Luận văn Về đa thức jones của nút

ới từ hai link cho trước. Trong trường hợp link là nút định hướng, cách xây dựng này rất giống cách lấy tích của hai số nguyên. Với hai nút K1, K2 bất kì, ta có thể thu được hai nút mới bằng cách xóa đi một cung khá nhỏ trên hai nút K1, K2 rồi gắn đầu mút của chúng lại. Hiển nhiên có hai cách gắn, mỗi cách gắn cho ta một nút mới, kí hiệu là K và K′. Trong trường hợp tổng quát K và K′ không đẳng luân với nhau. Rõ ràng cách xây dựng hai nút K1 và K2 không phụ thuộc vào vị trí cung bị xóa, mà chỉ phụ thuộc vào cách gắn. Thủ tục vừa trình bày được gọi là phép nhân hai nút K1 và K2. Cả hai nút K và K′ đều được gọi là tích của K1 với K′, và được kí hiệu: K = K1#K2; K′ = K1#K2. Để làm cho phép nhân hai nút trở thành đơn trị, ta chỉ việc định hướng cho K1, K2 và chọn cách gắn phù hợp với định hướng của K1 và K2. Khi đó nút tích sẽ là một nút định hướng (hình 1.6). Dễ dàng kiểm tra lúc này phép nhân là giao hoán và kết hợp. 11 1.5. Sự nhân tử hóa Tổng quát hơn, nếu L1 và L2 tương ứng là m1-link và m2-link, ta xây dựng hai (m1+m2− 1)-link, gọi là hai link tích của L1 và L2 và cũng được kí hiệu là L1#L2, như sau: các thành phần của hai link này gồm (m1− 1) thành phần của L1, (m2− 1) thành phần của L2, và một thành phần cuối cùng là tích của hai thành phần còn lại trong L1 và L2. Như thế có thể sẽ có 2m1m2 link đôi một không đẳng luân là tích của L1, L2. Nếu hai link L1, L2 đều định hướng thì sẽ có thể sẽ có m1m2 link định hướng đôi một không đẳng luân là tích củaL1, L2. Nếu L = L1#L2 ta cũng nói L1 và L2 là hai nhân tử của L. Hình 1.6: Tích hai nút định hướng. Một câu hỏi tự nhiên: Làm thế nào để nhận biết một link L cho trước là tích của hai link nào đó? Để trả lời, ta lấy một mặt cầu S giao với L tại đúng hai điểm, và đều là giao hoành. Chọn một cung đơn, trơn α trên S nối hai điểm đó lại (việc chọn α không quan trọng vì những cung như thế đều đẳng luân với nhau). Đặt U1, U2 là hai thành phần của R3 − S. Ta định nghĩa hai link mới như sau: Li = (L ∩Ui) ∪ α i = 1, 2. Lúc này, rõ ràng L = L1#L2. Thủ tục vừa trình bày bên trên gọi là sự nhân tử hóa link L. Ta cũng dễ thấy hai link không đẳng luân vẫn có thể có cùng một khai triển thành tích các nhân tử. Một ví dụ về sự nhân tử hóa của nút được cho trong hình 1.7. Hình 1.7: Một nút phân tích được thành tích của nút trefoil và nút số tám. 12 1.5. Sự nhân tử hóa Hiển nhiên mỗi link đều là tích của nó với nút tầm thường. Một link không tầm thường, không tách được gọi là link nguyên tố nếu nó không thể phân tích thành tích của hai link không tầm thường. trang sau là một bảng liệt kê tất cả các nút nguyên tố với số điểm cắt không quá 8, không kể các nút gương của chúng. Áp dụng y nguyên thủ tục trên cho các biểu đồ, chỉ khác thay vì dùng một mặt cầu thì ta dùng một đường cong đơn đóng trên mặt phẳng Oxy, ta đi đến định nghĩa sự nhân tử hóa của biểu đồ. Ngoài ra ta không phải chọn cung nối hai điểm giao mà dùng luôn một trong hai cung của đường cong đó. Một biểu đồ liên thông của một link không tầm thường được gọi là biểu đồ nguyên tố nếu nó không thể viết thành tích của hai biểu đồ khác biểu đồ link tầm thường. Một biểu đồ liên thông của một link không tầm thường được gọi là nguyên tố rõ ràng nếu nó không thể viết thành tích của hai biểu đồ có điểm cắt (tức là nếu viết nó dưới dạng tích hai biểu đồ thì một trong hai nhân tử sẽ không có điểm cắt). 13 1.5. Sự nhân tử hóa 14 1.6. Đồ thị phẳng 1.6 Đồ thị phẳng Ta kết thúc chương này bằng một số sự kiện trong Lý thuyết đồ thị phẳng, những thứ sẽ được dùng trong chương ba. Vì mục đích sử dụng, những đối tượng và những tính chất được định nghĩa trong mục này có thể kém tổng quát hơn so với những định nghĩa thông thường của chúng. Cho một đồ thị phẳng Γ là cho: + Một tập không rỗng V(Γ) gồm một số hữu hạn các điểm trên một mặt phẳng, gọi là các đỉnh của Γ. + Một tập không rỗng E(Γ) gồm một số hữu hạn cung đơn trên mặt phẳng nối hai đỉnh khác nhau của Γ và không đi qua một đỉnh nào khác, cùng với một số hữu hạn các vòng trên mặt phẳng, mỗi vòng đi quá đúng một đỉnh của Γ. Các phần tử của E(Γ) được gọi là các cạnh của đồ thị Γ. Khi cần phân biệt, các vòng sẽ được gọi là cạnh khép kín. Chú ý theo định nghĩa, hai đỉnh trong đồ thị có thể không có cạnh nối hoặc cũng có thể có nhiều hơn một cạnh nối. Cũng vậy, một đỉnh có thể không có hoặc có nhiều hơn một cạnh khép kín đi qua. Sử dụng thuật ngữ hình học, nếu giữa hai đỉnh có một cạnh nối thì hai đỉnh đó cũng được gọi là hai đầu mút của cạnh đó. Nếu một đỉnh có một cạnh khép kín đi qua thì ta cũng gọi đỉnh đó là đầu mút của cạnh khép kín. Một đồ thị con của Γ là đồ thị với tập đỉnh là tập con của V(Γ), và tập cạnh là tập con của E(Γ). Với mỗi đồ thị phẳng Γ, tập hợp (∪α∈E(Γ)α) được gọi là thể hiện hình học của Γ. Đó là một tập hợp trong mặt phẳng. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất các đồ thị phẳng với thể hiện hình học của chúng. Một đồ thị phẳng Γ được gọi là liên thông nếu nó là tập liên thông trong mặt phẳng. Một đỉnh v của đồ thị phẳng liên thông Γ được gọi là đỉnh tách nếu ( Γ− v) không phải là tập liên thông trong mặt phẳng. Ta thấy ngay nếu Γ có số đỉnh lớn hơn một thì các đỉnh là mút của cạnh khép kín luôn là đỉnh tách. Nếu đỉnh tách v không là mút của một cạnh khép kín, thì Γ và v có dạng như trong hình 1.8, trong đó Γ1, ..., Γk là các đồ thị con liên thông của Γ với Γi ∩ Γj = ∅ ∀ i 6= j, và giữa hai đỉnh bất kì thuộc hai đồ thị khác nhau luôn không có cạnh nối. Trong chương ba, ta sẽ cần một bổ đề đơn giản sau liên quan đến đỉnh tách của đồ thị phẳng: Bổ đề 1.16 Cho Γ là đồ thị phẳng liên thông không có đỉnh tách. Giả sử tồn tại một cạnh của Γ có tính chất: Nếu xóa bỏ phần trong cạnh đó (tức là không xóa các đỉnh trong cạnh đó) ta nhận được đồ thị mới vẫn liên thông nhưng có đỉnh tách. Khi đó việc co rút cạnh này về một đỉnh sẽ thu được đồ thị mới vẫn không có đỉnh tách. 15 1.6. Đồ thị phẳng Hình 1.8: Đỉnh tách v của đồ thị phẳng liên thông không có cạnh khép kín Γ. Ở đây, trong trường hợp cạnh không khép kín, phép co rút một cạnh về một đỉnh là phép xóa đi phần trong của cạnh rồi đồng nhất hai đỉnh. Nếu cạnh là khép kín thì chỉ là việc xóa phần trong cạnh đó. CHỨNG MINH. Hiển nhiên Γ không thể chỉ có một đỉnh vì khi đó xóa phần trong một cạnh không làm đỉnh tách xuất hiện. Nếu Γ có hai đỉnh thì cũng dễ dàng chứng minh nó không thể thỏa mãn hai điều kiện của bổ đề. Do đó, đồ thị Γ thỏa mãn điều kiện bổ đề sẽ có ít nhất ba đỉnh, và do đó không có cạnh khép kín. Gọi cạnh bị xóa phần trong là e, và gọi v là đỉnh tách xuất hiện sau khi xóa phần trong e. Khi đó, rõ ràng Γ, v, e, phải có dạng như hình 1.9, trong đó Γ1, Γ2 là hai đồ thị con liên thông không giao nhau của Γ, và v11, v20 là cặp đỉnh duy nhất thuộc Γ1, Γ2 mà có cạnh nối. Chú ý v10 có thể trùng với một trong các đỉnh v11, ...., v1n1, còn v20 có thể trùng với một trong số các đỉnh v21, ...., v2n2 . Từ dạng hình học của Γ ta thấy kết luận của bổ đề là hiển nhiên đúng. Đồ thị phẳng mà ta quan tâm chính là biểu đồ link trong mặt phẳng Oxy. Để thu được một đồ thị phẳng từ biểu đồ link, trên các thành phần có điểm cắt, ta lấy các điểm cắt làm đỉnh, các cạnh sẽ là các cung trong biểu đồ. Với các thành phần của biểu đồ là các vòng phẳng, ta lấy một điểm bất kì trên đó làm đỉnh. Đỉnh này là đầu mút của một cạnh khép kín. Từ cách xây dựng trên ta thấy ngay nếu mọi thành phần liên thông của biểu đồ đều có điểm cắt, thì với đồ thị tương ứng, mọi lân cận đủ nhỏ của mọi đỉnh đều có dạng như hình bên dưới: 16 1.6. Đồ thị phẳng Trong trường hợp này, có thể chứng minh dễ dàng bằng quy nạp theo số đỉnh rằng số cạnh của đồ thị sẽ gấp hai lần số đỉnh. 17 CHƯƠNG2 Đa thức Jones Lý thuyết về đa thức Jones do Vaughan Jones tìm ra năm 1984 cho phép gắn mỗi link định hướng (trường hợp nút thì không cần định hướng) với một đa thức Laurent hệ số nguyên (là một biểu thức kiểu đa thức nhưng trong đó có cả lũy thừa âm và dương của biến số). Ngay sau đó, Kauffman đã đưa ra cách định nghĩa khá đơn giản thông qua cấu trúc tổ hợp của biểu đồ link. Và như đã nhấn mạnh chương 1 mục 1.4, phép gắn này sẽ được chứng minh không phụ thuộc vào việc chọn biểu đồ, vì nó bất biến với ba phép biến đổi Reidenmeister định hướng. Nói cách khác, nó là một bất biến đẳng luân của link định hướng. Với hai link định hướng cho trước, bằng các tính toán trên các biểu đồ, nếu đa thức Jones của chúng khác nhau thì hai link không đẳng luân. Đây là công việc khá đơn giản với những biểu đồ không có nhiều điểm cắt. Nói riêng, ta sẽ thấy nút trefoil và nút gương của nó không đẳng luân với nhau. Chương này chúng tôi chủ yếu dựa vào bài báo gốc [4] và các tài liệu [5], [9] để trình bày cách tiếp cận của Kauffman cũng như tính toán đa thức Jones cho một số trường hợp đơn giản. 2.1 Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman Định nghĩa 2.1 Ngoặc Kauffman, kí hiệu 〈 〉 , là một ánh xạ từ tập biểu đồ link không định hướng trong mặt phẳng đến tập các đa thức Laurent hệ số nguyên Z[A, A−1] thỏa mãn ba đẳng thức: (i) 〈 〉 = 1 (ii) 〈 D unionsq 〉 = (−A2 − A−2)〈D〉 (iii) 〈 〉 = A 〈 〉 + A−1 〈 〉 . 2.1. Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman Trong định nghĩa trên, là biểu đồ của nút tầm thường không có điểm cắt (nó đơn giản là một vòng trong Oxy), D unionsq là biểu đồ bao gồm biểu đồ D cùng với biểu đồ của một nút tầm thường không có điểm cắt và không giao với D. Ta liệt kê một số tính chất đơn giản của ngoặc Kauffman suy trực tiếp từ định nghĩa: + Nếu biểu đồ bị biến đổi, ngoặc Kauffman nói chung cũng thay đổi. Tuy nhiên có thể thấy rằng vì ngoặc Kauffman chỉ phụ thuộc vào cấu trúc tổ hợp của biểu đồ, nên nếu hai biểu đồ đẳng luân phẳng với nhau thì ngoặc Kauffman của chúng sẽ trùng nhau. + Nếu một biểu đồ không có điểm cắt, thì nó chỉ là một số hữu hạn các vòng trên mặt phẳng Oxy đôi một rời nhau. Khi đó, từ hai đẳng thức (i) và (ii), ngoặc Kauffman của nó sẽ là (−A−2 − A2)m−1 với m là số lượng các vòng. + Đẳng thức (iii) cho biết ngoặc Kauffman của một biểu đồ n điểm cắt sẽ được biểu diễn bằng một tổng tuyến tính của 2n ngoặc Kauffman của các biểu đồ không có điểm cắt, và với các biểu đồ không có điểm cắt thì ta đã tính được. + Trong vế trái của đẳng thức (iii), nếu hai cung trên và cung cung dưới đổi vị trí cho nhau thì ở vế phải, A và A−1 cũng sẽ đổi chỗ cho nhau. Ta thu được điều này bằng cách áp dụng đẳng thức (iii) sau khi quay biểu đồ một góc pi/2. Do đó, nếu D là biểu đồ gương của biểu đồ D, là biểu đồ thu được bằng cách hoán đổi vị trí cung trên và cung dưới tại mọi điểm cắt trong D cho nhau, thì 〈 D 〉 sẽ là đa thức Laurent thu được từ 〈 D 〉 bằng cách hoán đổi vị trí của A và A−1 cho nhau ( tức là 〈 D 〉 (A) := 〈 D 〉 (A−1) ) . Sự tồn tại của ngoặc Kauffman sẽ được chứng minh trong chương sau bằng cách xây dựng công thức tường minh. Việc nó là duy nhất có thể chứng minh khá đơn giản dựa vào quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ như sau: Giả sử tồn tại hai ánh xạ 〈 〉 1, 〈 〉 2 từ tập biểu đồ không định hướng vào Z[A, A −1] đều thỏa mãn ba đẳng thức trong định nghĩa 2.1. Nếu D là biểu đồ không có điểm cắt thì như đã thấy ở bên trên, 〈 D 〉 1 = 〈 D 〉 2 = (−A−2 − A2)m−1 với m là số thành phần liên thông của D. Giả sử đẳng thức 〈 D 〉 1 = 〈 D 〉 2 đúng với mọi biểu đồ D có số điểm cắt nhỏ hơn n. Khi đó, với mỗi biểu đồ D có n điểm cắt, áp dụng đẳng thức (iii) trong định nghĩa 2.1 và giả thiết quy nạp ta có 〈 D 〉 1 = 〈 D 〉 2. Bây giờ, ta hãy xem ngoặc Kauffman thay đổi như thế nào đối với các phép dịch chuyển Reidenmeister. Bổ đề 2.2 Nếu ta biến đổi một biểu đồ bằng phép dịch chuyển Reidenmeister thứ nhất, thì ngoặc Kauffman của nó thay đổi như sau: 19 2.1. Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman CHỨNG MINH. Ta chứng minh đẳng thức đầu tiên: Đẳng thức thứ hai chứng minh hoàn toàn tương tự Như vậy ta thấy ngoặc Kauffman của một biểu đồ không bất biến với phép biến đổi Reidenmeister thứ nhất. Hai đẳng thức trong Bổ đề 2.2 thường xuyên được sử dụng để tính ngoặc Kauffman của các link. Chẳng hạn ta áp dụng nó để tính ngoặc Kauffman của Hopf link và của nút trefoil: Bổ đề 2.3 Nếu ta thay đổi một biểu đồ bằng phép biến đổi Reidenmeister thứ hai hoặc thứ ba thì ngoặc Kauffman của nó không thay đổi. Tức là CHỨNG MINH. (i) Áp dụng liên tiếp đẳng thức thứ ba trong định nghĩa ngoặc Kauff- man, ta có: (ii) Áp dụng đẳng thức (iii) trong định nghĩa ngoặc Kauffman vào điểm cắt "chính giữa", ta được: 20 2.1. Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman Vì ngoặc Kauffman bất biến với phép đẳng luân phẳng cũng như phép dịch chuyển Reidenmeister thứ hai (vừa chứng minh) nên ta có các đẳng thức: Thay vào đẳng thức ban đầu ta được: Vì ngoặc Kauffman không bất biến với phép dịch chuyển Reidenmeister thứ nhất, do đó nó không phải là một bất biến đẳng luân của link. Tuy nhiên ta có thể chỉnh sửa nó một chút để được một bất biến. Định nghĩa dưới đây là sự chuẩn bị cho việc hiệu chỉnh: Định nghĩa 2.4 Với mỗi biểu đồ (định hướng) D của một link định hướng, ta gán cho mỗi điểm cắt của D một trong hai giá trị 1 hoặc −1 và gọi chúng tương ứng là điểm cắt dương hoặc điểm cắt âm như hình 2.1 bên dưới. Khi đó số writhe của D, kí hiệu w(D), là tổng: w(D) = ∑i ei, trong đó tổng chạy trên tất cả các điểm cắt trong D, còn ei = ±1 là dấu của các điểm cắt trong D. Hình 2.1: dấu của điểm cắt Từ định nghĩa trên, ta thấy nếu đảo hướng tất cả các thành phần của D thì w(D) không đổi. Hình dưới đây chỉ ra số writhe của một vài biểu đồ link: Nhận xét 2.5 Nếu biến đổi D bằng các phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng thứ hai và thứ ba thì w(D) cũng không đổi. Thật vậy, với phép dịch chuyển Reiden- meister định hướng thứ hai, dấu của hai điểm cắt mới (hoặc của hai điểm cắt bị mất 21 2.2. Đa thức Jones đi) luôn ngược nhau. Với phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng thứ ba, dấu của hai điểm cắt mới luôn trùng với dấu của hai điểm cắt cũ một cách tương ứng.Tuy nhiên, dễ thấy nếu biến đổi D bằng phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng thứ nhất thì w(D) sẽ tăng thêm hoặc giảm đi 1. Bây giờ ta có định lý sau, là sự hiệu chỉnh của ngoặc Kauffman: Định lý 2.6 Với mỗi biểu đồ D của link định hướng L, đa thức Kauffman của L X(L) = (−A)−3w(D)〈|D|〉 là bất biến với cả ba phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng, trong đó |D| là biểu đồ không định hướng nhận được từ D bằng cách bỏ qua hướng trên nó. Như vậy, X(L) không phụ thuộc vào việc chọn biểu đồ của link định hướng L, và nó là một bất biến đẳng luân của L. CHỨNG MINH. Theo bổ đề 2.3 ta suy ra 〈|D|〉 bất biến đối với hai phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng thứ hai và thứ ba. Kết hợp với nhận xét 2.5 ta có đa thức Kauffman sẽ bất biến với hai phép dịch chuyển đó. Ta chứng minh đa thức Kauffman bất biến với phép biến đổi Reidenmeister định hướng thứ nhất. Giả sử D′ là biểu đồ thu được từ D qua một phép dịch chuyển Reiden- meister định hướng thứ nhất. Trong trường hợp D′ mất đi một điểm cắt có dấu là −1 thì ta có w(D′) = w(D) + 1. Khi đó, theo bổ đề 2.2 ta được 〈 D′ 〉 = −A3〈D〉. Thay vào X(L) sẽ dẫn đến điều phải chứng minh. Trường hợp ngược lại hoàn toàn tương tự. Vì số writhe của nút định hướng không đổi nếu ta đảo hướng, nên ta có thể nói đến đa thức Kauffman của nút không định hướng. Theo chứng minh trên nó là bất biến đẳng luân của nút không định hướng, do đó nó cho phép phân biệt một số nút. Chẳng hạn, từ ngoặc Kauffman của trefoil ta thu được: Như vậy trefoil và ảnh gương của nó không đẳng luân với nhau. 2.2 Đa thức Jones Định nghĩa 2.7 Đa thức Jones V(L) của link định hướng L là đa thức Laurent hệ số nguyên nhận được từ đa thức Kauffman của L bằng cách đổi biến A−2 = t1/2. Tức là: V(L) = ( (−A)−3w(D)〈D〉)t1/2:=A−2 ∈ Z[t−1/2, t1/2] 22 2.2. Đa thức Jones trong đó D là một biểu đồ định hướng tùy ý của L. Trong định nghĩa trên, t1/2 có nghĩa là nếu ta lấy bình phương thì sẽ được t. Việc V(L) ∈ Z[t−1/2, t1/2] sẽ được chứng minh sau (hệ quả 2.12). Nhận xét 2.8 Vì đa thức Kauffman là bất biến đẳng luân của link định hướng, nên đa thức Jones cũng là bất biến của link định hướng. Hơn nữa, vì đa thức Kauffman của link định hướng không thay đổi nếu ta đảo hướng tất cả các thành phần, nên đa thức Jones cũng vậy. Do đó ta có thể nói về đa thức Jones của nút không định hướng. Hai đẳng thức (i) và (iii) trong mệnh đề sau là một đặc trưng của đa thức Jones (về mặt lịch sử chúng được dùng để định nghĩa đa thức Jones trước khi Kauffman tìm ra định nghĩa đa thức Jones như ta đã trình bày): Mệnh đề 2.9 Đa thức Jones của link định hướng thỏa mãn ba tính chất: (i) V(nút tầm thường) = 1 (ii) Nếu link định hướng L và một nút tầm thường định hướng O là rời nhau mạnh thì: V(L ∪O) = (−t−1/2 − t1/2)V(L) (iii) Nếu L+, L− và L0 là ba link định hướng có ba biểu đồ tương ứng D+, D− và D0 giống hệt nhau, ngoại trừ tại lân cận của một điểm như được chỉ ra trong hình(2.2), thì ta có đẳng thức sau, thường gọi là quan hệ skein: t−1V(L+)− tV(L−) + (t−1/2 − t1/2)V(L0) = 0 Hình 2.2: Ba biểu đồ D+, D− và D0 CHỨNG MINH. (i) Đẳng thức là hiển nhiên. (ii) Vì hai L và O rời nhau mạnh nên L∪O có một biểu đồ dạng DL unionsqDO, với DL, DO là các biểu đồ của L vàO. Vì đa thức Jones là bất biến đẳng luân nên ta có thể coi DO là đường tròn trong mặt phẳng. Theo đẳng thức (ii) trong định nghĩa ngoặc Kauffman và từ định nghĩa đa thức Jones ta có điều cần chứng minh. (iii) Theo định nghĩa ngoặc Kauffman, ta có hai đẳng thức: 23 2.2. Đa thức Jones 〈 〉 = A 〈 〉 + A−1 〈 〉 .〈 〉 = A−1 〈 〉 + A 〈 〉 . Nhân A vào hai vế đẳng thức đầu, nhân −A−1 vào đẳng thức thứ hai, rồi cộng vế với vế ta được: A 〈 〉− A−1〈 〉 = (A2 − A−2)〈 〉 Sử dụng các kí hiệu như trong phát biểu của mệnh đề, đẳng thức trên có viết lại thành: A 〈|D+|〉 − A−1〈|D−|〉 = (A2 − A−2)〈|D0|〉. Nhân hai vế đẳng thức này với (−A3)−w(D0) và chú ý w(D+)− 1 = w(D0) = w(D−)− 1, ta được: A4(−A3)−w(D+)〈|D+|〉+A−4(−A3)−w(D−)〈|D−|〉 = (A2−A−2)(−A3)−w(D0)〈|D0|〉 ⇔ A4X(L+) + A−4X(L−) = (A2 − A−2)X(L0) Đổi biến A−2 := t1/2 trong đẳng thức trên cho ta điều cần chứng minh. Việc định nghĩa đa thức Jones bằng hai đẳng thức (i) và (iii) rồi suy ra các tính chất khác được thực hiện trong [7]. Còn bây giờ là một hệ quả tức khắc hai của đẳng thức (i) và (ii): Hệ quả 2.10 Tất cả các m-link tầm thường định hướng đều có đa thức Jones trùng nhau: V(m-link tầm thường định hướng) = (−t−1/2 − t1/2)m−1, do đó ta có thể nói đến đa thức Jones của m-link tầm thường không định hướng. Với đa thức Jones, các đẳng thức trong mệnh đề 2.9 có vai trò tương tự như các đẳng thức trong định nghĩa ngoặc Kauffman đối với đa thức Kauffman, dù rằng chúng không độc lập với nhau (đẳng thức (ii) có thể suy ra từ hai đẳng thức còn lại). Nó cho phép ta tính toán đa thức Jones của link định hướng mà không cần thông qua ngoặc Kauffman. Phương pháp này dựa vào quan hệ skein để quy việc tính đa thức Jones của link định hướng về việc tính các đa thức Jones của các link tầm thường. Hiển nhiên sau một số hữu hạn lần xóa bỏ điểm cắt, ta sẽ thu được biểu đồ link tầm thường. Tuy nhiên, trong quan hệ skein không chỉ có phép xóa điểm cắt mà còn có cả phép biến đổi điểm cắt bằng cách hoán đổi vị trí cung trên và cung dưới tại điểm cắt (gọi tắt là phép biến đổi điểm cắt). Do đó, để chứng tỏ rằng đa thức Jones có thể tính được bằng phương pháp này, ngoài việc phải tính được đa thức Jones của link tầm thường, ta phải chứng minh định lý sau: Định lý 2.11 Mọi biểu đồ của một m-link bất kì đều có thể trở thành một biểu đồ của m-link tầm thường sau một số hữu hạn lần áp dụng phép biến đổi điểm cắt. 24 2.2. Đa thức Jones CHỨNG MINH. Đầu tiên xét trường hợp m = 1, tức là L là một nút. Với mỗi biểu đồ của nút đang xét, ta bỏ qua cấu trúc cung trên, cung dưới tại mỗi điểm cắt và gọi đó là một cái bóng của nút (nó là một đường cong đóng trên mặt phẳng, nếu có tự cắt thì đều là giao hoành). Lấy một đường thẳng l trong mặt phẳng Oxy không giao với cái bóng của L, rồi dịch chuyển song song cho đến khi nó chạm vào một điểm P thuộc cái bóng. Lấy hai điểm A, B là hai hình chiếu vuông góc của P với các tọa độ z của cả hai đều dương, và tọa độ z của A lớn hơn của B. Cho một điểm chuyển động từ A đến B với quỹ đạo là cái bóng của L sao cho khoảng cách của điểm đó đến mặt phẳng Oxy giảm dần đều. Khi đó quỹ đạo chuyển động của điểm này hợp với đoạn thẳng AB là nút tầm thường có hình chiếu vuông góc trùng với cái bóng đang xét của L. Phân biệt cung trên, cung dưới tại lân cận các điểm tự cắt của cái bóng của L để nó trùng với các cung trên, cung dưới tại các điểm cắt của biểu đồ nút tầm thường vừa xây dựng, ta có điều cần chứng minh. Hình 2.3: biến đổi điểm cắt của biểu đồ nút trefoil để được biểu đồ nút tầm thường Với trường hợp m > 1, ta chỉ việc áp dụng lập luận trên cho từng thành phần của link. Chú ý để các nút tầm thường mà ta xây dựng tạo nên một m-link tầm thường, ta chỉ cần chọn các điểm Ai, Bi thỏa mãn tọa độ z của Ai nhỏ hơn tọa độ z của Bi+1. Để minh họa, ta tính đa thức Jones của nút trefoil bằng phương pháp nói trên. Lấy một hướng trên nó rồi áp dụng quan hệ skein cho một điểm cắt bất kì trong một biểu đồ của trefoil, ta thu được một biểu đồ nút tầm thường và một biểu đồ Hopf link: Tiếp tục áp dụng quan hệ skein cho biểu đồ Hopf link ta được một biểu đồ nút tầm thường và biểu đồ của 2-link tầm thường định hướng: 25 2.2. Đa thức Jones Đến đây, theo đẳng thức (i) và (ii) ta thu được: Do đó Ta thấy tính toán này, sau phép đổi biến t−1/4 = A, trùng với tính toán đa thức Kauffman của nút trefoil ở trong mục trước. Một hệ quả tức khắc của quan hệ skein và định lý 2.11 là: Hệ quả 2.12 Với mọi link định hướng L ta luôn có V(L) ∈ Z[t−1/2, t1/2]. Điều này tương đương với việc đa thức Kauffman X(L) của link định hướng L thuộc vàoZ[A−2, A2]. CHỨNG MINH. Chứng minh dựa vào quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ. Theo hệ quả 2.12, rõ ràng việc đổi biến A−2 = t1/2 để thu được đa thức Jones từ đa thức Kauffman không tự nhiên bằng việc đổi biến ±A±2 = t. Ngoài lí do lịch sử, việc vẫn sử dụng phép đổi biến đó có lẽ là vì với các nút, trường hợp quan trọng nhất của link, thì phép đổi biến này là tốt nhất. Điều này được phát biểu trong định lý 2.13 dưới đây: Định lý 2.13 a) Nếu m là số lẻ thì m-link định hướng L có đa thức Jones V(L) chỉ chứa các lũy thừa nguyên của t. Nói riêng điều này đúng nếu L là một nút. b) Nếu m là số chẵn thì m-link định hướng L có đa thức Jones V(L) chỉ chứa các hạng tử có dạng t(2k−1)/2, k ∈ Z. CHỨNG MINH. Đầu tiên, nếu L là m-link tầm thường thì theo hệ quả 2.10 ta có: V(L) = (−t−1/2 − t1/2)m−1 = t(m−1)/2(−t−1 − 1). Do đó định lý đúng trong trường hợp này. Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ. Nếu L có biểu đồ không có điểm cắt thì nó là link tầm thường, nên nó thỏa mãn định lý. Giả sử định lý đúng với mọi link định hướng có một biểu đồ với số điểm cắt nhỏ hơn n (n > 0). Nếu L có một biểu đồ D có n điểm cắt thì ta đưa nó về biểu đồ của link tầm thường bằng cách áp dụng liên tiếp quan hệ skein. Vì định lý là đúng với các link tầm thường, nên ta chỉ còn phải kiểm tra rằng định lý vẫn đúng trong quá trình biến đổi các điểm cắt của D. 26 2.2. Đa thức Jones Kí hiệu L+, L−, L0 là ba link định hướng với các biểu đồ tương ứng D+, D−, D0 như trong qua hệ skein, với số điểm cắt của D+ và D− là n, còn số điểm cắt của D0 là (n− 1). Theo giả thiết quy nạp, định lý đúng với L0, và ta cần chứng minh nếu định lý đúng với một trong hai link L+ hoặc L− thì nó sẽ đúng với cái còn lại. Không mất tổng quát ta coi định lý đúng với L−. Kí hiệu m+, m−, m0 lần lượt là số thành phần của ba link L+, L−, L0 và nhận xét thấy rằng m+ = m− = m0 ± 1 (hình 2.4). Do đó m+,m− có tính chắn lẻ ngược với m0. Áp dụng điều này vào quan hệ skein, ta có điều cần chứng minh. Hình 2.4: Hai trường hợp m+ = m0 + 1 và m+ = m0 − 1 Nhận xét 2.14 Đa thức Laurent nhận được từ đa thức Kauffman bằng phép đổi biến −A−2 = t được gọi là đa thức Jones chuẩn hóa. Trong một số vấn đề, chẳng hạn đối đồng điều Khovanov (một sự tổng quát hóa đại số cho đa thức Jones), người ta dùng phiên bản chuẩn hóa của đa thức Jones. Như đã biết, đa thức Jones không thay đổi nếu ta đảo hướng tất cả các thành phần của link. Câu hỏi đặt ra là nếu ta chỉ đảo hướng một số thành phần của link thì đa thức Jones thay đổi như thế nào? Định nghĩa sau là sự chẩn bị cho câu trả lời: Định nghĩa 2.15 Với mỗi m-link định hướng L (m > 1) chứa hai thành phần L1 và L2, lấy một biểu đồ D của L và kí hiệu hai biểu đồ cảm sinh của L1, L2 là D1, D2. Ta gọi số liên kết của hai thành phần L1 và L2, kí hiệu lk(L1, L2), là tổng lk(L1, L2) = 12 ∑i ei, trong đó ei = ±1 là dấu của điểm cắt, còn tổng chạy trên các điểm cắt mà hai cung tại điểm cắt thuộc vào hai biểu đồ khác nhau D1, D2. Không khó khăn gì để kiểm tra số liên kết giữa hai thành phần là bất biến với các phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng, do đó nó được định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn biểu đồ của link. Nói riêng nó là bất biến đẳng luân của các 2-link.