Luận văn Phương trình tích phân ngẫu nhiên

P (||A(x/t)|| > 1) < ε vì ||x t || 6 1 t < δ. Điều này chứng minh (1.38). Ngược lại giả sử có (1.38). Cho trước c > 0, ε > 0 khi đó tồn tại t > 0 sao cho P (||Ax|| > t) < ε với mọi x ||x|| 6 1. Lấy δ = c t ta có t||x|| < c nếu ||x|| < δ. Do đó nếu ||x|| < δ thì: P (||Ax|| > c) 6 P (||Ax|| > t||x||) = P (||A(x/||x||)|| > t) < ε 26 . Vậy: lim x→0 P (||Ax|| > c) = 0 tức là A liên tục ngẫu nhiên tại 0. Từ đó: lim xn→x0 P (||A(xn)− A(x0)|| > c) = P (||A(xn − x0)|| > c) = 0 Từ định lý trên ta suy ra nếu A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn thì A là toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Sau đây là một số ví dụ về toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên. Ví dụ 1.5. Giả sử T1, T2, . . . , Tn ∈ L(E, Y ) và α1, α2, . . . , αn là các biến ngẫu nhiên thực. Khi đó dễ thấy toán tử ngẫu nhiên A xác định bởi: Ax(ω) = n∑ k=1 αk(ω)Tkx là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Ví dụ 1.6. Cho K(s, t, ω) là hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục trên hình vuông [0; 1]× [0; 1]. Với mỗi hàm x(t) ∈ C[0; 1] ta định nghĩa: Ax(t, ω) = ∫ 1 0 K(t, s, ω)x(s)ds Khi đó y(t, ω) = Ax(t, ω) là một hàm ngẫu nhiên với quỹ đạo liên tục. Dễ thấy A là một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính từ C[0; 1] vào C[0; 1]. Vì K(t, s, ω) có quỹ đạo liên tục nên tồn tại biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C([0, 1]× [0, 1]) xác định bởi ξ(ω) = K(., ., ω). Ta có: |Ax(t, ω)| 6 ||x|| ∫ 1 0 |K(t, s, ω)|ds 6 ||ξ(ω)|| ||x|| Do đó A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn. Ví dụ 1.7. Xác định toán tử ngẫu nhiên A từ L2[0, 1] vào C[0, 1] bởi: Ax(t) = ∫ t 0 x(s)dW (s) 27 Dễ thấy A tuyến tính. Ta chứng minh A liên tục ngẫu nhiên. Thật vậy, theo bất đẳng thức martingale ta có: P (||Ax|| > r) = P{ sup t∈[0,1] | ∫ t 0 x(s)dW (s)|2 > r2} 6 1 r2 E| ∫ 1 0 x(s)dW (s)|2 = 1 r2 ||x||2 Vậy lim t→∞ sup||x||61 P (||Ax|| > t) 6 lim t→∞ 1 t2 = 0 Theo định lý (1.9) A liên tục ngẫu nhiên. Vậy A là toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục từ L2[0, 1] vào C[0, 1] Ta chứng minh A không bị chặn. Với h > 0 gọi xh(t) là hàm cho bởi: xh(t) = { 1√ 2hlnln 1 h nếu 0 6 t 6 h 0 nếu ngược lại Ta có xh ∈ L2[0, 1] và: ||xh||2 = ∫ 1 0 x2h(t)dt = ∫ h 0 dt 2hlnln 1 h = 1 2lnln 1 h → 0 khi h→ 0 Lại có: ||Axh(ω)|| = sup t ||Axh(t)|| > ||Axh(1)|| = ∣∣∣∣ ∫ 1 0 xh(t)dW (t) ∣∣∣∣ = W (h)√ 2hlnln 1 h Theo luật loga lặp của quá trình Wiener ta suy ra: lim sup h→0 ||Axh(ω)|| = 1 hầu chắc chắn. Vì W (t) liên tục nên ta cũng có: lim h∈Q sup h→0 ||Axh(ω)|| = 1 hầu chắc chắn trong đó Q ký hiệu tập số hữu tỷ. Nếu A bị chặn thì tồn tại biến ngẫu nhiên k(ω) sao cho: ||Axh(ω)|| 6 k(ω)||xh|| hầu chắc chắn. 28 Do đó, tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mọi ω ∈ D và với mọi h ∈ Q. ||Axh(ω)|| 6 k(ω)||xh|| . Do đó: lim h∈Q sup h→0 ||Axh(ω)|| = 0 ∀ω ∈ D. Ta có mâu thuẫn. 1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: Định lý 1.10. Toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên A từ E vào Y là bị chặn nếu và chỉ nếu có tồn tại ánh xạ T : Ω → L(X, Y ) sao cho: Ax(ω) = T (ω)x (1.39) hầu chắc chắn. Chứng minh: Giả sử A bị chặn. Gọi M là tập trù mật đếm được trong E và Z là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính có dạng ∑n i=1 rixi, trong đó xi ∈M , ri ∈ Q, hiển nhiên Z là không gian tuyến tính trên Q, đếm được và trù mật trong E. Ta có thể tìm được tập D1 có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D1 ta có: A(r1z1 + r2z2)(ω) = r1Az1(ω) + r2Az2(ω) (1.40) với mọi z1, z2 ∈ Z, r1, r2 ∈ Q. Tồn tại tập D2 có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D2 ta có ||Az(ω)|| 6 k(ω)||z|| với mọi z ∈ Z. Đặt D = D1 ⋂ D2. Với mỗi ω ∈ D ta định nghĩa: T (ω) : Z → Y bởi: T (ω)z = Az(ω) Từ (1.4) dễ kiểm tra rằng T (ω) là tuyến tính trên Z. Hơn nữa, T (ω) liên tục đều trên Z. Thật vậy, giả sử z1, z2 ∈ Z. Ta có ||T (ω)z1 − T (ω)z2|| = ||A(z1− z2)(ω)|| 6 k(ω)||z1− z2||. Vậy thì, T (ω) thác triển thành ánh xạ tuyến tính liên tục T (ω) : E → Y tức là T (ω) ∈ L(E, Y ). Đặt T (ω) = T0 nếu ω /∈ D. Như vậy ta đã xác định ánh xạ T : Ω→ L(X, Y ). Tiếp theo ta chứng minh với mỗi x ∈ X thì: Ax(ω) = T (ω)x hầu chắc 29 chắn. Giả sử (zn) ∈ Z sao cho limzn = x. Với mỗi ω ∈ D ta có Azn(ω) = T (ω)zn với mọi n. Do đó, limnAzn(ω) = limT (ω)zn = T (ω)x với mọi ω ∈ D. Vậy Azn hội tụ hầu chắc chắn tới T (ω)x. Nhưng p − limAzn = Ax. Vậy: Ax(ω) = T (ω)x hầu chắc chắn. Ngược lại giả sử có (1.39). Gọi (xn) là dãy trù mật trong hình cầu đơn vị B = {x ∈ X : ||x|| 6 1} và: k(ω) = sup n ||Axn(ω)|| Khi đó k(ω) đo được. Theo giả thiết tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D,Axn(ω) = T (ω)xn với mọi n. Cố định ω ∈ D. Ta có: k(ω) = sup n ||Axn(ω)|| = sup n ||T (ω)xn|| = ||T (ω)|| <∞ Vậy k(ω) là biến ngẫu nhiên và ||T (ω) = k(ω) hầu chắc chắn. Với mỗi x ∈ X ta có: ||Ax(ω)|| = ||T (ω)x|| 6 ||T (ω)|| ||x|| = k(ω)||x|| hầu chắc chắn. Định lý 1.11. Giả sử E là không gian Banach có cơ sở Shauder (en) và (e∗n) là cơ sở liên hợp trong E 1. Cho A là toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên từ E vào Y. Khi đó A bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D và với mỗi x ∈ X chuỗi: ∞∑ k=1 (x, e∗k)Aek(ω) hội tụ trong Y. Chứng minh: Nếu A bị chặn thì theo định lý (1.10) tồn tại ánh xạ T : Ω → L(X, Y ) tập D có xác suất 1 sao cho Aek(ω) = T (ω)ek với mọi ek và với mọi ω ∈ D. Khi đó với ω ∈ D, x ∈ X ta có: ∞∑ k=1 (x, e∗k)Aek(ω) = ∞∑ k=1 (x, e∗k)T (ω)ek = T (ω) ( ∞∑ k=1 (x, e∗k)ek ) = T (ω)x 30 Ngược lại với ω ∈ D ta định nghĩa ánh xạ T (ω) : X → Y bởi: T (ω)x = ∞∑ k=1 (x, e∗k)Aek(ω) và với ω /∈ D ta đặt T (ω) = T0. Từ định lý Banach- Steinhaus T (ω) ∈ L(X, Y ), ta đã xác định ánh xạ T : Ω → L(X, Y ). Vì: x = ∞∑ k=1 (x, e∗k)ek nên Ax(ω) = ∑∞ k=1(x, e ∗ k)Aek(ω). Trong đó chuỗi vế phải hội tụ theo xác suất nhưng chuỗi này cũng hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên Y-giá trị ω 7−→ T (ω)x. Do đó: Ax(ω) = T (ω)x hầu chắc chắn. Theo định lý (1.10) ta có A bị chặn. Định lý 1.12. Giả sử E = lp(1 6 p <∞) và A là toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên từ E vào Y. 1. Điều kiện cần để A bị chặn là: sup n ||Aen|| <∞ (1.41) hầu chắc chắn. 2. Trường hợp p>1: Điều kiện đủ để A bị chặn là: ∞∑ n=1 ||Aen||q <∞ (1.42) hầu chắc chắn. Ở đó (en) là cơ sở tự nhiên trong lp và q là số liên hợp với p. Nếu Y là không gian hữu hạn chiều thì (1.42) cũng là điều kiện cần để A bị chặn. 3. Trường hợp p=1 (1.41) cũng là điều kiện đủ để A bị chặn. Chứng minh: 1. Suy trực tiếp từ định nghĩa. 2. Giả sử điều kiện (1.42) thỏa mãn. Đặt: D = {ω : ∞∑ n=1 ||Aen(ω)||q <∞} 31 Khi đó với mỗi ω ∈ D và mỗi x ∈ X = lp do bất đẳng thức Holder:∑ ||(x, en)Aen(ω)|| <∞ suy ra chuỗi ∑ (x, en)Aen(ω) hội tụ. Theo định lý (1.11) A bị chặn. Ngược lại giả sử A bị chặn và Y = Rk. Gọi h1, h2, . . . , hk là cơ sở tự nhiên của Rk. Trước hết ta xét trường hợp Y = R. Theo định lý (1.10) tồn tại biến ngẫu nhiên lp-giá trị T (ω) sao cho Ax(ω) = (T (ω), x) hầu chắc chắn cho nên tồn tại tập D xác suất 1 sao cho Aen(ω) = (T (ω), en) với mọi en và với mọi ω ∈ D. Do đó ∑ ||Aen(ω)||q =∑ |(T (ω), en|q = ||T (ω)||q là∑ ||Aen(ω)||q <∞. Tiếp theo do A bị chặn nên với mỗi hi toán tử tuyến tính ngẫu nhiên x 7−→ (Ax, hi) từ E vào R bị chặn. Theo điều vừa chứng minh, ∑ |(Aen, hj)|q < ∞ hầu chắc chắn. Hiển nhiên tồn tại hằng số C sao cho ||y||q 6 C∑kj=1 |(y, hk)|q với mọi y ∈ Rk. Do đó:∑∞ n=1 ||Aen||q 6 C ∑k j=1 ∑∞ n=1 |(Aen, hj)|q <∞ hầu chắc chắn. 3. Đặt D = {ω : sup n ||Aen(ω)|| <∞} Dễ thấy chuỗi ∑ (x, en)Aen(ω) hội tụ với mỗi ω ∈ D. Vì P (D) = 1 nên theo định lý (1.11) ta có A bị chặn. Chú ý: Điều kiện (1.42) không là điều kiện cần. Xét ví dụ sau: Giả sử (rn) là dãy biến ngẫu nhiên Rademakher. Xác định toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên A từ lp vào lp bởi: Ax(ω) = ∞∑ n=1 rn(ω)(x, en)en Vì ∑ ||rn(ω)(x, en)en||p = ||x||p <∞ nên chuỗi này hội tụ với mọi ω ∈ Ω. Theo định lý (1.42) ta có A bị chặn. Tuy nhiên: ∞∑ n=1 ||Aen(ω)||q = ∞∑ n=1 ||rn(ω)en||q = ∞ 32 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA 2.1 Phương trình Fredholm và Volterra với hàm vế phải là ngẫu nhiên 2.1.1 Giới thiệu: Xét phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên: f(x, w)− Lf(y, w) = g(x, w) (2.1) Ở đó L là một toán tử Fredholm (hoặc Volterra) trên [a,b] (a,b hữu hạn) và g(x, w) với x ∈ [a, b] là hàm ngẫu nhiên bậc hai mà thỏa mãn điều kiện liên tục bình phương: 1. E{|g(x, w)|2} ⋖∞ ∀x ∈ [a, b] 2. lim h→∞ E{|g(x+ h, w)− g(x, w)|2} = 0 ∀x ∈ [a, b] Phương trình (2.1) là phương trình toán tử tuyến tính xác định với hàm lực lượng ngẫu nhiên. Do đó, nghiệm của phương trình định nghĩa một hàm ngẫu nhiên mới f(x, w), tính chất ngẫu nhiên phụ thuộc vào tính chất ngẫu nhiên của g(x, w). Từ đó, toán tử Fredholm là xác định. Nghiệm của phương trình (2.1) có thể có được bởi phương pháp cổ điển nổi tiếng. Đặc biệt, giả sử rằng phương trình có thể được giải bởi sự lặp đi lặp lại. Trong 33 phần này với kết quả của Anderson, chúng ta có được nghiệm f(x, w) của phương trình (2.1), tính hàm hiệp phương sai của f(x, w) và xét tính liên tục của f(x, w). 2.1.2 Nghiệm của phương trình tích phân: Bây giờ chúng ta phát biểu và chứng minh định lý sau: Định lý 2.1. Nếu (i) K(x, y), x, y ∈ [a, b] là hạt nhân Fredholm mà |b − a| max và |K(x, y)| < 1 (ii) g(x, y) với x ∈ [a, b], ω ∈ Ω là hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn các điều kiện đã nêu. Khi đó, hàm ngẫu nhiên f(x, w) được định nghĩa bởi: f(x, w) = g(x, w)− ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy (2.2) x ∈ [a, b] ω ∈ Ω là nghiệm của phương trình Fredholm (2.1) trên [a, b]×Ω Chứng minh: Đối ứng từ phương trình (2.1) là: g(x, w) = f(x, w)− ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy (2.3) Trong đó, Γ(x, y), giải thức liên kết của K(x, y) được xác định như sau: Γ(x, y) = − ∞∑ n=1 K(n)(x, y) (2.4) Trong đó K(1)(x, y), K(2)(x, y), . . . được quy nạp như sau: K(1)(x, y) = K(x, y) K(2)(x, y) = ∫ b a K(x, z)K(z, y)dz Và tổng quát là: K(n)(x, y) = ∫ b a K(n−1)(x, z)K(z, y)dz n = 3, 4, . . . 34 Dưới giả thiết là hạch nhỏ (b − a) lớn nhất |K(x, y)| < 1 loại Neumann (2.4) hội tụ tuyệt đối, so sánh với cấp số nhân. Từ g(x, w) là một hàm ngẫu nhiên bậc hai. ∫ b a |g(x, w)|2dx <∞ (2.5) hầu như chắc chắn. Cũng từ giải thức Γ(x, y) là một hạch L2 trên [a, b].∫ b a |Γ(x, y)|2dy <∞ ∀x ∈ [a, b] Do đó tích phân: ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy tồn tại trên [a, b]× Ω. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng: f(x, w) = g(x, w)− ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy là định nghĩa tốt trên [a, b]× Ω. Bây giờ chúng ta biểu diễn:∫ b a |Γ(x, y)g(y, w)|dy ∈ L2[a, b] với hầu hết ∀w ∈ Ω. Một ứng dụng của bất đẳng thức Holder’s:(∫ b a |Γ(x, y)g(y, w)|dy )2 ≤ ∫ b a |Γ(x, y)|2dy ∫ b a |g(y, w)|2dy Do đó:∫ b a ∫ b a |Γ(x, y)g(y, w)|dy 2 dx ≤ ∫ b a ∫ b a |Γ(x, y)|2dy ∫ b a |g(y, w)|2dydx = ∫ b a |Γ(x, y)|2dxdy ∫ b a |g(y, w)|2dy <∞ hầu như chắc chắn. Cuối cùng, chúng ta chỉ ra rằng hàm ngẫu nhiên f(x, w) được định nghĩa bởi thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên Fredholm (2.1) trên [a, b]× Ω hầu như chắc chắn. Xét sự độc lập: K(x, y) + Γ(x, y)− ∫ b a K(x, z)Γ(z, y)dz = 0 (2.6) 35 Nếu chúng ta nhân (2.6) với g(y, w) và tích phân trên khoảng [a, b], chúng ta thu được:∫ b a g(y, w)K(x, y) + Γ(x, y)− ∫ b a K(x, z)Γ(x, z)dzdy = 0 Mà khi sắp xếp lại, kết quả là:∫ b a g(y, w)K(x, y)dy − ∫ b a ∫ b a K(x, z)Γ(z, y)g(y, w)dzdy (2.7) = − ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy (2.8) Từ ∫ b a |Γ(z, y)g(y, w)|2dy ∈ L2[a, b] hầu như chắc chắn và từ |K(x, z)| ∈ L2[a, b] ∀x ∈ [a, b], chúng ta có:∫ b a |K(x, z)|dz ∫ b a |Γ(z, y)g(y, w)|dy <∞ hầu như chắc chắn. Một ứng dụng của định lý Tonelli để giới hạn thứ hai trên phía bên tay phải của kết quả (2.7)∫ b a ∫ b a K(x, z)Γ(z, y)g(y, w)dzdy = ∫ b a K(x, z) ∫ b a Γ(z, y)g(y, w)dydz (2.9) Nếu bây giờ chúng ta đổi biến của tích phân ở giới hạn đầu ở phái bên tay phải của (2.7) từ y sang z và sau đó sử dụng (2.9), chúng ta viết lại (2.7) như sau:∫ b a K(x, z)g(z, w)− ∫ b a Γ(z, y)g(y, w)dydz = − ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy Sử dụng định nghĩa của f(x, w), cho bởi (2.2),biểu thức trên trở thành:∫ b a K(x, z)f(z, w)dz = − ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy (2.10) Viết lại (2.10) là:∫ b a K(x, z)f(z, w)dz = g(x, w)− g(x, w)− ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy 36 Và sử dụng định nghĩa của f(x, w), chúng ta quan sát (2.10) là tương đương với phương trình Fredholm ngẫu nhiên (2.2) Kết quả trên có thể dễ dàng đặc biệt với trường hợp trong đó K(x, y)là một hạch Volterra. Trong trường hợp này, phương trình (2.2) có dạng: f(x, w)− ∫ x a K(x, y)f(y, w)dy = g(x, w) (2.11) Và nghiệm của phương trình Volterra ngẫu nhiên là: f(x, w) = g(x, w)− ∫ x a Γ(x, y)g(y, w)dy (2.12) Chúng ta phát biểu, không chứng minh kết quả sau: Hệ quả 2.1. Nếu K(x, y) là một hạch Volterra trên [0, r]× [0, r] r ⋗ 0 và nếu g(x, w) là một hàm ngẫu nhiên bậc hai trên [0,∞]× Ω thỏa mãn phương trình Volterra ngẫu nhiên mà liên tục trên hình vuông, sau đó hàm ngẫu nhiên f(x, w) được định nghĩa bởi (2.12) trên [0,∞)× Ω thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên (2.11) trên [0,∞)× Ω. 2.1.3 Nghiệm của hàm hiệp phương sai: Để Rf(x1, x2) = E{f(x1, w)f(x2, w)} x1, x2 ∈ [a, b] (2.13) là hàm hiệp phương sai của nghiệm f(x, w) của phương trình tích phân ngẫu nhiên (2.2). Thiết lập sự tồn tại của Rf(x1, x2), chúng ta biểu diễn E{|f(x, w)|2} 6 ∞, ∀x ∈ [a, b] nghĩa là f(x, w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai. Dưới đây từ bất đẳng thức Holder: | ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy|2 ≤ ∫ b a |Γ(x, y)|2dy ∫ b a |g(y, w)|2dy Và: E{| ∫ b a Γ(x, y)g(y, w)dy|2} ≤ ∫ b a |Γ(x, y)|2dy E{ ∫ b a |g(y, w)|2dy} <∞ 37 ∀x ∈ [a, b], từ g(x, w) là liên tục trong hình vuông. Như vậy, nó theo sau từ (2.2) là E{|f(x, w)|2} < ∞, ∀x ∈ [a, b], thiết lập sự tồn tại của hàm hiệp phương sai Rf(x1, x2). Phép tính của Rf(x1, x2) là trực tiếp. Từ (2.13) và (2.2) chúng ta có: Rf(x1, x2) = = E{(g(x1, w)− ∫ b a Γ(x1, y)g(y, w)dy)(g(x2, w)− ∫ b a Γ(x2, y)g(y, w)dy)} = E{g(x1, w)g(x2, w)} − E{g(x1, w) ∫ b a Γ(x2, y)g(y, w)dy} − E{g(x2, w) ∫ b a Γ(x1, y), g(y, w)dy} + E{ ∫ b a Γ(x1, y)g(y, w)dy ∫ b a Γ(x2, y)g(y, w)dy} Rf(x1, x2) = Rg(x1, x2)− ∫ b a (Γ(x2, y)E{g(x1, w)g(y, w)dy}) − ∫ b a (Γ(x1, y)E{g(y, w)g(x2, w)})dy − ∫ b a ∫ b a (Γ(x1, y1)Γ(x2, y2)E{g(x1, w)g(x2, w)})dy1dy2 = Rg(x1, x2) ∫ b a Γ(x2, y)Rg(x1, y)dy − ∫ b a Γ(x1, y)Rg(y, x2)dy − ∫ b a ∫ b a Γ(x1, y1)Γ(x2, y2)Rg(y1, y2)dy1dy2 Đặt: H(x1, x2) = Rg(x1, x2)− ∫ b a Γ(x2, y)Rg(x1, y)dy (2.14) Phép tính đơn giản dưới đây biểu diễn cho Rf(x1, x2) của hàm hiệp phương sai Rg(x1, x2) đặt trong hàm ngẫu nhiên g(x, w): Rf(x1, x2) = H(x1, x2)− ∫ b a Γ(x2, y)Rg(x1, y)dy (2.15) Với g(x, w) là liên tục trong hình vuông, hàm hiệp phương sai của nó Rg(x1, x2) là hàm đối xứng không âm liên tục trên [a, b]× [a, b]. Do đó, từ 38 định lý của Mercer: Rg(x1, x2) = ∞∑ n=1 λnφn(x1)φn(x2) (2.16) Nơi hội tụ hàng loạt và thống nhất trên [a, b]× [a, b]. Trong (2.16), φn(x) là trình tự của hàm số đặc trưng bình thường của Rg(x1, x2) và λn là trình tự của liên kết không âm các giá trị riêng cho tất cả các số nguyên m và n. λnφn(x) = ∫ b a Rg(r, x)φn(r)dr x ∈ [a, b] = ∫ b a φm(x)φn(x)dx = δm×n Ở đó, δxm×n là delta Kronecker. Đặt: ξn(w) = ∫ b a g(x, w)φn(x)dx n = 1, 2, . . . (2.17) Biến ngẫu nhiên ξn(w) được định nghĩa từ ∫ b a |g(x, w)|2dx < ∞ hầu như chắc chắn và hàm đặc trưng liên tục trên [a, b]. Trình tự ξn(w) ∞ n=1 là trực giao trên Ω và ∀x ∈ [a, b]: ∞∑ n=1 λ 1 2 nξn(w)φn(x) (2.18) là đại diện cho g(x, w) với nghĩa sau: lim n→∞E{|g(x, w)− N∑ n=1 λ 1 2 nξn(w)φn(x)|2} = 0 Để ψn(x), n = 1, 2, . . . là nghiệm của phương trình tích phân (xác định): ψn(x)− ∫ b a K(x, y)ψn(y)dt = φn(x)ψn(x) = φn(x)− ∫ b a Γ(x, y)ψn(y)dy (2.19) Như trước, Γ(x, y) là giả thức của Fredholm (hoặc Volterra) hạch K(x, y). Nó có thể được biểu diễn là f(x, w), nghiệm (2.1), nhận làm đại diện trực 39 giao. f(x, w) = ∞∑ n=1 λ 1 2 nξn(ω)ψn(x) x ∈ [a, b] (2.20) Mà theo sau nó là hàm hiệp phương sai Rf(x1, x2) nhận làm đại diện trực giao. Rf(x1, x2) = ∞∑ n=1 λnψn(x1)ψn(x2) (2.21) 2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm: Bây giờ chúng ta biểu diễn hàm ngẫu nhiên f(x, w) là liên tục trong bình phương trung bình nếu hạch K(x, y) của toán tử tích phân là liên tục. Định lý 2.2. Để K(x, y) là hạch Fredholm trên [a, b]× [a, b] và để Γ(x, y) biểu thị cho liên kết giải thức. Nếu K(x, y) liên tục trên [a, b] × [a, b], nghiệm f(x, w) của phương trình tích phân (2.1) là liên tục trong bình phương trung bình trên [a, b]. Chứng minh Đặt x0 ∈ [a, b]. Từ (2.2) và ứng dụng của bất đẳng thức Minkowski: (E{|f(x, w)− f(x0, w)|2}) 12 = (|g(x, w)− g0(w) + ∫ b a g(y, w)[Γ(x, y)− Γ(x0, y)]2dy|2) 12 < (E{|g(x, w)− g(x0, w)|2}) 12 + (E{| ∫ b a g(y, w)[Γ(x, y)− Γ(x0, y)]dy|2}) 12 Từ g(x, w) là liên tục trong bình phương trung bình. lim x→x0 E{|g(x, w)− g(x0, w)|2} = 0 Từ đây, nó biểu diễn là: lim x→x0 ∣∣∣∣ ∫ b a g(y, w)[Γ(x0, y)− Γ(x, y)]dy ∣∣∣∣2 = 0 (2.22) 40 Ứng dụng của bất đẳng thức Holder: | ∫ b a g(y, w)[Γ(x0, y)− Γ(x, y)]dy|2 < ∫ b a |g(y, w)|2dy ∫ b a |Γ(x0, y)− Γ(x, y)|2dy Từ g(y, w) là liên tục trong bình phương trung bình, E{ ∫ b a |g(y, w)|2dy} = M <∞ Do đó: E ∣∣∣∣∣∫ ba g(y, w)[Γ(x0, y)− Γ(x, y)]dy ∣∣∣∣2 ≤M ∫ b a |Γ(x−0, y)− Γ(x, y)|2dy Bởi vậy, nó còn được biểu diễn là: lim x→x0 ∫ b a |Γ(x0, y)− Γ(x, y)|2dy = 0 Với ǫ⋗0, giả thuyếtK(x, y) liên tục trên [a, b]×[a, b], do đó gải thức Γ(x, y) cũng liên tục trên [a, b]× [a, b]. Từ Γ(x, y) liên tục đều trên [a, b]× [a, b], chúng ta có thể chọn δ ⋗ 0 mà:∫ b a |Γ(x, y)− Γ(x0, y)|2dy < ǫ với |x− x0| < δ. Điều này thiết lập (2.22). 2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: Trong chủ đề này, chúng ta xét một ví dụ cụ thể của loại phương trình tích phân nghiên cứu trong phần này, phương trình tích phân Volterra đặt vào quá trình Wiener. Xét phương trình tích phân (2.1) trên [0, 1] với hạch: K(x, y) = {−1 với x > y 0 với x < y (2.23) Trong trường hợp này, phương trình (2.1) có dạng: f(x, w) + ∫ x 0 f(y, w)dy = g(x, w) (2.24) 41 Giải thức Γ(x, y) là phép tính đơn giản được cho bởi chuỗi Neumann: − ∞∑ n=1 K(n)(x, y) = Γ(x, y) = { e−(x− y) với x > y 0 với x < y Tiếp theo từ định lý (2.1), hàm ngẫu nhiên f(x, w) trên [0, 1] thỏa mãn phương trình (2.24) là: f(x, w) = g(x, w)− ∫ x 0 e−(x−y)g(y, w)dy (2.25) Để mà tính toán hàm hiệp phương sai Rf(x1, x2), chúng ta sử dụng (2.14) và hàm hiệp phương sai Rg(x1, x2) của quy trình Wiener g(x, w) là Rg(x1, x2) = min(x1, x2), x1, x2 ∈ [0, 1]. Từ (2.14) và (2.25) chúng ta có: H(x1, x2) =  x1 − ∫ x1 0 exp[−(x2 − ξ)]ξdξ − x1 ∫ x2 x1 exp[−(x2 − ξ)]dξ với x1 < x2 x2 − ∫ x2 0 exp[−(x2 − ξ)]ξdξ với x1 > x2 Sự thay thế biểu thị trên của H(x1, x2) trong (2.15) là: Rf(x1, x2) = 1 2 exp−|x1 − x2| − 1 2 exp−(x1 − x2) (2.26) 2.2 Hạch K(x, y, ω) là ngẫu nhiên suy biến Xét phương trình K(x, y, ω)f(y)dy− λf(x) = g(x) (2.27) Với hạch suy biến ngẫu nhiên: K(x, y, z) = n∑ i=1 αi(x, w)βi(y) (2.28) Trong (2.28) αi(x, ω) n i=1 là họ gần như độc lập L2(0, 1)- những hàm ngẫu nhiên và βi(y) n i=1 là một bộ độc lập L2(0, 1)-những hàm xác định. Rõ ràng, mọi x, y ∈ (0, 1) cố định, hạch K(x, y, w) là hàm đo được của w. Đặt: ξi = ∫ 1 0 βi(x)f(x)dx i = 1, 2, . . . , n. (2.29) 42 Vậy thì tranh luận trong trường hợp xác định này, phương trình Fredholm:∫ 1 0 K(x, y, ω)f(y)dy− λf(x) = g(x) (2.30) với hạch suy biến ngẫu nhiên K(x, y, w) được đưa ra ở (2.28) dẫn đến hệ phương trình đại số tuyến tính ngẫu nhiên: n∑ j=1 aij(ω)ξj − λξi = bi i = 1, 2, . . . , n. (2.31) Trong (2.31): aij(w) = ∫ 1 0 αj(x, w)βi(x)dx i, j = 1, 2, . . . , n. (2.32) bi = ∫ 1 0 βi(x)g(x)dx i = 1, 2, . . . , n. (2.33) Tích phân trong (2.32) và (2.33) là định nghĩa tốt và tính khả tích Riemann của βi(x1)βi(x2)Rj(x1, x2) ở đó Rj(x1, x2) là hàm hiệp phương sai của quá trình αj(x, w), đủ chắc chắn rằng tích phân trong (2.32) tồn tại trong bình phương trung bình và định nghĩa cho mọi cặp i, j một giá trị thực biến ngẫu nhiên aij(w). Phương trình (2.31) có thể được viết lại như phương trình toán tử ngẫu nhiên: (A(w)− λI)ξ = b (2.34) Với A(w) là ma trận ngẫu nhiên cỡ n × n với phần tử aij(w) được định nghĩa bởi (2.32), ξ và b là n vecto. Chúng ta chú ý rằng phương trình (2.34) giải như phương trình toán tử ngẫu nhiên trong không gian Euclidean Rn hoặc không gian Hilbert l2(n), Sự tồn tại duy nhất và đo được của nghiệm ξ(w) của định lý thu gọn Banach. Tuy nhiên, ứng dụng kết quả của Bharucha-Reid và Hans trên sự đảo ngược của toán tử ngẫu nhiên tuyến tính cảu dạng L(w)− λI cho phép chúng ta nhận kết quả sau đây của phương trình (2.34). 43 Định lý 2.3. : Cho λ khác 0 là số thực µ(Ω(λ)) = µω[ ∑ i,j=1 na2ij(ω)] 1 2 < |λ| = 1 Khi đó ma trận ngẫu nhiên A(w)− λI là đảo ngược và nghiệm: ξ(ω) = (A(ω)− λI)−1b 2.3 Hạch K(x, y, ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian các hàm gián đoạn vừa phải Xét phương trình Fredholm:∫ b a K(x, y)f(y)dy− λf(x) = g(x) (2.35) trong C[a, b] không gian của những hàm tiếp diễn xác định trên khoảng [a,b]. Với quy tắc ||f || = maxx∈[a,b]|f(x)|, không gian C[a, b] trở thành một không gian Banach khả ly. Giả sử L kí hiệu là toán tử Fredholm trên C với hạch K(x, y). L[f(x)] = ∫ b a K(x, y)dy f ∈ C (2.36) Trong phần này chúng ta xét sự tồn tại, tính duy nhất, tính đo được của nghiệm phương trình (2.35) khi hạch K là hạch ngẫu nhiên K(x, y). Vấn đề đầu tiên chúng ta xét là tính đo được của toán tử Fredholm: L(w)[f(x)] = ∫ b a K(x, y, w)f(y)dy (2.37) Chúng ta giả sử K(x, y) bị chặn ∀x, y ∈ [a, b] và liên tục trừ khi tại điểm trên số hữu hạn của đường cong liên tục y = φi(x), x ∈ [a, b], i = 1, 2, . . . , n. Với giả thuyết trên K(x, y), toán tử Fredholm là hoàn toàn liên tục trên C. Chúng ta chú ý rằng hạch với tính chất trên đôi khi được gọi là "nhẹ không liên tục ".Như ở ví dụ, hạch Volterra trên [0, b]× [0, b] mà liên tục với y x là nhẹ không liên tục trên [0, b]× [0, b]. Trong trường hợp này, chúng ta có thể lấy n = 1 và φ1(x) = x. 44 Giả sử cho R chứng tỏ không gian của tất cả các hạch gián đoạn ít K định nghĩa trên [0, b]× [0, b] và ∀x ∈ [a, b], y ∈ [a, b] và mọi trình tự của số thực b > δ1 > δ2 > . . . > deltan −→ 0 (i)K(x, 0) = lim n→infty K(x, δn) (ii)K(x, y) = lim n→infty K(x, y − δn) δ1 ≤ y R không gian tất cả các hàm bị chặn trên [a, b] × [a, b] với những tính chất trên chắc chắn là một không gian tuyến tính và với chuẩn ||K|| = sup|K(x, y)|, ở đó cận trên đúng thực hiện trên x ∈ [a, b] và y ∈ [a, b]. R trở thành một quy tắc có thể phân chia không gian tuyến tính. Cho B(R) chỉ ra σ-đại số của tập hợp con của R. Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa hạch ngẫu nhiên như là một U- ánh xạ đo được K của Ω vào R. Mối quan hệ giữa tính đo được của toán tử Fredholm với hạchK(x, y, w) và tính đo được hạch của nó được thiết lập bởi kết quả sau: Định lý 2.4. Cho K là ánh xạ của Ω vào R và cho sự biến đổi L(w) của Ω×C vào C được định nghĩa ∀w ∈ Ω và ∀f ∈ C bởi (2.37). Khi đó, L(w) là toán tử tuyến tính liên tục hoàn toàn trên C, ∀w ∈ Ω. Ngoài ra, những nhận định sau là tương đương: (i) L(w) là toán tử ngẫu nhiên trên C. (ii) ω : K(x, yω) < ξ ∈ U ∀x, y ∈ [a, b], ∀ξ ∈ R (iii)K(x, yω) là hạch ngẫu nhiên. (iv)L(ω) là biến ngẫu nhiên với giá trị toán tử. Chứng minh: Tính liên tục hoàn toàn của L(ω), ∀ω ∈ Ω dưới đây từ lớp kết quả. Từ những nhận định (i)-(iv) là những xác nhận của tính đo được, chúng ta sẽ căn cứ vào chứng minh của tính tương đương của chúng trong phần ánh xạ x(ω) của Ω vào không gian Banach X có thể phân chia là biến ngẫu nhiên tổng quát nếu và chỉ nếu mọi hàm tuyến tính bị chặn x∗ thuộc vào bộ mà tổng số trên X ánh xạ x∗(x(ω)) là một biến ngẫu nhiên giá trị thực. ∀x, y ∈ [a, b], f ∈ C và K ∈ R, đặt: gx,y(K) = K(x, y) (2.38) 45 hx,f (K) = ∫ b a K(x, y)f(y)dy (2.39) Do đó, nó chắc chắn rằng bộ gx,y(K) : x, y ∈ [a, b] và hx,f(K) : x, y ∈ [a, b], f ∈ C là tổng các bộ hàm tuyến tính bị chặn trên R. Hơn nữa, nếu ∀x ∈ [a, b] và f ∈ C chúng ta đặt: rx(f) = f(x) (2.40) Khi đó, tập rx(f) : x ∈ [a, b] là tập các hàm tuyến tính bị chặn trên C. Giả sử: E0 = L : L[f ] = ∫ b a K(x, y)f(y)dy K ∈ R, f ∈ C (2.41) Nếu ∀x ∈ [a, b] và f ∈ C, chúng ta đặt: sx,f (L) = rx(L[f ]) (2.42) khi đó tập sx,f(L) : x ∈ [a, b], f ∈ C là tập các hàm tuyến tính bị chặn trên E0. Từ E0 là không gian con của L(C), đại số của toán tử tuyến tính bị chặn trên C, nó là một quy tắc không gian tuyến tính và ∀L ∈ E0 ||L|| = sup||L[f ]|| = sup|| ∫ b a K(x, y)f(y)dy|| (2.43) = supmax|| ∫ b a K(x, y)f(y)dy|| (2.44) ≤ supmax(b− a)||K||||f || (2.45) = (b− a)||K|| (2.46) ở đó sup được lấy trên f : ||f || = 1 và max x ∈ [a, b]. Vì vậy, sự phân chia của R tức là sự phân chia của E0. Tính tươ