Luận văn Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc

lớp 1C thành phần. Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài E là khoảng cách được xác định bởi ( , ) inf ( ), E E d x y L trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường nới x với y . Nếu X là đa tạp hyperbolic và Y là đa tạp phức với hàm độ dài E thì ta định nghĩa chuẩn E df của ánh xạ tiếp xúc của  ,f H X Y ứng với hàm độ dài E , xác định bởi:   : ,E Edf sup df p p X  trong đó     (( ) ( )) : , 1, .p X pEdf p sup E df v K p v v T X   1.4. Metric vi phân Kobayashi 1.4.1. Định nghĩa Giả sử X là đa tạp phức. Khi đó ta định nghĩa X K là vi phân Kobayashi trên M được xác định bởi : ( , ) inf 0 : (0) , (0, ) ; ( , ) X K p v r p d re v H D X trong đó , p p X v T X ; d là ánh xạ tiếp xúc của và e là véc tơ đơn vị tại 0 D . 7 1.4.2. Một số tính chất của X K i. Nếu ,X Y là hai không gian phức thì * ( ( )) ( ) Y X K f v K v với ( , ),f H X Y v TX . Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song chỉnh hình. ii. + Trong đĩa đơn vị D , D K đồng nhất với metric Bergman-Poicaré, tức là 2 D K ds . + 0mK . iii. Trong không gian phức X ta có * ( ) , ( , ), X K f u u f H D X u TD . Hơn nữa nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên TX thỏa mãn * ( )E f u u với ( , ),f H D X u TD , thì ( ) ( ), X E v K v u TX . iv. Giả sử ,X Y là các không gian phức, ta có ( , ) max ( ), ( ) X Y X Y K u v K u K v với ,u TX v TY . v. Giả sử X là không gian phức và : X X là không gian phủ chỉnh hình của X . Khi đó * XXK K . 1.4.3. Định lí Giả sử X là đa tạp phức, ,x y X . Khi đó 1 0 ( , ) inf ( ( )) , X X d x y K t dt trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc : 0,1 X nối x với y và * ( ) (( / ) ) t t t . 8 1.4.4. Định nghĩa Giả sử M là đa tạp con phức của đa tạp phức N . Ta định nghĩa metric vi phân ,M N K như sau : , , 1 ( ) inf , sao cho '( ) M N M N K v f F f e v r với v TM , trong đó 1 , ( , ); ( ) cã nhiÒu nhÊt mét ®iÓm . M N F f H D N f N M 1.5. Không gian phức hyperbolic 1.5.1. Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng cách Kobayashi X d là khoảng cách trên X , tức là: ( , ) 0 , , X d p q p q p q X . 1.5.2. Ví dụ (1).D là không gian phức hyperbolic vì D D d mà D là khoảng cách trên D nên D d cũng là khoảng cách trên D . (2). n không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử nd là giả khoảng cách Kobayashi trên n , ta chỉ ra rằng 0nd và do đó nd không phải là khoảng cách trên n . Với , , ( 0)nx y p D p ta xét ánh xạ: : . n f D y x z x z p Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, ( ) 0, ( )f x f p y . Do f làm giảm khoảng cách đối với D d và nd nên ta có: (0, ) ( (0), ( )) ( , ) (0, )n nD Dd p d f f p d x y p . Cho 0p ta có ( , ) 0nd x y . Vậy n không là hyperbolic. 1.5.3. Tính chất i) Nếu ,X Y là các không gian phức thì X Y là không gian hyperbolic 9 khi và chỉ khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic. ii) Không gian con phức của một không gian hyperbolic là không gian hyperbolic. iii) Giả sử X là không gian phức, Y là không gian hyperbolic và :f X Y là ánh xạ chỉnh hình và là đơn ánh thì X cũng là hyperbolic. 1.6. Không gian phức nhúng hyperbolic 1.6.1. Định nghĩa Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó ta nói X là nhúng hyperbolic trong Y nếu , ; x y X x y luôn tồn tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho ( , ) 0 X d X U X V . Trong đó X d là giả khoảng cách Kobayashi trên X . 1.6.2. Nhận xét i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic trong chính nó. ii) Nếu 1 X là nhúng hyperbolic trong 1 Y và 2 X là nhúng hyperbolic trong 2 Y thì 1 2 X X là nhúng hyperbolic trong 1 2 Y Y . iii) Nếu có hàm khoảng cách trên X thỏa mãn ( , ) ( , ) X d x y x y với mọi ,x y X thì X là nhúng hyperbolic trong Y . 1.6.3. Định lí Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó các điều kiện sau là tương đương HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y . HI2. X là hyperbolic và , n n x y là các dãy trong X thỏa mãn , , ( , ) 0 n n X n n x x X y y X d x y thì x y . HI3. Giả sử , n n x y là các dãy trong X thỏa mãn , n n x x X y y X . 10 Khi đó nếu ( , ) 0 X n n d x y khi n thì x y . HI4. Cho hàm độ dài H trên Y , tồn tại hàm liên tục, dương trên Y sao cho với mọi ( , )f H D X ta có *( ) D f H H , trong đó D H là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị D . HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi ( , )f H D X ta có * D f H H . 1.6.4. Định lí Giả sử X là một không gian phức, compact tương đối trong không gian phức Y . Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu : , ( , ) 0, , , X Y d p q p q X p q . 1.7. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình 1.7.1. Định nghĩa Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor. Ta nói A có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức 1 ,..., m z z trong M sao cho về mặt địa phương \ r sM A D D với r s m 1.7.2. Định lí Noguchi trên D Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức Y . Cho *( , )f H D X và *( , ) n f H D X . Khi đó nếu n f f thì n f f . Trong đó , n f f lần lượt là các thác triển của , n f f . 1.7.3. Định lí Noguchi Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức Y . M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trên M . Giả sử : \ n f M A X 11 là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập compact của \M A tới ánh xạ chỉnh hình : \ n f M A X . Giả sử , n f f tương ứng là các thác triển chỉnh hình của , n f f từ M vào Y . Khi đó n f f trong ( , )H M Y . 1.7.4. Định lí Ascoli 1.7.4.1. Định nghĩa Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y . Họ F được gọi là liên tục đồng đều từ x X tới y Y nếu với mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của x và lân cận W của điểm y sao cho nếu ( )f x W thì ( )f V U với mọi f F . Nếu F là liên tục đồng đều với mọi x X và mọi y Y thì F được gọi là liên tục đồng đều từ X đến Y . 1.7.4.2. Định lí Ascoli Giả sử X là một không gian chính quy compact địa phương và Y là một không gian chính quy. Khi đó, họ  ,F C X Y là compact tương đối trong  ,C X Y khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn: (1) F là liên tục đồng đều, (2)     F x f x f F  là compact tương đối trong Y với mỗi .x X 1.7.5. Hàm đa điều hòa dƣới + Giả sử D là miền trong . Một 2C -hàm h xác định trên D được gọi là điều hòa nếu 2 : 4 0 h h z z trên D . 12 + Hàm : , )u D được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau: i) u là nửa liên tục trên trong D , tức là tập ; ( )z D u z s là tập mở với mỗi số thực s ; ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm :h G R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u h trên G thì u h trên G . Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z . Giả sử M là một không gian con phức của không gian phức X . 1.7.6. Định nghĩa Một không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein và tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục : ( ,0)X sao cho , ( ) c X x X x c là compact với mỗi 0c . 1.7.7. Định lý Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z . Giả sử M là một miền hyperbolic compact tương đối trong không gian phức X . Giả sử có một lân cận U của M trong X sao cho U M là siêu lồi. Khi đó bất kỳ ánh xạ chỉnh hình : \f Z H M đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình từ Z vào trong M . Hơn nữa, nếu 1 : \ j j f Z H M là dãy các ánh xạ chỉnh hình mà hội tụ đều trên các tập con compact của \Z H tới ánh xạ chỉnh hình : \f Z H M , thì 1j j f cũng hội tụ đều trên các tập con compact của Z tới f , ở đó : j f Z M và :f Z M là các thác triển chỉnh hình của j f và f trên Z . Chứng minh. (i) Trước hết là xét trường hợp khi Z D và 0H . 13 Theo định lý của Kobayashi, ta chỉ cần chứng minh có một dãy n z D hội tụ đến một điểm của M . Giả sử khẳng định trên là sai. Khi đó ta có thể giả thiết với mỗi dãy n z D với 0 n z , dãy ( ) n f z hội tụ đến một điểm trong M . Do đó, ta có thể tìm được 0 đủ nhỏ sao cho f D U . Gọi là hàm đa điều hòa dưới vét cạn của U . Đặt h f trên D khi đó h là hàm điều hòa dưới, và với mỗi dãy n z D với 0 n z , ( ) 0 n h z . Điều này kéo theo h thác triển liên tục được đến hàm h trênD . Theo định lý về khử kỳ dị của các hàm điều hòa, ta có h là hàm điều hòa dưới trên D . Ta có ( ) 0h z nếu z và (0) 0h , vì vậy h đạt cực đại tại gốc O . Điều này là vô lý. (ii) Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi ánh xạ chỉnh hình : \f Z H M đều thác triển chỉnh hình được trên Z . Ta có thể giả thiết H không có kỳ dị, tức là ta thác triển f lên \ ( )Z S H sau đó lên \ ( ( ))Z S S H và cứ tiếp tục như vậy, trong đó ( )S Y là tập các kỳ dị của không gian phức Y . Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta có thể giả thiết rằng 1m m Z D D D và 1 0mH D . Với mỗi 1mz D , xét ánh xạ chỉnh hình : z f D M được cho bởi ( ) ( , ) z f z f z z với mỗi z D . Theo (i), tồi tại thác triển chỉnh hình : z f D M của z f với mỗi 1mz D . Định nghĩa ánh xạ 1: mf D D M bởi ( , ) ( )zf z z f z với mọi 1( , ) mz z D D . Ta chỉ cần chứng minh rằng f là liên tục tại 1 0 ,0 m z D D . 14 Thật vậy, giả sử 1, m k k z z D D sao cho 0 , ,0 k k z z z . Lấy dãy k z D sao cho lim ( , ) 0 D k k k d z z . Ta có 0 ( ( , ), ( ,0)) M k k d f z z f z 0 0 0 ( ( , ), , ( , , , ( , , ,0 M k k k k M k k k M k d f z z f z z d f z z f z z d f z z f z 0 00 ( ( ), ( )) ( ( , ), ( , )) ( ( ), (0)) k kM k k M k k k M kz z z z d f z f z d f z z f z z d f z f 1 0( , ) ( , ) ( ,0)mD k k k D kD d z z d z z d z với mọi 1k . Từ đó 0 lim ( ( , ), ( ,0)) 0 M k k k d f z z f z , tức là 0 ( , ) ( ,0) k k f z z f z khi k , Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh. (iii) Giả sử ( \ , ) j f H Z H M thỏa mãn ( \ , ) j f f H Z H M trong ( \ , )H Z H M . Ta sẽ chứng tỏ rằng j f f trong ( , )H Z M . Trước hết ta có thể giả thiết H không có kỳ dị vì khẳng định của ta đúng trên \ ( )Z S H sau đó trên \ ( ( ))Z S S H và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử 0 là điểm tùy ý của H . Ta có thể giả thiết mZ D và 1 0mH D và 0 (0,0) . Đặt 0 0 ( )a f . Với điểm y M và số thực dương r , ta đặt ( , ) : ( , ) M M B y r y M d y y r . Tương tự, với điểm Z và 0r , ta đặt ( , ) : ( , ) Z Z B r Z d r . 15 Trước hết ta chứng tỏ rằng với số 0 bất kỳ, tồn tại lân cận 0 V của 0 trong Z sao cho 0 0 ( ) ( , ) M f V B a và 0 0 ( ) ( , ) j M f V B a với mọi 0 j j . Thật vậy, lấy điểm 1 0 ( , ) \ 3 Z B H . Ta có 1 0 ( ) ( , ) 3 M f B a . Có số nguyên 0 j sao cho 1 0 2 ( ) ( , ) 3 j M f B a với mọi 0 j j . Vì vậy ta có 1 0 ( ( , ) ( , ) 3 j Z M f B B a . Đặt 0 0 1 ( , ) ( , ) 3 3 Z Z V B B . Khi đó 0 0 0 0 , ( ) ( , ) M V f V B a và 0 0 ( ) ( , ) j M f V B a với mọi 0 j j . Lấy 0 đủ nhỏ sao cho 0 ( , ) M B a được chứa trong một lân cận tọa độ địa phương của 0 a trong M . Chọn 0 đủ bé sao cho 0 m D V . Vì mj D f hội tụ đều đến ( ) m D f , từ nguyên lý cực đại suy ra sự hội tụ đều của 1 mj D j f với giới hạn m D f . Định lý được chứng minh. 16 CHƢƠNG 2 ĐỊNH LÍ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC 2.1. Ánh xạ chuẩn tắc và một số tính chất Cho ,X Y là các không gian tôpô. Ta có các kí hiệu sau : + Y Y là compact hóa 1 điểm của không gian phức Y . + ( , )C X Y là không gian các hàm liên tục từ X vào Y . + Ta định nghĩa , ,F G f g f F g G trong đó ,F G là các không gian hàm. 2.1.1. Định nghĩa Cho ,X Y là các không gian phức. Một họ ,F H X Y là chuẩn tắc đều trong ,H X Y nếu ,F H M X là compact tương đối trong ,C M Y với mỗi đa tạp phức M . Ta nói rằng f là một ánh xạ chuẩn tắc nếu họ f là chuẩn tắc đều. 2.1.2. Mệnh đề Nếu X, Y là các không gian phức và  ,F H X Y là họ chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu  ,F H D X là compact tương đối trong  , .C D Y  Từ mệnh đề 2.1.2 năm 1973, Kierman [9] đã chứng minh được kết quả sau: 2.1.3. Mệnh đề Một không gian con phức X compact tương đối của một không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi  ,H D X là compact tương đối trong  ,H D Y ; hay nói cách khác, khi và chỉ khi  ,H D X là tập con chuẩn tắc đều của  , .H D Y 17 Năm 1971, Royden [13] và Abate [2] năm 1993 đã chỉ ra 2.1.4. Mệnh đề Một đa tạp phức M là hyperbolic khi và chỉ khi  ,H D M là liên tục đồng đều. Hơn nữa, ta có M là hyperbolic khi và chỉ khi  ,H D M là compact tương đối trong  , .C D M  Do đó,  ,H D M là họ chuẩn tắc đều khi và chỉ khi M là hyperbolic. Năm 1994, Joseph và Kwack [8] đã chứng minh được 2.1.5. Mệnh đề Một không gian con phức X của một không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi  ,H D X là compact tương đối trong  , ;C D Y  hay khi và chỉ khi  ,H D X là tập con chuẩn tắc đều của  , .H D Y Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng họ các ánh xạ giảm khoảng cách giữa những không gian metric X, Y là compact tương đối trong tập các ánh xạ chỉnh hình từ không gian X vào không gian compact hóa một điểm theo Alexandroff của không gian Y. 2.1.6. Mệnh đề Giả sử  ,Y  là một không gian metric compact địa phương, X là một không gian tôpô và cho  là giả metric trên X,  liên tục trên .X X Khi đó, nếu với mỗi  ,f F C X Y  là giảm khoảng cách tương ứng với ,  thì F là compact tương đối trong  , .C X Y  Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra rằng họ F là liên tục đồng đều từ X vào .Y  Thật vậy, ta giả sử ngược lại họ F không liên tục đồng đều từ X vào .Y  Khi đó, tồn tại các điểm ; ,p X q s Y   và các dãy    ;p X f F   sao cho    , , , .p p s q f p s f p q       18 +) Nếu q Y thì với mỗi  ta có:                , , , , , .f p q f p f p f p q p p f p q               Do đó,   , 0f p q   và .q s Suy ra mâu thuẫn. +) Nếu s Y thì với mỗi  ta có:        , , , .f p s p p f p s       Do đó,   , 0f p s  và .q s Suy ra mâu thuẫn. Vậy F là liên tục đồngđều từ X vào .Y  Định lí được chứng minh. 2.1.7. Định lí Cho M là đa tạp phức và Y là không gian phức. Khi đó họ  ,F H M Y là chuẩn tắc đều khi và chỉ khi có một hàm độ dài E trên Y sao cho 1 E df với mỗi f F . Chứng minh. * Điều kiện cần Rõ ràng ta có  ,F H D M là tập con liên tục đồng đều của ( , )H D Y . Ta có với mỗi hàm độ dài E trên Y và tập compact ,Q Y tồn tại 0c  sao cho  df p c trên  1f Q với mỗi f F . Thật vậy, ta giả sử ngược lại, nếu tồn tại một tập compact Q Y không thỏa mãn điều kiện trong phát biểu trên đối với hàm độ dài E thì khi đó tồn tại các dãy      , ,n n np f v và ,q Q trong đó  , , ,nn n n pp M f F v T M        , , 1,n n M n n n nf p Q K p v f p q   và     , , .n n n n nE f p df p v n Từ đó suy ra  n ndf p  và tồn tại một dãy    ,n H D M  thỏa mãn:  0n np  và  0 .n ndf   Cho V là một lân cận compact tương đối của q nhúng hyperbolic trong Y. 19 Vì  ,F H D M là tập con liên tục đồng đều của  ,H D Y nên tồn tại một số 0 1r  sao cho   .n n rf D V  Mặt khác, có một dãy con là hạn chế của  n nf  trên rD mà ta vẫn ký hiệu là  ,n nf  là chuẩn tắc đều và do đó ta có dãy  n nf  là compact tương đối trong  , .rH D Y Suy ra, tồn tại một dãy con của dãy  n nf  hội tụ tới  , .rh H D Y Điều này mâu thuẫn với  0 .n ndf   Để hoàn thiện chứng minh điều kiện cần ta chọn các dãy , n n V c sao cho n V là mở và compact tương đối trong Y , 1 1 , , 0n n n nV V V Y c và nEdf c trên 1( ) n f V với mỗi f F . Ta chọn hàm liên tục, dương trên Y sao cho ( ) 1 n q c trên n V . Hàm độ dài H trên Y xác định bởi ( ) ( ) n H v q E với q v T Y thỏa mãn 1 E df với mỗi f F . * Điều kiện đủ Từ giả thiết suy ra tồn tại hàm khoảng cách E d trên Y sao cho với mỗi  ,f F H D M là ánh xạ giảm khoảng cách từ Dd tới Ed . Khi đó từ mệnh đề 2.1.2 và 2.1.6 ta có  ,F H M Y là họ chuẩn tắc đều. Định lí được chứng minh. 2.1.8. Một số ví dụ về họ chuẩn tắc đều 2.1.8.1. Ví dụ Giả sử   1,f H D P và D là một đĩa đóng và ký hiệu  là biên của , cho   J f  và   L f  lần lượt là diện tích cầu của  f  và độ dài cầu của  .f  Lấy 0h  và            1, :F h f H D P J f hL f D      víi mçi ®Üa ®ãng . 20 Khi đó, Hayman ([6], trang 164) đã chứng chỉ ra rằng  F h là bất biến và chuẩn tắc theo định nghĩa của Montel. Do đó,  F h là chuẩn tắc đều. 2.1.8.2. Ví dụ Giả sử M là một đa tạp phức, 0,r  và   1,F H M P là một họ các ánh xạ sao cho với mỗi f F tồn tại các điểm    1, ,f f fa b c P f M  với      , , , ,f f f f f fa b c b c a r    trong đó là metric cầu. Khi đó, Carathéodory ([4], trang 202) đã chứng minh rằng  ,F H D M là chuẩn tắc theo định nghĩa của Montel. Vì vậy F là chuẩn tắc đều. 2.2. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chuẩn tắc 2.2.1. Định lý Cho N là đa tạp con nhúng hyperbolic của một đa tạp phức M và cho Y là không gian phức. Các điều kiện sau là tương đương đối với ( , )F H N Y : (1) F là chuẩn tắc đều. (2) Nếu p Y và  ng ,  nz là các dãy trong ( , )F H M * D , *D , tương ứng, sao cho 0 n z  và  n nz pg , khi đó với mỗi lân cận U của p có số r , 0 1r  , thỏa mãn  n U g rD . (3) Có hàm độ dài E trên Y sao cho ,N M f E K  với mỗi f F . Chứng minh. (1)  (2). Từ định lý 2.1.7 và N là hyperbolic, ta có hàm độ dài E trên Y sao cho mỗi ( , )f F H N *D là giảm khoảng cách ứng với * D d và Ed . Lập luận tương tự như chứng minh trong [10] của Kiernan và (1)  (2) của định lý 1 trong [8] của Joseph và Kwack năm 1994 ta có (2). (2)  (3). Ta chứng minh rằng với tập compact Q Y và hàm độ dài E trên Y tồn tại 0c  sao cho  ( ) ( ) 1pcE df v  khi f F , ( ) Q, ( )pf p v T N  21 và , ( , ) 1 N M K p v  . Ta lập luận tương tự như chứng minh của định lý 2.1.7. Giả sử Q Y là compact và không thỏa mãn kết luận của định lý đối với hàm độ dài E . Ta chọn Qq và các dãy  nf ,  np , nv sao cho n f F , ( ) Q n n f p  ,  ( ), ( ) ( ) 1 n nn p n p n v T N E df v  , , ( , ) 1 N M n n K p v  , và sao cho ( ) Q n n f p  . Ta chọn các dãy  n trong ,N MF ,  nr trong (1,2) thỏa mãn (0) n n p  , ( )( ) n n n d r e v  và  ( )( )n n nE df r e n  . Giả sử tồn tại ,0 1r r  , sao cho dãy con của dãy hạn chế của  n nf  đến rD , vẫn gọi là  n nf  , thỏa mãn ( , )n n rf F H N  D ; với r như vậy, từ (2) ta có ( , ) r F H ND là liên tục đồng đều. Vì (0) n n f q  ta nhận được mâu thuẫn tương tự như chứng minh điều kiện cần của định lý 2.1.7. Ta chọn dãy  nz trong *D sao cho 0 n z  và ( ) n n z M N   , và dãy  n trong  DA sao cho (0) n n z  ; Đặt n n n h   xác định trên D . Khi đó ( D , ) n h H N ,  ( )  1 0n n nf h q và  ( )n  1 0 0 . Cho n n nf hg và cho V là lân cận của q compact tương đối và nhúng hyperbolic trên Y . Tồn tại ,0 1r r  , sao cho  n V g rD ; vì vậy ng thác triển được thành  ,n H Yg D . Từ định lý 2 [8], tồn tại dãy con của  ng , vẫn ký hiệu là  ng , thỏa mãn  ,n n H Y g g D Điều này mâu thuẫn với        1 0nn n nd E df e  g . (3)  (1). Dễ dàng suy ra từ định lý 2.1.7 vì ,N M N K K trên N. Định lý được chứng minh. 2.2.2. Bổ đề Cho  ( ) ,D mF H Y là họ chuẩn tắc đều. Nếu  n ,  nf là các dãy trong  D m , F tương ứng sao cho Dm n    0 và  n nf p Y   , thì khi 22 đó với mỗi lân cận U của p ,có lân cận W của  0 trong Dm sao cho   D mnf W U  . Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo m . Theo (2) của định lý 2.2.1 ta có bổ đề đúng với 1m  . Giả sử bổ đề đúng đối với số nguyên k nhưng không đúng đối với số nguyên 1k  . Lấy   ,D kF H Y 1 là họ chuẩn tắc đều,  n ,  'n là các dãy trong  D k 1 sao cho Dk n     1 0 , n   0 , và cho  nf là dãy trong F sao cho  n nf p  trong khi   ' n n f p . Cho U ,V là các lân cận mở compact tương đối của p sao cho V U và giả thiết rằng  'n nf Y U   . Đặt  ,n n ns t  ,   ' ' ', n n n s t  , và  ,s t 0 0 0 trong đó ', , n n s s  D k s  0 và ', , D n n t t t  0 . Đặt          , : , ,D D Dk kt tF H t s s t      11 và          , : , ,D D Dk ks sF H s t s t      12 . Khi đó   ,D kF F H Y1 và  ,DF F H Y2 đều là họ chuẩn tắc đều;   nn t f  là dãy trong , n F F s s 1 0 và   nn t n f s p  . Bởi giả thiết quy nạp ta chọn lân cận N 1 của s 0 sao cho   n k n t f N D V   1 và  ' nn t n f s V  . Khi đó tồn tại dãy con của   ' nn t n f s , vẫn gọi là   ' nn t n f s , sao cho  ' nn t n f s q V   ;    ' n nn t n n s n f s f t  ; ' n t t 0 và ta chọn lân cận N 2 của t 0 trong D sao cho  ' D n n s f N U   2 . Cuối cùng  ' ' n n ns f t U  , điều này là mâu thuẫn. Vậy định lý được chứng minh. Nếu  nA là dãy các tập con của một không gian tô pô. Ta định nghĩa giới hạn trên của dãy n A là tập hợp các phần tử x của không gian mà mỗi lân cận của x đều giao với vô hạn tập n A . Ta ký hiệu là lim sup n A . 23 2.2.3. Định lý Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trong M . Giả sử  \ ,F H M A Y là họ chuẩn tắc đều và F là bao đóng của F trong  \ ,C M A Y  . Khi đó (1) Mỗi f F đều thác triển được thành  ,f C M Y  . (2) , ,C M Y F   là compact trong  ,C M Y  . (3) Nếu  nf F và nf f thì nf f . (4) Với mỗi dãy  nf trong F , có dãy con  knf của  nf sao cho    Q  1 1 k kn n lim sup f P lim f trong tô pô của M , với mỗi cặp P , Q là các tập con rời nhau của Y với P là compact trong Y và Q là đóng trong Y . (5) Nếu M là hyperbolic và M\A,M M K K , khi đó H M ,Y ;F   là chuẩn tắc đều. Chứng minh. Để chứng minh (1) và (2) trước hết ta chứng minh với mỗi f F đều thác triển được thành  f C M ,Y  và C M ,Y ,F   là compact tương đối trong  C M ,Y  . Vì bài toán là địa phương nên ta có thể giả thiết rằng mM D và  mF H D ,Y . Do đó ta chỉ cần chứng minh với mỗi f F có thác triển  mf C D ,Y  và , , m C D Y F là compact tương đối trong  mC D ,Y  . Theo định lý Ascoli, ta chỉ cần chứng minh mC D ,Y ,F   là liên tục đồng đều trong  C M ,Y  Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại mw D 0 , các dãy  nw ,   ' n w trong mD 24 cùng hội tụ tới w 0 và có dãy  f F mà  n nf w p và   ' n n f w q p  . Điều này mâu thuẫn với bổ đề 2.2.2. Vậy ta có mC D ,Y ,F   là compact tương đối trong  mC D ,Y  . Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại thác triển của ánh xạ f Khi đó p xác định duy nhất, do đó với w 0 và p ở trên ta định nghĩa  f w p0 Rõ rang f f trên M \ A , vì nếu ta chọn dãy n w w M \ A  n w w M \ A  với mọi n , thì    f w f w với mọi w M \ A . Vậy theo định lý thác triển Riemann, để chứng minh f là thác triển chỉnh hình của f ta chỉ cần chứng minh f là liên tục. Nếu  f w p Y 0 và U là lân cận mở của p thì gọi V là lân cận compact tương đối của p sao cho V U . Theo bổ đề 2.2.2 tồn tại lân cận mở W của w 0 trong M sao cho  f W A V  . Khi đó  f W V U  . Nếu  f w 0 , theo bổ đề 2.2.2 tồn tại lân cận mở W của w0 trong M sao cho  f W V . Từ đó ta có f liên tục. Để kết thúc chứng minh (1) ta lấy f F Khi đó tồn tại dãy  nf trong F sao cho n f f khi n . Do C M ,Y ,F   là compact tương đối trong  C M ,Y  nên tồn tại dãy con     kn n f f sao cho   kn f g C M ,Y   . Rõ ràng g f ( vì chúng bằng nhau trên M \ A ). Vậy (1) được chứng minh. Để chứng minh (2) ta chứng minh C M ,Y ,F C M ,Y ,F        . Với g F ta chọn dãy  nf F sao cho nf g . 25 Do tính compact tương đối của C M ,Y ,F   trong  C M ,Y  và sự tồn tại thác triển trong i), suy ra có dãy con     kn n f f sao cho kn f g , vì vậy g C M ,Y ,F    . Do đó C M ,Y ,F C M ,Y ,F        . Ngược lại, với g C M ,Y ,F    , tồn tại dãy  nf C M ,Y ,F    mà nf g . Suy ra n f g trên M \ A vớ