Luận văn Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông

b (a ≠ 0) với trục Ox. Và điều này cũng chứng tỏ rằng những điều kiện bảo đảm cho sự vận hành của kỹ thuật hình học đã xuất hiện ngay từ trong lý thuyết mà chưa có một sự giải thích nào. Điều này có thể xem như thể chế đã chỉ ra một cách tường minh nghĩa hình học (nghĩa 1) của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) trong chương trình mặc dù nó không được hợp thức hóa trong lý thuyết. Qua đó, chúng tôi cho rằng, hai ví dụ đã chứa đựng một thông điệp: để tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox, trước hết ta phải vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b, tức là phải thực hiện KNV TRve_dt Rtrước. Thông qua hai ví dụ trên, hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với vai trò làm trung gian giữa đại số và hình học, chuyển từ quan hệ hình học sang quan hệ đại số qua công thức a = tanα. Kỹ thuật tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox được trình bày một cách tường minh trong lý thuyết (qua hai ví dụ cụ thể), từ đó làm cho nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được thể chế hóa trong lý thuyết: hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox. • Nhận xét Trong thể chế dạy – học toán ở cấp THCS, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đã xuất hiện một cách khá tường minh trong lý thuyết, bao gồm 02 nghĩa: - Nghĩa 1: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox. 39 - Nghĩa 3: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) cho biết sự biến thiên của hàm số y = ax + b trên  . Vậy thì các nghĩa đó có xuất hiện trong các bài tập hay không? Nếu có thì các nghĩa đó xuất hiện thông qua các KNV nào? 2.2.1.2. Nghĩa của hệ số góc trong phần bài tập của các SGK THCS – tổ chức toán học Qua phân tích trên, chúng ta thấy rằng: các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được trình bày tường minh trong lý thuyết nhưng chưa đầy đủ (chỉ xuất hiện nghĩa 1 và nghĩa 3). Vậy trong các bài tập thì các nghĩa đó có tồn tại hay không? Nếu có thì nó được thể hiện như thế nào? Đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu SGK9.T1 và SBT9.T1 để tìm ra những KNV có liên quan đến nghĩa của hệ số góc của đường thẳng xuất hiện thông qua các bài tập, các hoạt động? và các ví dụ trong SGK9.T1 và SBT9.T1. Sau đây, chúng tôi chỉ phân tích những KNV có liên quan đến các nghĩa của hệ số góc mà thôi. • KNV TRtinh_bien_thienR: Xác định tính biến thiên của hàm số bậc nhất + Nhiệm vụ TP1PRtinh_bien_thienR: Xác định tính biến thiên của hàm số bậc nhất cho trước Bài 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a, b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghịch biến. a) y = 1 – 5x b) y = – 0,5x c) 2( 1) 3y x= − + d) y = 2xP2P + 3 [4,tr.48] Giải. a) y = 1 – 5x là hàm số bậc nhất, có a = – 5 và b = 1, là hàm số nghịch biến trên . b) y = – 0,5x là hàm số bậc nhất, có a = – 0,5 và b = 0, là hàm số nghịch biến trên . c) 2( 1) 3y x= − + là hàm số bậc nhất, có a = 2 và b = 3 2− , là hàm số đồng biến trên . d) y = 2xP2P + 3 không là hàm số bậc nhất.[5,tr.58-59] 40 Kỹ thuật τP1PRtinh_bien_thien - Xác định hệ số góc a của hàm số; - So sánh hệ số góc a với số 0: nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên  ; nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên  . + Nhiệm vụ TP2PRtinh_bien_thienR: Xác định tham số để hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến Bài 9. Cho hàm số bậc nhất y = (m – 2)x + 3. Tìm các giá trị của m để hàm số: a) Đồng biến; b) Nghịch biến. [4,tr.48] Giải. a) Hàm số y = (m – 2)x + 3 đồng biến khi m – 2 > 0 hay m > 2. b) Hàm số y = (m – 2)x + 3 nghịch biến khi m – 2 < 0 hay m < 2. [5,tr.59] Kỹ thuật τP2PRtinh_bien_thien - Xác định hệ số góc a của hàm số theo m; - Hàm số đồng biến trên  ⇔ a > 0 ⇒ tìm m; - Hàm số nghịch biến trên  ⇔ a < 0 ⇒ tìm m. Công nghệ θRtinh_bien_thienR: tính chất về sự biến thiên của hàm số bậc nhất Lý thuyết ΘRtinh_bien_thienR: khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến. • Nhận xét Kỹ thuật giải quyết KNV TRtinh_bien_thienR đơn giản, nó xuất hiện tường minh trong SGK9.T1 và SBT9.T1. Dấu vết của TRtinh_bien_thien Rthể hiện qua hai KNV “trái ngược nhau”: TP1PRtinh_bien_thien R“Xác định tính biến thiên của hàm số bậc nhất cho trước” và TP2PRtinh_bien_thienR “Xác định tham số để hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến”. Như vậy KNV TRtinh_bien_thienR đã làm bộ lộ rõ nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) - Dấu của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) cho biết sự chất biến thiên của hàm số y = ax + b. • KNV TRvi_tri_tuong_doiR: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng Giả sử hai đường thẳng cho trước là (dR1R): y = aR1Rx + bR1R và (dR2R): y = aR2Rx + bR2R ; trong đó aR1R, aR2R ≠ 0. 41 + Nhiệm vụ TP1PRvi_tri_tuong_doiR : Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng khi biết trước các hệ số của nó ?2. Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau: y = 0,5x + 2 y = 0,5x – 1 y = 1,5x + 2.[4,tr.53] Giải. Có 2 cặp đường thẳng cắt nhau: vì 0,5 ≠ 1,5 y = 0,5x + 2 và y = 1,5x + 2 ; y = 0,5x – 1 và y = 1,5x + 2. [5,tr56] Kỹ thuật τP1PRvi_tri_tuong_doi - Xác định các hệ số: hệ số góc và tung độ gốc của hai đường thẳng. - So sánh các hệ số: + Nếu aR1R = aR2R và bR1R ≠ bR2R thì (dR1R) và (dR2R) song song nhau; + Nếu aR1R ≠ aR2R thì (dR1R) và (dR2R) cắt nhau; + Nếu aR1R = aR2R và bR1R = bR2R thì (dR1R) và (dR2R) trùng nhau. + Nhiệm vụ TP2PRvi_tri_tuong_doiR: tìm tham số m (đặt trong quan hệ với hệ số góc) để hai đường thẳng song song nhau, cắt nhau hoặc trùng nhau Bài 21. Cho hai hàm số bậc nhất y = mx + 3 và y = (2m + 1)x – 5. Tìm giá trị của m để đồ thị của hai hàm số đã cho là: a) Hai đường thẳng song song với nhau; b) Hai đường thẳng cắt nhau. [4,tr.54] Giải. a) Các hàm số đã cho là các hàm số bậc nhất, do đó phải có điều kiện m ≠ 0 và m ≠ 1 2 . Kết hợp với điều kiện để hai đường thẳng song song với nhau: m = 2m + 1, ta tìm được m = – 1. b) Lập luận tương tự như câu a), hai đường thẳng cắt nhau khi m ≠ 0, m ≠ 1 2 và m ≠ – 1. [5,tr.68] Kỹ thuật τP2PRvi_tri_tuong_doiR Xác định hệ số góc và tung độ gốc của hai đường thẳng theo m; + Nếu (dR1R) // (dR2R) thì aR1R = aR2R và bR1R ≠ bR2R ⇒ giá trị của m; + Nếu (dR1R) cắt (dR2R) thì aR1R ≠ aR2 R⇒ điều kiện của m; + Nếu (dR1R) và (dR2R) trùng nhau thì aR1R = aR2R và bR1R = bR2R ⇒ giá trị của m. 42 Công nghệ θRvi_tri_tuong_doiR: Định nghĩa đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b; Lý thuyết Θ”P3PRvi_tri_tuong_doiR: Khái niệm góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox. • Nhận xét Những đường thẳng có cùng hệ số góc (aR1R = aR2R = a) thì đều song song với đường thẳng y = ax. Cơ sở để giải thích cho nhận xét này chính là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox vì hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi cặp góc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng đó với trục Ox bằng nhau. Do vậy, một cách gián tiếp, chúng ta có thể xem KNV TRvi_tri_tuong_doiR cũng là một trong những KNV làm xuất hiện nghĩa hình học (nghĩa 1) của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0). • KNV TRgocR: Tính góc hợp bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox Kỹ thuật τRgoc - Vẽ đồ thị của hàm số; - Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng với trục Oy, giao điểm B của đường thẳng với trục Ox; - Tính OA = |yRAR|, OB= |xRBR|. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox. Xét tam giác OAB vuông tại O. + Nếu a > 0 thì α là góc nhọn. Khi đó tanα = tanABO = OA OB = A B y x ⇒ số đo góc α; + Nếu a < 0 thì α là góc tù. Khi đó ta có tanABO = OA OB = A B y x ⇒ số đo góc ABO ⇒ số đo góc α = 180P0P – ABO . Công nghệ θRgocR: khái niệm góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox. Lý thuyết ΘRgocR: khái niệm góc tạo bởi hai đường thẳng trong mặt phẳng. 43 • Nhận xét Yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải này xuất hiện tường minh trong SGK9.T1 và SBT9.T1. Kỹ thuật giải rõ ràng và dễ sử dụng. Cùng với KNV “Vẽ đồ thị của hàm số”, KNV TRgocR cho phép khẳng định mối quan hệ hai chiều giữa đại số và hình học, từ đó nó đã làm bộc lộ được nghĩa hình học (nghĩa 1) của hệ số góc của đường thẳng. Từ những điều đã trình bày, chúng tôi nhận thấy rằng đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b chính là cầu nối cho phép thiết lập mối liên hệ giữa hệ số a của hàm số bậc nhất và góc tạo bởi đồ thị của nó (tức đường thẳng y = ax + b) và trục Ox. Vì vậy, với KNV này thì việc vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất là một hoạt động không thể thiếu đối với học sinh THCS. Kết luận về nghĩa của hệ số góc trong các SGK THCS Qua phân tích trên cho chúng ta thấy thể chế dạy học Toán bậc THCS đã thể hiện rõ 02 nghĩa của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) ở ngay cả phần lý thuyết lẫn bài tập là nghĩa 1 và nghĩa 3. Các KNV chủ yếu đã làm bộc lộ rõ các nghĩa đó của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là TRtinh_bien_thienR; TRvi_tri_tuong_doiR; TRgocR. Trong đó, hai KNV đặc trưng cho nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là TRvi_tri_tuong_doiR và TRgocR. Còn nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) thì gắn liền với KNV đặc trưng là TRtinh_bien_thienR. Yếu tố kỹ thuật và công nghệ của các KNV này xuất hiện tường minh trong SGK9.T1 và SBT9.T1. Các KNV liên quan đến nghĩa của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được chúng tôi tóm tắt trong Bảng 2.1: 44 Bảng 2.1. Bảng thống kê các nhiệm vụ liên quan hệ số góc trong SGK9.T1 và SBT9.T1P8F9 KNV Số lần xuất hiện trong SGK (ví dụ + bài tập) Số lần xuất hiện trong SBT Tổng Tỉ lệ % TRtinh_bien_thien TP1PRtinh_bien_thien 7 2 9 10,11% TP2PRtinh_bien_thien 2 3 5 5,62% TRve_dt 16 5 21 23,60% TRvi_tri_tuong_doi TP1PRvi_tri_tuong_doi 6 0 6 6,74% TP2PRvi_tri_tuong_doi 6 4 10 11,24% TRgoc 5 2 7 7,87% Khác 14 17 31 34,82% Tổng cộng 56 33 89 100% Từ bảng thống kê cho thấy, so với nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng, thì nghĩa 1 được thể chế quan tâm hơn nhiều hơn. Nhận xét này chúng tôi đưa ra vì có cơ sở của nó. KNV gắn với nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng chiếm ưu thế hơn các KNV còn lại được trình bày trong SGK9.T1 và SBT9.T1. Cụ thể, theo số liệu mà chúng tôi thống kê được trong chương trình và SGK9.T1 cho thấy, có đến 23/89 ví dụ và bài tập làm xuất hiện nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng, chiếm 25,85% tổng số các ví dụ và bài tập trong chương trình. Trong khi đó, nghĩa 3 chỉ xuất hiện trong 14/89 ví dụ và bài tập, chiếm 15,73% tổng số các ví dụ và bài tập trong chương trình và SGK9.T1. Ngoài ra, nhiệm vụ “Tìm giá trị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) khi x tăng lên 1 đơn vị với a,b là hai số cho trước” cũng hoàn toàn vắng mặt trong trong lý thuyết, trong các ví dụ và các bài tập của SGK9.T1. Điều này cho chúng ta thấy rằng hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đã bị mất đi một nghĩa quan trọng của nó 9 Bảng thống kê trên chỉ mang tính chất tương đối vì có những bài tập đưa ra bao gồm nhiều KNV khác nhau. 45 (nghĩa 4) trong chương trình và SGK lớp 9, đó là: hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) cho biết giá trị của hàm số y = ax + b tăng lên (nếu a > 0) hoặc giảm xuống (nếu a < 0) đúng bằng a đơn vị khi x tăng thêm 1 đơn vị. Đặc biệt, với kiểu nhiệm vụ TRgocR, yếu tố đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b không tách rời kỹ thuật tìm góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox. “Đồ thị của hàm số bậc nhất” giúp học sinh có cái nhìn trực quan về đối tượng đường thẳng. Và từ cái nhìn trực quan đó giúp học sinh dễ dàng nhận thấy được nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) hơn so với nghĩa 3 của nó. Tầm quan trọng của “đồ thị hàm số bậc nhất” được minh chứng qua số ví dụ và bài tập trong SGK và SBT chiếm tỉ lệ cao nhất trong các KNV còn lại (23,6%). Chính vì thế, hầu hết các bài tập thuộc KNV TRgocR luôn gắn liền với KNV “vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)” và việc tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox luôn căn cứ vào đồ thị của nó. 2.2.2. Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THPT Khái niệm hệ số góc của đường thẳng được thể chế tiếp cận ở cả hai phân môn Đại số và Hình học. 2.2.2.1. Trong Đại số Ta đã biết trong Đại số và Giải tích, đường thẳng gắn với “đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b”. Do đó, việc nghiên cứu đường thẳng được chuyển thành việc nghiên cứu đồ thị hàm số y = ax + b. Cách tiếp cận khái niệm “đường thẳng” và hệ số góc của nó mà thể chế lựa chọn vẫn là theo quan điểm của giải tích, chủ yếu là “tái hiện và củng cố các tính chất và đồ thị của hàm số bậc nhất mà học sinh đã học ở lớp dưới”. [14,tr.78] • Về sự biến thiên của hàm số bậc nhất ĐS10.NC đã nhắc lại Ta đã biết hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi biểu thức y = ax + b, trong đó a và b là những hằng số với a ≠ 0. Hàm số bậc nhất có tập xác định là  . Khi a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên . Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên .[14,tr.48] 46 Cũng tương tự như SGK9.T1, ĐS10.NC đã cho học sinh thấy được nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0): hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) cho biết sự biến thiên của hàm số y = ax + b. Tuy nhiên, nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) xuất hiện trong chương trình và ĐS10.NC tổng quát hơn, rõ ràng hơn so với SGK9.T1. Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số đó trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K, ta có thể dựa vào định nghĩa [] hoặc dựa vào nhận xét sau: Điều kiện “xR1R < xR2R ⇒ f(xR1R) < f(xR2R)” có nghĩa là xR2R – xR1R và f(xR1R) – f(xR2R) cùng dấu. Do đó: Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi ∀xR1R, xR2R ∈ K và xR1R ≠ xR2R , 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 f x f x x x − > − ; Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi ∀xR1R, xR2R ∈ K và xR1R ≠ xR2R , 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 f x f x x x − < − ; Như vậy để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu của tỉ số 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x − − trên K. [14,tr.39] Đoạn trích trên đã chỉ rõ kỹ thuật để xét sự biến thiên của một hàm số tổng quát, trong đó có hàm số bậc nhất. Dấu của tỉ số biến thiên cho biết sự biến thiên của một hàm số. Riêng với hàm số bậc nhất, kỹ thuật trên chỉ xuất hiện trước khi học sinh được nhắc lại những kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b trong ĐS10.NC. Vả lại, kỹ thuật đó cũng không được các tác giả ưu tiên lựa chọn vì “trong SGK, việc khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng định nghĩa hoặc bằng tỉ số biến thiên không được coi là yêu cầu số một. Trong khi đó, việc vẽ đồ thị (chủ yếu là các hàm số bậc nhất và bậc hai) lại là quan trọng để từ đồ thị mà suy ra sự biến thiên của hàm số. Do đó, hầu hết các bài tập trong SGK đều yêu cầu vẽ đồ thị trước rồi mới căn cứ vào đồ thị để nêu kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số” [15,tr.78-79]. Chính vì sự ràng buộc đó mà học sinh không nhìn thấy được mối liên hệ giữa hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với tỉ số biến thiên 47 của hàm số y = f(x) = ax+ b qua công thức 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x a x x − = − . Nói một cách khác, nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng cũng trở nên mờ nhạt trong chương trình Đại số 10 nâng cao. Vậy còn các nghĩa khác của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được thể chế trình bày như thế nào? • Về đồ thị của hàm số bậc nhất Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b, được ĐS10.NC trình bày, về ý tưởng, không khác gì so với SGK9.T1. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng, gọi là đường thẳng y = ax + b. Nó có hệ số góc bằng a và có đặc điểm sau: - Không song song và không trùng với các trục tọa độ; - Cắt trục tung tại điểm B(0;b) và cắt trục hoành tại điểm ;0 b A a −       . [14, tr.48] Bên cạnh đó, đáng chú ý hơn hết là chúng tôi tìm thấy một sự khác biệt giữa ĐS10.NC và SGK9.T1 là ĐS10.NC đã chỉ rõ một trường hợp đặc biệt của đường thẳng có mối liên hệ với đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b, đó là hàm số hằng (mà ta thường gọi là hàm hằng) Chú ý Nếu f(xR1R) = f(xR2R) với mọi xR1R và xR2R thuộc K, tức là f(x) = c (c là hằng số) thì ta có hàm số không đổi (còn gọi là hàm số hằng) trên K. Chẳng hạn, y = 2 là một hàm số không đổi xác định trên R. Nó có đồ thị là đường thẳng song song với trục Ox (h.2.3).[14,tr.38] Hàm số hằng là một ví dụ về hàm số không đồng biến, mà cũng không nghịch biến trong bất kì khoảng nào thuộc tập xác định của nó. Hàm số hằng có mối liên hệ chặt chẽ với hàm số bậc nhất không chỉ bởi công thức xác định hàm số (dạng y = ax + b với a = 0 hoặc a ≠ 0) mà còn bởi đồ thị của chúng (đều là đường thẳng). [15,tr.56] Từ đó cho thấy, trong trường hợp đặc biệt a = 0 thì đường thẳng với vai trò là đồ thị của hàm số y = ax + b trở thành đường thẳng y = b. Nó là một đường thẳng Hình 2.3 48 song song hoặc trùng với trục hoành, cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng b. Do đó trong trường hợp này, ta nói “đường thẳng có hệ số góc bằng 0”. Như vậy, hàm số y = ax + b được ngầm định ở đây bao gồm cả hàm số bậc nhất và hàm số hằng. • Nhận xét Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b được thể chế giới thiệu qua khái niệm hàm số bậc nhất. Chủ yếu là trình bày lại các kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất mà học sinh đã được học ở chương trình toán lớp 9. Tuy nhiên, cùng với nghĩa 3, nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b cũng trở nên mờ nhạt, không được thể chế quan tâm. Thêm nữa, nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b không thể hiện tính liên tục trong lý thuyết. Tức là, dấu của tỉ số biến thiên 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x − − cho biết sự biến thiên của hàm số không được thể chế trình bày trong sự gắn kết với tính biến thiên của hàm số bậc nhất mà nó lại được trình bày trong nội dung “sự biến thiên của hàm số” tổng quát. • Các KNV liên quan đến hệ số góc của đường thẳng trong ĐS10.NC Qua nghiên cứu chương trình và ĐS10.NC, chúng tôi tổng kết được các kiểu nhiệm vụ chủ yếu sau đây: - T’Rve_do_thiR: vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số y = |ax + b|; - T’Rtinh_tienR: xác định đồ thị hàm số dạng y = |ax + b| qua phép tịnh tiến; - T’Rvi_tri_tuong_doiR: xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng; - T’Rxac_dinh_hsR: xác định hàm số y = ax + b thỏa mãn điều kiện cho trước: + Đồ thị của nó đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước (hay song song với một đường thẳng cho trước); + Đồ thị của nó đi qua hai điểm cho trước; + Đồ thị của nó đối xứng với một đường thẳng cho trước qua trục tọa độ; + Đồ thị của nó là đường thẳng đồng quy với hai đường thẳng cho trước. - Và các KNV khác. Sau đây chúng tôi chỉ tập trung phân tích các KNV và các nhiệm vụ liên quan 49 đến hệ số góc và nghĩa của nó.  KNV TP’PRvi_tri_tuong_doiR: xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dạng (d): y = ax + bR Rvà (d’): y = a’x + b’. Kỹ thuật τ’Rvi_tri_tuong_doiR: - Đưa các đường thẳng đã cho về phương trình đường thẳng theo hệ số góc y = ax + b (nếu có); - So sánh các hệ số góc và tung độ gốc của các cặp đường thẳng + Nếu a = a’R R và b ≠ b’ thì (d) // (d’); + Nếu a ≠ a’ thì (d) cắt (d’); + Nếu a = a’ và b = b’ thì (d) trùng (d’). Công nghệ θ’Rvi_tri_tuong_doiR: dấu hiệu nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Lý thuyết Θ’Rvi_tri_tuong_doi + Khái niệm góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox; + Hai đường thẳng song song nhau khi và chỉ khi chúng cắt một đường thẳng thứ ba và tạo nên các cặp góc đồng vị hay so le trong bằng nhau; các cặp góc trong cùng phía bù nhau. • Nhận xét Tương tự như KNV TRvi_tri_tuong_doiR, yếu tố kỹ thuật và công nghệ của KNV T’Rvi_tri_tuong_doiR xuất hiện tường minh trong chương trình và ĐS10.NC. Kỹ thuật đơn giản, dễ hiểu. KNV T’Rvi_tri_tuong_doi Rlà một trong những KNV đặc trưng cho nghĩa 1 của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0).  KNV T’Rxac_dinh_hsR: xác định hàm số y = ax + b thỏa mãn điều kiện cho trước + Nhiệm vụ T’P1PRxac_dinh_hsR: có đồ thị là đường thẳng (d) đi qua điểm A(xRAR;yRAR) và biết hệ số góc k Kỹ thuật τ’P1PRxac_dinh_hs - Vì (d) có hệ số góc k nên a = k. - Thay tọa độ điểm A vào (d) ta được b = yRAR – k.xRAR; 50 - Kết luận: hàm số cần tìm là: y = k.x + yRAR – k.xRA.R + Nhiệm vụ T’P2PRxac_dinh_hsR: có đồ thị là đường thẳng (d) đi qua hai điểm AR1R(xR1R;yR1R) và AR2R(xR2R;yR2R) Có hai kỹ thuật giải quyết nhiệm vụ này: . Kỹ thuật τ’P2.1PRxac_dinh_hsR: giải hệ phương trình - Điểm AR1R ∈ (d) nên yR1R = axR1R + b; điểm AR2R ∈ (d) nên yR2R = axR2R + b; - Giải hệ phương trình 1 1 2 2 ax ax b y b y + = + =    tìm được a và b. Kết luận: hàm số cần tìm là y = ax + b với a, b vừa tìm được. . Kỹ thuật τ’P2.2PRxac_dinh_hsR: xác định hệ số góc qua tỉ số biến thiên Tìm hệ số góc của đường thẳng (d): B A B A y y a x x − = − . Khi đó phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = B A B A y y x x − − x + b. Điểm A(xRAR;yRAR) ∈ (d) nên: .B AA A B A y y y x b x x − = + − ⇒ .B AA A B A y y b y x x x − = − − Kết luận: hàm số cần tìm là: . .B A B AA A B A B A y y y y y x y x x x x x − − = + − − − hay A A B A B A y y x x y y x x − − = − − . Công nghệ θ’Rxac_dinh_hsR: định nghĩa hệ số góc của đường thẳng. Lý thuyết Θ’Rxac_dinh_hs - Định nghĩa đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b; - Quan hệ “liên thuộc” giữa một điểm và đồ thị của một hàm số y = f(x). Điểm A(xRAR;yRAR) thuộc đồ thị hàm số y =f(x) ⇔ yRAR = f(xRAR). • Nhận xét Các KNV và nhiệm vụ liên quan đến nghĩa 1 và nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng trong chương trình và ĐS10.NC là T’Rvi_tri_tuong_doiR và T’P2PRxac_dinh_hsR. Các KNV và nhiệm vụ chủ yếu trong ĐS10.NC và BTĐS10.NC được chúng tôi thống 51 kê trong Bảng 2.2: Bảng 2.2. Bảng thống kê các KNV chủ yếu trong ĐS10.NC và BTĐS10.NC KNV Số lần xuất hiện trong SGK (VD + BT) Số lần xuất hiện trong SBT Tổng Tỉ lệ % T’Rve_do_thi 5 1 6 18,75% T’Rtinh_tien 3 1 4 12,50% T’Rvi_tri_tuong_doi 2 2 4 12,50% T’Rxac_dinh_hs T’P1PRxac_dinh_hsR 1 1 2 6,25% T’P2PRxac_dinh_hs 1 0 1 3,125% Khác 1 5 6 18,75% Các KNV khác 3 6 9 28,125% Tổng cộng 16 16 32 100% Từ bảng thống kê trên cho chúng ta thấy, số lượng các ví dụ, các hoạt động và bập trong ĐS 10.NC rất khiêm tốn. Tổng số các ví dụ, các hoạt động và bài tập liên quan đến nghĩa của hệ số góc cũng rất khiêm tốn, với số lượng 6/32, chiếm tỉ lệ 18,75%. Trong đó, các KNV và nhiệm vụ liên quan đến nghĩa 1 của hệ số góc (T’Rvi_tri_tuong_doiR) chiếm 12,5% so với các nhiệm vụ còn lại. Điều đáng chú ý ở đây là nhiệm vụ T’P2PRxac_dinh_hsR. Với KNV này, yếu tố kỹ thuật τ’P2PRxac_dinh_hsR giúp ta xác định hệ số góc của đường thẳng thông qua tỉ số biến thiên của hàm số y = ax + b mà không phải giải hệ phương trình. Tuy vậy, kỹ thuật này hoàn toàn vắng mặt trong chương trình và ĐS10.NC. 2.2.2.2. Trong Hình học Kiến thức về đường thẳng và hệ số góc của nó được trình bày trong chương III. “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” của bộ sách Hình Học lớp 10 (chúng tôi chỉ giới hạn phân tích trong bộ sách HH10.NC). Mục tiêu của chương trong chủ đề về Phương trình đường thẳng được SGVHH10.NC trình bày như sau: 52 Kiến thức - Hiểu vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng. - Hiểu phương trình tổng quát và các dạng đặc biệt của nó, phương trình tham số của đường thẳng. - Hiểu được điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau. - Biết công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; góc giữa hai đường thẳng. - Biết điều kiện để hai điểm nằm cùng phía hoặc khác phía đối với một đường thẳng. Kĩ năng - Viết được phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm MR0R(xR0R;yR0R) và có phương cho trước, hoặc đi qua hai điểm cho trước. - Tính được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của vectơ chỉ phương của một đường thẳng và ngược lại. - Biết chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng. [17,tr.21-23] Như vậy so với SGKĐS9.T1, mục tiêu mà HH10.NC đặt ra ở chương này có một điểm khác biệt mà chúng tôi đặc biệt quan tâm là HH10.NC đã hoàn toàn không đề cập đến hệ số góc của đường thẳng. Tuy vậy, trong HH10.NC thì khái niệm đường thẳng và hệ số góc của nó được trình bày một cách đầy đủ và tường minh. Sau đây, chúng tôi sẽ phân tích cách tiếp cận của thể chế về đường thẳng và hệ số góc của nó. Theo đó, đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng được thể chế tiếp cận theo quan điểm của Hình học giải tích. Bằng phương pháp tọa độ cùng với công cụ vectơ, khái niệm đường thẳng được thể chế xây dựng theo hai hướng: phương trình đường thẳng gắn với vectơ pháp tuyến