Luận văn Nhập môn K – lý thuyết và liên quan tới lý thuyết đồng điều

ép toán  là lớp ổn định của phân thớ tầm thường 0-chiều 0e . Ta ký hiệu ( )  sVect X là tập tất cả các lớp tương đương ổn định của các phân thớ vec-tơ trên X . Mệnh đề 1.7.6. Tập ( )( )  sVect X , là một nhóm aben với mọi X Top . Chứng minh. Giả sử X là một không gian liên thông r chiều. Tổng Whitney cung cấp cho ( )  sVect X một cấu trúc monoit. Ta cần chứng minh với một phân thớ vec-tơ n- chiều x trên X , ta cần tìm phần tử nghịch đảo của 0x , tức là tìm phân thớ vec-tơ phức h ( )k n- -chiều sao cho  k sx h e , trong đó ke là một phân thớ tầm thường k-chiều trên X . Áp dụng Định lý 1.7.2 với k đủ lớn để thu được ánh xạ nf : X G , sao cho ( )n,kf *x g         . Mặt khác, ta có kn,k n,kg h e  , với ke tầm thường k-chiều trên X . Do đó ( ): n,kf *h h . Nếu X không liên thông, quá trình chứng minh cũng được lập luận tương tự cho mỗi thành phần liên thông. Chú ý rằng trong trường hợp này các thớ của một phân thớ vec-tơ x trên X sẽ có cùng số chiều trên mỗi thành phần liên thông của X , tuy nhiên chúng có thể có số chiều khác nhau nếu ta xét ở hai thành phần liên thông riêng biệt. Do đó, việc lựa chọn k sao cho phù hợp nhất là cần thiết. 30 Áp dụng việc xây dựng nhóm Grothendieck đối với vành giao hoán có đơn vị ( )  Vect B , ta có được biểu đồ giao hoán sau ( ) ( ) ( ) !     G s Vect X K X Vect X j j  trong đó ( ) ( )    s s : Vect X Vect Xj x x         là một đồng cấu vành và có duy nhất một đồng cấu ( ) ( )  s: K X Vect Xj  sao cho biểu đồ trên giao hoán, tức là Gj j . Ta định nghĩa j như sau: Cho   ( ), K Xx h  và cho 'h là một phân thớ vec-tơ trên X sao cho 'h h e  với e là một phân thớ tầm thường. Khi đó ta có    , ',x h x h e  . Đặt ( ) ( )   s s : K X Vect X , j x h x h       Cuối cùng ta có mô tả hình học của  ( )K X . Mệnh đề 1.7.7. Với mọi không gian X , ta có đẳng cấu nhóm: ( )  ( )sVect X K X  Chứng minh. Lấy ( )nss Vect Xx     và xét một phần tử   ( )n, K Xx e  , trong đó n dimx . Ta có    ( )Kern, i* K Xx e   và theo định nghĩa của  ( )n s: ,j j x e x    với ( )K Xj là toàn ánh. 31 Lấy    ( ), K Xx h  sao cho  ( ) 0,j x h  , ta chứng minh được nx e , do đó j là đơn ánh. 1.7.4. Mô tả ( )K X Ta biết rằng vành ( )K X gồm các lớp của các cặp phân thớ vec-tơ  ,x h trên X . Các phần tử của ( )K X có thể được xem như là hiệu E E'- thông thường của các phân thớ vec-tơ E,E' trên X . Xét cặp   ( ), K Xx h  . Vì theo định nghĩa, phần tử nghịch đảo của  ,x h là  ,h x nên ta có thể viết           ( ) ( )0 0 0 0 :, , , , , G G E E'x h x e e h x e h e x h   -  -  - Quan hệ tương đương    , ', 'x h x h  tồn tại u sao cho ' u ' ux h x h     vì vậy ta có 1 1 2 2 1 2 2 1sE E' E E' E E' E E'-  -    Việc mô tả các phần tử của ( )K X theo cách này cho ta xác định phép cộng giữa hai phần tử của ( )K X như sau ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2:E E' E E' E E E' E'-  -   -  trong đó  là tổng Whitney. Phép nhân của hai phần tử thuộc ( )K X được thực hiện như sau ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2:E E' E E' E E E E' E' E E' E'- -   -  -    trong đó  là tích ten-xơ trên các phân thớ vec-tơ. Hơn nữa, mỗi phần tử E E'- của ( )K X có thể được viết dưới dạng hiệu nH e- với ne là phân thớ tầm thường. Chọn một phân thớ G sao cho nE' G e  . Khi đó 32 :n nE E' E G G E' E G He e-   -    -  - Nhận xét trên kết hợp với Mệnh đề 1.6.2 cho ta thấy thêm được mối quan hệ giữa ( )K X và  ( )K X . Có một đồng cấu là toàn ánh ( )  ( ) n s f : K X K X E Ee   -   đồng cấu được “định nghĩa tốt” vì nếu n mE E'e e-  - trong ( )K X , ta có m nE E'e e   , vì vậy s s E E'       . Hạt nhân của đồng cấu trên là ( ) 0Ker : n s sf E K X | Ee e   -        hay ( ) Ker : k nf K Xe e -  . Thật vậy, 0 0   a b s n l k n m n l k n m n k n s n k n E a,b,s,t : E k,l,m,n : E k,l,m,n : E E E e e e e e e e e e e e e e e e e e                      -  - Hiển nhiên  Ker : nf E e - là một nhóm con của ( )K X đẳng cấu với  , vì vậy đẳng cấu với ( )0K x và dãy khớp đã cho trong mục 1.7.3 có thể đổi lại trật tự ( ) ( )  ( )00 0gfK x K X K X   với  ( ) ( )  nsg : K X K X : E E e  -  . Tính hàm tử của ( )K X Do cấu trúc của ( )K X được viết lại nên ta quay trở lại Định nghĩa 1.7.3. Ta có 33 ( ) ( ) ( ) ( )   K : Top Rng X K X f : X Y f * : K X K Y    với ( ) ( ) ( ):f * E E' f * E f * E'-  - và f * là cái kéo lùi của f . Các tính chất của các kéo lùi cho ta các đẳng cấu của các phân thớ vec-tơ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 f * E E f * E f * E f * E E f * E f * E       Do đó ta có f * là một đồng cấu vành. Ta sẽ chứng minh đẳng cấu cuối. Xét các phân thớ vec-tơ 1 1 2 2p : E X,p : E X  và 1 2: E E Xp   trên X , và cho f : Y X là ánh xạ liên tục. Ta cần chỉ ra biểu đồ ( ) ( )1 2 1 2 f f * E f * E E E Y X a b p       trong đó ,a b được cho bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 : f * E f * E E E e ,y e , y e ,e a     và ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2  : f * E f * E Y e ,y e , y y b    là biểu đồ cho cái kéo lại. Cho Z Top và hai ánh xạ liên tục ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2    : Z Y : z z , : Z E E : z z z j j y y y y    sao cho ( ) ( )( )1 2 f z , zj p y y với mọi z Z 34 Trong biểu đồ ta định nghĩa f như sau ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 : Z f * E f * E z z , z z , z f y j y j    Theo định nghĩa ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2   z z , z z , z z z z , z z , z z z b f b y j y j j a f a y j y j y y                    Ta cần chỉ ra rằng f là duy nhất (sai khác một đẳng cấu). Giả sử ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 ' : Z f * E f * E z a z ,b z a z ,b z f    Nếu ta muốn ( ) thỏa ta cần có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 2' z z , z z , zf y j y j  . Vì vậy biểu đồ đầu tiên là cái kéo lại và đặc biệt khi ta lấy ( )1 2:Z f * E E  và định nghĩa các ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 : :   E E Y pr : f * E E E E : e e , y e e pr : f * E E Y : e e , y y j y           Vậy đẳng cấu cần có là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2   : f * E E f * E f * E e e ,y e , y e , y f      được suy ra từ tính phổ dụng của cái kéo lại. 35 Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH K – NHÓM CỦA MỘT SỐ CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này, tác giả trình bày một số phương pháp tính K-nhóm của một số các không gian tôpô như: Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản – đây là một định lý nổi tiếng trong K-lý thuyết; Sử dụng các dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott; Sử dụng đối đồng điều để tính K-nhóm. Qua các ví dụ khá kinh điển trong chương này, quý độc giả sẽ có một hình dung tổng quan và sâu sắc hơn về K-lý thuyết. Các phương pháp và ví dụ trong chương này tác giả chủ yếu tham khảo từ [9], [11]. 2.1. Sử dụng định lý tích ngoài cơ bản để tính K-nhóm 2.1.1. Tích ngoài cho ( )K X Định nghĩa 2.1.1. Cho  aA,p ,X và  bB,p ,Y là hai phân thớ vec-tơ phức trên các không gian cố định X,Y . Xét các cái kéo lại của chúng cho bởi các phép chiếu Xp : X Y X  và Yp : X Y Y  , được chỉ ra trong biểu đồ giao hoán ( ) ( )     A B a bX Y X Y X Y pr pr X Y p pp p p p A p A p B B X X Y Y         Sử dụng tích thông thường trong ( )K X Y được xác định trong chương trước, ta thu được phân thớ ( ) ( ) X Yp A p B , ,X Yp   . Ta định nghĩa tích ngoài như sau 36 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X Y : K X K Y K X Y A B A B : p A p B m m                            Chú ý 2.1.2. Nói một cách chặt chẽ, các phần tử của ( )K X là lớp các đẳng cấu của các phân thớ vec-tơ trên X . Điều này giải thích tại sao ta đặt A trong dấu ngoặc vuông. Tuy nhiên, từ phần này để đơn giản ta sẽ chỉ viết A để ký hiệu một phần tử của ( )K X tương ứng với một phân thớ vec-tơ  aA,p ,X . Phép nhân trên vành ( ) ( )K X K Y được xác định bởi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   m : K X K Y K X K Y K X K Y A B,C D m A B,C D : A BC D            Hiển nhiên m là một đồng cấu vành vì ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2            X Y X X Y Y X Y X Y m A B,C D A B p A p B p A p C p B p D p A p B p C p D A B C D C D C D m A B C D m m m m m m                          trong đó đẳng cấu ( )1 suy ra từ tính chất của cái kéo lại mà ta đã chỉ ra ở phần cuối của mục trước. Để có ( )2 ta cần tìm một đẳng cấu phân thớ f giữa các phân thớ ( ) ( ) YX pC ,X Yp B ,p  và ( ) ( ) XY p C 'B Y Xp , ,p   , tức là ta có biểu đồ sau giao hoán ( ) ( ) ( ) ( )fX Y Y X ' p C p B p B p C X Y Y X p p              37 Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X Y Y Xf : p C p B p B p C x,b y,c y,c x,b          là đẳng cấu suy ra từ tính giao hoán của phép nhân thông thường  . Thật vậy, phép toán  được định nghĩa là tổng trực tiếp của các tích ten-xơ của các phần tử thuộc ( )K X Y được thực hiện trên các thớ, trong đó  và  giao hoán như ta thấy trong chương 1. Định lý 2.1.3. (Định lý tích cơ bản) Đồng cấu của các vành ( ) ( ) ( )2 2: K X K S K X Sm    là một đẳng cấu. Ta ký hiệu H là phân thớ đường chính tắc trên ( )2 1 21G P S   , tức là ( )21 2 1 2 1, ,H : : E Gg   Bổ đề 2.1.4. Cho H và 1 là các phân thớ tầm thường chính tắc. Khi đó tồn tại một đẳng cấu của các phân thớ vec-tơ phức ( ) 1H H H H    Xét đồng cấu vành 0 0 k i i i i H : a H |a ,k                  và idean của nó được sinh bởi ( )21H- . Thương ( )21H H  -  có cơ sở là 1,H . Chú ý rằng trong ( )K X bổ đề 2.1.4 cho ta công thức sau ( )22 1 2 1 0H H H   -  Vì vậy ta có đồng cấu vành tự nhiên ( ) ( )2 21H H K S  -   38 xác định vì ( )21H- trong ( )K X . Tiếp tục ta định nghĩa đồng cấu m thông qua ánh xạ hợp ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21: K X H H K X K S K X Smm   -       Khi đó ta có một định lý tương đương với định lý tích cơ bản Định lý 2.1.5. Đồng cấu của các vành ( ) ( ) ( )2 20 1: K X,s H H K X S ,m   -      là đẳng cấu. Hệ quả 2.1.6. Ánh xạ ( ) ( )2 2 01H H K S ,s  -   là một đẳng cấu vành. Chú ý 2.1.7. Theo hệ quả trên, dãy khớp ngắn  ( ) ( ) ( )2 2 000 0iK S , K S ,s K S     trong đó  ( )2K S , Kerf  , tương đương với dãy khớp ngắn ( ) ( )2 20 1 1 0iH H H   -  -     Vì vậy  ( )2K S được sinh bởi ( )1H- như một nhóm aben. 2.1.2. Ứng dụng tính ( ) ( )  ( )  ( )2 1 2 1 K S ;K P ;K S ;K P Lấy X pt , ta suy ra ngay cấu trúc của nhóm thứ nhất của K-lý thuyết đối với mặt cầu 2S và 1P . Áp dụng Định lý 2.1.5, ta có ( ) ( )22 1K S H H  -  là đẳng cấu vành và ( )2K S    là đẳng cấu nhóm. Nó được sinh bởi 1 và H hoặc được sinh bởi 1 và ( )1H- . Khi đó ta có thể viết ( ) ( )1n mH n m m H    - . Vì  ( )2K S là hạt nhân của 39 ánh xạ thu hẹp ( ) ( )2K S K pt và ( )K pt rõ ràng được sinh bởi phân thớ tầm thường 1 . Ta có thể kết luận  ( )2K S  với phần tử sinh là ( )1H- và phép nhân là tầm thường. Mặt khác ta có thể xem 1P như 2S . Thật vậy, lấy 2 3S  , 2S thỏa mãn phương trình 2 2 2 1s t u   . Ta định nghĩa ánh xạ ( ) 2 1 1 S P s,t,u s it : u    -    Khi đó ánh xạ ngược có thể được cho bởi ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Re xy Im xy x y x : y , , x y x y x y  -             Điều này chứng tỏ 2S đồng phôi với 1P . Do đó ta cũng có ( ) ( ) ( )  ( )21 1 11K P H H ;K P ;K P  -          . 40 2.2. Sử dụng dãy khớp, tích ngoài rút gọn và tuần hoàn Bott 2.2.1. Một số khái niệm Định nghĩa 2.2.1. (Tích chêm) Tích chêm X Y của hai không gian X và Y là không gian được tạo ra bằng cách lấy hợp rời của X và Y đồng thời đồng nhất một điểm trên X với một điểm trên Y như sau: ( )0 0ptX Y X Y X Y x y     ( pt : 1 điểm) Ví dụ 2.2.2. Tích chêm của hai đường tròn là số 8 Định nghĩa 2.2.3. (Tích smash) Tích smash X Y của hai không gian X và Y là không gian được tạo bằng cách tích trực tiếp của X và Y , sau đó chia thương cho tích chêm của X và Y , tức là ( ) ( )    0 0X Y X Y X Y X Y x Y X y        Ví dụ 2.2.4. Tích smash của hai đường tròn là một mặt cầu. Để dễ hình dung, trước hết ta chú ý rằng 1 1S S là mặt xuyến, sau khi chia thương cho 1 1S S (có nghĩa là đồng nhất các cạnh của hình vuông ở dưới) ta thu được một mặt cầu, hay nói cách khác 1 1 2S S S  . Ví dụ 2.2.5. Trong trường hợp tổng quát, ta có m n m nS S S   . Ta có thể chứng minh điều này bằng cách xem nS là một phức ô chức đĩa nD và một điểm 0x với đồng cấu X Y X Y 41 nối biến các điểm trên nD thành 0x . Khi đó m nS S là một phức ô mà các ô của nó là các tích của các ô trong nS và mS :        0 0 0 0n m n m n mS D D D y x D x y         Ta còn có    0 0n m n mS S D y x D     , vì vậy khi chia thương cho tích chêm ta được không gian n m n m n mD D pt D pt S      . Định nghĩa 2.2.6. (Nón) Nón CX trên X là không gian được tạo ra bằng cách lấy tích trực tiếp của X và đoạn 0 1I ,    rồi rút đoạn cuối về một điểm:  1CX X I X   Ta chú ý rằng CX co rút được. Định nghĩa 2.2.7. (Cái treo) Cái treo SX của một không gian X là không gian được tạo ra bằng cách lấy hợp của hai bản sao của nón trên X , hoặc một cách tương đương đó là không gian được tạo ra bằng cách nối I ở cả trên và dưới X , sau đó rút X về thành một điểm, ta có thể viết    0 1SX X I X X     . Ví dụ 2.2.8. Cái treo của  0 0 1S x ,x gồm hai đường thẳng (mỗi đường qua mỗi điểm của 0S ) gặp nhau tại 0 và 1 , tạo thành đường tròn. Tương tự, cái treo của 1S là một mặt trụ trong đó các đường tròn ở đỉnh và đáy thu về các điểm, tạo thành mặt cầu 2S . Ta có kết quả tổng quát như sau: 1n nSS S  . 42 Định nghĩa 2.2.9. (Cái treo rút gọn) Cái treo rút gọn X là không gian được tạo bởi thương giữa cái treo của X và  0x I với 0x X , hay nói cách khác:    ( )  00 1X X I X X x I      Cái treo rút gọn tương đương (theo quan hệ đồng luân) với cái treo không rút gọn. Ví dụ 2.2.10. Cái treo rút gọn của một không gian X bất kỳ bằng với tích smash của X với 1S . Để chứng minh, ta xem 1S như một đoạn thẳng với các điểm cuối được đồng nhất với nhau,    ( )1 0 1S I I I   . Do đó, ta có ( )      ( )1 1 1 1 00 1  X S X S X S X I X S X I X I X X x I             trong đó ta đồng nhất điểm 0x với điểm 0 1 trên 1S trong tích chêm. Ví dụ 2.2.11. Ký hiệu X là không gian X với một điểm liên hợp, khi đó 1X X S    . Ta có ( ) ( )   ( )   ( )00 1      X pt X I pt I X pt X pt x pt I      Hai thương đầu tiên cho ta cái treo của X trong đó một đường thẳng cực được nối (kết quả được từ việc co rút pt I tại 0pt và 1pt ), trong khi đó thương tiếp theo co rút hai điểm cuối cùng của đường thẳng này về cùng một điểm, cho ta 1X S . Định nghĩa 2.2.12. (Cái treo cấp n) Ta định nghĩa cái treo cấp n (hoặc cái treo rút gọn) như sau:   n n S X SS SX . Ví dụ 2.2.13. Xét ánh xạ tam giác ( ): X X X,x x,x   và E là một phân thớ vec- tơ trên X X . Khi đó  cảm sinh một phân thớ kéo lùi ( )E sao cho thớ trên x X tương ứng với thớ ( )x,x X X  . 43 2.2.2. Các dãy khớp của K- nhóm Xét dãy gồm các nhóm và các đồng cấu 11 2 1 2  pff f pG G G -   là một dãy khớp với mọi i thỏa 1 i p  , tức là 1Ker Imi if f - . Nếu dãy 1 1 20 fG G  là dãy khớp thì 1f đơn ánh và ngược lại nếu dãy 1 1 2 0 fG G  là dãy khớp thì 1f là toàn ánh. Và nếu dãy 1 2 1 2 30 0 f fG G G    là dãy khớp và tồn tại một đồng cấu 3 2g : G G sao cho 2 3 3f g Id : G G  thì dãy trên được gọi là dãy khớp ngắn và khi đó ta có 2 1 3G G G  . Mệnh đề 2.2.14. Nếu X là không gian compắc Hausdorff và A X là không gian con đóng, khi đó ánh xạ bao hàm i : A X và ánh xạ chiếu q : X X / A cảm sinh một dãy khớp  ( )  ( )  ( )q iK X / A K X K A   Mệnh đề 2.2.15. Nếu A co rút được thì ánh xạ chiếu q : X X / A cảm sinh một song ánh giữa các lớp đồng phôi của các phân thớ n chiều trên X / A và các lớp đồng phôi của các phân thớ trên X . Hai mệnh đề trên cho phép ta xây dựng một dãy khớp dài của các K-nhóm. Ta bắt đầu với ánh xạ bao hàm i : A X và thêm vào các không gian bằng cách tại mỗi bước tạo ra hợp của các không gian trước với các nón của không gian được tạo thành bởi hai bước trước đó. Ta cũng chia thương cho các nón gần nhất, theo cách này ta có 44 dãy khớp của các ánh xạ bao hàm (các ánh xạ đứng) và các ánh xạ chiếu (các ánh xạ ngang): ( ) ( )( ) ( )A X X CA X CA CX X CA CX C X CA X A SA SX                Cái nón là co rút được, vì vậy các ánh xạ thẳng đứng cảm sinh các đẳng cấu của các K-nhóm rút gọn. Vì vậy, ta có ánh xạ bao hàm A X X CA   và ánh xạ chiếu X CA X A  cảm sinh một đẳng cấu giữa  ( )K X CA và  ( )K X A . Điều này cho ta một dãy khớp  ( )  ( )  ( )q iK X A K X K A   . Dãy này sau đó được mở rộng bằng cách sử dụng ánh xạ bao hàm ( )X CA X CA CX    , trong đó  ( )  ( )K X CA K X A  và  ( )  ( )K X CA CX K SA   , tiếp tục quá trình trên, ta được dãy khớp dài:  ( )( )  ( )  ( )  ( )  ( )  ( ) K S X A K SX K SA K X A K X K A      Ví dụ 2.2.16. Xét tích chêm X A B  và dãy khớp dài  ( )  ( )  ( )  ( )  ( )  ( ) K SB K SX K SA K B K X K A      Đặt biệt, ta xét ba hạng tử cuối cùng  ( )  ( )  ( )q iK B K X K A   trong đó i : A A B  là ánh xạ bao hàm và q : A B B  là ánh xạ chiếu co rút A thành một điểm. Bây giờ, đặt q' là ánh xạ chiếu co rút B thành một điểm, khi đó ánh xạ hợp q' i là ánh xạ đồng nhất trên A từ đó cảm sinh ánh xạ đồng nhất i q'  trên  ( )K A , điều này chỉ ra rằng i là toàn ánh và q' là đơn ánh. Một cách tương tự, đặt j 45 là ánh xạ bao hàm của B trong X , khi đó ánh xạ hợp q j là đồng nhất trên B từ đó cảm sinh ra ánh xạ đồng nhất j q  trên  ( )K B , nghĩa là q là đơn ánh. Như vậy, chúng ta có một dãy khớp chẻ và  ( )  ( )  ( )K A B K A K B   Ví dụ 2.2.17. Xét tích smash X Y X Y X Y    và dãy khớp dài cho X Y và X Y  ( )( )  ( )( )  ( )  ( )  ( )K S X Y K S X Y K X Y K X Y K X Y          Ta đã biết cái treo thì tương đương đồng luân với cái treo rút gọn, sử dụng kết quả này và ví dụ vừa trình bày ở trên ta có  ( )( )  ( )( )  ( )  ( )  ( )  ( )  ( )K S X Y K X Y K X Y K X K Y K SX K SY             và cũng có  ( )  ( )  ( )K X Y K X K Y   Điều này có nghĩa là ta có  ( )  ( )  ( )  ( )iK X Y K X Y K X K Y     và ta có thể chỉ ra rằng ánh xạ này là toàn ánh. Thật vậy, đặt q' và q là các ánh xạ chiếu từ X Y lên X và Y . Khi đó ta định nghĩa các ánh xạ chiếu 1p và 2p từ X Y lên X và Y , ánh xạ bao hàm i : X Y X Y   . Ta thấy rằng phép chiếu từ X Y lên X hoặc Y cũng tương tự như việc nhúng X Y vào trong X Y rồi sau đó chiếu lên các phần tử, tức là: 1 2q' p i, q p i   Thật ra ánh xạ cảm sinh  ( )  ( )  ( )q' q : K X K Y K X Y     là một đẳng cấu (xem thêm ở ví dụ trước) và ta có thể viết ( )1 2 1 2q' q i p i p i p p             Do vậy i là toàn ánh và 1 2p p   cùng với các ánh xạ treo 1 2Sp Sp   cho ta dãy khớp ngắn chẻ như sau 46  ( )  ( )  ( )  ( )0 0K X Y K X Y K X K Y       và vì vậy  ( )  ( )  ( )  ( )K X Y K X Y K X K Y     và  ( )( )  ( )( )  ( )  ( )K S X Y K S X Y K SX K SY     2.2.3. Tích ngoài rút gọn Giả sử rằng  ( ) ( ) ( )( )  ( ) ( ) ( )( )0 0Ker Kera K X K X K x , b K Y K Y K y      Khi đó tích ngoài của chúng là ( ) ( ) ( ) ( )1 2a b a b p a p b K X Ym        , với ( )1p a bằng 0 khi hạn chế trong ( )0K x Y và ( )2p b bằng 0 khi hạn chế trong ( )0K X y nghĩa là ( ) ( )1 2p a p b  bằng 0 trong ( )K X Y và  ( )a b K X Y   với  ( )K X Y là hạt nhân của ánh xạ ( ) ( )0 0K X Y K x y   . Từ dãy khớp ngắn  ( )  ( )  ( )  ( )0 0K X Y K X Y K X K Y       ta thấy rằng a b thuộc hạt nhân của ánh xạ  ( )  ( )  ( )  ( )K X Y K X Y K X K Y     và vì vậy nó thuộc vào tập ảnh của ánh xạ trước. Từ đó suy ra tạo ảnh của a b chỉ có duy nhất một phần tử, phần tử này thuộc ( )K X Y . Vì vậy, ta có tích ngoài rút gọn  ( )  ( )  ( )K X K Y K X Y   Ta cũng có thể viết như sau ( )  ( ) ( )  ( )K X K X ,K Y K Y     và vì vậy ta có 47 ( ) ( )  ( )  ( )  ( )  ( ) ( )  ( )  ( )  ( ) K X K Y K X K Y K X K Y K X Y K X Y K X K Y                 Ta sử dụng G G  với một nhóm aben G nào đó và do đó thấy rằng bằng cách hạn chế tích ngoài không rút gọn lên  ( )  ( )K X K Y ta có được tích ngoài rút gọn. 2.2.4. Tuần hoàn Bott Ta có n nS X X  và cái treo nS liên kết với cái treo rút gọn bằng một ánh xạ chiếu của không gian con có thể co rút được. Ta có đẳng cấu  ( )  ( )n nK S X K S X  . Từ định lý tích ngoài ta biết rằng ( ) ( ) ( )2 2K X K S K X S   là một đẳng cấu vành, và do vậy thu hẹp của ánh xạ này đến các nhóm rút gọn ( ) ( ) ( )2 2K X K S K X S   là một đẳng cấu. Xét ánh xạ  ( )  ( )2: K X K S Xb  được định nghĩa bởi ( ) ( )1a H ab  -  trong đó  ( )a K X và ( )1H- là phân thớ đường chính tắc trên 2 1S P . Đây là ánh xạ hợp  ( )  ( )  ( )  ( )2 2K X K S K X K S X   . Ánh xạ đầu tiên trong ánh xạ hợp được xác định bởi ( )1a H a-  và là đẳng cấu vì ( )1H- là phần tử sinh của  ( )K X , và ánh xạ thứ hai là một đẳng cấu được suy ra từ định lý tích ngoài, vì vậy ta có tuần hoàn Bott:  ( )  ( )2K X K S X 2.2.5. Tính K- nhóm một số không gian Ví dụ 2.2.18. X là một điểm Một phân thớ vec-tơ trên một điểm là bản copy đơn lẻ của n và do đó ( )  pnK pt n p -  -    . Phép nhân trên nhóm này là phép nhân thông thường 48 trên  , nếu ta biểu diễn lớp tương đương của  n p- theo cách đơn giản bởi 0mm -  , trong đó m n p - thì tích ten-sơ của các phân thớ là m r mrmr mr      . Nhóm rút gọn là hạt nhân của ánh xạ ( ) ( )K pt K pt với ( ) ( )K pt K pt là ánh xạ đồng nhất, vì vậy  ( ) 0K pt  . Ví dụ 2.2.19. 0X S Một phân thớ vec-tơ trên  0 0 1S x ,x gồm một bản copy của m trên 0x và một bản copy của n trên 1x (ở đây ta xét m n trong trường hợp tổng quát vì 0S không liên thông). Từ đó ta suy ra ( )  0K S m n,p q - -    , trong đó m n- tượng trưng cho lớp tương đương của m n-  . Cấu trúc vành là phép nhân thông thường trên  trên mỗi phần tử. Nhóm rút gọn  ( )0K S là hạt nhân của ánh xạ hạn chế ( ) ( )0 0K S K S , tức là hạt nhân của ánh xạ biến  p qm n ,- -    thành  m n-  . Hạt nhân gồm các phần tử có dạng  p qm n ,- -    trong đó m n . Vì vậy  ( )0 0 p qK S , p q -  -    , và cấu trúc vành là phép nhân thông thường trên  . Ví dụ 2.2.20. 1X S Tất cả các phân thớ phức trên 1S là tầm thường, do đó ( )  1 m nK S  -    như trên với phép nhân thông thường, và ta cũng có  ( )1 0K S  . Ví dụ 2.2.21. 2X S Mặt cầu 2S đã được đề cập trong phần trước, ở đây ta chỉ nhắc lại kết quả đã có được. Ta có ( )2K S    là một nhóm và ( ) ( )22 1K S H H  -  là một vành. Ta có 49 thể viết ( )2K S dưới dạng ( )  ( )1n m H : m,n n,m -   và cấu trúc vành được cho bởi ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1n m H p q H mn mp nq H -  -    - , vì vậy một cách ngắn gọn ta viết ( )( ) ( )n,m p,q nm,mp nq  . Nhóm rút gọn  ( )2K S là hạt nhân của ánh xạ hạn chế ( )n,m n và do đó  ( )2K S  , phần tử sinh là ( )1H- với phép nhân thông thường. Ví dụ 2.2.22. nX S Từ định lý tuần hoàn Bott ta suy ra  ( )2 1 0nK S   và  ( )2nK S  (được sinh bởi tích ngoài rút gọn được cấp n : ( ) ( )1 1H H-   - , do dó phép nhân là tầm thường). Khi đó với các mặt cầu có số chiều lẻ ta có ( )2 1nK S   với phép nhân thông thường, trong khi đó với mặt cầu có số chiều chẵn ta có ( )2nK S    với cấu trúc vành giống như 2S . Ví dụ 2.2.23. Mặt xuyến 2 1 1T S S  Xét dãy khớp dài với cặp không gian ( )X Y,X Y  , ta có  ( )  ( )  ( )  ( )K X Y K X Y K X K Y     , do đó với 1X Y S  , ta có:  ( )  ( ) 