Luận văn Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học

ai hình vuông cho trước. b) Dựng hình vuông có diện tích bằng diện tích của hai hình vuông cho trước. 2.1.4. Các bước giải của bài toán dựng hình. Ngay từ thế kỷ thứ tư TCN, các nhà hình học cổ HiLạp đã tìm ra đường lối chung để giải 1 bài toán dựng hình gồm bốn bước; Phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận. 2.1.4.1. Bước phân tích. Phân tích là phần quan trọng nhất giúp lập phương án dựng để tìm ra lời giải của một bài toán làm cơ sở xác định được mối quan hệ giữa các yếu tố phải tìm (giống như khi giải bài toán đại số ta chọn ẩn biểu thị bằng chữ x chẳng hạn rồi lập mối liên hệ giữa x với các đại lượng đã cho của bài toán từ đó mà lập được phương trình). Như thế trước hết phải vẽ một hình tương ứng với hình phải dựng (tức là giả sử hình vẽ đã dựng được thoả mãn điều kiện của bài toán). Qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho trước và những yếu tố phải dựng. Ví dụ bài toán sau đây: Dựng tam giác ABC biết cạnh đáy AC = b; góc A = a kề với đáy và tổng của hai cạnh kia AB + BC = S". Trước hết ta giả sử DABC đã dựng được (hình vẽ). Như thế trên hình vẽ ta đã biết cạnh đáy AC, góc A còn tổng hai cạnh kia không có. Để thể hiện tổng S ta kéo dài cạnh AB và đặt trên đường kéo dài cạnh BC' = BC, thế là ta có AC' = S đã cho. Nếu nối C với C' thì DAC'C có thể dựng được ngay (Dựng D biết 2 cạnh và góc xen giữa). Dựng được DAC'C này chỉ còn phải dựng điểm B trên cạnh AC' để có được DABC cần dựng. Lưu ý rằng nếu ta thể hiện tổng S bằng cách kéo dài cạnh CB trên đó đặt đoạn BA' = BA để có CA' = S thì việc dựng DAA"C không dễ dàng. Vậy bước phân tích liên quan tới hình vẽ ban đầu, do đó hình vẽ để phân tích phải được vẽ cẩn thận và chính xác. 2.1.4.2. Bước cách dựng Bước này gồm 2 phần: a) Kể theo một thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ bản cần thực hiện được suy ra từ bước phân tích. b) Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ thước và compa, không phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mô tả cách dựng đó. Với bài toán trên, cách dựng sẽ như sau: - Trên đường thẳng bất kỳ xy dựng đoạn AC = b - Lấy AC làm cạnh = a. - Kéo dài AB, trên đường kéo dài dựng đoạn BC' = BC; - Dựng DAC'C (biết góc A và hai cạnh AC', AC). - Dựng trung trực của CC'. - Lấy giao điểm B của trung trực này với AC'. Ta được DABC phải dựng. Sở dĩ phải nêu cách thực hiện phép dựng vì cùng một phép dựng có thể có những phương pháp khác nhau. Ta hãy xét ví vụ sau: "Dựng hình bình hành ABCD biết một góc nhọn = a và hai đường chéo AC = d và BD = e". Giả sử đã dựng được hình bình hành. Vì các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên có thể dựng được ngay DABD biết đáy BD=e, góc ở đỉnh và trung tuyến . Dựng được DABD này ta bổ sung nó thành hình bình hành ABCD. Suy ra cách dựng sau: - Trên đường thẳng bất kỳ xy dựng đoạn BD bằng đường chéo nhỏ e ứng với góc nhọn cho trước a. - Dựng cung chứa góc a vẽ trên đoạn BD. - Dựng đường tròn có tâm là trung điểm của BD và có bán kính . - Lấy giao điểm của cung chứa góc và đường tròn (có 2 giao điểm). Nối các giao điểm này với B và D, ta được DBAD (và DBA'D). Có thể bổ sung tam giác thành hình bình hành (Tức là xác định đỉnh thứ tư C của hình bình hành) bằng nhiều phương pháp, chẳng hạn: - Qua B dựng BC // AD, qua D dựng DC// AB. Trên BD dựng D biết hai cạnh BC = AD và CD và AB, kéo dài AO về phía O và đặt OC = OA, nối C với các điểm B và D, … 2.1.4.3. Bước chứng minh Sau khi đã dựng được hình cần phải xác nhận xem nó có thoả mãn các điều kiện của bài toán hay không, tức là phải chứng minh bằng hình dựng được thoả mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứng minh này phụ thuộc vào cách dựng. Nói cách khác nếu không biết rõ hai bước phân tích và cách dựng thì không thể nói rằng chứng minh đúng hay sai, vì có thể có những phương pháp giải bài toán khác nhau và ngay cả khi đã phân tích giống nhau thì cũng có những cách khác nhau để thực hiện, tức là có cách dựng khác nhau. Cũng cần nói thêm rằng nếu cách dựng đã rõ ràng thì bước chứng minh cũng đơn giản. Trở lại bài toán dựng tam giác (bước phân tích) cách chứng minh như sau: DABC có góc A bằng a (theo cách dựng), cạnh đáy, AC = b, tổng AB + BC' = AB + BC = S. Vậy tam giác này thoả mãn các điều kiện của bài toán nên DABC là tam giác phải dựng. Hoặc với bài toán dựng hình bình hành, cách chứng minh phụ thuộc vào cách xác định đỉnh C. Nếu xác định đỉnh C bằng cách dựng BC // AD và qua D dựng DC //AB thì bước chứng minh sẽ như sau: - Tứ giác ABCD là hình bình hành về có hai cặp cạnh song song (AD//BC; AB//DC). - Nó có góc nhọn = a, đường chéo BD = e, đường chéo AC = 2; AO = d (theo cách dựng DABD). Vậy hình bình hành này thoả mãn các điều kiện của bài toán nên ABCD là hình bình hành phải dựng. 2.1.4.4. Bước biện luận Khi giải bài toán đại số có tham số thường đặt ra câu hỏi: Với những yếu tố cho trước như thế nào thì bài toán giải được, không giải được. Trong giải toán dựng hình cũng phải đặt ra câu hỏi như thế, và mỗi bài toán là một yêu cầu về dựng một hình thoả mãn các điều kiện xác định, các điều kiện này thường được cho bởi các giá trị và vị trí của một số yếu tố của hình. Việc giải một bài toán dựng hình chỉ được coi là xong nếu được các điều kiện để lời giải tìm được là đáp án của bài toán. Một bài toán dựng hình có thể có một nghiệm hình, hai hoặc hơn 2 nghiệm hình, có vô số nghiệm hình (vô định) hoặc không có nghiệm hình (vô nghiệm). Nếu một bài toán mà các giả thiết đối với yếu tố cho trước thu hẹp thì phạm vi các giá trị thích hợp của các yếu tố đó sẽ hẹp đi và bước biện luận sẽ đơn giản đi. Hãy xét ví dụ sau đây: "Dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cho trước và một đường tròn cho trước". Vì đề bài cho hai đường thẳng bất kỳ nên chúng có thể cắt nhau, hoặc song song với nhau. Nếu chúng cắt nhau thì phần biện luận sẽ phức tạp nhưng nếu chúng song song thì đơn giản hơn. Đối với ví dụ sau: "Dựng tam giác biết hai cạnh và góc đối diện với một trong hai cạnh đó", thì góc đã cho có thể là nhọn, vuông hoặc tù, vì thế khi biện luận phải xét đến các trường hợp ấy. Để đơn giản bước biện luận có thể giới hạn độ lớn của góc, chẳng hạn cho góc nhọn đối diện với một trong hai cạnh, hay có thể hạ thấp hơn mức độ bằng cách cho góc nhọn đối diện với cạnh nhỏ. 2.1.5. Toán dựng hình bằng các phương pháp khác nhau Đứng trước một bài toán dựng hình muốn xác định xem có thể giải bằng phương pháp nào cần biết những dấu hiệu đặc trưng nhất của bài toán giải được bằng phương pháp này hay phương pháp khác. Mỗi phương pháp đều có giá trị riêng của nó. Các phương pháp thường sử dụng là: phương pháp tịnh tiến, phương pháp đối xứng trục, phương pháp quay, phương pháp quỹ tích, phương pháp đồng dạng, phương pháp đại số. 2.1.5.1. Phương pháp tịnh tiến Ví dụ: Dựng hình thang biết bốn cạnh: hai cạnh đáy a và b (a > b) và hai cạnh bên c và d (c Ê d) - Phân tích: Giả sử ABCD là hình thang phải dựng có AD là đáy lớn, BC là đáy nhỏ, AB và CD là hai cạnh bên Từ B kẻ BD'//CD. Tam giác ABD' có thể dựng được ngay vì biết ba cạnh. Chỉ còn xác định đỉnh thứ tư C của hình thang. - Cách dựng: Trước tiên dựng DABD' biết ba cạnh AB = c; BD' = d và AD' = a - b. Qua B kẻ tia song song với AD', trên tia này dựng điểm C sao cho BC = b. Cuối cùng qua C kẻ CD//BD' cắt AD' kéo dài tại D. ABCD là hình thang phải dựng. - Chứng minh: Ta có AB =- c, BC = b theo cách dựng, AD = AD' + D'D = AD' + BC = a - b + b = a. Và CD = BD' và là đoạn chắn giữa hai đường thẳng song song. Vậy ABCD là hình thang thoả mãn điều kiện của đề bài. - Biện luận:Điều kiện để dựng được hình thang là d - c < a - b < d+ c với điều kiện này bài toán có một nghiệm hình (nếu điều kiện trên không được thoả mãn thì bài toán vô nghiệm). 2.1.5.2. Phương pháp đối xứng trục Ví dụ: Cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng AB. Tìm trên d một điểm M sao cho đường thẳng d là phân giác của góc AMB. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua trục d,ta có: AM = A'M và . Do đó: DMNA = DMNA' Suy ra: Vậy điểm B phải nằm trên A'M, nói cách khác điểm M phải nằm trên A'B. Do đó ta dựng được giao điểm M của đường thẳng A'B với đường thẳng d. Bài toán có một nghiệm hình nếu khoảng cách từ A và B đến d không bằng nhau. Nếu các khoảng cách này bằng nhau nhưng hai điểm A và B không đối xứng nhau qua d thì bài toán vô nghiệm (vì A'B // d). Cuối cùng nếu A và B đối xứng nhau qua d thì bài toán vô định: Bất cứ điểm nào trên d đều thoả mãn. 2.1.5.3. Phương pháp quay Ví dụ: Dựng D biết hai cạnh và trung tuyến kẻ tới cạnh thứ ba. Giả sử ABC là D phải dựng có cạnh cho trước là a và b, có trung tuyến CD = mc. Ta quay toàn bộ hình vẽ xung quanh điểm D một góc 1800 sẽ được hình bình hành ACBC'. Trong đó biết các cạnh và một đường chéo CC' = 2mc. Do đó cách dựng như sau: Dựng tam giác ACC' biết ba cạnh bổ sung nó thành hình bìh hành ACBC'. Nối A với B được tam giác ABC phải dựng. Điều kiện để dựng được tam giác ACC' là < 2mc< a+b. Bài toán có 1 nghiệm hình. 2.1.5.4. Phương pháp quỹ tích. Ví dụ: Dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng song song a và b và qua 1 điểm P cho trước. - Phân tích: Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là d. Bán kính đường tròn phải dựng sẽ là . Bài toán quy về dựng tâm của đường tròn thoả mãn 2 điều kiện: a) Cách đều hai đường thẳng a và b. b) Cách điểm P một khoảng . Suy ra cách dựng sau: - Cách dựng: Từ điểm A tuỳ ý trên đường thẳng a hạ AH b. Dựng trung điểm C của đoạn AB. Quỹ tích n điểm cách đều a và b là đường thẳng c đi qua điểm C và song song với a,b cách a,b một đoạn bằng . Quỹ tích thoả mãn điều kiện thứ 2 là đường tròn (P, ). Lấy giao điểm O1 của đường tròn này với đường thẳng C1 dựng đường tròn (O1; O1P) đó là đường tròn phải tìm. - Chứng minh: đường tròn (O1; O1P) tiếp xúc với 2 đường thẳng a và b vì khoảng cách từ tâm O1 đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng d. đường tròn này lại qua điểm P theo cách dựng. Vậy nó thoả mãn bài toán. Biện luận: a) Nếu P nằm giữa hai đường thẳng a và b thì thì bì toán ta có hai nghiệm hình là hai đường tròn (O1; O1P) và (O2; O2P). b) Nếu P nằm trên a hoặc trên b thì bài toán có 1 nghiệm hình. c) Nếu P nằm ngoài khoảng tạo bởi a và b thì bài toán vô nghiệm. 2.1.5.5. Phương pháp đồng dạng. Ví dụ: Trong tam giác ba góc nhọn ABC hãy dựng hình vuông sao cho hai đỉnh của nónằm trên đáy tam giác và hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh bên. Phân tích: Ta phải dựng một hình vuông đồng thời thoả mãn các điều kiện sau: a) Hai đỉnh của nó phải nằm trên AB. b) Một đỉnh nằm trên AC. c) Một đỉnh nằm trên BC. Ta thấy rằng có thể dựng dễ dàng hình vuông thoả mãn hai điều kiện ban đầu. Giả sử đó là hình vuông K'L'M'N'. Rõ ràng phép đồng dạng tâm A tỷ số đồng dạng bất kỳ sẽ biến đổi hình vuông K'L'M'N' thành hình vuông K"L"M"N" khi đó điểm M'' nằm trên đường thẳng AM'. Để giải bài toán phải chọn trong số các hình vuông K"L"M"N"đồng dạng với hình vuông K'L'M'N' hình nào mà điểm M'' nằm trên BC. Trong trường hợp này điểm M'' sẽ là giao điểm của hai đường thẳng AM' và BC. Suy ra cách dựng sau: - Cách dựng: a) Dựng hình vuông ng K'L'M'N' thoả mãn hai điều kiện ban đầu. b) Dựng đường thẳng AM' và lấy giao điểm M của nó với cạnh BC. c) Qua M kẻ đường thẳng song song với M'N' ta lấy giao điểm M của nó với cạch BC. d) Từ M và N hạ các đường vuông góc ML và NK xuống AB. Ta được KLMN là hình vuông phải dựng. Thật vậy, KLMN là hình vuông theo cách dựng, nó đồng dạng với hình vuông K'L'M'N' và thoả mãn điều kiện của đề bài là hai đỉnh M và N nằm trên 2 cạnh BC và AC. Bài toán có 1 nghiệm hình. 2.1.5.6. Phương pháp đại số. Ví dụ: Lấy đỉnh của một tam giác cho trước làm tâm hãy dựng ba đường tròn từng đôi tiếp xúc ngoài với nhau. - Giải: Giả sử ABC là tam giác cho trước mà ba cạnh là a, b, c, và x, y, z là bán kính các đường tròn phải dựng. Ta tính độ dài các bán kính x, y, z theo ba cạnh a, b, c ta có: x + y = c; x + z = b; y + z = a. Do đó x = ; ; . Bây giờ ta dựng một trong ba đoạn thẳng chẳng hạn x theo công thức x = ; rồi vẽ đường tròn (A, x). Sau đó vẽ tiếp các đường tròn tâm B và C bán kính tương ứng c - x và b - x. Để chứng minh chỉ cần nhận xét rằng hai đường tròn cuối tiếp xúc nhau vì tổng các bán kính của chúng. (c- x) + (b - x) = c + b - 2x = c + b - (c + b - a) = a = BC tức là khoảng cách giữa hai tâm. Bài toán luôn có một nghiệm hình vì trong DABC thì b + c > a nên x có thể dựng được, ngoài ra c - x = c- . Vì a + c > b nên c>x và b - x = . Vì a + b > c nên b > x. 2.1.6. Dựng hình chỉ dùng thước (không dùng compa). 2.1.6.1. Xét hai bài toán sau: a) "Cho tam giác ABC có E là đường trung bình . Hãy dựng tam giác mà ba cạnh lại là ba trung tuyến AD, BF, CE của tam giác đã cho". Kéo dài đường thẳng đường thẳng EF rồi từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt EF kéo dài tại K. Tam giác AKD là tam giác phải dựng. Thật vậy, do EK = BC nên FK = BD và FB = DK, tứ giác AKCE là hình bình hành. Vậy AK = EC. Suy ra các cạnh của tam giác AKD bằng các trung tuyến của tam giác ABC. b) " Cho tam giác ABC có EF là đường trung bình. Hãy tìm trên cạnh đáy BC một điểm M sao cho BM = .". Dựng trung điểm D của cạnh đáy BC và giao điểm N của 2 đường thẳng EB và DE, kẻ đường thẳng AN cắt BD tại M và EF tại P (hình vẽ). Xét DABM có BM = 2EP. Từ hình bình hành BEFD có EM = ND. Xét hai tam giác bằng nhau EPN và DMN suy ra EN = MD. Như thế BM = 2MD, tức là 3MD = BD, do đó BM = . Vậy M là điểm phải dựng. 2.1.6.2. Dựng đường vuông góc với đường kính. "Từ một điểm M ở ngoài hoặc ở trong một đường tròn đường kính AB cho trước hãy dựng đường vuông góc với AB". Nối M với hai đầu A và B của đường kính cắt đường tròn lần lượt tại B' và A'. Hai đường thẳng AA' và BB' cắt nhau tại H là trực tâm của DMAB. ( Vì hai góc nộitiếp A' và B' đều vuông). Do đó MH phải là đường cao thứ ba, tức là MM' AB. Có thể đường vuông góc dựng từ M tới AB không cắt đường tròn trực tâm H nằm ngoài DMAB. 2.1.7. Dựng hình chỉ dùng compa (không dùng thước). 2.1.7.1. Xét bài toán sau đây. "Cho bốn điểm A, B, C, D. Hãy dựng giao điểm của hai đường thẳng AB và CD". Giả sử bài toán đã giải được và M là giao điểm phải dựng. Ta dựng hai điểm C', D' đối xứngcủa C, D qua đường thẳng AB. Giao điểm hai đường thẳng AB và CD bây giờ là giao điểm của hai đường thẳng CD và C'D'.Nếu CDD'E là hình bình hành thì ba điểm C, C', và E nằm trên một đường thẳng. Có thể dựng điểm E là giao điểm của hai đường tròn ( C, DD') và (D', DC). xét hai tam giác đồng dạng CLC' và ED'C' ta có . Do đó có thể dựng đoạn C'L là đoạn tỷ lệ thứ tư của ba đoạn C'E, C'D' và C C'. Điểm M phải tìm sẽ là giao điểm của hai đường tròn(C',C'L) và (C, C'L). 2.1.7.2. Xét một bài toán khác "Chỉ dùng compa làm sao biết được một tứ giác ABCD cho trước có thể nội tiếp trong đường tròn". Cách giải như sau: Lấy B làm tâm với bán kính tuỳ ý vạch một cung cắt cạnh BA tại M và cạnh BC tại N. Từ đỉnh D làm tâm với cùng bán kính đó vạch một cung cắt cắt cạnh DA tại E và cạnh DC tại F trong trường hợp MN = EF' thì tứ giác ABCD có thể nội tiếp trong đường tròn vì , do đó = 1800. 2.1.8. Dựng tam giác. Bài toán 1: Tìm trong tứ giác ABCD một điểm O sao cho tổng các khoảng cách từ O đến các đỉnh là nhỏ nhất. Phân tích: - Giả sử O là điểm tìm tổng các khoảng cách từ O đến các đỉnh là (OA + OC) + (OB + OD). Tổng các khoảng cách từ O đến A và C là ngắn nhất nếu ba điểm A, O, C thẳng hàng. Tương tự tổng các khoảng cách từ O đến B và D là ngắn nhất nếu ba điểm B, O, D thẳng hàng. Suy ra Ophải là giaođiểm hai đường chéo của tứ giác ABCD. - Cách dựng: Nối hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Điểm O là điểm cần dựng. - Chứng minh: Thật vây,do A, O, C thẳng hàng nên tổng OA + OC là ngắn nhất. Tương tự tổng OB + OD là ngắn nhất. Suy ra tổng OA + OB + OC + OC là ngắn nhất. - Biện luận: Bài toán luôn có 1 nghiệm hình. Chú ý: Ta có thể xét bài toán tương tự sau đây: "Tìm một điểm O trong mặt phẳng của tứ giác ABCD sao cho AO + OB - OC -OD là nhỏ nhất về giá trị tuyệt đối, biết rằng OA = OD hoặc OA = OC". - Cách chứng minh như sau: Tổng Oa + OB - OC - OD là nhỏ nhất về giá tị tuyệt đối khi tổng này =0. a) Nếu OA = OD và OB = OC (h a) thì O là giao điểm của hai đường trung trực của AD và BC . a) b) b) Nếu OA = OC và OB = OD (hìnhb) thì O là giao điểm của hai đường trungtrực của hai đường chéo AC và BD. Bài toán 2: Dựng hình thang biết bốn cạnh. Xem cách dựng bằng phương pháp tịnh tiến ở (2.1.5.1). Chú ý: Sau khi dựng xong tam giác ABD' ta phải bổ sung nó cho thành hình thang mà cách dựng ở trên chỉ là một cách. Ta còn có thể dựng theo các cách sau: - Coi cạnh AD là dựng được, ta dựng BC//AD và sau khi đặt trên nó đáy nhỏ ta nối điểm C tìm được với điểm D Khi đó ta phải chứng minh rằng: CD = BD' - Coi C là giao điểm của hai cung tâm D, bán kính DC = d và tâm B bán kính BC = b thì trong hai giao điểm C và C1 chỉ có C là điểm phải tìm, vì ta còn phải chứng minh BC // AD hoặc CD // BD'. - Nếu dựng đường thẳng qua B song song với AD và đặt BC2 về bên trái thì điểm C2 sẽ không thích hợp và chỉ có điểm C là điểm phải tìm. Bài toán 3: Dựng hình bình hành ABCD biết một cạnh AB = a, tổng hai đường chéo AC + BD = d và góc tạo bởi hai đường chéo bằng a. - Phân tích: Giả sử ABCD là hình bình hành đã dựng được . Trong đó O là giao điểm hai đường chéo và . Ta có . DAOB có thể dựng được ngay vì viết một góc xen giữa hai cạnh. Từ đó xác định tiếp các đỉnh C và D còn lại của hình bình hành. - Cách dựng: Dựng DAEB biết hai cạnh EA =, AB = a, và góc đối với cạnh a bằng . + Dựng điểm O trên cạnh AE bằng cách dựng tia Bx sao cho , cắt AE tại O. + Trên Ox dựng điểm D sao cho OD = OB, rồi trên AE kéo dài lấy điểm C sao cho OC = OA. Nối AD, DC, CB ta được hình bình hành ABCD cần dựng. - Chứng minh: + Vì OE = OB nên OA + OB = OA +OE = AE = mà OC ≠ OD = OA + OB = nên AC +BD = d. Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên là hình bình hành mà một cạnh AB = a. Ngoài ra (góc ngoài của DOEB) bằng a. Vậy hình bình hành ABCD vừa dựng thoả mãn điều kiện đề bài. - Biện luận: Nếu thì bài toán không có nghiệm hình - Nếu thì sau khi dựng được AE và góc AEB, cung tròn tâm A bán kính a có thể không gặp EB hoặc có thể gặp EB tại một điểm hoặc cắt nhau tại hai điểm. Do đó bài toán có khi vô nghiệm, có khi có một hoặc hai nghiệm hình. - Chú ý: 1) Nếu với bài toán trên ta thấy tổng hai đường chéo bằng hiệu hai đường chéo là AC - BD = h thì cách giải sẽ như sau: - Đặt trên đoạn OA một đoạn OF = OB - Dựng DAFB biết hai cạnh AB = a, và góc đối với cạnh AB là (Vì ) -Tại B dựng góc FBC bằng góc F1 tức bằng để được DAOB. Từ đó bổ sung cho thành hình bình hành ABCD bằng nhiều cách khác nhau. 2) Ngoài ra có thể giải thêm bài toán sau: "Dựng hình bình hành biết hai đường chéo và một góc" Giả sử phải dựng hình bình hành ABCD biết hai đường chéo AC = p và BD = q và góc nhọn tại A bằng a. Ta chỉ cần dựng DABD biết góc A bằng a, cạnh BD = q và trung tuyến . Dựng được tam giác này chỉ cần bổ sung nó cho thành hình bình hành ABCD. Như vậy, ta đã quy việc giải bài toán này về việc "dựng một tam giác biết đáy, trung tuyến và góc ở đỉnh" Bài toán 4: Dựng tứ giác ABCD biết hai cạnh đối AD = a, BC =b, các góc và đoạn EF nối trung điểm hai cạnh đối AD, BC. - Phân tích: Giả sử ABCD là tứ giác đã dựng được. Nếu dời chổ song song AD đến CG, AC đến BH thì ba tứ giác ACGD, ABHC và DBHG đều là hình bình hành. Các góc . Như vậy DCGB dựng được ngay (Biết hai cạnh và một góc). Từ đó dựng được cx. Ngoài ra có thể xác định được vị trí trung điểm M của BG vị trí của H nằm trên cx vì F là trung điểm của AH và của BC (giao điểm của hai đường chéo). EF = DH = MH = m. Xác định được vị trí của D thì dựng được ngay đỉnh A. - Cách dựng: DCGB biết hai cạnh CG = a, CB = b, và . - Từ trung điểm M của BG lấy làm tâm dựng cung tròn bán kính m cắt cx tại H. - Nối HM và kéo dài đến D sao cho MD = m. - Từ D dựng DA song song và bằng GC. - Tứ giác ABCD chính là tứ giác cần dựng. -Bài toán có một nghiệm hình + Chú ý: Có thể giải thêm bài toán sau đây. "Dựng tam giác ABC biết hai cạnh AB = a, BC = b và ba góc A,B, góc M giữa hai đường chéo". Cách dựng như sau: - Dựng DABC trong đó góc B bằng góc đã cho, AB = a, BC = b. - Dựng tại C một góc ACx bằng góc M đã cho và dựng By// (cx). - Dùng A làm đỉnh và AB làm một cạnh dựng một góc bằng góc A đã cho, cạnh kia đã cắt By tại D. Tứ giác ABCD là tứ giác phải dựng. Bài toán có một nghiệm hình. *) Bài tập tự giải. Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt bởi đường thẳng thứ ba. Dựng một đoạn thẳng AB = m sao cho AB//C và hai đầu mút A và B lần lượt nằm trên hai đường thẳng a và b. Bài 2: Cho một đường thẳng P và hai điểm A, B cùng nằm một phía của p. Hãy tìm trên P hai điểm P và Q sao cho PQ = a cho trước và AP = BQ. Bài 3: Dựng tứ giác ABCD biết hai cạnh đối AD = a, BC = b và góc = ; ; . 2.1.9. Dựng đường tròn. Bài toán 1: Dựng đường tròn nội tiếp trong một tam giác cho trước. - Phân tích: Giả sử DABC là tam giác cho trước và O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó, tiếp xúc cạnh AB tại M. O a Ta có OM AB , vì O cách đều ba cạnh của tam giác nên OA, OB, OC là các tia phân giác trong của các góc của DABC. - Cách dựng: - Trước hết dựng các tia phân giác của hai góc bất kỳ của D đã cho rồi lấy giao điểm O của chúng. - Qua O dựng đường vuông góc với đường thẳng AB. được điểm M là chân đường vuông góc này. - Dựng đường tròn tâm O bán kính OM. Chứng minh: Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (.) vì nó vuông góc bán kính OM. Tâm O lại cách đều ba cạnh của D, (Vì O là giao điểm của các tam giác trong của D nên OM = ON = OP). Do đó các đường thẳng AC và BC theo thứ tự vuông góc với các bán kính của ON và OP tại đầu mút của chúng; suy ra mỗi đường thẳng trên tiếp xúc với đường tròn (O). Vậy (O, OM) là đường tròn phải dựng. - Biện luận; Bài toán có một nghiệm hình. Chú ý: Có thể giải bài toán tương như sau: "Dựng đường tròn ngoại tiếp 1 tam giác cho trước". Tâm M của đường tròn ngoại tiếp phải cách đều 3 đỉnh của D. nên M là giao điểm ba đường trung trực của D đã cho. Nếu là : "Dựng đường tròn bàng tiếp của 1 tam giác cho trước" thì ta có thể tìm tâm là giao điểm của phân giác trong 1góc và phân giác ngoài của hai góc còn lại. Ta dựng được ba đường tròn bàng tiếp của D. Bài toán 2: Dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường tròn cho trước tại một điểm cho trước thuộc đường tròn đó và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước. - Phân tích: Giả sử đường tròn (O) đã dựng được qua điểm M trên đường tròn (I) cho trước và đồng thời tiếp xúc với (I) và với đường thẳng d cho trước. Tâm O phải nằm trên đường thẳng IM. Hai đường tròn tâm (O) và (I) phải có chung một tiếp tuyến MT qua M nên O lại phải nằm trên phân giác đi qua giao điểm P của d và Mt. + Cách dựng: - Dựng tia IM. - Qua M dựng tiếp tuyến MT của (I) cắt tại P. - Dựng phân giác của góc cắt tia IM tại O. - Dựng đường tròn tâm O bán kính OM. Đó chính là đường tròn phải dựng. + Chứng minh: - Ta có OQ d. Vì OQ = OM (O nằm trên phân giác góc ) nên đường tròn (O) tiếp xúc với d. Đường tròn (O) lại tiếp xúc với (I) vì điểm M nằm trên đường thẳng OI nối tâm của chúng. + Biện luận: - Vì Phương trình và d cắt nhau tạo thành hai góc của góc tpx cắt MI kéo dài tại một điểm O', đường tròn tâm O' này tiếp xúc với d đồng thời tiếp xúc trong với (I). Do đó bài toán có hai nghiệm hình. - Nếu IM d thì chỉ có một nghiệm hình. Chú ý; Ta có các bài toán tương tự sau đây. 1) Dựng đường tròn tiếp xúc với 1 cạnh của góc cho trước và tiếp xúc với cạnh kia tại một điểm cho trước. Giả sử đường tròn (O) đã dựng được tiếp xúc với cạnh Px và với cạnh Py tại điểm M của góc xPy. Tia có cách dựng như nhau. - Dựng phân giác của góc xPy. - Dựng đường vuông góc với Dy tại M. Giao điểm O tia phân giác và đường vuông góc chính là tâm đường tròn phải dụng. 2) Đường tròn đi qua một điểm cho trước và tiếp xúc với 1 đường tròn cho trước tại một điểm cho trước. Giả sử đường tròn (I) đã dựng được tiếp xúc với 1 đường tròn (O) đã cho tại điểm A và đi qua điểm B. Ta thấy rằng tâm I phải nằm trên. - Đường thẳng OA vì tiếp xúc với đường tròn đã cho tại A. - Đường trung trực xy của AB vì đường tròn phải đi qua A và B. Giao điểm của OA và xy là tâm I của đường tròn phải dựng. Bài toán có một nghiệm hình nếu B không nằm trên tiếp tuyến chung MN và vô nghiệm nếu B nằm trên MN. Nếu A trùng với B thì mọi đường tròn có tâm O trên OA đi qua A sẽ thoả mãn bài toán; Có vô số nghiệm hình. 3) Dựng đường tròn tiếp xúc ngoài với 3 đường tròn bằng nhau cho trước. Giả sử đường tròn (O) đã dựng được tiếp xúc với 3 đường tròn bằng nhau (O1), (O2), (O3). Ta thấy rằng tâm O phải cách đều tâm ba đường tròn đã cho tức là OO1 = OO2 = OO3 = R + r, trong đó R là bán kính đường tròn cần tìm và r là bán kính các đường tròn bằng nhau cho trước. Suy ra cách dựng sau: Dựng đường trung trực của O1O2 và đường trung trực của O2O3. Chúng cắt nhau tại O là tâm đường tròn phải dựng. Rõ ràng nếu ba điểm O1, O2, O3 thẳng hàng thì bài toán vô nghiệm. Bài tập: Bài 1