Luận văn Về việc sử dụng phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu

thường x ≡ 0 là ổn định đều. (ii) Tồn tại ∆ = ∆ (t0) > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ H0 và ‖x0‖ < ∆ thì lim t→∞ ‖x (t, t0, x0 (t))‖ = 0. Định nghĩa 1.5. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2) được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu như mọi nghiệm x (t) = x (t, t0, x0) của phương trình (1.2) luôn thỏa mãn bất đẳng thức ‖x (t)‖ ≤M.e−λ(t−t0). ‖x0‖ ;∀t ≥ t0, trong đó M ,λ là các hằng số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0. Định nghĩa 1.6. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.2) được gọi là ổn định mũ đều khi t → ∞ nếu như số M ở trên không phụ thuộc vào t0. Nhận xét: 1. Nghiệm ổn định đều suy ra ổn định theo Lyapunov. 2. Nghiệm ổn định tiệm cận đều suy ra ổn định đều. 3. Nghiệm ổn định mũ suy ra ổn định tiệm cận và nghiệm ổn định tiệm cận suy ra ổn định theo nghĩa Lyapunov. Trên đây là một số khái niệm về tính ổn định nghiệm của các hệ phương trình vi phân. Mục tiếp theo chúng tôi trình bày các phương pháp để xét tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân. Trước tiên là phương pháp số mũ Lyapunov. 7 A. Phương pháp số mũ Lyapunov 1.2 Định nghĩa và các tính chất chính của số mũ đặc trưng Lyapunov Cho một hàm giá trị phức f(t) xác định trên khoảng [t0,+∞). Định nghĩa 1.7. Định nghĩa về số mũ đặc trưng Lyapunov. Số ( hoặc ký hiệu ±∞ ) được xác định bởi công thức χ [f ] = lim t→∞ 1 t ln |f (t)| , (1.3) được gọi là số mũ đặc trưng Lyapunov của hàm f(t) (hay số mũ đặc trưng). Quy ước: χ [0] = −∞. Lưu ý một số tính chất: 1. χ [f ] = χ [|f |] . 2. χ [cf ] = χ [f ] ; |c| 6= 0. 3. Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a thì χ [f ] ≤ χ [F ] . Định lý 1.1. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các hàm fk(t), k = 1, 2, ..., n không vượt quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của các hàm đó và trùng với số đó nếu chỉ có một hàm số có số mũ đặc trưng bằng với số lớn nhất đó. Định lý 1.2. Số mũ đặc trưng của tích một số hữu hạn các hàm fk(t), k = 1, 2, ..., n không vượt quá tổng các số mũ đặc trưng của các hàm đó, tức là χ [ n∏ k=1 fk (t) ] ≤ n∑ k=1 χ [fk (t)]. (1.4) Định nghĩa 1.8. Số mũ đặc trưng của f(t) được gọi là chặt nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim t→∞ 1 t ln |f (t)| = α. (1.5) Định lý 1.3. Hàm f(t) có số mũ đặc trưng chặt khi và chỉ khi χ [f ] + χ [ 1 f ] = 0. (1.6) 8 Chú ý 1.1. Trong trường hợp này hiển nhiên f (t) 6= 0 với t > T . Định lý 1.4. Nếu một hàm f(t) có số mũ đặc trưng chặt thì số mũ đặc trưng của tích của các hàm f(t) và g(t) bằng tổng các số mũ đặc trưng của chúng. χ [fg] = χ [f ] + χ [g] . (1.7) 1.3 Số mũ đặc trưng của hàm ma trận Ta xét ma trận F (t) = {fij (t)} , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ...,m;m ≤ n, được xác định trên [t0,∞). Định nghĩa 1.9. Số (hoặc ký hiệu ±∞ ) được xác định bởi công thức χ [F ] = max i,j χ [fij] , được gọi là số mũ đặc trưng của ma trận F (t). Định lý 1.5. Số mũ đặc trưng của một tổng hữu hạn các ma trận không vượt quá số lớn nhất trong số các số mũ đặc trưng của ma trận thành phần và trùng với số đó nếu chỉ có một ma trận có số mũ đặc trưng lớn nhất đó. Định lý 1.6. Số mũ đặc trưng của một tích hữu hạn các ma trận không vượt quá tổng của các ma trận thành phần, tức là χ [ N∏ s=1 Fs (t) ] ≤ N∑ s=1 χ [Fs (t)]. 1.4 Phổ Lyapunov và phép biến đổi Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính Đầu tiên ta chứng minh một định lý có tính tổng quát. Định lý 1.7. Nghiệm không tầm thường của hệ chuẩn tắc x˙ = f (t, x) , x ∈ Rn, ‖f (t, x)‖ ≤ L ‖x‖ , có số mũ đặc trưng hữu hạn. Chú ý 1.2. Với điều kiện bắt buộc đối với vế phải của hệ, nghiệm của hệ xác định với mọi t ∈ R. 9 Bây giờ ta xét hệ tuyến tính x˙ = A (t)x, x ∈ Rn, A ∈ C [t0,∞) . (1.8) Định lý 1.8. Nếu sup t ‖A (t)‖ ≤ M thì nghiệm không tầm thường x(t) của hệ tuyến tính (1.8) có số mũ đặc trưng hữu hạn và −M ≤ χ [x] ≤M . Định lý 1.9. Các hàm véc tơ x1(t), x2(t), ..., xm(t) được định nghĩa trên khoảng [t0,∞), có các số mũ đặc trưng hữu hạn và khác nhau là độc lập tuyến tính. Hệ quả 1.1. Các nghiệm của một hệ tuyến tính không thể có nhiều hơn n số mũ đặc trưng khác nhau. Định nghĩa 1.10. Tập hợp tất cả các số mũ đặc trưng riêng ( tức là khác +∞ và −∞ ) của các nghiệm của một hệ vi phân được gọi là phổ của hệ đó. Chú ý 1.3. Một hệ không tuyến tính có thể có một phổ hữu hạn tx˙ = x lnx⇒ x = exp ct. Bổ đề 1.1. Số mũ đặc trưng của một nghiệm có thể được tính bằng cách dùng dãy số nguyên theo công thức χ [x] = lim n→∞ 1 n ln |x (n)| , (1.9) ở đây n là số tự nhiên. Hệ quả 1.2. Đối với nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.8) các mệnh đề sau đây luôn đúng. a. Nếu các số mũ Lyapunov χ[x] < 0 thì nghiệm tầm thường của hệ (1.8) là ổn định tiệm cận. b. Nếu A(t) = (aij)n×n và phương trình đặc trưng |A − λI| = 0 có phần thực của các giá trị riêng là âm, tức là Reλj(A) < 0 thì hệ đã cho là ổn định tiệm cận theo số mũ đăc trưng Lyapunov. 1.4.2 Phép biến đổi Lyapunov Xét hệ x˙ = A (t)x, (1.10) ở đây x ∈ Rn, A ∈ C [t0,∞) , sup t≥t0 ‖A (t)‖ ≤M, và phép biến đổi x = L(t)y, (1.11) Trong đó L(t) là ma trận không suy biến và khả vi liên tục với t ≤ t0. Thay (1.11) vào hệ (1.10) ta thu được hệ tuyến tính y˙ = B(t)y. (1.12) B (t) = L−1 (t)A (t)L (t)− L−1 (t) L˙ (t) . (1.13) 10 Định nghĩa 1.11. Phép biến đổi (1.11) được gọi là phép biến đổi Lyapunov nếu: 1. L ∈ C1 [t0,∞). 2. L(t), L−1(t), L˙(t) bị chặn với mọi t ≤ t0. Ma trận L(t) có các tính chất này được gọi là ma trận Lyapunov. Chú ý một số tính chất của phép biến đổi Lyapunov. 1. Các phép biến đổi Lyapunov tạo thành một nhóm. 2. Các phép biến đổi Lyapunov không làm thay đổi số mũ đặc trưng. 3. lim t→∞ 1 t t∫ t0 ReSpA (τ) dτ = lim t→∞ 1 t t∫ t0 ReSpB (τ) dτ , lim t→∞ 1 t t∫ t0 ReSpA (τ) dτ = lim t→∞ 1 t t∫ t0 ReSpB (τ) dτ . Nhận xét 1.1. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dạng x˙ = A(t)x, t ≥ 0, x ∈ Rn. (1.14) Do phép biến đổi Lyapunov L(t) không làm thay đổi số mũ đặc trưng nên chúng ta có thể ứng dụng tính chất này để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (1.14) trong trường hợp sau đây. Giả sử nhờ phép biến đổi Lyapunov hệ (1.14) có thể đưa được về hệ y˙ = By, trong đó B = (bij)m×n là ma trận hằng . (1.15) Như chúng ta đã biết nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λj(B) của hệ (1.15) đều có phần thực âm, tức là Reλj(B) < 0, j = 1, 2, ..., n, khi đó nghiệm tầm thường của (1.15) là ổn định tiệm cận thì từ tính giới nội của L(t) và L−1(t) ta có thể suy ra tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ (1.14). 1.4.3 Một số ví dụ về phương pháp số mũ Ví dụ 1.1. Xét phương trình tiến hóa (xem [3], [5] ). u(t) = T (t− s)x+ ∫ t s T (t− τ)F (τ, u(τ))dτ. (1.16) Ta lấy f(t, x) = F (t)x, 11 trong đó F : R+ → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn thỏa mãn điều kiện∫ +∞ 0 ‖F (t)‖dt <∞, (1.17) thì ta có thể nhận được một hệ động lực tuyến tính u : ∆T × B→ B, trong đó ∆T = {(t, s) : T ≥ t ≥ s ≥ 0}. Hệ động lực này được xác định bởi U(t, s) : x→ u(t). Trong đó u(t) là nghiệm của (1.16). Hệ động lực này được gọi là họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh (xem [3] ) có các tính chất sau đây: a. Với mỗi (t, s) ∈ ∆T , U(t, s) : B→ B là tuyến tính và bị chặn, b. U(t, t) = I, c. U(t, τ) = U(t, s)U(s, τ), ∀(t, s) ∈ ∆T . Để nghiên cứu tính ổn định của họ các toán tử tiến hóa ta có thể áp dụng phương pháp số mũ tổng quát hoặc số mũ Boole (xem [8] ). Tuy nhiên trong trường hợp đơn giản ta có thể sử dụng trực tiếp phương pháp số mũ Lyapunov. Ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cho điều đó. Ví dụ 1.2. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ x˙ = −2x+ y + 1 1 + t2 xy, y˙ = −x− 2y + 1 2 + t2 (x2 + y2). (1.18) Ta thấy ∫ +∞ 0 1 1 + t2 dt < +∞; ∫ +∞ 0 1 2 + t2 dt < +∞,∀t ∈ R+. (1.19) Vì vậy, để xét tính ổn định của hệ (1.18) ta xét hệ thu gọn{ x˙ = −2x+ y, y˙ = −x− 2y. (1.20) Ta có |A − λE| = (2 + λ)2 + 1. Khi đó ma trận A có 2 giá trị riêng là λ1 = −2 + i;λ2 = −2− i. Hệ nghiệm cơ bản là (x1(t), y1(t)) = (e −2tcost,−e−2tsint), (x2(t), y2(t)) = (e −2tsint, e−2tcost). 12 Nghiệm tổng quát của hệ có dạng{ x(t) = C1x1(t) + C2x2(t), y(t) = C1y1(t) + C2y2(t). Do đó { x(t) = C1e −2tcost+ C2e−2tsint, y(t) = −C1e−2tsint+ C2e−2tcost. Nên ta có { x(t) = e−2t(C1cost+ C2sint), y(t) = e−2t(−C1sint+ C2cost). Vì χ [x(t)] = lim t→∞ 1 t ln ∣∣e−2t(C1cost+ C2sint)∣∣ = −2, χ [y(t)] = lim t→∞ 1 t ln ∣∣e−2t(−C1sint+ C2cost)∣∣ = −2, nên max{ χ [x(t)] , χ [y(t)]} = −2. Từ đó ta có thể suy ra |x(t)| ≤M1e−2t, |y(t)| ≤M2e−2t. Nên nghiệm tầm thường (0, 0) của hệ (1.20) ổn định tiệm cận. Do vậy (1.18) cũng ổn định tiệm cận tại nghiệm tầm thường (0, 0). Nhận xét 1.2. Trong trường hợp tổng quát các kỹ thuật được nêu ở trên khi sử dụng trong một số ví dụ có thể không áp dụng được. Chẳng hạn, ta xét tính ổn định tại nghiệm (1, 1) của hệ:{ x˙ = x(1− y), y˙ = y(x− 1). Việc sử dụng phương pháp số mũ Lyapunov để xét tính ổn định của hệ trên có thể cũng thực hiện được nhưng quá trình tính toán sẽ trở nên phức tạp hơn. Để khắc phục được điều này chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp hàm Lyapunov. Nhận xét 1.3. Để sử dụng phương pháp số mũ đặc trưng cho các hệ phương trình phi phân tuyến tính có nhiễu chúng ta có thể sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Sau đây chúng tôi xin nhắc lại kết quả đó của Lyapunov. Cùng với hệ (1.8) ta xét phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu dx dt = A(t)x+ f(t, x), 13 trong đó t ∈ R+, A ∈ C(R+,Mn(R) và f : R+ ×Rn → Rn thỏa mãn điều kiện: ‖f(t, x)‖ ≤ α(t)‖x‖, với α ∈ C(R+,R+) và ∫∞ 0 α(t)dt < +∞. Khi đó trong [4] đã chứng minh kết quả sau đây: a. Nếu tất cả các số mũ đặc trưng χ[x(t)] của hệ tuyến tính (1.8) đều âm thì nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính bị nhiễu đang xét là ổn định tiệm cận. b. Nếu A ∈ Mn(R), (A(t) ≡ A) và Reλj < 0 với mọi j = 1, 2, ..., n thì nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính bị nhiễu đang xét là ổn định tiệm cận. 14 B. Phương pháp hàm Lyapunov 1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn Trong thực tế, việc sử dụng phương pháp số mũ Lyapunov có thể gặp nhiều khó khăn nhất là đối với hệ phi tuyến (thực sự ). Để giải quyết khó khăn này người ta thường dùng phương pháp hàm Lyapunov hay thường gọi là phương pháp trực tiếp. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày lại một số định lý cơ bản về phương pháp hàm Lyapunov thường được sử dụng trong lý thuyết ổn định. 1.5.1 Các hàm xác định dấu Ta xét hàm số: V = V (t, x) ∈ Ctx(Z0), trong đó, Z0 = {a < t <∞, ‖x‖ < h} . Ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có dấu xác định. Định nghĩa 1.12. Hàm vô hướng thực hiện liên tục V (t, x) được gọi là không đổi dấu (có dấu dương hay có dấu âm) trong Z0 nếu: V (t, x) ≥ 0( hay V (t, x) ≤ 0), với (t, x) ∈ Z0. Định nghĩa 1.13. Hàm V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu tồn tại một hàm vô hướng W (x) ∈ C(‖x‖ < h) sao cho V (t, x) ≥ W (x) > 0, với ‖x‖ 6= 0 và V (t, 0) = W (0) = 0. Tương tự, hàm V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z0 nếu tồn tại một hàm vô hướng W (x) ∈ C(‖x‖ < h) sao cho V (t, x) ≤ −W (x) < 0, với ‖x‖ 6= 0 và V (t, 0) = W (0) = 0. Hàm xác định dương hay xác định âm gọi là có dấu xác định về phía W (x), đôi khi có thể lấy W (x) = inf t |V (t, x)| . 15 Định nghĩa 1.14. Ta nói rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x→∞ trong Z0 nếu với t0 > a nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên [t0,∞) khi ‖x‖ → ∞. Tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ (ε) > 0 sao cho: V (t, x) < ε khi ‖x‖ < ε và t ∈ [t0,∞) . (1.21) Nhờ bất đẳng thức (1.21), ta kết luận hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x→∞ sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó: t0 ≤ t <∞, ‖x‖ < h. Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t và sao cho V (0) = 0 thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x→∞. 1.5.2 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định Giả sử X(t, x) ∈ C(0,1)tx (Z), Z = {a < t <∞, ‖x‖ < H} và hệ vi phân: dx dt = G(t, x), (1.22) là hệ rút gọn, tức là G(t, 0) ≡ 0. Rõ ràng hệ (1.22) có nghiệm tầm thường x ≡ 0.Ta đặt: V = V (t, x) ∈ C(1,1)tx (Z0), Z0 = {a < t <∞, ||x| | ≤ h < H} ⊂ Z, và G (t, x) = column [G1(t, x), ..., Gn(t, x)] . Hàm V˙ (t, x) = ∂V ∂t + n∑ j=1 ∂V ∂xj Xj(t, x), được gọi là đạo hàm ( toàn phần) theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.22). Nếu x = x(t) là nghiện của hệ (1.22) thì V˙ (t, x) là đạo hàm toàn phần theo thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là: V˙ (t, x) = d dt V (t, x(t)). Định lý 1.10. (Định lý thứ nhất của Lyapunov). Nếu đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(1,1) (t,x) (Z0), Z0 ⊂ Z, là hàm xác định dương và có đạo hàm theo thời gian V˙ (t, x) theo hệ đó có dấu không đổi âm thì nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0,(a < t < ∞) của hệ đã cho ổn định theo Lyapunov khi t→ +∞. 16 Hệ quả 1.3. Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dx dt = A(t)x, (A(t) ∈ C [t0,∞)), tồn tại hàm xác định dương V (t, x) có đạo hàm dọc theo nghiệm của hệ V˙ (t, x) ≤ 0 thì tất cả các nghiệm x(t) của hệ đó xác định và bị chặn trên nửa trục t ∈ [t0,∞). 1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận Định lý 1.11. Nếu đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(1,1) (t,x) (Z0), Z0 ⊂ Z, là hàm xác định dương và có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm theo thời gian V˙ (t, x) theo hệ là xác định âm. Khi đó, nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t→ +∞. Chú ý 1.4. Định lý thứ nhất và thứ hai của Lyapunov có thể thay thế điều kiện xác định dương của hàm V (t, x) bằng điều kiện xác định âm nhưng khi đó hàm V˙ (t, x) phải là hàm xác định dấu dương. 1.5.4 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định Định lý 1.12. Nếu đối với hệ rút gọn (1.22), tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(1,1) (t,x) (Z0), Z0 ⊂ Z, là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x→ 0 và có đạo hàm theo thời gian V˙ (t, x) theo hệ là xác định dấu. Nếu với t0 > a nào đó trong lân cận bất kỳ ‖x‖ < ∆ ≤ h < H tìm được điểm (t0, x0) mà tại đó dấu của hàm V˙ (t, x) cùng dấu với đạo hàm V (t, x), tức là: V (t0, x0)V˙ (t0, x0) > 0, thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (1.22) là không ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t→∞. 1.6 Các ví dụ về phương pháp hàm Lyapunov Ví dụ 1.3. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ{ x˙ = −x+ y − y3, y˙ = x− 2y + xy2. 17 Hệ này có nghiệm tầm thường là (0, 0), nên (0, 0) là điểm cân bằng của hệ. Ta chọn hàm Lyapunov V (x, y) = x2 + y2, khi đó V (x, y) là hàm xác định dương. Ta có V˙ (x, y) = 2xx˙+ 2yy˙ = 2x(−x+ y − y3) + 2y(x− 2y + xy2) = −2x2 + 2xy − 2yx3 + 2xy − 4y2 + 2xy3 = −2x2 + 4xy − 4y2 = −2(x− y)2 − 2y2. Khi đó V˙ (x, y) < 0, với mọi (x, y) ∈ R2\(0, 0). Nên hệ đã cho ổn định tiệm cận theo Lyapunov (theo định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận ). Ví dụ 1.4. Xét tính ổn định của nghiệm tầm thường đối với hệ:{ x˙ = y + x3, y˙ = −x+ y3. (1.23) Hệ này có nghiệm tầm thường là (0, 0), nên (0, 0) là điểm cân bằng của hệ. Ta chọn hàm Lyapunov V (x, y) = x2 + y2, khi đó V (x, y) là hàm xác định dương. Ta có V˙ (x, y) = 2xx˙+ 2yy˙ = 2x(y + x3) + 2y(−x+ y3) = 2x4 + 2y4. Khi đó V˙ (x, y) > 0, với mọi (x, y) ∈ R2\(0, 0). Vậy hệ đã cho không ổn định theo Lyapunov (theo định lý thứ ba của Lya- punov về sự không ổn định ). Ví dụ 1.5. Xét tính ổn định hệ:{ x˙ = x(1− y), y˙ = y(x− 1). (1.24) 18 Đây là hệ phương trình thú mồi dạng Lotka- Voltrera đơn giản nhất. Hệ này có các điểm cân bằng là (0, 0) và (1, 1). Sau đây ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của hệ tại điểm cân bằng (1, 1). Đặt { u = x− 1, v = y − 1. Khi đó hệ có dạng { u˙ = −uv − v, v˙ = uv + v. Ta xét tính ổn định tại điểm cân bằng (0, 0) của hệ trên. Chọn hàm V (u, v) = u+ v − ln(1 + u)− ln(1 + v) + α. Chứng minh V (u, v) là hàm xác định dương. M0(0, 0) là điểm cực tiểu. V (M0) = α > 0,∀α ∈ R+. Ta có ∂V ∂u = u u+ 1 ; ∂V ∂v = v v + 1 ; ∂V ∂u2 = −1 (u+ 1)2 ; ∂V ∂u∂v = 0; ∂V ∂v2 = −1 (v + 1)2 ; ∂V ∂v∂u = 0; Xét  ∂V ∂u = 0, ∂V ∂v = 0. Khi đó ta có (0, 0) là nghiệm. Chứng minh V˙ (u, v) ≤ 0. V˙ = u˙+ v˙ − 1 1 + u u˙− 1 1 + v v˙ = u u+ 1 u˙+ v v + 1 v˙ = u u+ 1 (−uv − v) + v v + 1 (uv + u) = −uv + vu = 0. Vậy hệ ổn định tại (1, 1) (theo định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định ). 19 Chương 2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất của hệ động lực tổng quát trong không gian mêtric. Để thuận tiện cho việc trình bày chúng tôi sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây: - Không gian mêtric M là một tập tùy ý M 6= ∅ trên đó đựợc trang bị mêtric ρ ( mêtric ρ là mêtric thỏa mãn 3 tính chất (xem [6], [7] ) ). - Thang thời gian đều G được xác định bởi một nhóm con của R hoặc G = {g|g = nτ, τ > 0, n ∈ Z} . - Nửa nhóm G+ là nửa nhóm được xác định bởi G+ = {g|g = nτ, τ > 0, n ∈ N} . - Hình cầu mở S(q, δ) được xác định bởi S(q, δ) = {p|p ∈M, ‖q − p‖ < δ} . Nội dung của chương này gồm hai phần: * Phần đầu tiên trình bày các định nghĩa về hệ động lực trên thang thời gian đều, tập bất biến, tập ω− giới hạn của hệ động lực, chuyển động ổn định theo Lagrange, điểm đứng yên và một số tính chất liên quan. * Phần thứ hai trình bày khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov, tính ổn định của tập V của hệ động lực f(p, t) và một số ví dụ để làm sáng tỏ hơn ứng dụng của số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov dùng để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu. Để thuận tiện cho việc trình bày trong phần thứ hai này chúng tôi chỉ xét hệ động lực trên thang thời gian R ( t ∈ R ). 20 2.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều và một vài khái niệm mở đầu 2.1.1 Định nghĩa hệ động lực trên thang thời gian đều Ta gọi [M,G, f ] là hệ động lực trên thang thời gian đều trong đó: M là không gian mêtric. G là thang thời gian đều. f là một hàm ánh xạ từ không gian tích M ×G vào M , có các tính chất. (I) f(p, e) = p, với e là phần tử đơn vị của G, p là phần tử bất kỳ của M . (II) f(f(p, g1), g2) = f(p, g1.g2), với mọi g1, g2 ∈ G và p ∈M . (III) Với mọi ε > 0 bất kỳ , cho p ∈M , g ∈ G tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi q ∈ S(p, δ) thực hiện bất đẳng thức ρ(f(p, g), f(q, g)) < ε . Giả sử A ⊆M,K ⊆ G. Ta ký hiệu f(A,K) = {f(p, g) : p ∈ A, g ∈ K} ,∑ A = f(A,G), ∑+ A = f(A,G+). Hàm f(p, g) với điểm p cố định gọi là một chuyển động. Tập f(p,G) gọi là quỹ đạo chuyển động của điểm p. 2.1.2 Định nghĩa tập bất biến Tập A ⊆M gọi là tập bất biến nếu f(A, g) = A, với mọi phần tử g ∈ G. Định lý 2.1. Tập bất biến là một tập tạo nên gồm từ hợp của một số các quỹ đạo hoàn toàn và ngược lại, tập hợp các quỹ đạo hoàn toàn lập nên một tập bất biến. Định lý 2.2. Hợp bất kỳ của các tập bất biến là một tập bất biến. Giao bất kỳ của các tập bất biến là một tập bất biến. Phần bù của tập bất biến cũng là tập bất biến. Định lý 2.3. Bao đóng của tập bất biến cũng là tập bất biến. 2.1.3 Tập ω− giới hạn của hệ động lực Định nghĩa 2.1. Điểm q ∈ M gọi là ω− giới hạn của chuyển động f(p, g) nếu với mọi lân cận Uq, với mọi p ∈ G , tồn tại phần tử g∗ ∈ G sao cho g∗ > g và f(p, g∗) ∈ Uq. Tập hợp tất cả các điểm ω− giới hạn của chuyển động f(p, g), ta ký hiệu Ωp. Tương tự ta có định nghĩa điểm α− giới hạn của chuyển động, f(p, g), q ∈ M gọi là α− giới hạn của chuyển động f(p, g), nếu với mọi lân cận Uq, với mọi g ∈ G, tồn tại phần tử g∗ ∈ G sao cho g∗ < g và f(p, g∗) ∈ Uq. Tập hợp tất cả các điểm α− giới hạn của chuyển động f(p, g), ta ký hiệu là Ap. 21 Định lý 2.4. Tập Ωp là những tập đóng và bất biến. Định lý 2.5. Nếu q ∈ f(p,G) thì Ωp = Ωq. Định lý 2.6. Nếu q ∈∑+p thì Ωq ⊆ Ωp. 2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange Ta đã biết ký hiệu ∑ p = f(p,G), ∑+ p = f(p,G +) . Định nghĩa 2.2. Chuyển động f(p, g) là ổn định dương ( ổn định ) theo nghĩa Lagrange nếu ∑+ p ( ∑ p) là tập compact. Định lý 2.7. Nếu G là một nhóm có hướng và chuyển động f(p, g) là ổn định theo Lagrange theo hướng dương thì Ω 6= ∅. Định lý 2.8. Nếu G là một nhóm có hướng và chuyển động f(p, g) là ổn định theo Lagrange theo hướng dương thì với mọi ε > 0 và với mọi g ∈ G luôn luôn tồn tại g∗ > g sao cho ρ(f(p, g∗),Ωp) < ε. 2.1.5 Điểm đứng yên Định nghĩa 2.3. Điểm p hay quỹ đạo f(p, g) gọi là điểm đứng yên nếu với mọi g ∈ G ta có f(p, g) = p. Định lý 2.9. Tập hợp tất cả các điểm đứng yên là tập đóng. Định lý 2.10. Không một quỹ đạo nào khác điểm đứng yên lại có thể rơi vào điểm đứng yên tại một phần tử g ∈ G. Định lý 2.11. Nếu đối với bất kỳ số δ > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại q ∈ S(p, δ) sao cho f(q, g) ⊆ S(p, δ) thì p là điểm đứng yên. Trên đây là một vài khái niệm mở đầu cần dùng cho sau này và một số kết quả ban đầu. 2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov. Trong các công trình nghiên cứu (xem [11] ) của nhà toán học Nga IU.C.Badanov, phương pháp số đặc trưng tổng quát đã được nghiên cứu một cách có hệ thống và các kết quả nhận được đã áp dụng cho việc nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng của các phương trình vi phân. Trong phần tiếp theo của luận văn chúng tôi sẽ trình bày lại một số kết quả đã biết và tiếp tục phát triển phương pháp số đăc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định của các tập bất biến của một hệ động lực tổng quát trong không gian mêtric. 22 2.2.1 Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 2.4. Hệ động lực là một ánh xạ thuộc lớp C1. Φ : R× V → V, trong đó V là tập mở trong M . Ta thường ký hiệu Φ (t, x) = Φtx, thì Φt là nhóm biến đổi một tham số, tức là: a.Φ|t=0 : V → V là ánh xạ đồng nhất. b. ΦtΦs = Φt+s,∀t, s ∈ R. Ví dụ 2.1. Giả sử B là không gian Banach, R+ là tập số thực dương và ánh xạ φ : R+ × B→ B được xác định bởi φtx = φ(t, x) = T (t)x,∀x ∈ B, t ∈ R+ trong đó (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. Khi đó (B,R+, φ) là một hệ động lực. Thật vậy, ta có φ0x = φ(0, x) = T (0)x = x, ∀x ∈ B, t ∈ R+. =⇒ φ0x là ánh xạ đồng nhất. ∀t, s ∈ R+, x ∈ B ta có φtφsx = φt(φsx) = φ(T (s)x) = T (t)T (s)x = T (t+ s)x = φt+sx. Định nghĩa 2.5. Giả sử x0 ∈ V là một điểm cố định cho trước.Ta xét ánh xạ φ : M → V xác định bởi biểu thức φ (t) = φtx0, t ∈M. Khi đó ánh xạ φ được gọi là chuyển động (của x0 ). Định nghĩa 2.6. Ảnh của ánh xạ φ : M → V trên V được gọi là đường cong pha. Bản thân V được gọi là không gian pha mở rộng. Giả sử M là một không gian mêtric với khoảng cách ρ, còn f(p, t) là một hệ động lực xác định trên M . Giả sử V ⊂M là một tập bất kỳ. Ta ký hiệu: S (V, ε) = {p ∈M : ρ (p, V ) < ε} . S [V, ε] = {p ∈M : ρ (p, V ) ≤ ε} . S0 [V, ε] = {p ∈M : ρ (p, V ) = ε} . Định nghĩa 2.7. Giả sử V ⊂M , hàm số v xác định, liên tục trong lân cận của S(V, ε) được gọi là v-hàm Lyapunov của tập V , nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a.v (p) = 0⇔ p ∈ V. b.v (p)→ +∞ khi ρ (V, p)→ ε. c.v (p) > 0 với p ∈ S (V, ε) \V. 23 Chúng ta sẽ xét hàm d xác định trên J+ × J+ nhận tất cả các giá trị thực, tức là d : J+ × J+ → J (J là trục thực ) đồng thời với tất cả các giá trị γ, γ1, γ2, γ3 (0 0 thì 1.d (γ, γ) = 0. 2.0 < d (γ1, γ2) = −d (γ2, γ1) . 3.d (γ2, γ) > d (γ1, γ) . 4.d (γ1, γ2) + d (γ2, γ3) ≥ d (γ1, γ3) . Từ 2) và 4) ta suy ra rằng: |d (γ2, γ)− d (γ1, γ)| ≤ 2 |d (γ2, γ1)| . Đồng thời chúng ta nhận thấy rằng nếu {γn} là dãy số dương thỏa mãn lim n→∞ d (γn, γ) = −∞ thì {γn} → 0 và nếu limn→∞ d (γn, γ) = +∞ thì {γn} → +∞. Sau này với các hàm d có các tính chất 1)-4) chúng ta sẽ gọi là d-hàm. Giả sử V là một tập bất biến trong M , v là v -hàm của của tập V còn d là d - hàm. Đối với mỗi điểm p ∈ S (V, ε) \V , mà đối với nó có thể chỉ một nửa quỹ đạo của chuyển động f(p, t) được chứa trong miền giá trị của v - hàm, J ⊂ M , chúng ta xác định số đặc trưng vd như sau: vdp =  lim t→+∞ 1 t d [v (f (p, t)) , v(p)] nếu f ( p, J+ ) ⊂ S (V, ε) và f (p, J−) 6⊂ S (V, ε) , lim t→+∞ 1 t d [v (f (p, t)) , v(p)] nếu f ( p, J− ) ⊂ S (V, ε) và f (p, J+) 6⊂ S (V, ε) , max { lim t→+∞ 1 t d [v (f (p, t)) , v(p)] , lim t→+∞ 1 t d [v (f (p, t)) , v(p)] } nếu f (p, J) ⊂ S (V, ε) . ở đây, S(V, ε) là miền xác định của hàm v. Sử dụng định nghĩa của số đặc trưng tổng quát và bất đẳng thức (4) của phần d - hàm chúng ta có thể chứng minh được rằng: * Nếu f ( p, J+ ) ⊂ S (V, ε) , f (p, J−) 6⊂ S (V, ε) thì ∀q ∈ f (p, J+) ta có vdp = vdq. * Nếu f ( p, J− ) ⊂ S (V, ε) , f (p, J+) 6⊂ S (V, ε) thì ∀q ∈ f (p, J−) ta có vdp = vdq. * Nếu f(p, J) ⊂ S (V, ε) thì ∀q ∈ f (p, J) ta có vdp = vdq. Việc chứng minh tính chất này được tiến hành hoàn toàn tương tự như trong công trình [12]. Nhận xét 2.1. Số đặc trưng tổng quát hoặc là số hữu hạn hoặc là số −∞ hay +∞. Nhờ số đặc trưng tổng quát này chúng ta có thể chứng minh một số dấu hiệu về tính ổn định của tập V của hệ động lực f(p, t). 2.2.2 Tính ổn định của tập V của hệ động lực f(p, t) Định nghĩa 2.8. . 24 * Tập V ⊂M đ