Luận văn Phần phụ trong nhóm

( ', ')hh kk hh kk hkh k h k h kϕ ϕ ϕ= = = . Do đó:ϕ là một đồng cấu Mặt khác 1( , ) Ker ( , ) 1 1 1 1h k h k hk k h H K h kϕ ϕ −∈ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ ∩ = ⇔ = = Suy ra ϕ là đơn cấu. Vậy ϕ là một đẳng cấu. ■ 1.4. Nhóm con Frattini, nFrattini và cFrattini Định nghĩa 1.4.1.Cho G là một nhóm. Ta định nghĩa:  M= : ,M G M G M L G L M L G         : ,N G N G N L G L N L G      N=  = char char char : ,K G K G K L G L K L G    K . Định nghĩa 1.4.2. 14 Cho một nhóm G, ta định nghĩa các nhóm con sau: ( )Frat M G M ∈ =  M nếu ≠ ∅M và ( )Frat G G= nếu =∅M ( )Frat N n G N ∈ =  N nếu ≠ ∅N và ( )Fratn G G= nếu =∅N ( )Frat K c G K ∈ =  K nếu ≠ ∅K và ( )Fratc G G= nếu =∅K . Mệnh đề 1.4.3.Cho G là một nhóm. Khi đó Frat(G), nFrat(G), cFrat(G) là các nhóm con đặc trưng của G. Bổ đề 1.4.4.Cho nhóm G. Với mọi phần tử g G∈ và mọi tập con X của G. Ta có: , ,G G G G Gg X g X g X= = . Định nghĩa 1.4.5. Một nhóm con H của G được gọi là n-hữu hạn sinh trên G nếu có các phần tử 1 2, ,..., mx x x thỏa mãn 1 2, ,..., G mH x x x= . Định lý 1.4.6.Cho G là một nhóm. Khi đó Frat(G) chính là tập tất cả các phần tử không sinh của G. Chứng minh: Giả sử x∈G là phần tử không sinh của G, và M là một nhóm con tối đại bất kỳ của G. Khi đó nếu x∉M thì ,G M x M= = (mâu thuẫn). Do đó x∈M, với mọi nhóm con tối đại M. Suy ra, x∈Frat(G). Ngược lại, lấy zFrat(G) và giả sử rằng ,G z Y . Nếu Y G thì tồn tại nhóm con tối đại M sao cho Y M , nhưng z cũng thuộc M, do đó ,z Y M (mâu thuẫn). Vậy z là phần tử không sinh của G. ∎ 15 Mệnh đề 1.4.7.Cho nhóm G, H là nhóm con của G, Frat(G) hữu hạn sinh nếu G = Frat(G)H thì H = G. Chứng minh: Cho Frat(G) = 1 2, ,..., nx x x . Thì G = 1, ,..., nH x x vì thếtheo định lý 1.4.6 suy ra: G = H = H. ∎ Định lý 1.4.8.Cho nhóm G. nFrat(G) là tập các phần tử không n-sinh của G (x là phần tử không n-sinh của G nếu 1 1, ,..., ,..., G G n nG x x x x x= = ) Định lý này được chứng minh trong theorem 1 [22]. Bổ đề 1.4.9.Nếu nFrat(G) là n-hữu hạn sinh trên một nhóm không tầm thường G thì nFrat(G) là nhóm con thực sự của G. Chứng minh trong lemma 2 [22]. 16 Chương 2: PHẦN PHỤ TRONG NHÓM 2.1.Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1.Một nhóm G được gọi là một xP-nhóm nếu với mọi x-nhóm con không tầm thường đều thỏa mãn điều kiện P. Trong đó, x và P là: x = a (nhóm con tùy ý) x = n (nhóm con chuẩn tắc) x = c (nhóm con đặc trưng) P = D có một hạng tử trực tiếp P = C có một phần bù thực sự P = S có một phần phụ thực sự P = PNS có một phần phụ chuẩn tắc thực sự P = CS có một phần phụ đặc trưng thực sự Lớp tất cả các nhóm có tính chất nêu trên được kí hiệu xP. Trước tiên chúng ta xét quan hệ bao hàm giữa chín lớp khác nhau của xP-nhóm. Những kết quả này hết sức đơn giản nên chỉ được nêu ra mà không có chứng minh: Mệnh đề 2.1.2.aP nP cP  trong đó , ,P S PNS CS Mệnh đề 2.1.3.xCS xPNS xS  trong đó , ,x a n c Từ kết quả của hai mệnh đề trên ta có sơ đồ sau: 17 | | | | | | aS nS cS aPNS nPNS cPNS aCS            nCS cCS (Sơ đồ 2.1.3) Câu hỏi đặt ra là quan hệ bao hàm trong sơ đồ trên có phải là quan hệ bao hàm thực sự không? Trong luận văn này, chúng tôi sẽ chỉ ra tất cả các quan hệ bao hàm ở trên trong trường hợp tổng quát là quan hệ bao hàm thực sự (sơ đồ 2.1.4), và khi hạn chế trên lớp các nhóm hữu hạn ta có kết quả như sơ đồ 2.1.5. Ta có các định lý sau (sẽ được chứng minh ở mục 2.6). Định lý 2.1.4.Trong trường hợp tổng quát quan hệ bao hàm trong sơ đồ 2.1.3 là thực sự. aS nS cS aPNS nPNS cPNS aCS nCS            cCS (Sơ đồ 2.1.4) Định lý 2.1.5. Trong lớp các nhóm hữu hạn ta có sơ đồ sau: = = || aS nS cS aPNS nPNS cPNS aCS nCS         cCS (Sơ đồ 2.1.5). 18 Các kết quả sau đây được sử dụng để chứng minh hai định lý 2.1.4 và 2.1.5. 2.2. Một số kết quả mở đầu Bổ đề 2.2.1.Một nhóm không tầm thường G là một aP-nhóm (P = S, PNS, CS) khi và chỉ khi với mọi phần tử không tầm thường x của G, x có một P-phần phụ thực sự trong G. Chứng minh: )⇒ hiển nhiên )⇐ Gọi H là một nhóm con không tầm thường của G, h là một phần tử không tầm thường của H. Khi đó h có một P-phần phụ trong G. Tức là G có một nhóm con thật sự K thỏa mãn: h K G= . Do đó: HK G= . Ta được điều phải chứng minh. ∎ Bổ đề 2.2.2.Một nhóm không tầm thường G là một nP-nhóm (P = S, PNS, CS) khi và chỉ khi với mọi phần tử không tầm thường x của G, bao đóng chuẩn tắc Gx có một P-phần phụ thực sự trong G. Chứng minh: Tương tự 2.2.1. Bổ đề 2.2.3.Một nhóm không tầm thường G là một cP – nhóm (P = S, PNS, CS) khi và chỉ khi với mọi phần tử không tầm thường x của G bao đóng đặc trưng  AGx có một P-phần phụ trong G. Chứng minh: Tương tự 2.2.1. 19 2.3. Các đặc trưng của xS-nhóm Trong phần này chúng tôi đưa ra một số điều kiện để một nhóm G là xS-nhóm các điều kiện này chủ yếu dựa trên nhóm con Frattini của G. Trong lớp các nhóm hữu hạn ta cũng chỉ ra: lớp aS-nhóm và aC-nhóm trùng nhau;lớp nS-nhóm và cS-nhóm trùng nhau. Mệnh đề 2.3.1.Nếu Frat(G) ={1} thì G là một nS-nhóm. Chứng minh: Vì Frat(G)= {1} ⇒G có nhóm con tối đại. Giả sử có một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N củaG sao cho N không có phần phụ thật sự. Khi đó với mọi M∈M : NM ≠ G. Vì NM ≠ G và M tối đại trong G nên ,NM M N M M= ⇒ ⊂ ∀ ∈M . Do đó, N⊆Frat(G). Suy ra: N = {1} (mâu thuẫn với giả thiết N không tầm thường) Vậy G là một nS-nhóm. ∎ Nhận xét 2.3.2. Tồn tại một nhóm T trong nS sao cho Frat(T) ≠{1}. Chứng minh: Theo [15] tồn tại một nhóm đơn vô hạn T thỏa Frat(T) = T. Vì T đơn nên là một nS-nhóm tầm thường và Frat(T) = T ≠{1}. ∎ Mệnh đề 2.3.3.Cho G là một nhóm với Frat(G) hữu hạn sinh thì G là một cS-nhóm khi và chỉ khi Frat(G)= {1}. Chứng minh: 20 )⇒ Phản chứng: Giả sử G là cS-nhóm với Frat(G)≠{1}. Vì Frat(G) char G (theo mệnh đề 1.4.3), nên có một nhóm con K sao cho: Frat(G)K = G. Mà Frat(G) hữu hạn sinh. Tức: ( ) 1 2Frat , ,..., nG x x x= . Suy ra: G = 1 2, , ,..., nK x x x = K (theo mệnh đề 1.3.7). Do đó: G = K (mâu thuẫn với K là nhóm con thực sự của G). Suy ra: Frat(G) ={1}. Vậy: G là nS-nhóm. )⇐ Vì aP nP⊂ với P = S, PNS, CS (theo 2.1.2) và G là một nS-nhóm nên G cũng là một cS-nhóm. ∎ Nhận xét 2.3.4.Có một nhóm F là cS-nhóm thỏa mãn Frat(F) không hữu hạn sinh Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bồ đề 2.3.5.Mọi nhóm cyclic không tầm thường đều không chia được. Chứng minh Gọi G là nhóm cyclic không tầm thường. , 1G a a= ≠ . Trường hợp G hữu hạn:Giả sử G có cấp m và chia được, khi đó tồn tại phần tử b của G sao cho mb a= , suy ra: 1 a= (mâu thuẫn). Trường hợp G vô hạn: Giả sử G chia được. Khi đó tồn tại phần tử b của G sao cho 2b a= . Mặt khác b a∈ nên tồn tại số nguyên k sao cho kb a= . 21 Suy ra: 2 2 1 1k ka a a −= ⇒ = (mâu thuẫn). ∎ Bây giờ ta chứng minh nhận xét 2.3.4. Xét F = × A5, tích trực tiếp của nhóm cộng các số hữu tỉ và nhóm thay phiên A5. + Chứng minh F là cS-nhóm: Ta sẽ chứng minh F là cS-nhóm bằng cách chứng minh F chỉ có bốn nhóm con đặc trưng là {1}, F, và A5. Hiển nhiên {1} và F là các nhóm con đặc trưng của F. Ta chứng minh  và A5 là nhóm con đặc trưng của F. Xét A5, ta có: T(F) = A5 (vì :           60 50, : 0, 0,1 0, Tb A b b F     và           5, T : , 0,1 0 ,ka b F k ka b a a b A        ). Với mỗi tự đẳng cấu f của F, với mỗi ( ) 50,b A∈ ta luôn có: ( ) ( ) ( )60 600, 0, 0;1f b f b= = (vì |A5| = 60). Suy ra: ( ) ( ) ( )5 5 50, Tf b F A f A A∈ = ⇒ ≤ Vậy A5 là nhóm con đặc trưng của F. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh  là nhóm con đặc trưng của F. Thậy vậy: Gọi f là tự đẳng cấu của F, lấy ( ),1a ∈ . Giả sử ( ) ( )1 1,1 ,f a a b= và ( )2 2,1 ,60 af a b  =    . 22 Khi đó ( ) ( ) ( ) 60 60 2 2 1 1, ,1 ,1 ,60 aa b f f a a b = = =    . Suy ra: 601 2 1b b= = (vì |A5| = 60) . Vậy ( )f ⊂  . Suy ra  là nhóm con đặc trưng của F. Bây giờ ta sẽ chứng minh F không có nhóm con đặc trưng nào khác bốn nhóm con đặc trưng nêu trên: Giả sử Mchar F , M{1} và MA5. Khi đó tồn tại  , ,a b M a  0 . Với mỗi c  \F 0 , ta xây dựng đồng cấu :f F F với  , ,cf x y x y a     . Lấy (u,v) F, khi đó tồn tại ,u v F c      sao cho  , , uf v u v c      , suy ra: Im(f) = F Ker(f) =    , | , 0,1ucu v F v a             = {(0,1)}={1}. Vậy f là đẳng cấu. Ta có:    ; ;f a b c b M (vì M char F). Như vậy  ;c b M với mọi c  \ 0 . Do đó ;c b M2 . Suy ra      ( , ) , , ,c c c b b c b c b M   111 2 2 . Tức M . Mà McharF, suy ra M F A 5  là nhóm đơn. 23 Chứng minh 5A là nhóm đơn, đầu tiên ta chứng minh 5A được sinh ra bởi các 3- chu trình. Thật vậy, vì mỗi phần tử của 5A đều là tích của một số chẵn các chuyển vị. Vì: ( )( ) ( )ac ab abc= và ( )( ) ( )( )cd ab adc abc= . Do đó, mọi phần tử của 5A đều là tích của hữu hạn các 3-chu trình. Tiếp theo giả sử N là nhóm con chuẩn tắc khác đơn vị của 5A .Khi đó, xảy ra các khả năng sau: 1. N chứa 3-chu trình ( )abc , nếu ( )' ' 'a b c là 3-chu trình khác và 5Sπ ∈ là phép thế biến a thành a ' , b thành 'b , c thành 'c thì ( ) ( )1 ' ' 'abc a b cπ π − = . Nếu π là phép thế lẻ, ta thay π bởi ( ),e f , trong đó, evà f khác với a ', ', 'b c . Ta có ( )' ' 'a b c N∈ do tính chuẩn tắc của N trong 5A và do đó 5N A= . 2. N chứa 5-chu trình ( )1 2 3 4 5a a a a aπ = , do đó N chứa ( ) ( ) ( )11 2 3 1 2 3 2 3 1 4 5' a a a a a a a a a a aπ π − = = . Do đó, N chứa ( )1 1 2 4' a a aπ π − = , bởi vậy, theo chứng minh trên, 5N A= . 3. Cuối cùng, N chứa phép thế dạng ( )( )' 'a b abπ = , khi đó N chứa phép thế ( ) ( ) ( )( )1' ' 'acb acb a b acπ π −= = ( với , , ', 'c a b a b≠ ). Từ M F A 5  . Suy ra: N chứa ( )' abcπ π = , bởi vậy theo chứng minh trên, 5N A= . Như vậy, ta đã chứng minh được nếu N là nhóm con chuẩn tắc khác đơn vị của 5A thì 5N A= . Do đó, 5A là nhóm đơn cấp 60. 24 Do đó: M  = 1 hoặc M  = A5. Suy ra M =  hoặc M = F. Như vậy rõ ràng F chỉ có bốn nhóm con đặc trưng là {1}, A5,  , F. Hiển nhiên phần bù của  là A5, và ngược lại phần bù của A5 là  . Nên F là cS-nhóm. + Chứng minh Frat(F) không hữu hạn sinh Trước tiên ta chứng minh  không chứa nhóm con tối đại. Phản chứng, giả sử  có nhóm con tối đại M. Suy ra, M là nhóm đơn. Xét đồng cấu :p M  . Ta chứng minh M là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Giả sử ngược lại Lấy phần tử , 0aM M a M  . Khi đó aM M aM M    . Nếu aM vô hạn thì 2a M là nhóm con thực sự của M (mâu thuẫn với M đơn). Nếu aM hữu hạn, giả sử  . , , 1kaM p m p m  thì pa là nhóm con thực sự của M (mâu thuẫn với M đơn). Vậy M là nhóm cyclic cấp nguyên tố, mà M chia được. Suy ra M là nhóm tầm thường (theo bổ đề 2.3.5). Tức là  không chứa nhóm con tối đại. Tiếp theo ta chứng minh mọi nhóm con tối đại của F đều chứa  . Giả sử M là nhóm con tối đại của F và M không chứa  . Gọi K là nhóm con của Fthỏa M K    . 25 Ta có , char K F   . Suy ra: K là nhóm con chuẩn tắc của F. Suy ra: M KM F  . Nếu M = KM thì K M suy ra:    K M K M      . Nếu M = Fthì  F KM K M K          . Vậy  M  là nhóm con tối đại của  (mâu thuẫn). Như vậy, mọi nhóm con tối đại của F đều chứa  . Suy ra Frat(F) =  . Giả sử  hữu hạn sinh. Tức: , ,..., kmm m n n n  1 2 . Gọi p là số nguyên tố thỏa p không là ước của m. Khi đó ... kk mm ml l l p p n n n      1 21 2 1 1  . Suy ra  ... k kn p l m l m l m   1 1 2 2 . Tức p là ước của n (mâu thuẫn). Vậy Frat(F) =  không hữu hạn sinh. ∎ Hệ quả 2.3.6.Trong lớp những nhóm mà trong đó Frat(G) là hữu hạn sinh tập hợp các nS-nhóm và cS-nhóm là trùng nhau. Mệnh đề 2.3.7.Nếu G là một aS-nhóm thì Frat(G) = {1}. Chứng minh: 26 Giả sử Frat(G) ≠{1}. Lấy xFrat(G), x≠1. Vì G là aS-nhóm, nên tồn tại nhóm con thật sự H của G sao cho .G x H= . Do đó: ,G x H H= = (mâu thuẫn). Nhận xét 2.3.8. Có một nhóm hữu hạn G với Frat(G) = {1} nhưng G∉aS. Chứng minh Xét nhóm thay phiên A4. Ta chứng minh A4 không có nhóm con cấp 6. Để chứng minh, trước hết ta có vài nhận xét đơn giản sau: Mỗi phép thế đều phân tích được thành tích các chu trình độc lập. Một chu trình độ dài k có cấp k do đó nhóm A4 không có phần tử cấp 6. Các phần tử cấp 3 là các chu trình độ dài 3, có phần tử cấp 2 là   ,12 34   ,13 24   .14 23 Bây giờ, giả sử H là nhóm con cấp 6 của A4, có thể xảy ra các khả năng sau: 1. H có ít nhất 2 phần tử cấp 2, khi đó H chứa nhóm con          , ,K  12 34 13 24 14 23 . Điều này không thể được vì K có cấp 4, còn H có cấp 6. 2. H có nhiều nhất là một phần tử cấp 2, khi đó H có ít nhất 4 phần tử cấp 3, do đó H có ít nhất 2 nhóm con cấp 3. Không mất tính tổng quát, có thể giả sử H chứa các nhóm con  123 và  124 . Khi đó, H sẽ chứa nhóm con   124 123 ¹¯ =  134 , do đó H chứa ít nhất 6 phần tử cấp 3. Điều này là không thể được. 27 Vậy A4 không có nhóm con cấp 6. Suy ra mọi nhóm con cấp 3 và 4 của A4 đều là nhóm con tối đại của A4. Mà giao của một nhóm con cấp 3 và một nhóm con cấp 4 bằng {1}. Nên Frat(A4) = {1}. Gọi H là nhóm con cấp 2 của A4. Giả sử H có có phần phụ thực sự K trong A4. Khi đó: |A4| = |HK| = H K H K∩ , suy ra 6 6 12K K K K H = ⇒ ≥ ⇒ = ∩ (vì K không có nhóm con cấp 6). Do đó: K = A4 (mâu thuẫn với giả thiết K là nhóm con thực sự). Vậy A4∉aS. ∎ Mệnh đề 2.3.9.Mọi nhóm con của aS-nhóm là aS-nhóm. Chứng minh: Cho G là một nhóm và H ≤ G. Nếu H={1} hoặc H = G mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử H là nhóm con thực sự và không tầm thường của G. Lấy K là một nhóm con không tầm thường của H. Khi đó: K là nhóm con không tầm thường của G nên có một nhóm con thực sự L của G sao cho: KL = G. ⇒K(L∩H) = H. Nếu: L∩H thì H⊂L⇒K⊂L⇒L = G (mâu thuẫn). 28 Nên L∩H là nhóm con thực sự của H. ⇒H là một aS-nhóm. ∎ Định lý 2.3.10.Nếu G là một aS-nhóm thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm trên tập các nhóm con, thì G là một aC-nhóm. Chứng minh Lấy H ≤ G, K là nhóm con tối tiểu trong tập tất cả các phần phụ của H trong G. Đặt H1 = H∩K, giả sử H1 ≠ {1}. Vì: K là nhóm con của G, nên theo mệnh đề 2.3.9H1 có một phần phụ thực sự K1 trong K. ⇒H1K1 = K. ⇒G = HK = H(H1K1) = (HH1)K1 = HK1 (mâu thuẫn với tính tối tiểu của K). Vậy H1={1}. Tức H có phần bù trong G. ∎ Hệ quả 2.3.11.Lớp aS-nhóm hữu hạn bằng lớp aC-nhóm hữu hạn. 2.4. Các đặc trưng của xPNS-nhóm Trong phần này chúng tôi sẽ tìm điều kiện để một nhóm là xPNS-nhóm.Đồng thời chứng minh lớp nPNS-nhóm hữu hạn trùng với lớp các nD-nhóm hữu hạn và lớp các cPNS-nhóm hữu hạn. Định lý 2.4.1: Cho G là một nhóm. Các mệnh đề sau là tương đương. (a) G là một nPNS – nhóm. (b) G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn. 29 (c) nFrat(G)={1}. Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 2.4.2: Một nhóm G đẳng cấu với tích trực tiếp con của một họ các nhóm đơn khi và chỉ khi mọi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N đều có phần phụ chuẩn tắc thực sự trong G. Chứng minh )⇒ Giả sử G là tích trực tiếp của các nhóm đơn ii S H∈Π . Gọi N là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G⇒∃x∈N, x≠ 1. Suy ra, tồn tại Hj sao cho x∈Hj, hiển nhiên (G∩Hj)⊆N. Gọi ' ii jN G H≠= ∩Π . Khi đó N’ là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G và không chứa x, hơn nữa: G = N.N’. )⇐ Giả sử G là nhóm thỏa mãn mọi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G đều có phần phụ thực sự trong G. Gọi x là phần tử khác đơn vị của G. Khi đó, tồn tại nhóm con thực sự Nx của G sao cho xG.Nx = G. Gọi Mx là nhóm con chuẩn tắc của G, sao cho Mx tối đại trong tập tất cả các nhóm con chuẩn tắc của G thỏa x xx M N∉ ⊇ (Mxtồn tại theo bổ đề Zorn). Dễ thấy Mx là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G. Như vậy với mỗi phần tử khác đơn vị của G luôn có một nhóm con chuẩn tắc tối đại của G không chứa phần tử đó. Ta sẽ chứng minh G là tích trực tiếp con của / xx G G M∈Π trong đó G/Mx là các nhóm đơn (vì Mx là nhóm con tối đại của G). Xét đồng cấu T: / xx GG G M∈→Π ( )a a→ 30 T là đơn cấu vì nếu tồn tại a,b∈G, a≠ b: ( a ) = (b ) suy ra ( )1 1ab− = suy ra 1 1 ab ab M −− ∈ (mâu thuẫn với cách đặt Mx ở trên). Gọi pi là phép chiếu từ / xx G G M∈Π vào G/Mx. hiển nhiên piT là toàn cấu. Như vậy G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn. Chứng minh định lý 2.4.1: Theo bổ đề trên ta có (a) ⇔ (b) (b) ⇒ (c) Giả sử G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn thì G có nhóm con chuẩn tắc tối đại. ⇒nFrat(G) ≠ G. Giả sử nFrat(G) ≠ {1}. Vì G∈nPNS-nhóm nên ∃NG: nFrat(G). N = G. Gọi M là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G: N ≤ M. ⇒ G = nFrat(G).M = M (mâu thuẫn). ⇒nFrat(G) ={1}. (c) ⇒ (a): Giả sử nFrat(G) ={1}⇒G có nhóm con chuẩn tắc tối đại. Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G, sao cho N không có phần phụ chuẩn tắc thực sự. ⇒G ≠ NM, ∀M∈N NM<G⇒NM = M⇒N⊂M, ∀M∈N ⇒N ≤ Frat(G) (mâu thuẫn với giả thiết N không tầm thường). ∎ 31 Định lý 2.4.3.Trong lớp các nhóm mà nFrat(G) là n-hữu hạn sinh tập hợp nPNS- nhóm và tập hợp cPNS-nhóm bằng nhau. Chứng minh: Vì mọi nPNS-nhóm là một cPNS-nhóm nên chúng ta cần chứng minh cPNS- nhómlà một nPNS-nhóm. Lấy G∈cPNS và nFrat(G) là hữu hạn sinh, nFrat(G) ≠G. Đặt nFrat(G) = 1 2, ,.. G nx x x . Nếu G là đơn hay tầm thường hiển nhiên ta có điều cần chứng minh. Trường hợp G không tầm thường, không đơn. Giả sử G không là một nPNS-nhóm. ⇒G có một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N sao cho N không có phần bù chuẩn tắc thực sự. Vì nFrat(G) ≠ G nên G có nhóm con chuẩn tắc tối đại. Khi đó :M NM G∀ ∈ ≠N mà NM G ⇒ NM M= ⇒ N M⊆ , M∀ ∈N . Suy ra: N⊆ nFrat(G) tức nFrat(G) không tầm thường trong G. Vì nFrat(G) char G nên có một nhóm con chuẩn tắc thực sự L trong G sao cho: G = nFrat(G).L. ⇒G = 1 2, ,.. G nx x x .L = 1 2, ,.. , G nx x x L (theo 1.3.8). ⇒G = L (vô lý). Vậy G là nPNS–nhóm. ∎ 32 Nhận xét 2.4.4. Tồn tại một nhóm F là cPNS-nhóm nhưng nFrat(F) không hữu hạn sinh và F ∉nPNS. Chứng minh Xét nhóm 5F A= × . Theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4 thì F có bốn nhóm con đặc trưng là {1}, A5,  và F. Do đó: mỗi nhóm con đặc trưng không tầm thường của G đều có phần bù chuẩn tắc thực sự trong F. Suy ra: F là một cPNS–nhóm. Theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4 thì  không có nhóm con tối đại nên cũng không có nhóm con tối đại chuẩn tắc.Chứng minh tương tự nhận xét 2.3.4 ta cũng được mọi nhóm con chuẩn tắc tối đại của F đều chứa  Suy ra: nFrat(F) ≅  . Do đó nFrat(F) không hữu hạn sinh. Ta cần chứng minh F không là nPNS-nhóm. Thật vậy, xét nhóm con chuẩn tắc  của F. Trước tiên ta chứng minh không có phần bù thực sự trong  . Giả sử  có phần bù thực sự K trong  . Tức là K+ =  . Khi đó    K K K K       . 33 Trong đó K là nhóm chia được (vì  là nhóm chia được)còn  K   là nhóm cyclic nên K là nhóm tầm thường theo bổ đề 2.3.5. Suy ra: K =  (mâu thuẫn). Bây giờ ta chứng minh  không có phần bù thực sự trong F. Giả sử tồn tại nhóm con thực sự M của F sao cho M F  . Khi đó    M M          . Theo chứng minh trên, suy ra M M        . Do đó: M M F   (mâu thuẫn). ∎ Hệ quả 2.4.5.Lớp các nhóm hữu hạn nPNS-nhóm, nD-nhóm, cD-nhóm, và cPNS- nhóm hữu hạn là trùng nhau và bất kỳ nhóm nào trong lớp này đều là tích trực tiếp của các nhóm đơn. Chứng minh Hiển nhiên, một nD-nhóm hữu hạn là một nPNS-nhóm hữu hạn.Ngược lại, gọi G là một nPNS-hữu hạn. Theo định lý 2.4.1 G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn AG Ga a  . Gọi N là một nhóm con chuẩn tắc của G thì G Na  là nhóm con chuẩn tắc của Ga .Khi đó: với mọi Aa  hoặc  G Na   1 hoặc G N G G Na a a    . Gọi: B là tập các chỉ số b thỏa mãn G Nb  , H là tập con sinh bởi tập các nhóm   B Gb b , tức: BH Gb b  . Khi đó: H = N. Vì thế G là một nD-nhóm hữu hạn. 34 Tiếp theo ta chứng minh lớp nD-nhóm hữu hạn và lớp cD-nhóm hữu hạn là trùng nhau. Vì một nD-nhóm hiển nhiên là cD-nhóm nên ta chỉ cần chứng minh một cD-nhóm hữu hạn là nD-nhóm hữu hạn. Giả sử G là một cD-nhóm hữu hạn. Gọi K1 là nhóm con đặc trưng tối đại của G. Khi đó tồn tại nhóm đơn đặc trưng N sao cho G = K1N. Gọi K2 là nhóm con đặc trưng tối đại của K1. Lặp lại quá trình như trên. Do G hữu hạn suy ra: G là tích trực tiếp của các nhóm đơn đặc trưng. Theo theo mệnh đề 1.1.14 các nhóm đơn đặc trưng hữu hạn là tích trực tiếp của các nhóm đơn hữu hạn. Suy ra G là tích trực tiếp của các nhóm đơn. Vậy G là nD-nhóm. Theo định lý 2.4.3 lớp các cPNS-nhóm và lớp nPNS-nhóm là giống nhau. Phần cuối của định lý là kết quả ở định lý 2.4.1. ∎ Định lý 2.4.6.Cho một nhóm không tầm thường G. Các mệnh đề sau tương đương: (a) G là một aPNS-nhóm. (b) G là một tích trực tiếp của một họ các nhóm cyclic có cấp nguyên tố. (c) G là nhóm giao hoán với { }1pp Gπ∈ = , trong đóπ là tập hợp tất cả các số nguyên tố. Chứng minh ( ) ( )a b⇒ : Cho G là một aPNS-nhóm, x là một phần tử khác đơn vị của G. 35 Nếu x G= , thì G đẳng cấu với một nhóm cyclic vô hạn hoặc G đẳng cấu với một nhóm cyclic hữu hạn có cấp không chính phương. Trường hợp G đẳng cấu với một nhóm cyclic hữu hạn có cấp không chính phương, G là aPNS-nhóm nên là nPNS-nhóm hữu hạn. Do đó theo hệ quả 2.4.3 G là tích trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp nguyên tố. Trường hợp G đẳng cấu với một nhóm cyclic vô hạn thì G là tích trực tiếp con của nhóm / p p π∈ Π   (với π là tập hợp các số nguyên tố, và / p  là nhóm đơn cấp p). Thật vậy, với mọi phần tử y của G tồn tại số nguyên k sao cho ky x= với m p k p π∈ = Π . Ta xây dựng đơn cấu f từ G vào / p p π∈ Π   như sau: f(y)= ( )m . Khi đó với mỗi phép chiếu qp từ / p p π∈ Π  vào / p  , với mỗi phần tử /m p∈  ta luôn tìm được phần tử m∈ sao cho qpf( mpx ) = m . Do đó qpf là toàn cấu từ Gvào / p  . Như vậy, ta đã chứng minh được G là tích trực tiếp con của các nhóm cyclic có cấp nguyên tố trong trường hợp G đẳng cấu với một nhóm cyclic có cấp vô hạn. Nếu x G≠ . Vì G là nPNS-nhóm nên có một nhóm con chuẩn tắc thực sự N của G sao cho G x N= . Gọi M là một nhóm con chuẩn tắc của G, M cực đại trong tập tất cả các nhóm con chuẩn tắc chứa N và không chứa x (M tồn tại theo bổ đề Zorn). Chúng ta sẽ chỉ ra G/M là nhóm cyclic có cấp nguyên tố. Thật vậy: Vì G x M= nên / / /G M x M M x x M≅ ≅ ∩ . Suy ra G/M là nhóm cyclic Nếu G/M không đơn, thì G/M có một nhóm con chuẩn tắc thực sự K/M của G/M. Do đó K là nhóm con chuẩn tắc thực sự của Gvới M K⊂ . Nếu x∈K thì x M G K= ⊆ mâu thuẫn với K là nhóm con thực sự của G. Còn nếu x∉K thì mâu 36 thuẫn với tính tối đại của M. Vậy G/M phải là nhóm đơn. Suy ra: G là nhóm cyclic có cấp nguyên tố. Như vậy, với mỗi phần tử không tầm thường x của G, có một nhóm con chuẩn tắc Mx của G sao cho x∉Mx và G/Mx là nhóm cyclic có cấp nguyên tố nên G là tích trực tiếp trong của một họ các nhóm cyclic có cấp nguyên tố (chứng minh tương tự bổ đề 1.4.2). ( ) ( )b c⇒ Cho G là nhóm thỏa điều kiện (b). Khi đó G giao hoán. Hơn nữa theo 2.4.1 thì G là một nPNS-nhóm với nFrat(G) = {1}. Do G giao hoán, nên {1} = nFrat(G) = Frat(G) = pp Gπ∈ . ( ) ( )c a⇒ Cho G là nhóm giao hoán thỏa { }1pp Gπ∈ = Lấy , 1g G g∈ ≠ . Chọn p là số nguyên tố sao cho pg G∉ . Vì / pG G là một p – nhóm giao hoán sơ cấp nên Frat( / pG G ) = nFrat( / pG G ) = {1}. Do đó theo 2.3.1 / pG G là nS-nhóm nên cũng là aPNS-nhóm (vì / pG G giao hoán nên mọi nhóm con của nó đều là nhóm con chuẩn tắc). Suy ra, tồn tại một nhóm con M của G chứa pG sao cho ( ) ( ).p p pG G g G M G= . Suy ra: G g M= . Vậy G là một aPNS– nhóm. ∎ 37 2.5. Các đặc trưng của xCS-nhóm Định lý 2.5.1.Một nhóm xoắn không tầm thường G là một aCS-nhóm khi và chỉ khi nó là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp là các số nguyên tố p phân biệt. Chứng minh  Giả sử G là một aCS-nhóm khi đó G là một aPNS-nhóm. Theo định lý 2.4.6, mỗi p-nhóm con Sylow của G là aben. Gọi Gp là một p-nhóm con Sylow của G và giả sử rằng |Gp| >p. Gọi a1 là một phần tử của Gp sao cho |a1| =p. Vì G là một aSC-nhóm nên có một nhóm con thực sự H của G, H char G, sao cho: 1G a H= + . Mà |a1| =p⇒ 1G a H= ⊕ . Vì |Gp| >p nên có a2∈H sao cho |a2| = p. Lại do G là một aSC-nhóm nên ta có 2G a K= ⊕ trong đó K là nhóm con đặc trưng thực sự của G. Ta có: H = G∩H= ( ) ( )2 2a K H a H K⊕ ∩ = + ∩ . Vì 2a K H∉ ∩ nên ( )2H a H K= ⊕ ∩ . Suy ra: ( )1 2G a a H K= ⊕ ⊕ ∩ , trong đó ( )H K∩ char G. Ta định nghĩa ánh xạ : G Gφ → ( ) ( ) ( )1 2 2 1; ; ,a a a a l l l H Kφ φ φ= = = ∀ ∈ ∩ . Khi đó φ là một tự đẳng cấu của G nhưng ( )H Hφ ≠ (mâu thuẫn). Do đó với mọi p-nhóm con Sylow Gp của G ta luôn có |Gp| = p. 38 Giả sử iG H= ∑ (Hi là nhóm cyclic có cấp là s