3.3. Phép biến đổi wavelet [99] Năm 1982, Jean Morlet [88], lần đầu tiên đưa ra ý tưởng về wavelet như là một hàm cấu trúc phức tạp bằng cách dịch và dãn một hàm đơn, được gọi là wavelet - 68 - mẹ (Mother wavelet), để phân tích tín hiệu không dừng. Tuy nhiên, khái niệm mới này có thể được quan sát như sự tổng hợp của nhiều ý tưởng ban đầu từ những lĩnh vực khác nhau bao gồm toán, lý, kỹ thuật. Phân tích wavelet là một phương pháp mới thú vị để giải quyết vấn đề khó khăn trong các vấn đền này, với áp dụng hiện đại như lan truyền sóng, so sánh dữ liệu, xử lý hình ảnh, nhận dạng mẫu, đồ họa máy tính, phát hiện máy bay và tàu ngầm, cải thiện kỹ thuật của công nghệ hình ảnh y tế. Trong phân tích Morlet, tín hiệu bao gồm những thuộc tính khác nhau trong thời gian và tần số, nhưng thành phần tần số cao sẽ tồn tại trong một thời gian ngắn hơn thành phần tần số thấp. Để đạt được độ phân giải thời gian tốt cho các tần số cao và phân giải tốt cho thành phần tần số thấp, Morlet giới thiệu ý tưởng đầu tiên của wavelet như một hàm phức tạp được xây dựng từ sự dịch và dãn của một hàm đơn được gọi là “Mother wavelet” ψ (t) và được xác định như sau [40]:               dt a b t a baX w 11 , * 0,,  aRba (3.2) Đặt           a b tab 1* là phiên bản dịch và dãn của wavelet mẹ. Dấu * ký hiệu là liên hợp phức của biểu thức đó. Trong đó: a là tham số tỷ lệ đặc trưng cho mức độ nén và dãn, còn b là một tham số dịch chuyển xác định vị trí thời gian của wavelet. Nếu 1a , thì ψab (t) là phiên bản nén và giãn của wavelet mẹ và chủ yếu tương ứng với tần số cao. Mặt khác, khi a > 1 thì ψab(t) có một chiều rộng thời gian lớn hơn ψ (t) và tương ứng với thành phần tần số thấp. Vì vậy, wavelet có bề rộng thời gian thích nghi với tần số của chúng. Đây là lí do chính cho thành công của Mother wavelet trong xử lý tín hiệu và phân tích tín hiệu thời gian tần số. Cần lưu ý rằng độ phân giải của wavelet phụ thuộc vào sự thay đổi tỷ lệ khác nhau trong miền thời gian và tần số. Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm wavelet nguyên mẫu, được gọi là wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay wavelet mẹ (mother wavelet). Phân tích thời gian được thực hiện với dạng co lại (version), tần số cao của wavelet mẹ, trong khi - 69 - phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng wavelet mẹ. Vì tín hiệu nguyên bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm wavelet), các tính toán dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số wavelet tương ứng. Và nếu như chọn được wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc. Mã hoá rời rạc (sparse coding) làm cho wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu. Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng wavelet bao gồm thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hoá băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần tuý toán học như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation). 3.1.1.3. So sánh biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier * Sự giống nhau Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là phép toán tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay đổi, và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n. Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là tương tự nhau. Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của ma trận nguyên gốc. Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác. Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở đó là sin và cosin. Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet). Cả hai biến đổi còn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân bố theo tần số, các công cụ toán học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố công suất. * Sự khác nhau Một phương pháp để xem xét sự khác biệt về độ phân giải thời gian-tần số giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt - 70 - phẳng thời gian-tần số. Vì một cửa sổ duy nhất được sử dụng với mọi tần số trong FT, độ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời gian - tần số. Một ưu điểm của biến đổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay đổi. Để tách các điểm gián đoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời điểm đó để có được các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài. Một điểm quan trọng là các biến đổi Wavelet không chỉ gồm một tập hợp đơn của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin. Thay vào đó, các biến đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng. Do vậy, phân tích Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn so với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến đổi Fourier 3.1.2. Phép biến đổi Wavelet liên tục (CWT - Continous Wavelet Transform) Biến đổi Wavelet liên tục được xác định là tổng trên toàn khoảng thời gian của tín hiệu nhân theo tỷ lệ, dịch mức của hàm Wavelet. Gọi f(t) là tín hiệu 1-D, phép biến đổi liên tục của f(t) sử dụng hàm wavelet ψ (t) được biểu diễn như sau [47]:               dt a b tf a baW 11 , * (3.3) Trong đó: f (t): tín hiệu vào ψ (t) : Hàm Wavelet mẹ (Mother Wavelet).         a b1* : là hàm liên hợp phức của wavelet ψ (t) được gọi là hàm wavelet phân tích. a : Hệ số tỷ lệ (co giãn). b : Hệ số dịch chuyển. a 1 : Hệ số chuẩn hóa đảm bảo tích phân năng lượng độc lập với a và b. Phương trình (3.3) cho thấy, phép biến đổi wavelet là một ánh xạ chuyển từ hàm một biến f(x) thành hàm W(a,b) phụ thuộc hai biến số là biến tỉ lệ a và biến dịch chuyển b. - 71 - 3.1.3. Biến đổi Wavelet rời rạc (DWT - Discrete Wavelet Transform) Việc tính toán các hệ số wavelet tại tất cả các tỷ lệ là một công việc hết sức phức tạp. Nếu tính toán như vậy sẽ tạo ra một lượng dữ liệu khổng lồ, các hệ số sinh ra nhiều hơn cần thiết để tạo ra tín hiệu duy nhất, nó ảnh hưởng nhiều nếu cần phải tái tạo lại tín hiệu gốc. Trong nhiều ứng dụng, đòi hỏi phải chuyển đổi qua lại, chúng ta cần một phương pháp có số lượng hệ số tối thiểu để chuyển đổi ngược về tín hiệu gốc và để giảm thiểu công việc tính toán này người ta chỉ chọn ra một tập nhỏ các giá trị và các vị trí để tiến hành tính toán. Các giá trị này được tính toán tại các tỷ lệ và các vị trí trên cơ sở lũy thừa cơ số 2 thì kết quả thu được sẽ hiệu quả và chính xác hơn nhiều. Ta thực hiện một phép như vậy trong biến đổi wavelet rời rạc (Discrete wavelet Tranform - DWT). Thực chất biến đổi wavelet rời rạc là sự rời rạc hóa biến đổi wavelet liên tục. Việc rời rạc hóa được thực hiện với việc chọn các hệ số a, b như sau a = 2j, b = a.k, với j, k ϵ Z. Biến đổi wavelet rời rạc có thể viết như sau [63]:         dtkttfkjDWT j22, 21 (3.4) Trong đó k=0, 1,,N-1 là hệ số của bộ lọc, f(t) là tín hiệu vào, ψ(2-jt-k) là hàm wavelet mẹ. Phân tích đa phân giải (Multi Resolution Analysis - MRA) Phân tích đa phân giải là sử dụng các kỹ thuật lọc số trong quá trình phân tích. Trong đó, mỗi một tín hiệu được phân tích thành hai thành phần: thành phần xấp xỉ A (Approximation) „tương ứng với thành phần tần số thấp‟ và thành phần chi tiết D (Detail) „tương ứng với thành phần tần số cao‟, thông qua hai bộ lọc thông thấp và thông cao như mô tả trong hình 3.4. Trong đó, bộ lọc thông cao sử dụng hàm wavelet ψ(x) và bộ lọc thông thấp sử dụng hàm tỉ lệ (scaling function) Φ(x). Mối quan hệ giữa hàm tỉ lệ và hàm wavelet được xác định theo công thức như sau [12]:        1 0 2 N k k kxcx (3.5) - 72 -          1 0 121 N k k k Nkxcx (3.6) Trong đó: ck là chỉ số vô hướng nhằm để xác định các hệ số tỷ lệ, N là số mẫu trong tín hiệu. Các phép lọc được tiến hành với nhiều tầng (level) khác nhau và để khối lượng tính toán không tăng, khi qua mỗi bộ lọc, tín hiệu được lấy mẫu xuống 2 lần. Ứng với mỗi tầng, tín hiệu có độ phân giải khác nhau. Do đó, phép biến đổi wavelet rời rạc được gọi là phân tích đa phân giải (MRA, multi resolution analysis). Hình 3.4. Phân tích đa phân giải sử dụng biến đổi wavelet rời rạc [12] Tại mỗi tầng lọc, biểu thức của phép lọc được xác định theo công thức như sau [12]:        n high nkgnSny 2 (3.7)        n low nkhnSny 2 (3.8) - 73 - Trong đó, S(n) là tín hiệu, h(n) là đáp ứng xung của các bộ lọc thông thấp tương ứng với hàm tỉ lệ Φ(n) và g(n) là đáp ứng xung của các bộ lọc thông cao tương ứng với hàm wavelet ψ(n). Hai bộ lọc này liên hệ nhau theo hệ thức: h(N - 1 - n)=(-1) n g(n) (3.9) Lưu ý là không phải các hàm wavelet nào cũng tồn tại hàm tỉ lệ tương ứng xác định từ biểu thức (3.7) và (3.8); nên khi thực hiện phép biến đổi wavelet rời rạc, phải chọn lựa các hàm wavelet có hàm tỉ lệ tương ứng như hệ hàm wavelet Daubechies trực chuẩn - họ hàm này đều có các hàm tỉ lệ tương ứng. Về lý thuyết, quá trình phân tách tín hiệu có thể lặp lại mãi mãi. Trong thực tế, sự phân tách được thực hiện cho đến khi các chi tiết chỉ còn một mẫu hoặc một điểm. Phép biến đổi wavelet rời rạc hai chiều Khác hẳn với tín hiệu thời gian thông thường là chỉ có một chiều thời gian, các pixel của ảnh phân bố theo hai chiều ngang và dọc. Do vậy để xử lý một hình ảnh ta sử dụng wavelet 2D (Two - Dimensional Wavelet Transform), biến đổi wavelet hai chiều được coi như là một tầng các phép toán biến đổi wavelet một chiều. Biến đổi wavelet đầu tiên tính theo hướng ngang, biến đổi thứ hai tính theo hướng dọc. Gọi x và y là hai trục tọa độ của tín hiệu 2-D, L là phép lọc thông thấp, H là phép lọc thông cao, phép biến đổi wavelet 2-D được tính cụ thể như sau [96]:       LLyxyx :,   (3.10)         LHyxyxH :,   (3.11)         HLyxyxV :,   (3.12)       HHyxyxD :,   (3.13) Trong đó ψH là biến đổi theo hướng ngang, ψV là sự thay đổi theo hướng dọc ψD là sự thay đổi theo đường chéo, υ(x), υ(y) là hàm tỷ lệ của tín hiệu 1D và ψ(x), ψ(y) là hàm wavelet của tín hiệu 1D. - 74 - Hình 3.5. Sơ đồ biểu diễn một tầng biến đổi wavelet 2D [12] Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, các bộ lọc được sử dụng phổ biến. Wavelet có thể được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi. Độ phân giải của tín hiệu là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu. Độ phân giải của tín hiệu được xác định bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ được xác định bởi sự phân chia (upsampling) và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con (subsampling). Phép biến đổi wavelet phức (Complex Wavelet Transforms - CWT) Hàm wavelet phức cho bốn thông tin về phần thực, phần ảo, độ lớn và pha của tín hiệu. Nó thích hợp khi phân tích các tín hiệu dao động mạnh. Hàm wavelet thực, chỉ cung cấp thông tin về độ lớn của tín hiệu nên thích hợp cho việc phát hiện các điểm gián đoạn hay các đỉnh cực đại của tín hiệu, hàm wavelet phức, tạo ra từ đạo hàm bậc năm của hàm Gauss thực và phức được viết như sau [62]: υ(t) = υh(t) + iυg(t) (3.14) Trong đó : υh(t) là phần thực, iυg(t) là phần ảo. Tương đư