Luận văn Sự hội tụ theo dung lượng

hội tụ điểm trên tới ( ) ( ) loc v PSH L . Khi đó với mọi K và 0 ta có lim ( { }, ) 0 n jj C K v v . Chứng minh. Phủ K bằng hữu hạn các hinh cầu và từ tính chất )ii và )iv của Mệnh đề 1.3.2 có thể coi j v v A gần , 0 ( , ) , 0z R A , 2 2 0 ( )z z z R . Giả sử ( ), 1 0u PHS u . Khi đó ta có 11 1 1 1 { 1 ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( )( ) j c n n c n c n j jn n K v v n dd u v v dd u v v dd v . Số hạng cuối cùng dần tới 0 khi j do định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue. Bây giờ ta chứng minh tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. Định lí 1.3.5. Giả sử v là hàm đa điều hòa dưới trên tập mở n . Khi đó với mọi 0 tồn tại tập mở G với ( , ) n C G và v liên tục trên \G . Chứng minh. Lấy tập mở bất kì . Chỉ cần chứng minh có tập mở G với ( , ) n C G và v liên tục trên \G . Thật vậy, khi đó ta có thể chọn dãy { }, , j j j và các tập mở j j G sao cho ( , ) 2n j j C G và v liên tục trên mỗi \ j j G . Đặt 1 j j G G . Khi đó G là tập mở và 1 ( , ) ( , ) n n j j C G C G . Và với mọi tập mở U ta có \ \ j j U G G với j nào đó. Vậy v liên tục trên \U G . Do đó v liên tục trên \G . Đặt 1 { }G v j , ở đây j được chọn sao cho 1 ( , ) 2n C G (do Mệnh đề1.3.3). Đặt v max{ , }v j và giả sử { } k v là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới liên tục xác định trên lân cận của giảm tới v . Do Mệnh đề 1.3.4 với 2,3,...j tồn tại ( )k j sao cho với ( ) { } k j G v v , ta có ( , ) 2 j n j C G . Đặt 1j jj G G . Khi đó ( , ) n C G và trên \G ta có ( ) 0 k j v v . Vậy ( )k j v v đều trên \G , do đó v liên tục trên 12 \G . Nhưng trên \G thì j v j . Vậy v v . Do đó v liên tục trên \G . Sau đây là một ứng dụng quan trọng của tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới. Đó là nguyên lí so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. 1.4. Nguyên lý so sánh Định lý 1.4.1. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z . Khi đó ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u . (1.1) Chứng minh. Trước tiên, theo giả thiết có lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z . Điều này có nghĩa là với mọi 0 tồn tại K sao cho \z K thì ( ) ( )u z v z . Hơn nữa khi thay u bởi , >0u , thì u v u v khi 0. Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên u v thì cho 0 suy ra (1.1) đúng trên u v . Vì vậy có thể giả sử liminf ( ( ) ( )) 0 z u z v z . Vậy u v . )a Giả sử ,u v là các hàm liên tục. Khi đó u v là tập mở, ,u v liên tục trên và u v trên . Với 0 , đặt max ,u u v . Từ giả thiết lim inf( ( ) ( )) z u z v z suy ra ( ) ( )u z v z hay ( ) ( ) ( )u z v z v z với z gần biên . Vậy ( )u u z gần biên và u v trên . Theo công thức Stokes ta có ( ) ( )c n c ndd u dd u hay ( ) ( )c n c n u v u v dd u dd u . 13 Vì u v nên ( ) ( )c n c ndd u dd v . Vậy 0 ( ) lim inf ( ) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u . )b Giả sử ,u v tùy ý và là miền sao cho / 2u v . Tồn tại hai dãy j u và k v các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới u và v sao cho j k u v trên với mọi ,i k . Có thể coi 1 , 0 j k u v . Lấy 0 và giả sử G là tập mở sao cho , n C G , ,u v là các hàm liên tục trên \G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho v trên \F G . Ta có ( ) lim ( ) j c n c n j u v u v dd v dd v . Nhưng j j u v u G và vì j u là tập mở nên ( ) ( ) ( ) lim ( ) j j j c n c n c n c n kk Gu v u u v dd v dd v dd v dd v , vì , n C G và ( )c n k dd v hội tụ yếu tới ( )c ndd v . Từ j j u u v G và j j k u v u v suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) j j j k c n c n c n c n k k k k Gu u v u v dd v dd v dd v dd v . Áp dụng )a vào các hàm liên tục j u và k v ta thu được ( ) ( ) j k j k c n c n k j u v u v dd v dd u . Do đó ( ) lim inf lim inf ( ) 2 j j c n c n jj k u v u v dd v dd u 14 lim sup ( ) 2 j c n jj u v dd u . Hơn nữa ( ) ( ) j j c n c n j j u v u v F dd u dd u và do u v F là tập compact và j u v u v nên ta có lim sup ( ) ( ) ( ) j c n c n c n jj u v F u vu v F dd u dd u dd u . Do 0 tùy ý nên ta được ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u . Từ đó với mọi 0 ta có ( ) ( ( )) ( )c n c n c n u v u v u v dd v dd u dd u . Nhưng u v u v và u v u v khi 0. Do đó ( ) ( )c n c n u v u v dd v dd u . Hệ quả 1.4.2. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho u v và lim ( ) lim ( ) 0 z z u z v z . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )c n c ndd v dd u . Hệ quả 1.4.3. Giả sử n là miền bị chặn và , ( ) ( )u v PSH L sao cho lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z . Giả sử ( ) ( )c n c ndd u dd v trên . Khi đó u v trên . 15 1.5. Các lớp năng lƣợng Cegrell Định nghĩa 1.5.1 0 ( ) ( ) ( ) : lim ( ) 0, ( )c n z PSH L z dd . Định nghĩa 1.5.2 0 ( ) ( ) : { } ( ), j j PSH , sup ( )c n j j dd . ( ) ( ) : ( )a c nu dd u triệt tiêu trên các tập đa cực của . 16 Chƣơng 2 SỰ HỘI TỤ THEO DUNG LƢỢNG 2.1. Sự hội tụ đối với các hàm đa điều hoà dƣới bị chặn Trong phần này chúng tôi trình bày việc nghiên cứu dãy các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa phương trong . Trước tiên là định lý hội tụ. Tiếp theo là mối quan hệ giữa sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère và sự hội tụ theo dung lượng. Cuối cùng là một số dạng khác nhau của định lý về tính ổn định đối với nghiệm của phương trình Monge-Ampère phức. Các kết quả trong chương này được viết dựa theo bài báo [12]. Định nghĩa 2.1.1. Cho E là tập Borel, n là một miền. Dung lượng của E đối với được xác định bởi ( ) ( , ) sup ( ) : ( ),0 1c n n n E C E C E dd u u PSH u . Xing đưa ra khái niệm 1n C dung lượng của tập Borel E như sau: Định nghĩa 2.1.2. 1nC dung lượng của tập con E được xác định bởi 1 1 1( ) C ( , ) sup ( ),n n nC E E C K K E , trong đó 21 1( ) sup ( ) ( ) ; ( ),0 1 c n c n s n F C F dd u dd z u PSH u . Định lý hội tụ sau đây thuộc về Xing (xem[10]). Định lý 2.1.3. [10] Cho ( ) ( ) loc u PSH L và j u là các hàm đa điều hòa bị chặn đều trong . Nếu j u u theo 1nC  dung lượng trên mỗi E thì ( ) ( )c n c n j dd u dd u yếu trong . 17 Định lý 2.1.3 sẽ được sử dụng trong một số chứng minh của chương này. Chúng ta sẽ chứng minh một phiên bản mạnh hơn của Định lý 2.1.3 theo nghĩa nC dung lượng. Sử dụng 1nC dung lượng ta có định lý sau đây. Định lý 2.1.4. Cho là một miền giả lồi bị chặn và ( )u PSH . Giả sử { } j u là một dãy các hàm bị chặn đều địa phương trong ( ) ( )PSH L sao cho )i j u u yếu trong ; )ii lim inf( ) 0 jz u u đều với mọi j ; )iii ( ) ( )c n c n j dd u dd u yếu trong . Khi đó j u u theo 1nC  dung lượng trên mỗi E . Ta đã có một ví dụ chỉ ra rằng với giả thiết của Định lý 2.1.4, không thể đòi hỏi có được sự hội tụ theo nC dung lượng của ju đến u . Ta cần có thêm một số điều kiện mạnh hơn so với sự hội tụ yếu của độ đo Monge-Ampère để đảm bảo sự hội tụ theo nC dung lượng của các hàm. Ta có một vài kết quả theo hướng này. Các kết quả đó giúp ta tìm nghiệm của các phương trình Monge-Ampère và hơn nữa là xử lý tính ổn định của nghiệm. Gần đây, Cegrell và Kolodziej đã chứng minh định lý ổn định sau. Định lý 2.1.5 ([9]) Cho là một miền giả lồi chặt. Giả sử ( )c nd dd v đối với ( )v PSH L nào đó với lim ( ) 0 z v đối với z và ( )c ndd v , và giả sử j f là hàm đo được với 0 1 j f sao cho độ đo j f d hội tụ yếu tới fd . Với một hàm số liên tục trong , ký hiệu j u là nghiệm duy nhất của bài toán Dirichlet 18 ( ) ( ) lim ( ) ( ), . c n j z u PSH L dd u f d u z z Khi đó ( )u PSH L : ( )c ndd u fd và j u u trong n C trên . Định lý ổn định đã được chứng minh lần đầu tiên trong một trường hợp đặc biệt khi trơn, j f liên tục và có giá compact. Sau đây là kết quả tổng quát hơn về tính ổn định. Hệ quả 2.1.6. Cho là một miền bị chặn. Giả sử { } j u là một dãy các hàm bị chặn đều địa phương trong ( )PSH L sao cho )i lim sup | | 0 j iz u u đều với mọi j và i ; )ii ( )c n j dd u hội tụ yếu tới độ đo dương d trong ; )iii tồn tại một độ đo dương d triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực trong sao cho ( )c n j dd u d trong với mọi j . Khi đó ( ) loc u PSH L sao cho ( )c ndd u d và j u u theo n C trên . Hơn nữa, nếu bỏ qua giả thiết rằng tất cả độ đo Monge-Ampère bị trội bởi một độ đo cố định nào đó triệt tiêu trên tất cả các tập con đa cực, ta có Hệ quả 2.1.7. Cho là miền bị chặn. Giả sử { } j u là một dãy hàm bị chặn đều địa phương trong ( )PSH L sao cho )i lim sup | | 0 j iz u u đều với mọi j và i ; )ii Tồn tại một độ đo dương d trong sao cho ( )c n j g dd u hội tụ yếu tới gd trong , đều đối với mọi ( )g PSH với 0 1g . Khi đó ( ) loc u PSH L sao cho ( )c ndd u d và j u u theo n C trên . 19 Định nghĩa 2.1.8. Dãy các hàm j u được gọi là hội tụ tới hàm u theo s C dung lượng trên tập E nếu với mỗi hằng số 0 ta có lim { ;| ( ) ( ) | } 0 s jj C z E u z u z . Chúng ta bắt đầu với định lý về sự hội tụ Định lý 2.1.9. Giả sử ( ) loc u PSH L và j u là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa phương trong . Khi đó với mỗi tập B các hàm đa điều hòa bị chặn đều địa phương trong , các khẳng định sau đây xảy ra: )a Nếu j u u theo 1n C dung lượng trên mỗi E thì ( )c n j g dd u hội tụ yếu tới ( )c ng dd u với mỗi g trong B . )b Nếu j u u theo n C trên mỗi E thì ( )c n j g dd u hội tụ yếu tới ( )c ng dd u trong đều với mọi g B , có nghĩa là với mỗi giá trị cho trước của 0 ( )C ta có ( ) ( )c n c n j g dd u g dd u đều với mọi g B . )c Nếu j u u trong n C trên mỗi E và j g B hội tụ yếu tới g B , thì ( )c n j j g dd u hội tụ yếu tới ( )c ng dd u trong . Chứng minh. Khẳng định )a là hệ quả trực tiếp từ Định lý 2.1.3 và tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới g , xem [3]. Để chứng minh )b , theo Định lý 2.1.3 ta có ( ) ( )c n c n j dd u dd u yếu trong , do đó ta có thể giả sử { ( );0 1}B g PSH g . Mặt khác, với mỗi giá trị cho trước 0 ( )C , bằng cách thay đổi giá trị của các hàm gần biên , ta cũng giả sử rằng tất cả j u trùng với u trong \E đối với một tập con E nào đó mà supp E . Từ đó với mỗi 0 tùy ý và mọi g B , tích phân từng phần ta được 20 (( ) ( )c n c n j g dd u dd u 1 1 0| | ( ) ( ) ( ( ) ( ) j n c c k c n k j j kE u u u u dd g dd u dd u { } 1 1 0| | ( ) ( ) ( ( ) ( ) j n c c k c n k j j kE u u u u dd g dd u dd u { } , , ( ) ( ) j j A B . Cho 0 ( )C , lấy một hằng số M đủ lớn sao cho 2 2 1 2 ( | | ) | |M z M z , ở đó 1 2 0 , ( )PSH L . Với cả hai 1k và 2k ta có 2 2 22 ( ) (( ) ) ( ) ( )c c c c k k k dd g dd g dd g dd , ở đó tất cả cdd ở phía bên phải đều tác động lên các hàm đa đa điều hòa dưới bị chặn trong . Vì vậy tồn tại một hằng số D phụ thuộc vào và j sao cho , , 1 , 2 | ( ) | | ( ) | | ( ) | ( ) j j j n A A A DC E và , , 1 , 2 | ( ) | | ( ) | | ( ) | ( {| | }) 0 j j j n j B B B DC E u u khi j . Điều này kéo theo ( ) ( )c n c n j g dd u g dd u khi j đều trong B . Cuối cùng, để chứng minh )c ta viết ( ) ( ) (( ) ( ) )c n c n c n c n j j j j g dd u g dd u g dd u dd u ( )(( ) ( ) ) ( )( )c n c n c n j s j s g g dd u dd v g g dd v , 21 ở đó s v là các hàm đa điều hòa dưới trơn giảm dần đến u . Với )b số hạng thứ 2 ở phía bên phải của đẳng thức cuối cùng hội tụ yếu đến 0 khi s đều với mọi j . Khi đó, với s cố định đủ lớn, cả hai số hạng thứ nhất và thứ 3 hội tụ yếu đến 0 khi j . Như vậy )c được chứng minh và việc chứng minh định lý 2.1.9 được hoàn tất. Hệ quả 2.1.10. Giả sử độ đo dương hữu hạn địa phương d triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực trong và 0 ( )g PSH là khả tích địa phương đối với d . Nếu ( ) i g PSH hội tụ yếu tới hàm đa điều hòa dưới g và 0i g g trong với mọi j thì 0 j E g g d khi j trên mọi E . Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng tất cả 0 j g và 0g trong . Vì d triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực nên điều đó đủ để chứng minh rằng j g d gd khi j với mọi 0 ( )C . Cho 0 ( )C ta viết ( max( , )) j j j g d gd g g s d (max( , ) max( , )) (max( , ) ) , j g s g s d g s g d ở đó, số hạng thứ nhất và thứ 3 phía tay phải bị trội bởi 0 0 sup { max | | p g s g d , nó tiến tới 0 khi s . Mặt khác, theo Định lý 6.3 trong [6] tồn tại một hàm đa điều hòa dưới bị chặn và một hàm khả tích không âm f trong đối với 22 độ đo ( )c ndd sao cho supp ( )c nd f dd , trong đó supp là hàm đặc trưng của supp . Do đó với 0 tùy ý tồn tại , 0s k sao cho: j g d gd (max( , ) max( , ))min( , )( )c n j g s g s f k dd . Khi đó, lấy ( )h C sao cho supp | min( , ) | ( )c nf k h dd s . Từ đó ta có j g d gd (max( , ) max( , )) ( ) (2max | | 1)c n j g s g s h dd , trong đó theo Định lý 2.1.9 tích phân cuối cùng tiến đến 0 khi j và do đó ta hoàn thành việc chứng minh Hệ quả 2.1.10. Nhắc lại rằng lim inf( ) 0 jz u u đều với mọi j có nghĩa là với một hằng số 0 bất kỳ, tồn tại E sao cho ( ) ( ) j u z u z xảy ra với \z E tùy ý và mọi j . Trước khi phát biểu và chứng minh Định lý 2.1.13 ta cần 2 bổ đề sau. Bổ đề 2.1.11.([10]) Nếu , ( )u v PSH thỏa mãn lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z thì với mọi hàm bị chặn 1 2 , ,..., ( ) n PSH và với các hằng số 1 supr tùy ý, ta có bất đẳng thức 23 1 2 ( ) ...c c c n u v u v dd dd dd 1 2 ( ) ( ) ...c c c n u v r dd u v dd dd Bổ đề 2.1.12 Nếu 1 1 , , ,..., ( ) n loc u v PSH L , thì 1 1 1 1 max( , ) ... ...c c c c c c n n dd u v dd dd dd u dd dd như là các độ đo trên tập { }.u v Định lý 2.1.13 Giả sử là một miền giả lồi bị chặn, ( )u PSH và { } j u là dãy các hàm bị chặn đều địa phương trong ( )PSH L sao cho )i j u u yếu trong ; )ii lim inf( ) 0 jz u u đều với mọi j ; )iii ( ) ( )c n c n j dd u dd u yếu trong . Khi đó j u u theo 1nC  trên mỗi E . Chứng minh. Giả sử E . Đặt 2 1 sup | |a z . Với 0 tùy ý và ( )PSH với 0 1 theo định nghĩa của 1nC  ta có 1 2 1 1| | 1 ( ) | | ( ) j c n c n j E u u dd dd z C E u u a { } { } 1 2( ) | | j c n c u u dd dd z . Vì j u u trong 1 ( ) loc L , nên theo Bổ đề Hartog và tính tựa liên tục của các hàm đa điều hòa dưới ([3]) ta có 24 1 ( { }) 0 n j C E u u khi j . Mặt khác, từ Bổ đề 2.1.11 suy ra 1 2 1 21( ) | | ( )( ) | | j j c n c c n c j u u u u dd dd z u u dd dd z 1 2 2 2 ( )( ) | | 2 j c n c j u u u u dd dd z 2 2 2 2 (1 ) ( ) ( ) | | j c c n c j u u dd u u dd dd z 2 2 2 2 ( ) ( ) | | j c c n c j u u dd u u dd dd z Lặp lại lập luận này 2n lần ta được vế phải trong bất đẳng thức cuối cùng không vượt quá 1 ( 1) 1 1 22 2 2 ( ) | | n j n n n c n c j u u dd u u dd z 1 ( 1) 1 1 1 22 02 2 ( 1)! ( ) ( ) | | n j n n n n c k c n k c j ku u n dd u dd u dd z 1 ( 1)( 2) 1 1 22 02 2 ( 1)! ( ) ( ) ( ) | | n j n n n n c k c n k c j j ku u n u u dd u dd u dd z . Vì lim inf( ) 0 jz u u đều với mọi j , nên tồn tại một miền giả lồi chặt 1 với một hàm xác định 1 1 ( ) ( )PSH C sao cho 1 1 { 2 }n j u u với mọi j . 25 Lấy một hằng số 2 a đủ lớn sao cho 2 2 1 ( ) | |a z z a trên 1{ 2 }n j u u với mọi j . Khi đó với mỗi 0 bất kỳ , chọn một miền con 2 sao cho tất cả các tập 1 2 1 { 2 }n j u u và 2 1 2 1 2 max(| | , ( )) 0 \z a a z trong . Đặt 3 1 inf{ ( ); } jj a u z z . Lấy một hàm 0 1 ( )C với 1 trên 2 và lấy một hằng số 4 0a sao cho 4 3 a u a và 4 3 supp j a u a trong với mọi j . Vì j u u trong 1 ( ) loc L và j u bị chặn đều địa phương trong , nên theo Bổ đề Hartog với mọi j đủ lớn ta nhận được tích phân cuối cùng bằng 1 1 3 4 3 4 02 (max( , ) max( , )) ( ) n j n c k j ku u u a a u a a dd u 1 2 1 2 ( ) max(| | , )c n k c j dd u dd z a a 1 1 3 4 3 4 0 (max( , ) max( , )) ( ) n c k j k u a a u a a dd u 1 2 1 2 ( ) max(| | , ) ( )c n k c j dd u dd z a a O 1 1 2 1 1 2 0 max(| | , ) ( ) ( ) n c k c n k j k z a a dd u dd u 3 4 3 4 (max( , ) max( , )) ( )c j dd u a a u a a O 1 1 2 1 1 2 0 max(| | , ) ( ) ( ) n c k c n k j k z a a dd u dd u 3 4 3 4 (max( , ) max( , )) ( )c j dd u a a u a a O 26 1 2 1 2 max(| | , )(( ) ( ) ( ) 0c n c n j z a a dd u dd u O khi j và khi đó 0 , trong đó đẳng thức ở gần cuối suy ra từ bất đẳng thức 2 1 2 1 2 max(| | , ( )) 0 \z a a z trong và đẳng thức cuối cùng suy ra từ Bổ đề 2.1.12. Như vậy ta được j u u theo 1nC  trên mỗi E và Định lý được chứng minh. Với các giả thiết của Định lý 2.1.13 ta không thể hy vọng vào kết quả hội tụ mạnh hơn j u u theo nC trên mỗi E . Ví dụ, theo [5] tồn tại các hàm đa điều hòa dưới j u bị chặn đều trong sao cho j u u yếu và c j j u dd u cudd u trong . Bằng cách thay đổi các giá trị của hàm ở gần biên , ta có thể giả sử mọi j u đều trùng nhau bên ngoài tập con compac trong . Từ đó dãy j u thỏa mãn các giả thiết trong Định lý 2.1.13, nhưng j u u trong 1 C trên mọi E vì c j j u dd u cudd u và Định lý 2.1.3. Do vậy, ta cần một vài điều kiện mạnh hơn sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampere để chắc chắn về sự hội tụ theo n C của các hàm đó. Để có kết quả tiếp theo, ta cần phiên bản mạnh hơn của định lý so sánh. Đó là bổ đề sau đây Bổ đề 2.1.14. [10] Giả sử , ( ) ( )u v PSH L thỏa mãn lim inf( ( ) ( )) 0 z u z v z . Khi đó với 1r tùy ý và mọi ( ) j PSH với 0 1, 1,2,..., , j j n ta có 1 12 1 ( ) ... ( )( ) ( !) n c c c n n u v u v v u dd dd r dd v n 1 ( )( )c n u v r dd u . Hơn nữa, nếu ( ) ( )c n c ndd v dd u trong thì v u trong . 27 Định lý 2.1.15. Giả sử ( )u PSH và j u là một dãy các hàm bị chặn đều địa phương trong ( ) ( )PSH L sao cho )i j u u yếu trong ; )ii lim inf( ) 0 jz u u đều với mọi j ; )iii Tồn tại một độ đo dương d trong sao cho ( )c n j g dd u hội tụ yếu tới gd trong đều với mọi ( )g PSH với 0 1g . Khi đó ( )c n j dd u d và u u theo n C trên mỗi E . Từ đó, nếu lim inf( ) 0 jz u u đều với mọi j thì j u u theo n C trên . Chứng minh. Giả sử E . Lấy 0 và ( )PSH với 0 1 ta có {| | ( ) ( { }) ( ) . j j c n c n n j E u u u u dd C E u u dd Từ Bổ đề Hartog và tính tựa liên tục của các hàm đa điều hòa dưới ([3]) suy ra rằng ( { }) 0 n j C E u u khi j . Theo ii) và Bổ đề 2.1.14 ta có 1 ( ) ( ) ( ) j j c n n c n jn u u u u dd u u dd 2 2 1 ( !) ( !) ( ) ( )( ) . j j c n c n j j jn n u u u u n n dd u u u dd u Cho 0 , lấy các miền con 1 2 sao cho j u u trong 1 \ và 1j u u{ } với mọi j . Một lần nữa từ tính tựa liên tục của các hàm đa điều hòa dưới và Bổ đề Hartog suy ra tồn tại 0 0j và 2 E với ( ) n C E sao cho 2 ( ) ( ) 0 \ j u z u z trong E với mọi 0 j j . Chọn 28 0 2 0 ( )C với 1 1 trong . Vì tất cả và j u u bị chặn đều trong 2 , nên với 0 j j tích phân cuối cùng không vượt quá 1 2\ ( )( ) ( ) ( )( ) ( )c n c n j j j j E u u dd u O u u dd u O 2 2 ( )(( ) ) ( ) ( )c n j j j u u dd u d u u d O , trong đó theo iii) và Hệ quả 2.1.10 hai tích phân cuối cùng tiến tới 0 khi j Do đó ta chứng minh được j u u theo n C trên mỗi E . Khi đó theo Định lý 2.1.3 ta nhận được ( )c ndd u d và Định lý được chứng minh. Ta viết lim sup | ( ) ( ) | 0 z f z g z nếu với 0 bất kỳ, tồn tại E sao cho | | \f g trong E . Như là một hệ quả của Định lý 2.1.15 ta có định lý ổn định nghiệm của các phương trình Monge-Ampère sau đây: Hệ quả 2.1.16. Giả sử ( ) j u PSH L là dãy các hàm bị chặn đều địa phương thỏa mãn: )i lim sup | | 0 j iz u u đều với mọi j và i ; )ii Tồn tại một độ đo dương d trong sao cho ( )c n j g dd u hội tụ yếu tới gd trong đều với mọi ( )g PSH với 0 1g . Khi đó tồn tại ( ) loc u PSH L sao cho ( )c ndd u d và j u u theo n C trên Chứng minh. Chỉ cần chứng minh rằng tồn tại ( ) loc u PSH L sao cho từ dãy con bất kỳ của dãy đã cho j u ta có thể trích ra dãy con { } kj u của nó hội tụ tới u theo n C trên . Chọn { } kj u từ dãy con tùy ý sao cho nó hội tụ yếu đến một hàm đa điều hòa dưới u trong . Khi đó từ Định lý 2.1.15 suy ra 29 kj u u theo n C trên và theo Định lý 2.1.3 ta có ( )c ndd u d . Theo Bổ đề 2.1.14 hàm u là duy nhất. Điều này hoàn tất việc chứng minh. Định lý 2.1.17. Giả sử { } ( ) j u PSH L là dãy các hàm bị chặn đều địa phương thỏa mãn )i j u hội tụ yếu đến một hàm đa điều hòa dưới u trong ; )ii lim inf( ) 0 jz u u đều với mọi j ; )iii ( )c n j dd u hội tụ yếu tới một độ đo dương d trong ; )iv Tồn tại một độ đo dương d triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực trong sao cho ( )c n j dd u d trong với mọi j . Khi đó ( )c ndd u d và j u u theo n C trên mỗi E . Chứng minh. Cho E và 0 , tương tự với việc chứng minh Định lý 2.1.15 ta có với 0 bất kỳ, tồn tại 1 sao cho bất đẳng thức 1 2 1( {| | }) ( !) | |n n j j C E u u n u u d xảy ra với mọi j đủ lớn. Theo Hệ quả 2.1.10 tích phân cuối cùng tiến đến 0 khi j . Do đó j u u theo n C trên E và việc chứng minh hoàn tất. Như một hệ quả trực tiếp từ Định lý 2.1.17 ta có Hệ quả 2.1.18. Giả sử { } ( ) j u PSH L là một dãy các hàm bị chặn đều địa phương sao cho )i lim sup | | 0 j iz u u đều với mọi j và i ; )ii ( )c n j dd u hội tụ yếu tới một độ đo dương d trong ; )iii Tồn tại một độ đo dương d triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực trong sao cho ( )c n j dd u d trong với mọi j . Khi đó tồn tại ( ) loc u PSH L sao cho ( )c ndd u d và j u u theo n C dung lượng trên 30 Định lý 2.1.19. Giả sử dãy { } ( ) j u PSH L các hàm bị chặn đều địa phương thỏa mãn )i j u hội tụ yếu với một hàm đa điều hòa dưới u trong ; )ii lim inf( ) 0 jz u u đều với mọi j ; )iii ( )c n j dd u hội tụ yếu tới một độ đo dương d trong ; Nếu tồn tại các hàm đa điều hòa dưới j v bị chặn đều địa phương trong sao cho ( ) ( )c n c n j j dd u dd v với mọi j trong và j v hội tụ tới một hàm đa điều hòa dưới v nào đó theo n C trên mỗi E , thì ( )c ndd u d và j u u theo n C trên mỗi E . Do đó, nếu lim inf( ) 0 jz u u đều với mọi j thì j u u theo n C trên . Ta bỏ qua việc chứng minh Định lý 2.1.19 vì nó hoàn toàn tương tự với việc chứng minh Định lý 2.1.15. Như là một áp dụng, chúng tôi trình bày một chứng minh cho kết quả đã biết của Kolodziej. Hệ quả 2.1.20. Cho là miền giả lồi chặt. Giả sử ( )v PSH L thỏa mãn lim ( ) 0 z v với z . Khi đó với một độ đo dương ( )c nd dd v tùy ý tồn tại ( )u PSH L sao cho ( )c ndd u d và lim ( ) 0 z u với z . Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng ( )c ndd v . Lấy một dãy giảm dần { } k v các hàm đa điều hoà dưới trơn trong sao cho k v v trong và 0 k v trên . Theo Định lý Lebesgue-Randon-Nikodym ta có ( )c nd f dd v , trong đó 0 1f và f khả tích đối với độ đo ( )c ndd v . Lấy 0 ( ) j f C với 0 1 i f sao cho 1 | | ( )c n j f f dd v j , và khi đó lấy một dãy con { } jk v của dãy { } k v sao cho 31 1 (( ) ( ) ) j c n c n j k f dd v dd v j với mọi j (dãy con này tồn tại vì ( )c n k dd v hội tụ yếu tới ( )c ndd v trong ). Theo [2] tồn tại ( ) j u PSH C sao cho ( ) ( ) 0 j c n c n j j k j dd u f dd v và u trên . Từ định lý so sánh ta suy ra 0 jk j v v u trong . Vì ta có thể trích lấy một dãy con của { } j u sao cho nó hội tụ yếu tới một hàm đa điều hòa dưới u nào đó, nên theo Định lý 2.1.19 ta nhận được ( )c ndd u d và 0u trên . Hệ quả được chứng minh. 2.2. Sự hội tụ trong lớp a Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả của Y. Xing đối với các lớp kiểu Cegrell ( ) các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn, trên đó toán tử Monge-Ampère được xác định, ở đó là miền siêu lồi. Đối với các hàm trong ( ), Cegrell đã chứng minh Định lý 2.2.1. [7] Giả sử j u ( ), 0,1,...j và 0j u u . Nếu j u u theo n C trên mỗi E thì ( ) ( )c n c n j dd u dd u yếu trong . Với các giả thiết trong Định lý 2.2.1 chúng ta chứng minh rằng với mỗi ( )g PSH L cố định các dòng ( )c n j g dd u hội tụ yếu tới ( )c ng dd u trong . Hơn nữa, trong trường hợp 0 u a ( ) ta có sự hội tụ mạnh hơn của các độ đo Monge-Ampère theo nghĩa sau đây 32 Định lý 2.2.2. Giả sử 0 u a ( ) và ( ) j u PSH thoả mãn 0 0 j u u trong . Nếu j u u theo n C trên mỗi E thì ( )c n j g dd u hội tụ yếu tới ( )c ng dd u trong đều đối với tất cả các hàm đa điều hòa dưới g với 0 1g . Ta cũng chỉ ra rằng giả thiết về sự hội tụ theo dung lượng của Định lý 2.2.2 là rất chính xác bằng việc đưa ra một kết quả đảo ngược, mà kết quả đó là sự khái quát hoá của Hệ quả 2.1.7 đối với các hàm trong a ( , ). Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh định lý xấp xỉ đối với toán tử Monge- Ampère trên lớp a ( ) . Sau đó là định lý đảo, đó là tổng quát hóa các Định lý 2.1.13 và Định l