Luận án Nhóm đối xứng gián đoạn và các mô hình 3 - 3 - 1

Vtri−sext, gồm các số hạng tương tác giữa các tam tuyến và lục tuyến, là tổng của các số hạng sau: V (σ, χ) = λσχ1 (χ +χ)Tr(σ+σ) + λσχ2 (χ +σ†)(σχ) + (à2χ Tσχ+ h.c.), (2.67) V (s, χ) = Tr[V (φ→ s+, χ→ χ)], (2.68) V (φ, σ) = Tr[V (φ→ φ, χ→ σ+)], (2.69) V (φ, s) = Tr[V (φ→ φ, η → s+)], V (φ′, σ) = Tr[V (φ′ → φ′, χ→ σ+)], (2.70) V (φ′, s) = Tr[V (φ′ → φ′, η → s†)], (2.71) V (η, σ) = Tr[V (η → η, χ→ σ†)], (2.72) V (η, s) = Tr[V (φ→ η, η → s+)], (2.73) V (η′, σ) = Tr[V (η′ → η′, χ→ σ+)], (2.74) V (η′, s) = Tr[V (φ′ → η′, η → s+)], (2.75) Vsσχφφ′ηη′ = χ +σ+(λ1φη + λ2φ ′η′)1 + χ+s+(λ3φη + λ4φ′η′ + λ5φη ′ + λ6φ′η)3 + Tr(s+s)2(λ7φ+φ′ + λ8η+η′)2 + Tr(s+s)3(λ9φ +φ′ + λ10η+η′)3 + Tr(s+s)3′(λ11φ +φ′ + λ12η+η′)3′ + Tr(σ+s)(λ13φ +φ+ λ14φ ′+φ′ + λ15φ+φ′ + λ16φ′+φ + λ17η +η + λ18η ′+η′ + λ19η+η′ + λ20η′+η)3 + φ+σ+s(λ21φ+ λ22φ ′) + φ′+σ+s(λ23φ+ λ24φ′) + η+σ+s(λ25η + λ26η ′) + η′+σ+s(λ27η + λ28η′) + λ29(φ +s+)2(sφ ′)2 + λ30(φ+s+)3(sφ′)3 + λ31(φ +s+)3′(sφ ′)3′ + λ32(η +s+)2(sη ′)2 + λ33(η +s+)3(sη ′)3 + λ34(η+s+)3′(sη ′)3′ + h.c. (2.76) 42 Thế vi phạm V dừng lại ở các tương tác 4 được cho bởi: V = (à¯1ηη + ௠′ 1η ′η′)1σ + (à¯2ηη + à¯′2η ′η′ + à¯′′2ηη ′ + à¯3χη)3s + η+σ+(λ¯1φχ+ λ¯2φη + λ¯3φ ′η′ + λ¯4φ′η + λ¯5φη′)3 + η′+σ+(λ¯6φ′χ+ λ¯7φη + λ¯8φ′η′ + λ¯9φ′η + λ¯10φη′)3′ + λ¯11φ +σ+(φφ′)3 + λ¯12φ′+σ+(φφ′)3′ + λ¯13χ +s+φχ + (η+s+)1(λ¯14φη + λ¯15φ ′η′)1 + (η+s+)2(λ¯16φη + λ¯17φ ′η′ + λ¯18φ′η + λ¯19φη′)2 + (η+s+)3(λ¯20φη + λ¯21φ ′η′ + λ¯22φ′η + λ¯23φη′)3 + (η+s+)3′(λ¯24φη + λ¯25φ ′η′ + λ¯26φ′η + λ¯27φη′)3′ + (η′+s+)1′(λ¯28φ ′η + λ¯29φη′)1′ + (η′+s+)2(λ¯30φη + λ¯31φ′η′ + λ¯32φ′η + λ¯33φη′)2 + (η′+s+)3(λ¯34φη + λ¯35φ′η′ + λ¯36φ′η + λ¯37φη′)3 + (η′+s+)3′(λ¯38φη + λ¯39φ ′η′ + λ¯40φ′η + λ¯41φη′)3′ + λ¯42(φ ′+s+)1′(φφ ′)1′ + λ¯43(φ ′+s+)2(φφ′)2 + λ¯44(φ′+s+)3(φφ′)3 + λ¯45(φ ′+s+)3′(φφ ′)3′ + λ¯46(φ +s+)2(φφ ′)2 + λ¯47(φ+s+)3(φφ′)3 + λ¯48(φ +s+)3′(φφ ′)3′ + [λ¯49Tr(s +s) + λ¯50Tr(s +σ) + λ¯51Tr(σ +s) + λ¯52η +χ+ λ¯53η +η + λ¯54η ′+η′ + λ¯55η+η′ + λ¯56η′+η + λ¯57φ+φ + λ¯58φ ′+φ′ + λ¯59φ+φ′ + λ¯60φ′+φ]3η+χ + [λ¯61Tr(s +s) + λ¯62η ′+χ+ λ¯63η+η + λ¯64η′+η′ + λ¯65η+η′ + λ¯66η ′+η + λ¯67φ+φ+ λ¯68φ′+φ′ + λ¯69φ+φ′ + λ¯70φ′+φ]3′η ′+χ + λ¯71(η +φ)3(φ +χ) + λ¯72(η +φ′)3′(φ ′+χ) + λ¯73(η+φ)3′(φ ′+χ) + λ¯74(η +φ′)3(φ+χ) + λ¯75(η′+φ)3(φ+χ) + λ¯76(η′+φ′)3′(φ ′+χ) + λ¯77(η ′+φ)3′(φ ′+χ) + λ¯78(η′+φ′)3(φ+χ) + λ¯79(η+s+)3sχ + λ¯80(η ′+s+)3sχ+ λ¯81η+s+σχ+ λ¯82η+σ+sχ+H.c., (2.77) trong đó, tất cả các số hạng trong thế V đều vi phạm L-tích nhưng bảo toàn S4. Chúng tôi không chỉ ra ở đây, nhưng phải tồn tại thêm các số hạng khác nữa trong V¯ chỉ vi phạm đối xứng S4 hoặc vi phạm cả S4 và L-tích. Sau đây, 43 hầu hết chúng đều được bỏ qua, chỉ giữ lại các số hạng quan tâm. Có nhiều phần vô hướng tương ứng với các cách chọn các VEV: (1, 0, 0) cho s và (1, 1, 1) cho φ, φ′, η, η′ như đã được đề cập ở trên. Tuy nhiên, nếu tồn tại các phần liên kết mạnh qua thế Vtri−sext 6= 0, thì sự định hướng đó không cho phép từ điều kiện cực tiểu thế. Để khắc phục điều này, chúng ta tính đến không gian thêm chiều hoặc siêu đối xứng, hoặc sử dụng thêm các đối xứng gián đoạn. Trong luận án này chúng tôi cung cấp một sự giải thích khác, tiếp theo công việc trong [46] của E. Ma và các cộng sự trong các năm 2001, 2004, và 2010. Vì vậy, chúng tôi giả sử rằng σ và s là rất nặng (có thể xem thêm ở [66]) với các khối lượng lần lượt lààσ và às nên chúng chỉ có thể tự tương tác như cho trong Vsext. Chúng không xuất hiện như là các hạt vật lý ở thang năng lượng cỡ TeV hoặc thấp hơn. Chúng chỉ có ảnh hưởng ở năng lượng thấp như là một kết quả của thế hiệu dụng, mà chỉ gồm các trường φ, φ′, η, η′ and χ, tính đến tương tác bậc 4 có cùng dạng như Vtri. Với thế Vtri, các flavons φ, φ ′, η, η′ với các VEV của chúng được định hướng cùng hướng (1, 1, 1) là một lời giải tự động từ các điều kiện cực tiểu thế của Vtri. Để thấy điều này một cách rõ ràng, trong hệ các phương trình cực tiểu thế chúng ta đặt v1 = v2 = v3 = v, v ′ 1 = v ′ 2 = v ′ 3 = v ′ , u1 = u2 = u3 = u, và u′1 = u ′ 2 = u ′ 3 = u ′ . Khi đó hệ phương trình cực tiểu thế có dạng: (à2φ + λ φχ 1 v 2 χ)v + (3λ φη 1 + 4λ φη 3 )u 2v + (3λφη ′ 1 + 4λ φη′ 3 )u ′2v + (6λφ1 + 8λ φ 3)v 3 + (3λφφ ′ 1 + 4λ φφ′ 3 + 3λ φφ′ 5 + 4λ φφ′ 8 )vv ′2 + (3λ11 + 4λ 1 4 + 3λ 3 1 + 4λ 3 4)uu ′v′ = 0, (2.78) (à2φ′ + λ φ′χ 1 v 2 χ)v ′ + (3λφ ′η 1 + 4λ φ′η 3 )u 2v′ + (3λφ ′η′ 1 + 4λ φ′η′ 3 )u ′2v′ + (6λφ ′ 1 + 8λ φ′ 3 )v ′3 + (3λφφ ′ 1 + 4λ φφ′ 3 + 3λ φφ′ 5 + 4λ φφ′ 8 )v 2v′ + (3λ11 + 4λ 1 4 + 3λ 3 1 + 4λ 3 4)uu ′v = 0, (2.79) (à2η + λ χη 1 v 2 χ)u+ (3λ φη 1 + 4λ φη 3 )v 2u+ (3λφ ′η 1 + 4λ φ′η 3 )v ′2u + (6λη1 + 8λ η 3)u 3 + (3ληη ′ 1 + 4λ ηη′ 3 + 3λ ηη′ 5 + 4λ ηη′ 8 )u ′2u + (3λ11 + 4λ 1 4)u ′v′v = 0, (2.80) 44 (à2η′ + λ η′χ 1 v 2 χ)u ′ + (3λφη ′ 1 + 4λ φη′ 3 )u ′v2 + (3λφ ′η′ 1 + 4λ φ′η′ 3 )u ′v′2 + (6λη ′ 1 + 8λ η′ 3 )u ′3 + (3ληη ′ 1 + 4λ ηη′ 3 + 3λ ηη′ 5 + 4λ ηη′ 8 )u 2u′ + (3λ31 + 4λ 3 4)uvv ′ = 0. (2.81) Hệ phương trình (2.78) - (2.81) mặc dù khá phức tạp nhưng luôn cho lời giải (u, v, u′, v′) như mong đợi. Cần chú ý thêm rằng sự định hướng (1, 1, 1) như đã cho chỉ có một lời giải. Những sự định hướng khác như (1, 0, 0) cũng là lời giải của điều kiện cực tiểu thế. Vì vậy, chúng tôi đã áp đặt trường hợp thứ nhất để thu được các kết quả mong muốn. Bây giờ chúng ta xét thế V sσ liên quan đến các lục tuyến. Để thu được lời giải mong muốn 〈σ〉 6= 0, 〈s1〉 6= 0, và 〈s2〉 = 〈s3〉 = 0, L-tích cũng như đối xứng S4 phải được phá vỡ như đã được đề cập đến ở (2.77). Giả sử sự lựa chọn sau đây của số hạng mềm tương tác 3 và 4 trường vô như đã cho trong biểu thức thế tổng quát V làm việc trong V sσ: V sσ = Vsext + [à¯1(ηη)1σ + à¯2(ηη)1s1 + λ¯1η +σ+(φη)3 + λ¯2η +s1 + (φη)3 + h.c.] (2.82) Để hiểu điều này, trước hết cần chú ý rằng để cho σ hoặc s1,2,3 có VEV, L phải bị phá vỡi và điều đó đạt được chỉ cần qua các số hạng của V . Tuy nhiên, như một trong các công việc của E. Ma đã được trích dẫn ở trên, chúng tôi có thể giới thiệu một đối xứng Z2 sao cho s2 và s3 chỉ liên kết với các số hạng trong các thế hoặc các tương tác Yukawa luôn bảo toàn đối xứng ψ2,3 → −ψ2,3, trong đó, ψ là một tam tuyến bất kỳ của S4 xuất hiện như là s, φ, ψL, .... Chúng luôn xuất hiện cùng nhau và bị cấm đồng thời từ việc nhận một giá trị VEV. Từ V sσ, lời giải duy nhất đối với các điều kiện cực tiểu thế là 〈s2〉 = 〈s3〉 = 0, các giá trị khác không nhưng rất bé của λσ,s, vσ,s như đã thể hiện trong 〈s1〉 và 〈σ〉 của các phương trình (2.17), (2.18) là ∂V sσmin/∂〈s1〉∗ = 0 và ∂V sσmin/∂〈σ〉∗ = 0 (với V sσmin là cực tiểu của V sσ). Thứ nhất, các phương trình ∂V sσmin/∂Λ ∗ σ = 0 và ∂V sσ min/∂Λ ∗ s = 0 nghĩa là Λσ và Λs vào bậc khối lượng của các phản lục tuyến àσ và às [45]. Chúng ta hiển thị một bậc khối 45 lượng đặc trưng M sao cho Λσ,Λs, àσ, às ∼ M . Các phương trình còn lại ∂V sσmin/∂λ ∗ σ,s = 0 và ∂V sσ min/∂v ∗ σ,s = 0 cung cấp các VEV bé được đề xuất bởi bậc điện yếu mô hình chuẩn u ∼ v: λσ ∼ à¯1 v 2 M 2 , λs ∼ à¯2 v 2 M 2 , (2.83) vσ ∼ λ¯1v v 2 M 2 , vs ∼ λ¯2v v 2 M 2 . (2.84) Các tham số à¯1,2 và λ¯1v, λ¯2v (có thứ nguyên của khối lượng) có thể tự nhiên nhỏ bé so với v, bởi vì sự vắng mặt của nó làm tăng tính đối xứng của V σs. Chúng tôi nhận xét rằng, các VEV của cơ chế seesaw loại II λσ, λs có hiệu lực bởi vì từ (2.83) sự phá vỡ đối xứng tự phát của đối xứng điện yếu đã đạt được bởi v, và λσ, λs có thể nhỏ, miễn là M lớn. Mặt khác, vσ và vs là các VEV của cơ chế seesaw loại I mà cũng bé với cùng lý do. Đây cũng là những kết quả quan trọng của chúng tôi. Theo mô hình này, như đã đề cập các hạt mới làNR nhận các khối lượng vào bậc Λσ,s, U và D với các khối lượng vào cỡ w, và Z ′ , X , Y có khối lượng nhờ sự kết hợp của w và Λσ,s, trong đo w và Λσ,s là các bậc của phá vỡ đối xứng chuẩn 3-3-1 về MHC [54, 55]. Nếu các phản lục tuyến σ, s là nặng nhất, nghĩa là Λ2σ,s  w2, các boson chuẩn mới và NR sẽ có các khối lượng lớn trong bậc này, tuy nhiên U và D có thể thu được các khối lượng bé hơn nhiều (chẳng hạn như, vào cỡ vài trăm GeV). Trong trường hợp w ∼ Λσ,s, khối lượng của U và D sẽ cùng bậc với khối lượng của các boson chuẩn mới và NR. Bằng cách này, vô hướng χ cũng có thể được hợp nhất như các phản lục tuyến. Điều này giải thích vì sao các tham số phá vỡ chẵn lẻ 〈η03〉, 〈η′03 〉, 〈χ01〉 là bé, tương tự với vσ,s. Các trộn lẫn giữa các quark ban đầu và các quark ngoại lai, và dòng trung hòa thay đổi số vị ở gần đúng cây có thể bị cấm bởi cơ chế này. Có nhiều lưỡng tuyến và tam tuyến vô hướng của nhóm SU(2)L trong mô hình có thể dẫn tới những sự bổ sung cho dữ liệu điện yếu (xem [55] để có được sự phân tích chi tiết về vấn đề này). Vấn đề quan trọng nhất thu được từ các bổ đính ở gần đúng cây cho tham số ρ. Trong giới hạn lý thuyết hiệu 46 dụng, khối lượng củaW boson và ρ được xác định bởi m2W = g2 2 v2w, ρ = m2W c2Wm 2 Z = 1− 2(λ 2 σ + λ 2 s) v2w , (2.85) trong đó, v2w ' 3(v2 + v′2 +u2 +u′2) = (174 GeV)2 là một gần đúng tự nhiên theo v2σ, v 2 s , 〈χ01〉2  v2, v′2, u2, u′2, như đã cho ở trên. Bởi vì λσ,s vào bậc eV liên quan đến khối lượng neutrino, tham số ρ rất gần với 1, điều này phù hợp tốt với giữ liệu thực nghiệm [40]. Đối xứng vị S4 áp dụng trong mô hình 3-3-1 với các lepton trung hòa thu được kết quả khối lượng và trộn lẫn neutrino khớp với thực nghiệm trong gần đúng thấp nhất. Các kết quả thí nghiệm gần đây nhất cho các giá trị θ13 6= 0, mặc dù bé, nên chúng ta cần sử dụng gần đúng cao hơn. Với nhóm S4, công việc này sẽ dành cho sự phát triển tiếp theo của luận án. Trong chương này, chúng tôi chỉ dừng lại ở gần đúng thấp nhất khi đưa nhóm S4 vào mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa mà vẫn thu được một số kết quả quan trọng như đã trình bày ở trên. Chúng tôi đã sử dụng lý thuyết nhiễu loạn tính toán ở gần đúng bậc một cho nhóm S3 thu được góc trộn θ13 6= 0 như được trình bày trong chương 3 của luận án hoặc trong tài liệu trích dẫn [68]. 2.6 Kết luận chương 2 Khi đưa nhóm đối xứng S4 tác dụng lên cả 3 thế hệ fermion trong mô hình 331 với fermion trung hòa, dạng chính xác của ma trận trộn lẫn Tri-bimaximal có được như là một kết quả tự nhiên dưới đối xứng của nhómS4 và số lepton mới L. Nguồn gốc của sự trộn lẫn này là do các số hạng vi phạmL nhỏ hoặc sự phá vỡ các số hạng mềm của S4. Bằng việc áp đặt thế vi phạm số lepton L và S4 thích hợp, chúng tôi thu được các định hướng chân không, và sự giải thích về tính nhỏ bé của các đóng góp seesaw. Ma trận trộn lẫn quark ở gần đúng thấp nhất trùng với ma trận đơn vị nếu Pl là chính xác, không bị phá vỡ tự phát. Phổ khối lượng các fermion thu được từ mô hình phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm gần đây. 47 Hình 2.2: Đồ thị mô tả sự phụ thuộc m1,m2,m3 vào a ′ . (a) a′ ∈ (8.713 ì 10−3, 0.1), (b) a′ ∈ (−0.1,−8.713ì 10−3) Hình 2.3: Đồ thị mô tả sự phụ thuộcm1,m2,m3 vào a ′ . (a) a′ ∈ (0.1, 0.25), (b) a′ ∈ (−0.25,−0.1). Hình 2.4: Đồ thị mô tả sự phụ thuộc m1,m2,m3 vào a ′ . (a) a′ ∈ (8.713 ì 10−3, 0.6), (b) a′ ∈ (−0.6,−8.713ì 10−3). 48 Hình 2.5: Đồ thị mô tả sự phụ thuộcm1,m2,m3 vào a ′ . (a) a′ ∈ (0.085, 0.2), (b) a′ ∈ (−0.2,−0.085). Hình 2.6: Đồ thị mô tả sự phụ thuộc m1,m2,m3 vào a ′ . (a) a′ ∈ (0.2, 0.6), (b) a′ ∈ (−0.6,−0.2). Hình 2.7: Đồ thị mô tả sự phụ thuộcm1,m2,m3 vào a ′ với a′ ∈ (0.085, 0.6) và a′ ∈ (−0.6,−0.085). 49 Chương 3 Nhóm đối xứng vị S3 trong các mô hình 3-3-1 Trong chương 2 chúng tôi đã đưa nhóm đối xứng gián đoạn S4 vào mô hình 331NF, thu được dạng chính xác của ma trận trộn lẫnUHPS ở gần đúng thấp nhất, và giải thích được kết quả về sự khác biệt bình phương khối lượng của neutrino. Tuy nhiên, các kết quả thực nghiệm gần đây nhất xác định góc trộn θ13 6= 0, mặc dù bé. Vấn đề đó có thể được giải quyết bằng lý thuyết nhiễu loạn đối với nhóm S3 [68]. Trong chương này, chúng tôi đề xuất mô hình 331NF và mô hình 331RH dựa trên nhóm đối xứng vị S3 sinh khối lượng và trộn lẫn cho các fermion, đồng thời giải thích sự khác không của góc θ13. Mô hình được đặc trưng bởi việc thêm vào tích lepton mới L có liên quan đến số lepton ban đầu L theo các biểu thức (1.20) và (3.64). Khối lượng bé của các neutrino thu được theo tổ hợp của các cơ chế seesaw loại I và loại II. Đối xứng vị được phá vỡ theo hai hướng: S3 → Z2 hoặc S3 → Z3, trong hướng thứ hai cần 1 tam tuyến vô hướng và 1 phản lưỡng tuyến khác đóng vai trò như một nhiễu loạn bé. Mặt khác, sự phá vỡ của đối xứng lepton phải được xảy ra theo sự vi phạmL của thế vô hướng [68]. Trước hết, chúng tôi trình bày về mô hình 331NF dựa trên nhóm đối xứng S3. Mô hình 331RH dựa trên nhóm đối xứng vị S3 được trình bày trong mục 3.8. 50 3.1 Sự sắp xếp hạt của mô hình Trong mô hình này, các tích liên quan đến đối xứng chuẩn được cho bởi nhóm SU(3)C ⊗ SU(3)L ⊗U(1)X giống như mô hình 331FNS4, sự khác biệt chỉ là ở nhóm S3, nghĩa là, toán tử điện tích Q liên hệ với các vi tử của đối xứng chuẩn theo hệ thức (1.19), và tích lepton mới L liên hệ với số lepton ban đầu (L) bởi các ma trận chéo (1.20). Tích lepton được chọn theo cách này, nghĩa là L(NR) = 0, sẽ khử các tương tác không mong muốn theo đối xứng U(1)L và các đối xứng phá vỡ cung cấp phổ lepton và quark phù hợp, với các hiệu ứng khác với các hiệu ứng thu được khi áp dụng cho mô hình 331RH như được trình bày trong mục 3.8. Bằng cách này, mô hình không chứa các lepton ngoại lai, nghĩa là các quarkU,D cũng như các boson chuẩn không hermitic mớiX0, Y ± có các tích lepton như các lepton ban đầu: L(D) = −L(U) = L(X0) = L(Y −) = 1. Lý thuyết về nhóm S3 được trình bày chi tiết trong mục 1.1.1. Nhóm S3 chứa một biểu diễn tối giản hai chiều 2 và hai biểu diễn một chiều 1, 1′. Biểu diễn định nghĩa của S3 là biểu diễn 3 chiều, được phân tích thành 3 = 2⊕ 1 nên có thể gán cho tất cả các fermion của mô hình thực hiện các biểu diễn 1 và 2. Cụ thể, chúng tôi đặt các fermion của thế hệ thứ nhất thực hiện biểu diễn 1, trong khi đó hai thế hệ fermion còn lại thực hiện biểu diễn 2. Dưới đối xứng [SU(3)L,U(1)X ,U(1)L, S3], các fermion của mô hình được sắp xếp như sau: ψ1L = (ν1L, l1L, N c 1R) T ∼ [3,−1/3, 2/3, 1], l1R ∼ [1,−1, 1, 1], ψαL = (ναL, lαL, N c αR) T ∼ [3,−1/3, 2/3, 2], lαR ∼ [1,−1, 1, 2], Q1L = (u1L, d1L, UL) T ∼ [3, 1/3,−1/3, 1], u1R ∼ [1, 2/3, 0, 1], d1R ∼ [1,−1/3, 0, 1], UR ∼ [1, 2/3,−1, 1],(3.1) QαL = (dαL, −uαL, DαL)T ∼ [3∗, 0, 1/3, 2], uαR ∼ [1, 2/3, 0, 2], dαR ∼ [1,−1/3, 0, 2], DαR ∼ [1,−1/3, 1, 2]. trong đó, α = 2, 3 là chỉ số thế hệ của hai thế hệ lepton và quark thứ hai và 51 thứ 3, được định nghĩa như là các thành phần của các biểu diễn 2. Cần chú ý rằng các quark 2 đòi hỏi điều kiện khử dị thường, trong đó thế hệ lepton phân cực trái thứ nhất thực hiện biểu diễn 3, trong khi hai thế hệ quark phân cực trái còn lại thực hiện biểu diễn 3∗. Tất cả các tích L của các lưỡng tuyến của mô hình được liệt kê trong dấu ngoặc vuông trong (3.1). Sau đây chúng tôi xem xét các khả năng cho việc sinh khối lượng cho các fermion. Các lưỡng tuyến vô hướng cần thiết cho mục đích này cũng được giới thiệu. 3.2 Khối lượng lepton mang điện Khối lượng của các lepton mang điện được sinh ra từ các liên kết của ψ¯1Ll1R, ψ¯1LlαR, ψ¯αLl1R và ψ¯αLlαR. Dưới đối xứng [SU(3)L,U(1)X ,U(1)L, S3], chúng biến đổi như sau: ψ¯1Ll1R ∼ [ 3∗,−23 , 13 , 1 ] , ψ¯1LlαR ∼ [ 3∗,−23 , 13 , 2 ] ∼ ψ¯αLl1R và ψ¯αLlαR ∼ [ 3∗,−23 , 13 , 1⊕ 1′ ⊕ 2 ] . Vì vậy, các tam tuyến Higgs SU(3)L thực hiện các biểu diễn 1, 1 ′ hoặc 2 của nhóm S3 có thể thu được La- grangian tương tác Yukawa bất biến dưới nhóm [SU(3)L,U(1)X ,U(1)L, S3]. Tuy nhiên, với đặc tính của nhóm S3, để sinh khối lượng cho các lepton mang điện, chúng ta chỉ cần giới thiệu hai tam tuyến Higgs vô hướng φ và φ′ của nhóm SU(3)L lần lượt thực hiện các biểu diễn 1, 1 ′ như sau: φ =  φ+1 φ02 φ+3  ∼ [3, 23 ,−13 , 1 ] , φ′ =  φ′+1 φ′02 φ′+3  ∼ [3, 23 ,−13 , 1′ ] , (3.2) với các VEV tương ứng được chọn dưới dạng: 〈φ〉 =  0 v 0  , 〈φ′〉 =  0 v′ 0  . (3.3) 52 VEV của φ bảo toàn đối với nhóm S3 trong khi đó VEV của φ ′ phá vỡ đối xứng này. ở đây, ba biểu diễn của S3 tương ứng với mối liên hệ giữa hai trong ba đối tượng bị phá vỡ. Vì vậy, nhóm S3 phá vỡ trong phần lepton mang điện dưới dạng S3 → Z3 bao gồm yếu tố đơn vị và hai phép hoán vị toàn phần. Tương tác Yukawa sinh khối lượng cho các lepton mang điện có dạng: −Ll = h1ψ¯1Lφl1R + h(ψ¯αLlαR)φ+ h′(ψ¯αLlαR)φ′ + h.c = h1ψ¯1Lφl1R + h(ψ¯2Ll2R + ψ¯3Ll3R)φ+ h ′(ψ¯3Ll3R − ψ¯2Ll2R)φ′ + h.c. (3.4) Phần Lagrangian khối lượng được xác định: −Lmassl = h1vl¯1Ll1R + (hv − h′v′)l¯2Ll2R + (hv + h′v′)l¯3Ll3R + h.c ≡ (l¯1L, l¯2L, l¯3L)Ml(l1R, l2R, l3R)T + h.c, (3.5) trong đó, Ml =  h1v 0 0 0 hv − h′v′ 0 0 hv + h′v′  ≡  me 0 0 0 mà 0 0 mτ  . (3.6) me = h1v, mà = hv − h′v′, mτ = hv + h′v′. (3.7) Ma trận khối lượng lepton mang điệnMl trong (3.6) đã có dạng chéo hóa, vì vậy các ma trận làm chéo hóa nó có dạng UlL = UlR = 1. (3.8) Nghĩa là, bản thân các lepton mang điện l1,2,3 là các trạng thái riêng khối lượng vật lý. Lúc này, ma trận trộn lẫn lepton chỉ phụ thuộc vào ma trận trộn lẫn neutrino mà sẽ được nghiên cứu trong mục 3.4 của chương 3. Từ kết quả (3.7) chúng ta thấy, các khối lượng của muon và tauon được tách do φ′, thu được từ sự phá vỡ S3 → Z3. Đây là lý do vì sao chúng tôi giới thiệu thêm tam tuyến Higgs φ′. 53 Các giá trị khối lượng thực nghiệm của các lepton mang điện ở thang điện yếu được cho bởi [40]: me = 0.511MeV, mà = 106.0 MeV, mτ = 1.77GeV. (3.9) So sánh (3.7) và (3.9) chúng ta thu được: h1v = 0.511 MeV, hv = 938 MeV, h ′v′ = 832MeV. (3.10) Từ (3.10), chúng ta thấy h1  h, và nếu h cùng bậc với h′ thì v′ cùng bậc với v. Cần chú ý rằng sự tách số hạng khối lượng à − τ phụ thuộc vào việc phá vỡ S3 → Z3 là cần thiết lớn giống như sự bảo toàn S3, vào cỡ một nữa khối lượng của tauon. Như vậy, nếu VEV của các tam tuyến Higgs φ và φ′ cùng bậc thì mô hình có thể cho lời giải thích về vấn đề phân bậc khối lượng lepton. 3.3 Khối lượng quark Khối lượng quark được sinh ra từ các kết cặp giữa các quark phân cực trái và các quark phân cực phải với các vô hướng Higgs như trong bảng 3.1, dưới nhóm SU(3)L. Tuy nhiên, dựa vào đặc tính của nhóm S3, để thu được khối lượng các quark với một số tối thiểu các đa tuyến Higgs, chúng ta cần thêm vào mô hình các tam tuyến Higgs như sau: χ = ( χ01, χ − 2 , χ 0 3 )T ∼ [3,−1/3, 2/3, 1], η = ( η01, η − 2 , η 0 3 )T ∼ [3,−1/3,−1/3, 1], (3.11) η′ = ( η′01 , η ′− 2 , η ′0 3 )T ∼ [3,−1/3,−1/3, 1′]. Cần chú ý rằng các vô hướng này không kết hợp với các lepton theo bất biến chuẩn. Các tương tác Yukawa vì vậy có dạng: −Lq = f1Q¯1LχUR + fQ¯Lχ∗DR + hu1Q¯1Lηu1R + h dQ¯Lη ∗dR + h′dQ¯Lη′∗dR + hd1Q¯1Lφd1R + h uQ¯Lφ ∗uR + h′uQ¯Lφ′∗uR + h.c. (3.12) 54 Bảng 3.1: Các khả năng kết cặp cần thiết sinh khối lượng quark Các khả năng kết cặp Các tam tuyến Higgs Q¯3LUR ∼ ( 3∗, 13 ,−23 ) χ ∼ (3,−13 , 23) Q¯αLDβR ∼ ( 3,−13 , 23 ) χ∗ ∼ (3∗, 13 ,−23) Q¯3LdaR ∼ ( 3∗,−23 , 13 ) φ ∼ (3, 23 ,−13) Q¯αLuaR ∼ ( 3, 23 ,−13 ) φ∗ ∼ (3∗,−23 , 13) Q¯3LuaR ∼ ( 3∗, 13 , 1 3 ) η ∼ (3,−13 ,−13) Q¯αLdaR ∼ ( 3∗,−13 ,−13 ) η∗ ∼ (3∗, 13 , 13) Q¯3LDαR ∼ ( 3∗,−23 , 43 ) ρ ∼ (3, 23 ,−43) Q¯αLUR ∼ ( 3, 23 ,−43 ) ρ∗ ∼ (3∗,−23 , 43) Bây giờ chúng tôi giới thiệu một đối xứng dư của số lepton Pl ≡ (−1)L, được gọi là đối xứng lepton [45], nhằm ngăn chặn sự trộn lẫn giữa các quark ban đầu và các quark ngoại lai. Các số lepton của các hạt trong mô hình được liệt kê trong phụ lục E. Các hạt với số chẵn lẻ dương (Pl = 1) có số lepton L = 0,±2, chẳng hạn như NR, các quark ban đầu và các boson chuẩn, boson chuẩn trung hòa mới Z ′, φ1,2, φ′1,2, η1,2, η ′ 1,2, χ3, .... Các hạt với số chẵn lẻ âm (Pl = −1) có L = ±1, chẳng hạn như các lepton ban đầu, U , D, các hạt mới không HermitianX và Y , φ3, φ ′ 3, η3, η ′ 3, χ1,2, .... Trong luận án này, chúng tôi giả sử rằng đối xứng lepton là một đối xứng chính xác, không bị phá vỡ một cách tự phát. Nghĩa là, η3, η ′ 3 và χ1 có VEV bằng không, và các hiệu ứng liên quan sẽ được bỏ qua. Tuy nhiên, ngay sau đây chúng tôi sẽ thảo luận ngắn gọn về sự phá vỡ đối xứng lepton cho phần quark. Với phần neutrino, chúng tôi giả sử đối xứng lepton bị phá vỡ, vì vậy ma trận khối lượng neutrino được tính toán dưới dạng tổng quát nhất. Mặt khác, các VEV ứng với các hạt có số chẵn lẻ âm sẽ triệt tiêu. Các kết luận tổng quát thu được cho phần lepton là không thay đổi bởi vì đối xứng lepton giao hoán với các vi tử của nhómS3. 55 Các VEV của η, η′ và χ lần lượt được chọn như sau: 〈η〉 =  u 0 0  , 〈η′〉 =  u′ 0 0  , 〈χ〉 =  0 0 ω  . (3.13) trong đó, các VEV 〈η03〉, 〈η′03 〉, và 〈χ01〉 triệt tiêu vì sự bảo toàn đối xứng lepton. Lagrangian khối lượng quark trong mo hình này được xác định: −Lmassq = f1ωU¯LUR + fω(D¯1LD1R + D¯2LD2R) + hu1uu¯1Lu1R + (h uv + h′uv′)u¯2Lu2R + (huv − h′uv′)u¯3Lu3R + hd1vd¯1Ld1R + (h du+ h′du′)d¯2Ld2R + (hdu− h′du′)d¯3Ld3R + h.c. (3.14) Khi đó, các quark ngoại lai có khối lượng mU = f1w , mD1,2 = fw. (3.15) Hơn nữa, để lý thuyết có hiệu lực thì w phải rất lớn hơn các VEV của v, v′, u và u′. Các ma trận khối lượng của quark up và quark down ban đầu lần lượt thu được như sau: Mu =  hu1u 0 0 0 huv + h′uv′ 0 0 0 huv − h′uv′  ≡  mu 0 0 0 mc 0 0 0 mt  ,(3.16) Md =  hd1v 0 0 0 hdu+ h′du′ 0 0 0 hdu− h′du′  ≡  md 0 0 0 ms 0 0 0 mb  .(3.17) Các ma trận khối lượng quark u, d trong (3.16) và (3.17) có dạng chéo, vì vậy các quark u1, u2, u3 và d1, d2, d3 là các trạng thái riêng khối lượng vật lý. Tương tự với phần lepton mang điện, khối lượng của các quark c, t và s, b được tách theo từng cặp lần lượt bởi các tam tuyến vô hướng Higgs φ′ và η′ 56 theo sự phá vỡ đối xứng S3 → Z3 . Chúng tôi thấy rằng việc giới thiệu η′ là cần thiết để thu được sự khác biệt về khối lượng của các quark s và b. Giá trị khối lượng của các quark theo kết quả thực nghiệm gần đây được cho bởi [40]: mu = (1.5ữ 3.3) MeV, md = (3.5ữ 6.0) MeV, mc = (1.16ữ 1.34) GeV, ms = (70.0ữ 130.0) MeV, mt = (169.0ữ 173.3) GeV,mb = (4.13ữ 4.37) GeV. (3.18) So sánh (3.16) và (3.17) với (3.18) chúng ta thu được: hu1u = (1.5ữ 3.3) MeV, hd1v = (3.5ữ 6.0) MeV, huv = (85.08ữ 87.32) GeV, hdu = (2.10ữ 2.25) GeV, h′uv′ = −(83.83ữ 86.07) GeV, h′du′ = −(2.00ữ 2.15) GeV.(3.19) Từ (3.19), nếu u ∼ v ∼ u′ ∼ v′, các hằng số liên kết Yukawa có mối liên hệ: hu1 , h d 1  hd, |h′d|  hu, |h′u|. (3.20) Cần chú ý rằng sự phá vỡ các số hạng S3 trong trường hợp này cũng lớn so với trường hợp bảo toàn. Các ma trận unita liên kết các quark phân cực trái uL, dL với các số hạng khối lượng lần lượt là UuL = 1 và UdL = 1. Vì vậy, ma trận trộn lẫn quark UCKM ở gần đúng thấp nhất có dạng: UCKM = U † dLUuL = 1. (3.21) Đây là một gần đúng tốt cho các ma trận trộn lẫn quark theo thực nghiệm, nghĩa là các trộn lẫn theo các quark là bé. Sự hoán vị bé, chẳng hạn như một sự phá vỡ đối xứng lepton theo các VEV của các hạt có số chẵn lẻ âm 〈η03〉, 〈η′03 〉, 〈χ01〉, hay một sự vi phạm đối xứng L và S3 hoặc một sự vi phạm của đối xứng L hoặc đối xứng S3 do các tương tác Yukawa không chuẩn, có dạng Q¯1Lχu1R, Q¯Lχ ∗dR, Q¯1LχuR .... sẽ làm ảnh hưởng đến kết quả ma trận trộn lẫn quark ở gần đúng thấp nhất sinh ra do sự trộn lẫn giữa các quark ban 57 đầu và các quark ngoại lai, và có thể cung cấp số hạng trộn lẫn quark mong muốn [45,67]. Điều này cũng cung cấp dòng trung hòa thay đổi số vị ở gần đúng thấp nhất nhưng bị cấm một cách mạnh mẽ [45,67]. Có thể xem ở phần 3.8 với các tính toán tương tự trong mô hình 331RH. Một nghiên cứu chi tiết về các vấn đề này với với mô hình 331RH sẽ là hướng nghiên cứu tiếp theo của luận án. 3.4 Khối lượng và trộn lẫn neutrino Khối lượng neutrino sinh ra từ các liên kết của ψ¯cLψL với các vô hướng Higgs, trong đó, ψ¯cLψL biến đổi như là 3 ∗ ⊕ 6 dưới nhóm SU(3)L. Cần chú ý rằng, số hạng thứ nhất ψ1,2,3 hoàn toàn phản đối xứng theo các chỉ số vị, trong khi đó, chúng đối xứng theo số hạng thứ hai. Với các tam tuyến Higgs đã biết, chỉ có các tương tác sau đây là được thỏa mãn (ψ¯c2Lψ3L + ψ¯ c 3Lψ2L)φ, (ψ¯c2Lψ3L − ψ¯c3Lψ2L)φ′ nhưng được bỏ qua do chúng vi phạm đối xứng L. Vì vậy, chúng tôi đề xuất một phản lục tuyến mới của nhómSU(3)L liên kết với ψ¯cLψL để thu được khối lượng cho neutrino. Phản lưỡng tuyến SU(3)L biến đổi như sau: si =  s011 s + 12 s 0 13 s+12 s ++ 22 s + 23 s013 s + 23 s 0 33  i ∼ [6∗, 2/3,−4/3, 2], (3.22) trong đó, các số trong các thành phần vô hướng là các chỉ số củaSU(3)L, các chỉ số i = 1, 2 là của nhóm S3. Chú ý rằng, i và α đã được đề cập phụ thuộc cùng một loại chỉ số. VEV của s được chọn dưới dạng: 〈s〉 = (〈s1〉, 〈s2〉), 〈si〉 =  λi 0