MỤC LỤC .1
MỞ ĐẦU.3
CHưƠNG 1.
TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH FALICOV- KIMBALL, ĐIỆN MÔI MOTTANDERSON VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI- ĐIỆN MÔI.6
1.1. Mô hình Falicov- Kimball.6
1.2. Phân loại kim loại và điện môi.8
1.2.1. Định nghĩa.8
1.2.2. Phân loại điện môi .10
1.2.3.Chuyển pha kim loại- điện môi Mott .11
1.2.4. Định xứ Anderson .13
CHưƠNG 2.
HÀM GREEN VÀ LÝ THUYẾT TRưỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG (DMFT)
VÀ DMFT TUYẾN TÍNH HÓA 17
2.1. Phương pháp hàm Green .17
2.1.1 Định nghĩa hàm Green trễ G R , hàm Green sớm G A .17
2.1.2. Một số dạng khác của các hàm Green 19
2.1.3. Ví dụ hàm Green cho các điện tử không tương tác .22
2.1.4. Tính chất cơ bản của hàm Green .24
2.2. Lý thuyết trường trung bình động .25
55 trang |
Chia sẻ: honganh20 | Ngày: 05/03/2022 | Lượt xem: 354 | Lượt tải: 3
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Chuyển pha kim loại - Điện môi ở mô hình anderson - falicov - kimball lấp đầy một nửa, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
nh công trên nhiều phƣơng
diện, năm 1937 de Boer và Verway đã cho thấy nhiều oxit kim loại chuyển
tiếp dù có lớp d bị lấp đầy một phần nhƣng lại là vật dẫn kém và thƣờng là
chất điện môi. Ví dụ điển hình là NiO. Liên quan đến vấn đề của tƣơng quan
điện tử: tƣơng tác đẩy Coulomb giữa các điện tử có thể là nguồn gốc hình
thành nên điện môi. Đây có thể xem là điểm khởi đầu của một lĩnh vực
nghiên cứu quan trọng trong vật lí chất đậm đặc: hệ điện tử tƣơng quan mạnh.
Từ đó tới nay nhiều nỗ lực và tiến bộ đã đƣợc thực hiện, cả lí thuyết lẫn
thực nghiệm, để hiểu rõ vì sao vật liệu với các vùng lấp đầy một phần có thể
là chất điện môi và chất điện môi có thể trở thành kim loại khi các thông số
điều khiển đƣợc thay đổi nhƣ thế nào. Trên phƣơng diện lí thuyết, Mott có
những bƣớc đi đầu tiên cho thấy tƣơng quan điện tử- điện tử có thể giải thích
thế nào về trạng thái điện môi, và chúng ta gọi nó là điện môi Mott. Ông đã
xem xét một mạng tinh thể với quỹ đạo đơn điện tử trên mỗi nút mạng. Khi
không có tƣơng tác điện tử - điện tử thì một vùng năng lƣợng đƣợc hình thành
từ sự chồng lấn của các quỹ đạo của nguyên tử trong hệ, trong đó vùng sẽ
đƣợc lấp đầy khi trên mỗi nút có hai điện tử với spin đối nhau. Tuy nhiên, khi
có hai điện tử ở trên cùng một nút thì chúng sẽ đẩy nhau bằng tƣơng tác
Coulomb, dẫn tới vùng này sẽ đƣợc tách làm đôi: phân vùng dƣới đƣợc hình
thành từ các điện tủ nhảy vào nút trống và phân vùng trên từ các điện tử nhảy
vào nút đã có sẵn một điện tử. Nhƣ vậy, với hệ lấp đầy một nửa, tức là hệ có
trung bình một điện tử trên một nút mạng, thì vùng dƣới đƣợc lấp đầy hoàn
toàn và hệ là điện môi. Ngoài ra Mott cũng cho rằng sự tồn tại trạng thái điện
môi không phụ thuộc vào trật tự từ trong hệ, trong đó Slater có quan điểm
ngƣợc lại khi giải thích pha điện môi xuất phát từ trật tự phản sắt từ.
13
Hai trong số các mô hình chủ yếu mô tả hệ điện tử tƣơng quan là mô
hình Hubbard thông thƣờng và mô hình Falicov- Kimball. Mô hình Hubbard
mô tả các điện tử linh động trên mạng với thông số nhảy nút t và tƣơng tác
đẩy Coulomb U của hai điện tử trên cùng một nút mạng. Tuy nhiên đây là
một mô hình đơn giản nhƣng nó chỉ đƣợc giải chính xác trong trƣờng hợp một
chiều hoặc hệ có số chiều bằng vô cùng. Ở trƣờng hợp số chiều vô hạn, lí
thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) chỉ ra rằng trạng thái cơ bản của hệ
lấp đầy một nửa, nếu không có hiện tƣợng vấp, là điện môi phản sắt từ với
mọi giá trị của U. Trong trƣờng hợp bị vấp, hệ nằm ở trạng thái kim loại bị
phá vỡ và hệ chuyển sang trạng thái điện môi Mott với một miền đồng tồn tại
giữa hai pha kim loại và điện môi.
Một mô hình quan trọng khác của hệ tƣơng quan mạnh là mô hình
Falicov- Kimball (FKM), đƣợc xem nhƣ mô hình Hubbard giản lƣợc khi các
hạt với một hƣớng spin nào đó có tham số nhảy nút bằng zero, tức là chúng
không chuyển động. Ở mô hình này đối xứng SU(2) của spin bị phá vỡ và lí
thuyết trƣờng trung bình động chỉ ra tại lấp đầy một nửa hệ nằm ở pha điện
môi phản sắt từ, và hiện tƣợng tách pha xảy ra tại hệ lấp đầy khác một nửa khi
tƣơng tác Coulomb U nhỏ.
Tƣơng tự ở mô hình Hubbard, chuyển pha kim loại- điện môi tại hệ lấp
đầy một nửa cũng xảy ra ở FKM khi U thay đổi. Điều khác biệt cơ bản giữa
hai mô hình là trong khi pha kim loại ở mô hình Hubbard đƣợc mô tả bởi
chất lỏng Fermi thì pha kim loại ở FKM là chất lỏng không Fermi.
1.2.4. Định xứ Anderson [8]
Năm 1958 Anderson công bố bài báo kinh điển (sau này đƣợc trao giải
thƣởng Nobel), trong đó ông chứng minh rằng, dƣới tác dụng của thế ngẫu
nhiên dáng điệu của hàm sóng electron có thể thay đổi một cách cơ bản, trở
thành định xứ, nếu độ ngẫu nhiên đủ mạnh [9].
Anderson xét một mô hình liên kết mạnh mô tả bằng Hamiltonian:
14
† †
ij
i i i i j
i
H a a V a a hc , (1.2.6)
trong đó ij ngụ ý chỉ tính đến tƣơng quan giữa các nút lân cận gần nhất; yếu
tố chéo i là ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều:
1
W nÕu
2( )
0 nÕu .
W
p
W
Bài toán này có hai tham số: V đặc trƣng cho mức độ phủ nhau của hàm sóng
electron ở các nút lân cận gần nhất (khả năng lan truyền) và W là số đo mức
độ mất trật tự của hệ. Anderson chứng minh rằng, với mỗi loại mạng, tồn tại
một giá trị ngƣỡng (W/V)c mà nếu (W/V)<<(W/V)c thì trạng thái electron
trong hệ có thể lan truyền ra xa (trạng thái lan truyền – extended states), còn
nếu (W/V)>>(W/V)c thì trạng thái electron bị định xứ (localized states):
/exp)( 0rrr , (1.2.7)
trong đó là độ dài định xứ (localization length), kích thƣớc đặc trƣng của
trạng thái.
Anderson nhận đƣợc kết quả trên bằng sử dụng lý thuyết nhiễu loạn.
Sau này một lƣợng lớn các công trình tính toán số của nhiều nhà khoa học
khác đã khẳng định kết luận của Anderson, đồng thời cho giá trị cụ thể của
(W/V)c đối với các loại mạng khác nhau, chẳng hạn với mạng lập phƣơng đơn
giản 15/ cVW với hypercube bốn chiều 24/ cVW
Mott là ngƣời đầu tiên đã mang lại cho mô hình Anderson một nội
dung vật lý cụ thể, làm cho nó trở nên “đo đƣợc”. Theo Mott, mất trật tự
(thăng giáng) dẫn đến xuất hiện các trạng thái trong vùng cấm. Các trạng thái
ở đuôi vùng (nơi mật độ trạng thái nhỏ) bị định xứ. Các trạng thái định xứ
phân tách với các trạng thái truyền qua bằng một ranh giới, gọi là ngƣỡng linh
động (mobility edge), nhƣ mô tả bằng Ec (trên hình 1.1)
15
Hình 1.1: Cấu trúc vùng của vật liệu không trật tự; Ec là ngưỡng linh động.
Nếu mức Fermi fE nằm trong miền các trạng thái truyền qua (Hình 1.1)
thì độ dẫn điện ở nhiệt độ không 0T của hệ có giá trị khác không. Còn,
nếu fE nằm trong vùng các trạng thái định xứ thì 00 T . Bằng cách nhƣ
vậy, Mott đã gắn định xứ với 0T (là đại lƣợng đo đƣợc): 0T là hữu
hạn nếu (W/V)> (W/V)c .
Hơn nữa, Mott còn đề xuất một cơ chế chuyển pha kim loại – điện môi.
Trong thực nghiệm, ngƣời ta có thể dịch chuyển vị trí mức Fermi fE bằng
thay đổi mật độ điện tử. Đồng thời, vị trí các ngƣỡng linh động cũng có thể xê
dịch bằng thay đổi nồng độ tạp. Thành ra, bằng thay đổi nồng độ tạp hoặc
thay đổi mật độ electron ta có thể thay đổi vị trí tƣơng đối giữa các mức
Fermi fE và ngƣỡng linh động, chuyển hệ từ trạng thái kim loại, ứng với mức
Fermi nằm trong vùng truyền qua và 00 T sang trạng thái điện môi,
ứng với mức Fermi nằm trong vùng định xứ và 00 T . Loại chuyển pha
kim loại – điện môi nhƣ vậy đã quan sát đƣợc chẳng hạn ở các bán dẫn pha
tạp (doped semiconductors) (Hình 1.2 bên dƣới)
16
Hình 1.2: Minh họa: a) Sự phụ thuộc của độ dẫn vào nồng độ hạt tải ở bán
dẫn pha tạp Si:P [10]. b) Dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất
trật tự.
(a)
T > 0
T = 0
W Wc
(b)
17
CHƢƠNG 2. HÀM GREEN VÀ LÝ THUYẾT TRƢỜNG TRUNG
BÌNH ĐỘNG (DMFT) VÀ DMFT TUYẾN TÍNH HÓA
2.1. PHƢƠNG PHÁP HÀM GREEN [11]
Một trong những phƣơng pháp hữu hiệu để nghiên cứu vật lý hệ nhiều
hạt là sử dụng hàm Green vật lý để giải các phƣơng trình vi phân. Nó đƣợc
phát triển từ thế kỉ 19 nhằm tiếp cận các bài toán trong âm học, tĩnh học, thủy
động lực học. Vào những năm 1950 và 1960 các hàm Green lƣợng tử đƣợc
Feynman và Schwinger đề xuất nhƣ là các hàm truyền trong lý thuyết trƣờng
lƣợng tử. Ngay sau đó chúng đƣợc mở rộng cho vật lí thống kê và hệ nhiều
hạt. Những hàm truyền này chính là các hàm tƣơng quan liên kết giữa các vị
trí và các thời điểm khác nhau. Hàm Green vật lý có thể là hàm Green một hạt
hay hàm Green nhiều hạt. Khi hàm Green đƣợc xác định thì các tính chất vật
lý của hệ tƣơng ứng với các tính chất một hạt hay nhiều hạt cũng đƣợc xác
định theo. Trong phần này sẽ đƣa ra các định nghĩa về hàm Green trong vật lý
lƣợng tử đƣợc Zubarev đƣa ra vào năm 1960 để giải gần đúng các bài toán
trong vấn đề tƣơng quan mạnh.
Hàm Green hai thời gian thông thƣờng ở ba dạng: Hàm Green trễ, hàm
Green sớm và hàm Green nhân. Trong đó hàm Green trễ và hàm Green sớm
hay đƣợc áp dụng trong nghiên cứu các hệ vật lý cụ thể.
2.1.1. Định nghĩa hàm Green trễ G ,R hàm Green sớm G A
Hàm Green trễ đƣợc định nghĩa là:
†( , ; ', ') ( ') ( , ), ( ', ')RG x t x t i t t x t x t
. (2.1)
Các kí hiệu trên là đối với các hạt boson, khi , ,A B A B
là giao hoán tử.
Các kí hiệu dƣới là cho fermion, khi , ,A B A B
là phản giao hoán tử.
Hơn nữa, ( , )x r , vì vậy mà † †( ) ( )x r sinh ra một hạt ở vị trí r với
một hình chiếu spin (nếu hạt có spin).
Hàm Green sớm đƣợc xác định nhƣ sau:
18
†( , ; ', ') ( ' ) ( , ), ( ', ')AG x t x t i t t x t x t
. (2.2)
Chú ý rằng: ( , ; ', ') 0RG x t x t chỉ khi t>t’ và ( , ; ', ') 0AG x t x t chỉ khi t<t’.
Ngoài ra hai dạng khác của hàm Green, đƣợc gọi là “G- lớn hơn” và “G- nhỏ
hơn” cũng đƣợc định nghĩa là:
†( , ; ', ') ( , ) ( ', ')G x t x t i x t x t . (2.3)
†( , ; ', ') ( ) ( ', ') ( , )G x t x t i x t x t . (2.4)
Trong kí hiệu G< trên là cho fermion và dƣới là cho boson. Các hàm Green trễ
và hàm Green sớm sau đó có thể viết dƣới dạng:
( , ; ', ') ( ') ( , ; ', ') ( , ; ', ')RG x t x t t t G x t x t G x t x t
. (2.5)
( , ; ', ') ( ') ( , ; ', ') ( , ; ', ')AG x t x t t t G x t x t G x t x t
. (2.6)
Sau đây chúng ta sẽ làm rõ kí hiệu ..... và sự phụ thuộc thời gian ở
các công thức trên. Chúng ta sẽ xem xét một hệ vĩ mô ở trạng thái cân bằng
nhiệt động lực học tại nhiệt độ T (có thể bằng 0 hoặc khác 0). Kí hiệu .....
biểu diễn trung bình nhiệt động và trung bình lƣợng tử ở hệ này. Nói chung,
có hai kiểu tập hợp có thể mô tả trong hệ là: tập chính tắc và tập chính tắc lớn.
Trong tập chính tắc số hạt N trong hệ là ấn định, và hệ có thể trao đổi
năng lƣợng với nguồn. Năng lƣợng trung bình của hệ đƣợc xác định bởi nhiệt
độ T. Trung bình thống kê lƣợng tử của một toán tử tùy ý A trong tập này
đƣợc đƣa ra bởi:
1
nE
n
A n A n e
Z
,
(2.7)
19
ở đây n là trạng thái riêng của hệ mô tả bằng Hamiltonian H với giá trị riêng
En,
1
Bk T
và nE
n
Z e
là hàm phân bố. Chúng ta có thể viết giá trị kỳ
vọng trong một cơ sở độc lập bằng cách xác định ma trận mật độ.
1 He
Z
(2.8)
Và HZ Tre (2.9)
Với định nghĩa này, chúng ta có thể viết:
( )A Tr A . (2.10)
Trong tập chính tắc lớn hệ không có số hạt ấn định. Thay vào đó, hệ hạt có
thể trao đổi (ngoài năng lƣợng) với nguồn. Nhƣ vậy chúng ta cần một tham số
khác (ngoài nhiệt độ T), cụ thể là thế hóa học , xác định số hạt trung bình
trong hệ, ma trận mật độ của tập này đƣợc xác định bởi:
( )1 H Ne
Z
.
(2.11)
( )H NZ Tre . (2.12)
Trong đó N là toán tử số hạt. Với những định nghĩa của và Z nhƣ trên, ta
lại có:
HZ Tre . (2.13)
Đánh giá thực tế vết này là thuận tiện khi sử dụng cơ sở bao gồm các trạng
thái riêng của toán tử H- N . Lƣu ý rằng tổng số hạt trong một trạng thái
riêng này là xác định (khi H bảo toàn tổng số hạt), nhƣng có thể là một số
không âm tùy ý.
2.1.2. Một số dạng khác của các hàm Green
20
Các hàm Green đƣợc định nghĩa cho đến nay đƣợc gọi là hàm Green
không - thời gian, vì chúng liên quan đến việc sinh và hủy của các hạt ở
những vị trí xác định trong không gian và thời gian. Chúng ta cũng có thể
định nghĩa các hàm Green tƣơng tự trong các cơ sở khác với không gian vị trí
(chính xác hơn, cơ sở không gian spin khi các hạt có spin). Ví dụ, trong nhiều
vấn đề, đặc biệt là các bài toán với bất biến tịnh tiến trong không gian, ngƣời
ta thƣờng sử dụng hàm Green liên quan đến việc sinh/ hủy của các hạt trong
một trạng thái xung lƣợng nhất định đặc trƣng bởi xung lƣợng k . Tùy thuộc
vào vấn đề cần quan tâm mà hàm Green liên quan đến việc sinh/ hủy của các
hạt trong các trạng thái đơn hạt khác cũng có thể hữu ích. Sau đây là việc biến
đổi hàm Green sang cơ sở khác (từ hàm Green không –thời gian đã biết).
Xét một cơ sở v ( ví dụ: , )v k . Chúng ta có thể viết:
* *( )v
v v v
x v v x x v v x v . (2.14)
Trong đó ( )v x x v là hàm sóng đơn hạt ở trạng thái v . Viết
†( ) 0x x và † 0vv c (ở đây 0 là trạng thái “chân không” không chứa
các hạt nào), sau đó chúng ta có mối quan hệ sau đây giữa các toán tử trong
cơ sở x và cơ sở v:
† * †( ) ( )v v
v
x x c . (2.15)
Lấy liên hợp Hermitian biểu thức này ta có mối quan hệ giữa các toán tử hủy
tƣơng ứng:
( ) ( )v n
v
x x c . (2.16)
Ví dụ khi ,v k thì:
, '
† † * † * † . †
, ' , , ,
, '
( )
1
( ) ( ) ( , ) ( )
k
ik r
k kk k k
k k k
r
x r r c r c e c
. (2.17)
21
Và do đó ta cũng có:
.
, ,
1
( ) ( ) ik r
k k k
k k
r r c e c
. (2.18)
Để đi đến biểu thức cuối cùng trong (2.17) và (2.18), chúng ta đã xét hệ hạt
trong một khối lập phƣơng 3D có thể tích với điều kiện biên tuần hoàn, vì
vậy
.
1
( ) ik rr e
(2.19)
Sau đây chúng ta sẽ xét hàm Green đối với các hệ bất biến tịnh tiến trong
không gian k . Trong một hệ mà bất biến tịnh tiến trong không gian, các hàm
Green không – thời gian không thể phụ thuộc vào r và 'r một cách riêng
biệt, mà chỉ phụ thuộc vào hiệu 'r r . Trong các hệ này một cách tự nhiên
khi xét hàm Green trong không gian k ( , , ; ', ', ')G k t k t , vì nó trở nên chéo
theo chỉ số k . Chúng ta có:
' '
, '
1
( , ; ', ') ( , , ; ', ', ') ( , , ; ', ', ')R ikr ik r R
k k
G x t x t G r t r t e e G k t k t
= ( ') ( ')
, '
1
( , , ; ', ', ')ik r r i k k r R
k k
e e G k t k t
. (2.20)
Khi vế trái chỉ phụ thuộc vào 'r r , sự phụ thuộc vào 'r ở vế phải cần biến
mất, có nghĩa là hàm Green trong không gian k là khác không chỉ khi 'k k
tức là:
, '
( , , ; ', ', ') ( ; , ; ', ')R R
k k
G k t k t G k t t . Nhƣ thế chúng ta có ngay:
( ')
1
( ', , ; ', ') ( ; , ; ', ')R ik r r R
k
G r r t t e G k t t
. (2.21)
Trong đó:
†
, , '
( ; , ; ', ') ( ') ( ), ( ')R
k k
G k t t i t t c t c t
(2.22)
22
Nếu Hamiltonian không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, tức là
Hamiltonian là bất biến tịnh tiến theo thời gian, các hàm Green sẽ không phụ
thuộc vào t và t’ một cách riêng biệt, mà chỉ phụ thuộc vào hiệu của t-t’. Khi
đó thực hiện biến đổi Fourier của hàm Green ở biến thời gian sẽ rất thuận lợi.
Biến đổi Fourier và nghịch đảo của nó đƣợc xác định là:
1
( ) ( )
2
i tG t d e G
. (2.23)
( ) ( )i tG dte G t
. (2.24)
( ở đây chúng ta đã bỏ tất cả các biến số khác với các biến thời gian/ tần
số trong kí hiệu)
2.1.3. Ví dụ: hàm Green cho các điện tử không tƣơng tác
Ta tính hàm Green trong không gian k cho hệ điện tử không tƣơng tác.
Trong trƣờng hợp này, Hamiltonian đƣợc xác định bởi:
†
,,
,
k kk
k
H c c
, (2.25)
ở đây:
k k
và là thế hóa học. Vì H là chéo theo k và , các hàm
Green cũng sẽ đƣợc chéo theo k và . Chúng ta sẽ nghiên cứu hàm Green
trễ.
†0 , ,( , ; ') ( ') ( ), ( )R k kG k t t i t t c t c t , (2.26)
Chỉ số 0 trên hàm Green đề cập đến bản chất không tƣơng tác của
Hamiltonian.
Để tính toán hàm Green, chúng ta cần phải làm việc với toán tử fermion phụ
thuộc thời gian. Bởi vì
( ) iHt iHt
k k
c t e c e
(2.27)
23
Ta có:
,
, ( ) , ( )
k k
iHt iHtk
k k k k
C
dc
i H C t ie H c e i c t
dt
(2.28)
Lấy tích phân phƣơng trình vi phân này cho:
( ) k
i t
k k
c t e c
(2.29)
†( ) k
i t
k k
c t e c
(2.30)
Chúng ta thấy ngay sự phụ thuộc thời gian của các toán tử là rất đơn giản đối
với các điện tử không tƣơng tác. Bây giờ chúng ta nhận đƣợc hàm Green lớn
hơn.
' †
0
( ') ( ')
( , , ')
(1 ) (1 ( )),
k k
k k
i t i t
k k
i t t i t t
Fk k
G k t t ie e c c
ie n ie n
(2.31)
trong đó:
1
( )
1
Fn
e
(2.32)
là hàm phân bố Fermi- Dirac. Ở nhiệt độ bằng 0 trở thành ( ) ( )Fn do
đó một trạng thái k bị chiếm nếu
k
và trống nếu
k
. Việc tính toán
hàm Green nhỏ hơn hoàn toàn tƣơng tự :
' ( ')† †
0 ( , , ') ( ') ( ) ( ).
k k k
i t i t i t t
Fk k kk k
G k t t i c t c t ie e c c e n
(2.33)
Hàm Green trễ có thể đƣợc tìm thấy từ (2.5) cho ta biểu thức sau:
( ')
0 ( , , ') ( ')
k
i t tRG k t t i t t e
(2.34)
Thực hiện biến đổi Fourier của hàm ta thu đƣợc:
( )
0 ( , , ) ( )
k k
i t i tR i tG k i dte t e i dte
(2.35)
24
Để làm cho các tích phân hội tụ tại các giới hạn trên, chúng ta cho
i ở đó †0 là một vô cùng bé. Điều này dẫn tới:
0
1
( , , )R
k
G k
i
. (2.36)
Nhƣ vậy hàm Green này đƣợc coi là một hàm của với k ấn định, có
một cực đại
k
i , tức là tại năng lƣợng kích thích
k
của hệ, ngoại trừ
cực đƣợc dịch chuyển vô cùng nhỏ ra khỏi trục thực ở mặt phẳng phức và
nằm ở nửa mặt phẳng dƣới. Do đó, biến đổi Fourier của hàm Green trễ có các
thuộc tính sau, nó giải tích ở nửa mặt phẳng trên, và vị trí của các cực của nó(
tất cả trong nửa mặt phẳng dƣới) cho ta thông tin về các năng lƣợng kích
thích của hệ.
2.1.4. Tính chất cơ bản của hàm Green
Xét hàm Green của hệ Hamiltonian H có dạng:
1
( )G z
z H
.
Nếu toán tử H có phổ gián đoạn thì:
1
( ) n n
nn
G z
z E
.
Hay trong r biểu diễn thì
*( ) ( ')
( , '; ) n n
nn
r r
G r r z
z E
.
Vì trị riêng của H (là En trong tổng và E trong tích phân) luôn là thực,
do đó hàm Green G(z) giải tích khắp nơi trên mặt phẳng phức trừ những điểm
z trùng với trị riêng của H trên trục thực.
Nếu z trùng với trị riêng gián đoạn En của H thì tại đó hàm Green có
cực điểm đơn. Nhƣ vậy ta có thể xác định phổ trị riêng gián đoạn của H (các
mức năng lƣợng gián đoạn) bằng cách tìm các cực của hàm Green tƣơng ứng.
Đây là một kết luận quan trọng khi ứng dụng hàm Green vào vật lí chất rắn.
25
Nếu z trùng với trị riêng E của H thì hàm Green G(z) không xác định.
Tuy nhiên tại các điểm lân cận z E i thì hàm Green luôn giải tích với
mọi 0 dù nhỏ. Khi đó ta có hai hàm Green giới hạn:
( )
0
( , '; ) lim ( , '; )R AG r r E G r r E i
Các hàm Green ( )( , '; )R AG r r E có quan hệ trực tiếp với mật độ trạng thái, là
đại lƣợng rất quan trọng trong vật lí chất rắn. Sử dụng đồng nhất thức ta đƣợc:
0
lim
y
1 1
( ) ( )P i x
x iy x
trong đó P là kí hiệu trị chính, ta có thể viết lại yếu tố chéo của G dƣới dạng:
( )( , '; )R AG r r E
* *
*
0
( ) ( ) ( ) ( )
lim ( ( ) ( ) ( )n n n n n n n
n nn n n
r r r r
P i E E r r
E E i E E
Sau khi tích phân theo r ta đƣợc:
( )
1
( ) ( )R A n
nn n
TrG E P i E E
E E
Theo định nghĩa, mật độ trang thái: ( ) ( )nnE E E nên so sánh với
phƣơng trình trên ta đƣợc:
( )1( ) Im ( )R AE TrG E
(2.37)
2.2. LÝ THUYẾT TRƢỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG
Lí thuyết trƣờng trung bình động DMFT (Dynamical Mean Field
Theory) đƣợc bắt đầu phát triển vào cuối những năm 1980 tới đầu những năm
1990 bởi các nhà vật lý W. Metzner và D. Vollhardt [12] và Miiller-
Hartmann [13]. Các bƣớc phát triển tiếp theo là của A. Georges và G.
Kotliar[14] và Jarrel [15]. Cho đến sau một phần tƣ thế kỉ phát triển, lí thuyết
đã đƣợc hoàn chỉnh và cho phép tính toán trên các vật liệu thực tế.
26
Hình 2.1. Lý thuyết trường trung bình động DMFT. Chất rắn được thay thế
bằng một nguyên tử trao đổi với các điện tử trong một môi trường tự hợp.
Thăng giáng lượng tử được tính đến đầy đủ, nhưng thăng giáng trong không
gian đã bị bỏ qua.
DMFT bắt nguồn cùng ý tƣởng với các lí thuyết trƣờng trung bình
trƣớc đây, là thay vì giải bài toán tổng quát cho cả hệ nhiều hạt, ta quy chúng
về bài toán một hạt tƣơng tác với các phần còn lại đƣợc xem nhƣ là một
trƣờng trung bình (Hình 2.1). Thông thƣờng thì trong các phƣơng pháp
trƣờng trung bình trƣớc đây, ví dụ nhƣ trƣờng trung bình Weiss, hay trƣờng
trung bình Hartree- Fock thì vấn đề nhiều hạt tƣơng tác ban đầu đƣợc đƣa về
bài toán hiệu dụng một hạt bằng phƣơng pháp lấy trung bình các tham số
trong hệ, có nghĩa là bỏ qua tất cả các thăng giáng lƣợng tử. Chính vì vậy
những phƣơng pháp này chỉ cho kết quả gần đúng trong giới hạn tƣơng tác
trong hệ là yếu, có nghĩa là những thăng giáng lƣợng tử là nhỏ và hoàn toàn
có thể bỏ qua đƣợc. Lý thuyết này đã thành công trong việc giải thích những
hiện tƣợng vật lí chất rắn trên kim loại, bán dẫn và cả siêu dẫn nhiệt độ thấp.
Song khi tƣơng tác các điện tử trong hệ là tƣơng đối lớn so với động năng của
chúng, thì gần đúng trƣờng trung bình lại không thể giải thích đƣợc, đơn giản
là vì lúc này những thăng giáng lƣợng tử không thể bỏ qua đƣợc. Sau đây là ý
tƣởng chính của DMFT.
2.2.1. Lý thuyết trƣờng trung bình động cho hệ đồng nhất [16]
27
Để dễ dàng hình dung chúng tôi trình bày DMFT thông qua việc áp
dụng nó vào mô hình Hubbard. Mô hình Hubbard có Hamiltonian đƣợc cho
nhƣ sau:
† † †
ij
,
( )i j i j i ii i
i j i i
H t a a a a U n n a a
(2.38)
trong đó † ,i ia a là toán tử sinh hủy điện tử tại nút i có spin , tij là các tham
số nhảy nút giữa các nút i và j khác nhau, U là tƣơng tác Coulomb địa phƣơng
của hai điện tử tại cùng một nút trong mạng. Các điện tử chỉ tƣơng tác với
nhau khi chúng cùng định xứ trong cùng một nút, là thế hóa. Ở đây
†
i i in a a là toán tử số điện tử tại nút i.
Để đơn giản chúng ta chỉ xét pha thuận từ và mạng tinh thể hình vuông
d chiều. Đối với mạng này số nút lân cận gần nhất là 2 .nz d Ở giới hạn
d năng lƣợng riêng là một hàm địa phƣơng trong không gian, có nghĩa
là:
ijij, ij,( ) ( ) . (2.39)
Khai triển Fourier của (2.39) ta thu đƣợc:
i
( , ) ( )k
(2.40)
Vậy ở giới hạn d chúng ta có thể thay thế mạng tƣơng tác ban đầu bằng
mô hình hiệu dụng của một nút gắn với một môi trƣờng tự hợp tạo bởi động
lực của tất cả các nút khác trong mạng. Mô hình bài toán một nút gắn liền với
môi trƣờng tự hợp có thể miêu tả bằng động lực học tại một nút theo hàm tác
động
†
0
0 0
' ( )effS d d a
1g
0 0 0
0
( ') ( ) ( ) ( )a U d n n
. (2.41)
Ở đây hàm 1( ')g
đóng vai trò nhƣ trƣờng hiệu dụng Weiss. Ý nghĩa vật
lí của trƣờng hiệu dụng là ở chỗ nó nhƣ biên độ hiệu dụng đối với điện tử
28
đƣợc tạo ra trên nút đang xét ở thời điểm (tới từ môi trƣờng hiệu dụng ra
ngoài) và bị phá hủy tại thời điểm ' (quay ngƣợc trở lại môi trƣờng hiệu
dụng). Điểm thành công của hàm Weiss suy rộng ở đây là một hàm phụ thuộc
vào thời gian thay cho một số trong trƣờng trung bình cổ điển. Nhƣ thế, lý
thuyết trƣờng trung bình động diễn ra ở đây tính tới một cách đầy đủ thăng
giáng địa phƣơng. Tuy nhiên nó lại bỏ qua thăng giáng phi địa phƣơng trong
không gian. Từ hàm tác động (2.41) ta thấy 1g
( ) đóng vai trò của hàm
Green địa phƣơng không tƣơng tác của mô hình mạng tinh thể ban đầu.
Điều kiện tự hợp để xác định hàm g chính là hàm Green thu đƣợc từ mô
hình hiệu dụng một nút (2.41) trùng với hàm Green địa phƣơng tại một nút
của mạng ban đầu
, ( ) ( )impG G (2.42)
Nghĩa là chúng ta đòi hỏi hàm Green của mạng và hàm Green của tạp tƣơng
ứng phải bằng nhau. Ở đây hàm Green địa phƣơng tại một nút đƣợc tính
thông qua hàm Green toàn mạng:
1 1 1
( ) ( , )
( )kk k
G G k
N N
, (2.43)
Năng lƣợng riêng của hàm Green (2.42) đƣợc xác định thông qua phƣơng
trình Dyson
1 1( ) ( ) ( )g G
(2.44)
Nhƣ vậy ta thu đƣợc phƣơng trình tự hợp khép kín. Để giải hệ phƣơng trình
này chúng ta có thể dùng phƣơng pháp lặp. Vòng lặp tự hợp có thể đƣợc viết
nhƣ sau:
29
Hình 2.2: Sơ đồ khối giải hệ phương trình DMFT bằng phương pháp lặp
Cách tính trong hình 2.2 bắt đầu từ lời giải của AIM có chứa năng lƣợng riêng
( )i nào đó thế vào phƣơng trình (2.43), tính hàm Green địa phƣơng
( ).G i Từ phƣơng trình Dyson (2.44) chúng ta tính đƣợc ( ).ng i Giải (2.42)
ta thu đƣợc ( )impG i và ( )imp i . Sử dụng điều kiện tự hợp chúng ta có
ngay ( ) ( )
imp
i i và lặp lại quá trình tính toán trên cho đến khi thu
đƣợc nghiệm.
Vấn đề quan trọng và tốn khá nhiều thời gian tính toán nhất là giải bài
toán hiệu dụng một nút (2.41). Có rất nhiều phƣơng pháp khác nhau về cả giải
tích lẫn tính số, gần đúng hay chính xác để giải bài toán một nút (2.41) nhƣ
phƣơng pháp mô p
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- luan_van_chuyen_pha_kim_loai_dien_moi_o_mo_hinh_anderson_fal.pdf