Luận văn Không gian phân thớ và một vài tính chất

Mục lục

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh sách hình

Mở đầu

01 Tính cấp thiết và mục tiêu của đề tài

02 Tổng quan tài liệu nghiên cứu

03 Cách tiếp cận,phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, nội dung nghiên cứu.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2: Không gian phân thớ và một vài tính chất

Kết luận

Tài liệu tham khảo.

pdf44 trang | Chia sẻ: netpro | Lượt xem: 1341 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Không gian phân thớ và một vài tính chất, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
T ), A ⊂ X . TËp con U cña kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ mét l©n cËn cña tËp A nÕu trong U cã mét tËp con më chøa A. Ta hiÓu mét l©n cËn cña phÇn tö x ∈ X lµ l©n cËn cña tËp con {x} §Þnh nghÜa 1.3. ([1]-Tr.57) TËp con A cña kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ tËp ®ãng nÕu phÇn bï cña A trong X lµ tËp më. VÝ dô 1.2. ([1]-Tr.57,58) 1. XÐt kh«ng gian t«p« th« X . Khi ®ã ta cã tËp X vµ ∅ ®ång thêi võa lµ tËp ®ãng, võa lµ tËp më. 2. XÐt R víi t«p« tù nhiªn th× mçi kho¶ng (a, b) = {x : a < x < b} lµ mét tËp më, mçi ®o¹n [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} lµ mét tËp ®ãng. §Þnh nghÜa 1.4. ([1]-Tr.98) Cho (X, T ) lµ mét kh«ng gian t«p«, Y ⊂ X . Khi ®ã hä U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V, V ∈ T } lµ mét t«p« trªn Y . T«p« U ®­îc gäi lµ t«p« c¶m sinh bëi t«p« T trªn Y . Kh«ng gian (Y,U) ®­îc gäi lµ kh«ng gian con cña kh«ng kh«ng gian t«p« (X, T ). §Þnh nghÜa 1.5. ([1]-Tr.91) Kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ T2−kh«ng gian (hay kh«ng gian Hausdorff) nÕu víi mäi x, y ∈ X mµ x 6= y tån t¹i c¸c l©n cËn Ux cña x vµ Vy cña y sao cho Ux ∩ Vy = ∅. VÝ dô 1.3. 1. Mäi kh«ng gian metric ®Òu lµ kh«ng gian Hausdorff. ThËt vËy, gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian metric bÊt k× vµ a, b ∈ X, a 6= b. Khi ®ã ta cã d(a, b) =  > 0. XÐt c¸c h×nh cÇu më G = S(a, 3), H = S(b,  3). Ta cÇn chøng minh G ∩H = ∅. ThËt vËy, nÕu tån t¹i p ∈ G ∩H th× ta cã d(a, p) < 3 vµ d(b, p) < 3 . 10 MÆt kh¸c ta cã d(a, b) ≤ d(a, p) + d(b, p) Suy ra  ≤  3 +  3 = 2 3 ( V« lÝ ) VËy X lµ kh«ng gian Hausdorff. 2. ([1]-Tr.92) Kh«ng gian t«p« rêi r¹c lµ kh«ng gian Hausdorff. 1.2 ¸nh x¹ liªn tôc trªn kh«ng gian t«p« §Þnh nghÜa 1.6. ([1]-Tr.79) Cho (X, T ), (Y,U) lµ hai kh«ng gian t«p«. Mét ¸nh x¹ f : (X, T ) −→ (Y,U) ®­îc gäi lµ liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ∈ X nÕu víi mçi l©n cËn W cña f(x0) tån t¹i l©n cËn V cña x0 sao cho f(V ) ⊂ W . NÕu f liªn tôc víi mäi x ∈ X th× f ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn X. §Þnh lÝ 1.1. ([1]-Tr.80) Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«, f : X −→ Y . Khi ®ã ¸nh x¹ f liªn tôc t¹i x ∈ X khi vµ chØ khi víi mçi l©n cËn W cña f(x) th× f−1(W ) lµ l©n cËn cña x. Chøng minh. ([1]-Tr.80) Gi¶ sö f : X −→ Y liªn tôc t¹i x ∈ X vµ W lµ mét l©n cËn cña f(x). Khi ®ã do f liªn tôc t¹i x nªn tån t¹i l©n cËn V cña x sao cho f(V ) ⊂ W , suy ra V ⊂ f−1(W ), do ®ã f−1(W ) lµ mét l©n cËn cña x. Ng­îc l¹i, gi¶ sö W lµ mét l©n cËn cña f(x). Theo gi¶ thiÕt f−1(W ) lµ mét l©n cËn cña x. §Æt V = f−1(W ). Khi ®ã V lµ mét l©n cËn cña x vµ f(V ) ⊂ W nªn f liªn tôc t¹i x. §Þnh lÝ 1.2. ([1]-Tr.80) Cho (X, T ), (Y,U) lµ hai kh«ng gian t«p« vµ ¸nh x¹ f : X −→ Y . Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (a) f lµ ¸nh x¹ liªn tôc; 11 (b) NghÞch ¶nh cña mçi tËp më lµ tËp më; (c) NghÞch ¶nh cña mçi tËp ®ãng lµ tËp ®ãng; (d) ∀A ∈ X ⇒ f(A) ⊂ f(A); (e) ∀B ∈ Y ⇒ f−1(B0) ⊂ (f−1(B))0. Chøng minh. ([1]-Tr.81) (a)⇒ (b) Gi¶ sö G lµ mét tËp më trong Y , G 6= ∅. Víi mçi x ∈ f−1(G) ta cã f(x) ∈ G, do f liªn tôc nªn tån t¹i l©n cËn V cña x sao cho f(V ) ⊂ G ⇒ x ∈ V ⊂ f−1(G), do ®ã f−1(G) lµ mét l©n cËn cña x ⇒ f−1(G) lµ l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã nªn f−1(G) lµ tËp më. (b)⇒ (c) XÐt F lµ mét tËp ®ãng trong Y . Ta cã Y \F lµ tËp më, theo (b) ta cã f−1(Y \F ) = X\f−1(F ) lµ tËp më. Do ®ã f−1(F ) lµ tËp ®ãng. (c)⇒ (d) Víi mäi A ∈ X , theo (c) ta cã f−1(f(A)) lµ tËp ®ãng. MÆt kh¸c do f(A) ⊂ f(A) nªn A ⊂ f−1(f(A)). Do ®ã f(A) ⊂ f(A). (d)⇒ (e) Víi mäi B ∈ Y , theo (d) ta cã f(f−1(B)) ⊂ f(f−1(B)) ⊂ B Suy ra f−1(B) ⊂ f−1(B). Do ®ã ∀B ∈ Y ta cã: X\f−1(B) = f−1(Y \B) ⊂ f−1(Y \B) Suy ra f−1(B0) = X\f−1(Y \B) ⊂ X\X\f−1(B) = (f−1(B))0 (e)⇒ (a) Víi mçi x ∈ X , gäi W lµ l©n cËn më cña f(x). Theo gi¶ thiÕt ta cã: x ∈ f−1(W ) = f−1(W 0) ⊂ (f−1(W ))0 12 §Æt V = (f−1(W ))0, ta cã V lµ mét l©n cËn cña x vµ f(V ) ⊂ W . Do ®ã f liªn tôc tai x, suy ra f liªn tôc trªn X . §Þnh lÝ 1.3. ([1]-Tr.82) Cho (X, TX), (Y, TY ), (Z, TZ) lµ c¸c kh«ng gian t«p«, f : X −→ Y, g : Y −→ Z lµ c¸c ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã g◦f : X −→ Z lµ ¸nh x¹ liªn tôc. Chøng minh. ([1]-Tr.82) Víi mäi G ∈ TZ . Do g liªn tôc nªn g−1(G) ∈ TY . Do f liªn tôc nªn f−1(g−1(G)) ∈ TX . Cho nªn g◦f liªn tôc. §Þnh nghÜa 1.7. ([1]-Tr.83) Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«. ¸nh x¹ f : X −→ Y ®­îc gäi lµ mét phÐp ®ång ph«i nÕu f lµ mét song ¸nh, f liªn tôc vµ f−1 liªn tôc. Khi ®ã hai kh«ng gian X vµ Y ®­îc gäi lµ ®ång ph«i víi nhau hay lµ t­¬ng ®­¬ng t«p«. §Þnh nghÜa 1.8. ([1]-Tr.82) Cho X, Y lµ hai kh«ng gian t«p«, f : X −→ Y . Khi ®ã, f ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ më (®ãng) nÕu víi mäi tËp A më (®ãng) trong X th× f(A) më (®ãng) trong Y . 1.3 Lý thuyÕt ph¹m trï §Þnh nghÜa 1.9. ([5]-Tr.8,9) Mét ph¹m trï C ®­îc cho bëi: (I) Mét líp c¸c ®èi t­îng cña C kÝ hiÖu Ob(C). Mçi phÇn tö cña Ob(C) lµ mét vËt cña C. (II) Hai vËt A,B ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét tËp hîp MorC(A,B) ®­îc gäi lµ c¸c cÊu x¹ tõ A vµo B tháa m·n: nÕu (A,B), (C,D) lµ c¸c cÆp vËt cña C mµ (A,B) 6= (C,D) th×: MorC(A,B) ∩MorC(C,D) = ∅ 13 (III) Víi mçi bé ba (A,B,C) ∈ Ob(C) lu«n x¸c ®Þnh ®­îc mét ¸nh x¹: MorC(B,C)×MorC(A,B) −→MorC(A,C) (β, α) 7−→ βα ®­îc gäi lµ phÐp nh©n cÊu x¹, tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: (i) ∀α ∈MorC(A,B), β ∈MorC(B,C), γ ∈MorC(C,D) ta cã: γ(βα) = (γβ)α (ii) ∀A ∈ Ob(C),∃IdA ∈MorC(A,A) sao cho ∀f ∈MorC(A,B), g ∈MorC(C,A) ta cã: (f)IdA = f, IdA(g) = g Ta kÝ hiÖu Mor(C) = ⋃ A,B∈Ob(C) MorC(A,B) VÝ dô 1.4. ([5]-Tr.9,10) 1. Ph¹m trï tËp hîp, kÝ hiÖu Set, bao gåm: mçi vËt lµ mét tËp hîp, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 2. Ph¹m trï kh«ng gian t«p«, kÝ hiÖu Top bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian t«p«, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 3. Ph¹m trï kh«ng gian Vect¬, kÝ hiÖu Vect bao gåm: mçi vËt lµ mét kh«ng gian vect¬, mçi cÊu x¹ lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 4. Ph¹m trï tËp hîp víi ®iÓm c¬ së bao gåm: mçi vËt lµ mét cÆp (A, x0), x0 ∈ A, mét cÊu x¹ gi÷a hai vËt (A, x0) vµ (B, y0) lµ mét ¸nh x¹ f : A −→ B 14 tháa m·n f(x0) = y0, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c ¸nh x¹. 1.4 §a t¹p kh¶ vi §Þnh nghÜa 1.10. ([7]-Tr.6)(§a t¹p t«p«) Mét kh«ng gian t«p« (X, T ) ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu nÕu X lµ Hausdorff, tháa m·n tiªn ®Ò ®Õm ®­îc thø hai vµ ®ång ph«i ®Þa ph­¬ng víi Rn. §Þnh nghÜa 1.11. ([7]-Tr.7) Cho M lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu. Mét b¶n ®å ®Þa ph­¬ng (hoÆc hÖ täa ®é ®Þa ph­¬ng) cña M lµ mét cÆp (U, φ) víi U lµ mét tËp më kh¸c rçng trong M , φ lµ mét ®ång ph«i tõ U tíi tËp më φ(U) trong Rn. H×nh 1.1: B¶n ®å VÝ dô 1.5. XÐt elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) §Æt U = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U = (−a, a). XÐt ¸nh x¹: ϕ : U −→ U A(x, y) 7−→ x Khi ®ã ta cã (U,ϕ) lµ mét b¶n ®å cña (E). ThËt vËy, ta cã 15 H×nh 1.2: Elip (+) Râ rµng U më trong (E) vµ U më trong R (+) ϕ lµ ®ång ph«i ϕ lµ ®¬n ¸nh: Víi mäi A(x1, y1), B(x2, y2) ∈ U mµ ϕ(A) = ϕ(B), ta cã x1 = x2 ⇒ y1 = b a √ a2 − x21 = b a √ a2 − x22 = y2 ⇒ A ≡ B ϕ lµ toµn ¸nh: Víi mäi t ∈ U , xÐt A(t, b a √ a2 − t2) ∈ U . Ta cã ϕ(A) = t ϕ, ϕ−1 liªn tôc: Ta cã ϕ lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt nªn liªn tôc. Ngoµi ra ϕ−1 : t 7−→ (t, b a √ a2 − t2) liªn tôc. VËy (U,ϕ) lµ mét b¶n ®å cña (E). §Þnh nghÜa 1.12. ([7]-Tr.7) Hai b¶n ®å (U, φ), (V, ψ) ®­îc gäi lµ Ck−phï hîp, k ∈ (N\{0})∪{∞}, nÕu U∩V = ∅ hoÆc φ◦ψ−1 := ψ(U∩V ) −→ Rn vµ ψ◦φ−1 := φ(U ∩ V ) −→ Rn thuéc líp Ck. 16 H×nh 1.3: B¶n ®å phï hîp VÝ dô 1.6. XÐt elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) H×nh 1.4: Elip §Æt U1 = {A(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U 1 = (−a, a). XÐt ¸nh x¹ ϕ1 : U1 −→ U 1 A(x, y) 7−→ x 17 §Æt U2 = {A(x, y) ∈ (E)|x > 0}, U 2 = (−b, b). XÐt ¸nh x¹ ϕ2 : U2 −→ U 2 A(x, y) 7−→ y Chøng minh t­¬ng tù vÝ dô 1.5 ta cã (U1, ϕ1) vµ (U2, ϕ2) lµ c¸c b¶n ®å cña (E). §Æt W = U1 ∩ U2 = {A(x, y)|x > 0, y > 0},W1 = ϕ1(W ) = (0, a),W2 = ϕ2(W ) = (0, b). XÐt ¸nh x¹: f : W1 −→ W2 x 7−→ f(x) = ϕ2 ◦ ϕ1(x) = b a √ a2 − x2 Râ rµng f lµ vi ph«i. Do ®ã ta cã (U1, ϕ1) vµ (U2, ϕ2) phï hîp. §Þnh nghÜa 1.13. ([7]-Tr.7) (Atlas trªn mét ®a t¹p) Cho M lµ mét ®a t¹p t«p« n chiÒu. Mét Atlas kh¶ vi cÊp k ∈ (N\{0})∪{∞} trªn M lµ mét líp c¸c b¶n ®å A = {(Ui, φi)}i∈I tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) A lµ mét phñ cña M , tøc lµ M = ⋃i∈I Ui. (ii) Hai b¶n ®å bÊt k× cña A lµ Ck−phï hîp. §Þnh nghÜa 1.14. ([7]-Tr.7) Cho M lµ mét ®a t¹p n chiÒu, mét cÊu tróc kh¶ vi cÊp k ∈ (N\{0}) ∪ {∞} trªn M lµ mét Atlas cùc ®¹i trªn M . Mét ®a t¹p t«p« ®­îc trang bÞ mét cÊu tróc kh¶ vi cÊp k ∈ (N\{0})∪{∞} ®­îc gäi lµ mét ®a t¹p kh¶ vi cÊp k. VÝ dô 1.7. Ta cã (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) lµ mét ®a t¹p kh¶ vi. ThËt vËy, ®Æt: 18 (1) U1 = {(x, y) ∈ (E)|y > 0}, U 1 = (−a, a). ϕ1 : U1 −→ U 1 (x, y) 7−→ x (2) U2 = {(x, y) ∈ (E)|x > 0}, U 2 = (−b, b). ϕ2 : U2 −→ U 2 (x, y) 7−→ y (3) U3 = {(x, y) ∈ (E)|y < 0}, U 3 = (−a, a). ϕ3 : U3 −→ U 3 (x, y) 7−→ x (4) U4 = {(x, y) ∈ (E)|x < 0}, U 4 = (−b, b). ϕ4 : U4 −→ U 4 (x, y) 7−→ y Khi ®ã ta cã {Uα, ϕα}4α=1 lµ mét cÊu tróc kh¶ vi cña (E). Do ®ã (E) lµ mét ®a t¹p kh¶ vi. 1.5 CW-phøc §Þnh nghÜa 1.15. ([3]-Tr.113) Mét khoang phøc X lµ mét kh«ng gian Hausdorff, lµ hîp c¸c kh«ng gian con rêi nhau eα(α ∈ A) (®­îc gäi lµ c¸c khoang) vµ tháa m·n: (a) Víi mçi khoang lu«n cã mét sè nguyªn n ≥ 0 gäi lµ chiÒu cña nã. NÕu eα cã chiÒu n ta kÝ hiÖu lµ e n α. Ta kÝ hiÖu X n lµ tËp hîp cña tÊt c¶ c¸c khoang ekα víi k ≤ n ®­îc gäi lµ n−s­ên. 19 (b) NÕu enα lµ n−khoang, th× tån t¹i mét ¸nh x¹ ®Æc tr­ng: χα : (B n, Sn−1) −→ (X,Xn−1) tháa m·n χ|Bn\Sn−1 lµ mét ®ång ph«i tõ Bn\Sn−1 ®Õn enα. §Þnh nghÜa 1.16. ([3]-Tr.115) Cho X lµ mét khoang phøc. X ®­îc gäi lµ mét CW− phøc nÕu tháa m·n: (i) (TÝnh ®ãng h÷u h¹n) Víi mçi khoang enα th× K(e n α) lµ mét phøc con h÷u h¹n. Trong ®ã K(enα) lµ giao tÊt c¶ c¸c phøc con chøa e n α. (ii) (T«p« yÕu) Víi mçi tËp con F ⊂ X , F lµ tËp ®ãng nÕu F ∩ enα lµ compact víi mçi khoang enα. §Þnh nghÜa 1.17. ([3]-Tr.115) Mét cÆp (X,A) ®­îc gäi lµ mét quan hÖ CW−phøc nÕu X lµ mét kh«ng gian Hausdorff vµ X\A lµ hîp c¸c kh«ng gian con rêi nhau eα(α ∈ A) (®­îc gäi lµ c¸c khoang) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn trong §Þnh nghÜa 1.15 . Ch­¬ng 2 Kh«ng gian ph©n thí vµ mét vµi tÝnh chÊt 2.1 Kh¸i niÖm kh«ng gian ph©n thí (ph©n thí) vµ mét sè vÝ dô §Þnh nghÜa 2.1. ([6]- Tr.3) Mét ph©n thí bao gåm: (i) Mét kh«ng gian t«p« E gäi lµ kh«ng gian toµn phÇn (ii) Mét kh«ng gian t«p« B gäi lµ kh«ng gian c¬ së (iii) Mét ¸nh x¹ liªn tôc p : E −→ B gäi lµ phÐp chiÕu ph©n thí (iv) Mét kh«ng gian F gäi lµ thí Tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (1) p−1(b) ®ång ph«i víi F víi mäi b ∈ B (2) Víi mçi b ∈ B tån t¹i mét l©n cËn Ub cña b, vµ mét phÐp ®ång ph«i φ : Ub × F −→ p−1(Ub) sao cho p(φ(b′, x)) = b′. H×nh 2.1: Ph©n thí 20 21 Ta th­êng kÝ hiÖu ph©n thí bëi ξ = (E, p,B), η = (E, p,B), λ = (E, p,B),. . . Khi ®ã ξ(E) ®­îc gäi lµ kh«ng gian toµn phÇn cña ξ, ξ(B) ®­îc gäi lµ kh«ng gian c¬ së cña ξ. Víi mçi b ∈ B kh«ng gian p−1(b) ®­îc gäi lµ thí trªn b. VÝ dô 2.1. ([4]- Tr.11) Víi E = B × F vµ p : E −→ B x¸c ®Þnh bëi p(b, x) = b. Khi ®ã ta cã (E, p,B) lµ mét ph©n thí vµ ®­îc gäi lµ ph©n thí tÝch. ThËt vËy, do p lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt nªn liªn tôc. Víi mçi b ∈ B chän Ub = B vµ ¸nh x¹ φ = Id : B × F −→ B × F (b, x) 7−→ (b, x) Ta cã φ lµ phÐp ®ång ph«i vµ p(φ(b, x)) = p(b, x) = b. VÝ dô 2.2. (D¶i Mobius) Mét vÝ dô ®¬n gi¶n cña kh«ng gian ph©n thí lµ d¶i Mobius. Nã ®­îc x©y dùng b»ng c¸ch xo¾n mét ®Çu cña 1 m¶nh giÊy sau ®ã d¸n 2 ®Çu l¹i víi nhau. Khi ®ã ta mét kh«ng gian ph©n thí víi c¸c thí lµ c¸c ®o¹n th¼ng, kh«ng gian c¬ së cña c¸c ®o¹n th¼ng lµ mét ®­êng trßn. PhÐp chiÕu ph©n thí pi biÕn tÊt c¶ c¸c ®iÓm trªn mét thí thµnh mét ®iÓm trªn ®­êng trßn H×nh 2.2: D¶i Mobius 22 VÝ dô 2.3. (Ph©n thí tiÕp xóc) Cho B lµ ®a t¹p n−chiÒu. Víi mçi b ∈ B ®Æt: Tb(B) = {−→y ∈ Rn| −→y tiÕp xóc víi B t¹i b } vµ X = ⋃{Tb(B)|b ∈ B} XÐt ¸nh x¹: p : X −→ B Tb(B) 7−→ b Khi ®ã ta cã (X, p,B) lµ mét ph©n thí (gäi lµ ph©n thí tiÕp xóc cña B). H×nh 2.3: Ph©n thí tiÕp xóc, ph©n thí chuÈn t¾c VÝ dô 2.4. (Ph©n thí chuÈn t¾c) XÐt h×nh cÇu ®¬n vÞ Sn, víi mçi y ∈ Rn+1 ta xem y ≡ −→Oy. Víi mçi b ∈ Sn, ®Æt: Mb = {x ∈ Rn+1|x = kb, k ∈ R} §Æt M = ⋃{Mb|b ∈ Sn}. XÐt ¸nh x¹: q : M −→ Sn Mb 7−→ b Khi ®ã (M, q, Sn) lµ mét ph©n thí trªn Sn (gäi lµ ph©n thí chuÈn t¾c cña Sn). 23 §Þnh nghÜa 2.2. ([4]- Tr.11) (E ′, p′, B′) ®­îc gäi lµ mét ph©n thí con cña (E, p,B) nÕu E ′ lµ kh«ng gian con cña E, B′ lµ kh«ng gian con cña B vµ p′ = p|E′ : E ′ −→ B′ 2.2 Nh¸t c¾t cña ph©n thí §Þnh nghÜa 2.3. ([4]- Tr.12) Cho ξ = (E, p,B) lµ mét ph©n thí, s : B −→ E lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc tháa m·n p◦s = 1B. Khi ®ã s ®­îc gäi lµ mét nh¸t c¾t cña ph©n thí ξ. Nãi c¸ch kh¸c mét nh¸t c¾t lµ mét ¸nh x¹ s : B −→ E tháa m·n s(b) ∈ p−1(b) víi mçi b ∈ B. H×nh 2.4: Nh¸t c¾t ph©n thí Tõ ®Þnh nghÜa nh¸t c¾t ta thÊy nÕu (E ′, p′, B′) lµ ph©n thí con cña (E, p,B), s lµ mét nh¸t c¾t cña (E, p,B) th× s lµ nh¸t c¾t cña (E ′, p′, B′) nÕu vµ chØ nÕu s(b) ∈ E ′,∀b ∈ B′. MÖnh ®Ò 2.1. ([4]- Tr.12) Mäi nh¸t c¾t cña ph©n thí tÝch (B×F, p,B) cã d¹ng s(b) = (b, f(b)) víi f : B −→ F lµ ¸nh x¹ duy nhÊt ®­îc x¸c ®Þnh bëi s. 24 Chøng minh. ([4]- Tr.12) Do s lµ nh¸t c¾t cña γ nªn ta cã: p◦s(b) = b⇔ p(u, f) = b⇒ u ≡ b, ∀b ∈ B Ta cã f lµ ¶nh cña b qua mét ¸nh x¹ g : B −→ F nªn f = g(b). 2.3 CÊu x¹ cña ph©n thí §Þnh nghÜa 2.4. ([4]- Tr.14) Cho (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′) lµ hai ph©n thí. Mét cÊu x¹ cña hai ph©n thí (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′), kÝ hiÖu (u, f) : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B′), lµ mét cÆp ¸nh x¹ liªn tôc u : E −→ E ′, f : B −→ B′ tháa m·n p′u = fp, hay tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E u // p  E ′ p′  B f // B′ Tõ ®Þnh nghÜa ta cã (u, f) lµ mét cÊu x¹ cña hai ph©n thí (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′) th× u(p−1(b)) ⊂ (p′)−1(f(b)). Do ®ã thí trªn b qua u trë thµnh thí trªn f(b). Khi p lµ toµn ¸nh th× f hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi u. VËy cÊu x¹ ph©n thí cã thÓ nãi ®ã lµ mét ¸nh x¹ b¶o toµn thí. §Þnh nghÜa 2.5. ([4]- Tr.14) Cho (E, p,B) vµ (E ′, p′, B) lµ hai ph©n thí trªn B. Mét cÊu x¹ ph©n thí trªn B (hay B-cÊu x¹) u : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B) lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc u : E −→ E ′ tháa m·n p = p′u, hay s¬ ®å sau giao ho¸n: E u // p 2 22 22 22 22 22 22 E ′ p′ ~~ ~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~ B 25 VÝ dô 2.5. ([4]- Tr.15) 1. Cho (E ′, p′, B′) lµ mét ph©n thí con cña ph©n thí (E, p,B) vµ u : E ′ −→ E, f : B′ −→ B lµ c¸c phÐp nhóng, khi ®ã (u, f) : (E ′, p′, B′) −→ (E, p,B) lµ mét cÊu x¹ ph©n thí. 2. Nh¸t c¾t cña (E, p,B) lµ mét B-cÊu x¹ s : (B, 1, B) −→ (E, p,B). 3. CÆp ¸nh x¹ (1E, 1B) : (E, p,B) −→ (E, p,B) lµ mét B-cÊu x¹. 4. Cho (u, f) : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B′) vµ (u′, f ′) : (E ′, p′, B′) −→ (E ′′, p′′, B′′) lµ hai cÊu x¹ ph©n thí. Khi ®ã ta cã (u′u, f ′f) : (E, p,B) −→ (E ′′, p′′, B′′) lµ mét cÊu x¹ ph©n thí vµ ®­îc gäi lµ sù hîp thµnh cña hai cÊu x¹ ph©n thí (u, f) vµ (u′, f ′). E u // p  E ′ u ′ // p′  E ′′ p′′  B f // B′ f ′ // B′′ §Þnh nghÜa 2.6. ([4]- Tr.15) Mét cÊu x¹ ph©n thí (u, f) : (E, p,B) −→ (E ′, p′, B′) ®­îc gäi lµ mét ®¼ng cÊu ph©n thí nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i mét cÊu x¹ ph©n thí (u′, f ′) : (E ′, p′, B′) −→ (E, p,B) sao cho uu′ = 1E′, u′u = 1E, ff ′ = 1B′, f ′f = 1B. Hay nãi c¸ch kh¸c u, f lµ c¸c phÐp ®ång ph«i. §Þnh nghÜa 2.7. ([4]- Tr.15) Mét ph©n thí (E, p,B) ®­îc gäi lµ tÇm th­êng víi thí F nÕu (E, p,B) lµ B-®¼ng cÊu víi ph©n thí tÝch (B × F, q, B). §Þnh nghÜa 2.8. ([4]- Tr.15) Ph¹m trï cña c¸c ph©n thí , kÝ hiÖu Bun, bao gåm: mçi vËt lµ mét ph©n thí, mçi cÊu x¹ lµ mét cÊu x¹ cña ph©n thí, phÐp nh©n c¸c cÊu x¹ lµ phÐp hîp thµnh c¸c cÊu x¹ ph©n thí . 26 Víi mçi kh«ng gian B, ta kÝ hiÖu BunB lµ ph¹m trï c¸c ph©n thí trªn B vµ c¸c B−cÊu x¹. 2.4 TÝch ph©n thí vµ thí tÝch §Þnh nghÜa 2.9. ([4]- Tr.15) TÝch cña hai ph©n thí (E, p,B) vµ (E ′, p′, B′) lµ mét ph©n thí (E × E ′, p× p′, B ×B′). Tõ ®Þnh nghÜa trªn chóng ta cã thÓ dÔ dµng m« t¶ phÐp to¸n tÝch hai ph©n thí nh­ lµ mét hµm tö Bun×Bun −→ Bun. §Þnh nghÜa 2.10. ([4]- Tr.16) Thí tÝch cña hai ph©n thí ξ1 = (E1, p1, B) vµ ξ2 = (E2, p2, B) trªn B, kÝ hiÖu ξ1⊕ ξ2, lµ ph©n thí (E1⊕E2, q, B) víi E1⊕E2 lµ kh«ng gian con cña E1×E2 gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (x, x′) ∈ E1×E2 tháa m·n p1(x) = p2(x ′) vµ q(x, x′) = p1(x) = p2(x′). Thí tÝch cßn ®­îc gäi lµ tæng Whitney. Thí q−1(b) cña (E1⊕E2, q, B) trªn b ∈ B lµ p−11 (b)× p−12 (b) ⊂ E1 × E2. MÖnh ®Ò 2.2. ([4]- Tr.16) Gi¶ sö u1 : (E1, p1, B) −→ (E ′1, p′1, B) vµ u2 : (E2, p2, B) −→ (E ′2, p′2, B) lµ hai B−cÊu x¹. Khi ®ã ta cã: u1 ⊕ u2 : (E1 ⊕ E2, q, B) −→ (E ′1 ⊕ E2, q′, B) x¸c ®Þnh bëi (u1 ⊕ u2)(x1, x2) = (u1(x1), u2(x2)) lµ mét B− cÊu x¹. Chøng minh. Do u1 : (E1, p1, B) −→ (E ′1, p′1, B) lµ B−cÊu x¹ nªn ta cã u1 liªn tôc vµ p ′ 1u1(x1) = p1(x1),∀x1 ∈ E1 hay s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 u1 // p1 @ @@ @@ @@ @ E ′1 p′1~~ ~ ~~ ~~ ~ B Do u2 : (E2, p2, B) −→ (E ′2, p′2, B) lµ B−cÊu x¹ nªn ta cã u2 liªn tôc vµ 27 p′2u2(x2) = p2(x2),∀x2 ∈ E2 hay s¬ ®å sau giao ho¸n: E2 u2 // p2 @ @@ @@ @@ @ E ′2 p′2~~ ~ ~~ ~~ ~ B §Æt v = u1 ⊕ u2, do u1, u2 liªn tôc nªn v liªn tôc. Ta cÇn chøng minh s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 ⊕ E2 v // q $$I II II II II I E ′1 ⊕ E ′2 q′zzuuu uuu uuu u B ThËt vËy ∀(x1, x2) ∈ E1 ⊕ E2. Ta cã: q(x1, x2) = p1(x1) = p2(x2) MÆt kh¸c ta cã: q′(v(x1, x2)) = q′(u1(x1), u2(x2)) = p′1u1(x1) = p ′ 2u2(x2) Theo gi¶ thiÕt ta cã: p′1u1(x1) = p1(x1) p′2u2(x2) = p2(x2) Do ®ã ta cã q′v = q. HÖ qu¶ 2.1. NÕu u1 vµ u2 lµ c¸c B−®¼ng cÊu th× u1⊕ u2 lµ mét B−®¼ng cÊu. Chøng minh. Ta cã do u1, u2 lµ c¸c phÐp ®ång ph«i nªn u1 ⊕ u2 lµ phÐp ®ång ph«i, kÕt hîp víi MÖnh ®Ò 2.2 ta cã ®pcm. MÖnh ®Ò 2.3. ([4]- Tr.16) NÕu (E1, p1, B) lµ ph©n thí tÇm th­êng víi thí F1, (E2, p2, B) lµ ph©n thí tÇm th­êng víi thí F2 th× (E1, p1, B)⊕(E2, p2, B) 28 lµ ph©n thí tÇm th­êng víi thí F1 × F2. Chøng minh. Do (E1, p1, B) lµ mét ph©n thí tÇm th­êng víi thí F1 nªn tån t¹i phÐp ®ång ph«i u1 : E1 −→ B × F1 tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 u1 // p1 A AA AA AA A B × F1 q1 zzvv vv vv vv v B Víi q1 : (b1, x) 7−→ b1 Ta cã ∀x1 ∈ E1 ⇒ u1(x1) = (p1(x1), f1(x1)) víi f1 : E1 −→ F1 lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi u1. Do u1 lµ phÐp ®ång ph«i nªn ta cã p1, f1 lµ c¸c phÐp ®ång ph«i. T­¬ng tù ta cã tån t¹i phÐp ®ång ph«i u2 : E2 −→ B × F2 tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E2 u2 // p2 A AA AA AA A B × F2 q2 zzvv vv vv vv v B Víi q2 : (b2, x) 7−→ b2 Ta cã ∀x2 ∈ E2 ⇒ u2(x2) = (p2(x2), f2(x2)) víi f2 : E2 −→ F2 lµ ¸nh x¹ x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi u2. Do u2 lµ phÐp ®ång ph«i nªn ta cã p2, f2 lµ c¸c phÐp ®ång ph«i. Ta cÇn chøng minh tån t¹i phÐp ®ång ph«i v : E1 ⊕E2 −→ B × F1 × F2 tháa m·n s¬ ®å sau giao ho¸n: E1 ⊕ E2 v // q $$II III III II B × F1 × F2 q′xxqqq qqq qqq qqq B Ta cã: ∀(x1, x2) ∈ E1 ⊕ E2 ⇒ q(x1, x2) = p1(x1) = p2(x2) XÐt v x¸c ®Þnh nh­ sau:∀(x1, x2) ∈ E1 ⊕ E2: v(x1, x2) = (p1(x1), f1(x1), f2(x2)) = (p2(x2), f1(x1), f2(x2)) 29 Khi ®ã ta cã v lµ phÐp ®ång ph«i. MÆt kh¸c ta cã: q′v(x1, x2) = p1(x1) = p2(x2) = q(x1, x2) Do ®ã MÖnh ®Ò ®­îc chøng minh. MÖnh ®Ò 2.4. ([4]- Tr.16) Nh¸t c¾t cña thí tÝch (E1 ⊕ E2, q, B) lu«n cã d¹ng s(b) = (s1(b), s2(b)) víi s1 lµ mét nh¸t c¾t cña (E1, p1, B) vµ s2 lµ mét nh¸t c¾t cña (E2, p2, B) x¸c ®Þnh duy nhÊt bíi s. Chøng minh. ([4]- Tr.16) Gi¶ sö s : B −→ E1 ⊕ E2 lµ mét nh¸t c¾t , vµ s(b) = (s1(b), s2(b)). Do s lµ tiÕt diÖn ngang nªn ta cã b = qs(b) = p1s1(b) = p2s2(b), ∀b ∈ B Do ®ã s1, s2 lµ c¸c nh¸t c¾t x¸c ®Þnh duy nhÊt bëi s. 2.5 Sù h¹n chÕ (thu hÑp) cña ph©n thí, ph©n thí c¶m sinh §Þnh nghÜa 2.11. ([4]- Tr.17) Cho ph©n thí ξ = (E, p,B), A lµ mét kh«ng gian con cña B. Khi ®ã sù h¹n chÕ cña ξ trªn A, kÝ hiÖu ξ|A, lµ ph©n thí (E ′, p′, A) trong ®ã E ′ = p−1(A) vµ p|E ′ = p′. VÝ dô 2.6. ([4]- Tr.17,18) Cho ξ = (B × F, p,B) lµ mét ph©n thí tÝch trªn B víi thí F vµ A lµ mét tËp con cña B. Khi ®ã ξ|A = (A×F, p, A) lµ mét thí tÝch trªn A víi thí F . Sù thu hÑp cña ph©n thí tháa m·n tÝnh chÊt b¾c cÇu. NÕu A1 ⊂ A ⊂ B vµ ξ lµ mét ph©n thí trªn B, th× ta cã ξ|A1 = (ξ|A)|A1 vµ ξ|B = ξ. NÕu u : ξ −→ η lµ B−cÊu x¹ vµ A ⊂ B. Khi ®ã: uA = u|(E(ξ|A)) : ξ|A −→ η|A 30 lµ mét A−cÊu x¹. NÕu v : η −→ ξ lµ mét B−cÊu x¹ thø hai, ta cã (vu)A = vAuA vµ (1ξ)A = 1ξ|A. Do ®ã, c¸c hµm ξ 7−→ ξ|A vµ u 7−→ uA ®­îc x¸c ®Þnh nh­ c¸c hµm tö BunB −→ BunA. §Þnh nghÜa 2.12. ([4]- Tr.18) Cho ph©n thí ξ = (E, p,B), f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. Ph©n thí c¶m sinh cña ξ qua ¸nh x¹ f , kÝ hiÖu f ∗(ξ), lµ mét ph©n thí cã kh«ng gian c¬ së lµ B1, kh«ng gian tæng E1 lµ mét kh«ng gian con cña kh«ng gian bao gåm c¸c cÆp (b1, x) ∈ B1×E víi f(b1) = p(x), vµ phÐp chiÕu p1 : (b1, x) 7→ b1. VÝ dô 2.7. 1. Cho ξ lµ mét ph©n thí trªn B vµ A lµ mét kh«ng gian con cña B víi phÐp nhóng j : A −→ B. Khi ®ã ξ|A = (E(ξ|A), p, A) vµ j∗(ξ) = (E(j∗(ξ)), p′, A) lµ A−®¼ng cÊu. ThËt vËy ta xÐt u : E(ξ|A) −→ E(j∗(ξ)) x 7−→ u(x) = (p(x), x) Ta cã p′u(x) = p′(p(x), x) = p(x)⇒ u lµ A−cÊu x¹ MÆt kh¸c xÐt: u′ : E(j∗(ξ)) −→ E(ξ|A) (p(x), x) 7−→ u′(p(x), x)) = x Ta cã u′ lµ A−cÊu x¹, vµ uu′ = 1E(j∗(ξ)), u′u = 1E(ξ|A) Do ®ã u lµ A−®¼ng cÊu. Hay ξ|A vµ j∗(ξ) lµ A−®¼ng cÊu. 2. Cho f ∗(ξ) lµ ph©n thí c¶m sinh cña ξ = (E, p,B) d­íi ¸nh x¹ f : B1 −→ B, vµ fξ : E(f ∗(ξ)) −→ E(ξ) x¸c ®Þnh bëi fξ(b1, x) = x. Khi ®ã fξ cïng víi f x¸c ®Þnh mét cÊu x¹ (fξ, f) : f ∗(ξ) −→ ξ, nã ®­îc gäi lµ cÊu x¹ chuÈn t¾c cña ph©n thí c¶m sinh. 31 ThËt vËy E(f ∗(ξ)) p1 // fξ  B1 f  E p // B ∀(b1, x) ∈ E(f ∗(ξ))⇒ pfξ(b1, x) = p(x) = f(b1) = fp1(b1, x) MÖnh ®Ò 2.5. ([4]- Tr.18) Cho ξ = (E, p,B), vµ (fξ, f) : f ∗(ξ) −→ ξ lµ cÊu x¹ chuÈn t¾c cña ph©n thí ξ d­íi ¸nh x¹ f : B1 −→ B. Khi ®ã víi mçi b1 ∈ B1 th× h¹n chÕ fξ : p−11 (b1) −→ p−1(f(b1)) lµ mét phÐp ®ång ph«i. H¬n n÷a nÕu η lµ mét ph©n thí bÊt k× trªn B1, vµ (v, f) : η −→ ξ lµ mét cÊu x¹ ph©n thí bÊt k×, khi ®ã tån t¹i mét B1−cÊu x¹ w : η −→ f ∗(ξ) tháa m·n fξw = v. CÊu x¹ w lµ duy nhÊt theo mèi quan hÖ trªn. Chøng minh. ([4]- Tr.18) Gi¶ sö f ∗(ξ) = (E1, p1, B1), trong ®ã E1 lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c cÆp (b1, x) ∈ B1 × E víi f(b1) = p(x), p1 : (b1, x) 7→ b1. Víi mçi b1 ∈ B1 thí p−11 (b1) ⊂ b1 ×E lµ kh«ng gian con bao gåm tÊt c¶ c¸c cÆp (b1, x) ∈ b1 × E víi p(x) = f(b1)⇔ x ∈ p−1(f(b1)). fξ : p −1 1 (b1) −→ p−1(f(b1)) ®­îc viÕt l¹i nh­ sau: fξ : b1 × p−1(f(b1)) −→ p−1(f(b1)) (b1, x) 7−→ x §©y râ rµng lµ phÐp ®ång ph«i. B©y giê xÐt η = (E2, p2, B1), vµ (v, f) : η −→ ξ lµ mét cÊu x¹ ph©n thí bÊt k×, suy ra pv = fp2. 32 XÐt ¸nh x¹ w x¸c ®Þnh nh­ sau: w : E2 −→ E1 y 7−→ w(y) = (p2(y), v(y)) Khi ®ã ta cã p1w(y) = p2(y) nªn w lµ mét B1−cÊu x¹. MÆt kh¸c ta cã fξw(y) = fξ(p2(y), v(y)) = v(y)⇒ fξw = v, vµ theo c¸ch ®Þnh nghÜa w ta cã w lµ duy nhÊt theo tÝnh chÊt trªn. §Þnh nghÜa 2.13. ([4]- Tr.18) Cho u : ξ −→ η lµ mét B−cÊu x¹ vµ f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc, khi ®ã ®Þnh nghÜa B1−cÊu x¹ f ∗(u) nh­ sau: f ∗(u) : f ∗(ξ) −→ f ∗(η) (b1, x) 7−→ (b1, u(x)) Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã f ∗(1ξ) = 1f∗(ξ) vµ nÕu v : η −→ ξ lµ mét B−cÊu x¹ thø 2 th× f ∗(uv)(b1, x) = (b1, vu(x)) = f ∗(v)f ∗(u)(b1, x). Do ®ã ta cã mÖnh ®Ò sau: MÖnh ®Ò 2.6. ([4]- Tr.19) Víi mçi ¸nh x¹ f : B1 −→ B, hä c¸c hµm f ∗ : BunB −→ BunB1 lµ mét hµm tö. H¬n n÷a, víi mçi B−cÊu x¹ u : ξ −→ η th× s¬ ®å sau giao ho¸n. 33 Chøng minh. Ta chØ cÇn chøng minh ufξ = fηf ∗(u). ThËt vËy,∀(b1, x) ∈ E(f ∗(ξ)), ta cã: ufξ(b1, x) = u(x) = fη(b1, u(x)) = fηf ∗(u)(b1, x) Do ®ã ta cã: ufξ = fηf ∗(u) MÖnh ®Ò 2.7. ([4]- Tr.19) Cho g : B2 −→ B1 vµ f : B1 −→ B lµ 2 ¸nh x¹ liªn tôc, vµ ξ lµ mét ph©n thí trªn B. Khi ®ã 1∗(ξ) vµ ξ lµ B−®¼ng cÊu, g∗(f ∗(ξ)) vµ (fg)∗(ξ) lµ B2−®¼ng cÊu. Chøng minh. Ta cã 1∗(ξ) = (E ′, p′, B), trong ®ã E ′ = {(p(x), x) ∈ B×E} vµ p′ lµ phÐp chiÕu lªn thµnh phÇn thø nhÊt. XÐt ¸nh x¹: u : E −→ E ′ x 7−→ (p(x), x) Ta cã: ∀x ∈ E : p′(u(x)) = p′(p(x), x) = p(x) ⇒ p′u = p. MÆt kh¸c u lµ phÐp ®ång ph«i nªn 1∗(ξ) vµ ξ lµ B−®¼ng cÊu. B©y giê ta chøng minh g∗(f ∗(ξ)) vµ (fg)∗(ξ) lµ B2−®¼ng cÊu. Ta cã: +) f ∗(ξ) = (E1, p1, B1) trong ®ã: (b1, x) ∈ E1 ⊂ B1 × E ⇔ f(b1) = p(x) vµ p1 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. +) g∗(f ∗(ξ)) = (E2, p2, B2) trong ®ã: (b2, b1, x) ∈ E2 ⊂ B2 ×B1 × E ⇔ g(b2) = p1(b1, x) = b1 vµ p2 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. 34 +) (fg)∗(ξ) = (E3, p3, B2) trong ®ã: (b2, x) ∈ E3 ⊂ B2 × E ⇔ fg(b2) = p(x) vµ p3 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. XÐt ¸nh x¹: v : E3 −→ E2 (b2, x) 7−→ (b2, (g(b2), x)) Khi ®ã v lµ phÐp ®ång ph«i. MÆt kh¸c ∀(b2, x) ∈ E3 ta cã: p2(v(b2, x)) = p2(b2, g(b2), x) = b2 = p3(b2, x)⇒ p2v = p3 Do ®ã ta cã g∗(f ∗(ξ)) vµ (fg)∗(ξ) lµ B2−®¼ng cÊu. HÖ qu¶ 2.2. ([4]- Tr.19) Cho f : (B1, A1) −→ (B,A) lµ mét ¸nh x¹ cÆp, ®Æt g = f |A1 : A1 −→ A, vµ ξ = (E, p,B) lµ mét ph©n thí trªn B. Khi ®ã g∗(ξ|A) vµ f ∗(ξ)|A1 lµ A1−®¼ng cÊu. Chøng minh. ([4]- Tr.19) Ta cã MÖnh ®Ò hiÓn nhiªn ®óng v× g∗(ξ|A) = f ∗(ξ)|A1 = (A1×K, p1, A1) trong ®ã K ⊂ E thâa m·n (a1, x) ∈ A1×K ⇔ f(a1) = p(x), vµ p1 lµ phÐp chiÕu lªn phÇn tö ®Çu tiªn. MÖnh ®Ò 2.8. ([4]- Tr.19)([4]) Cho ph©n thí ξ = (E, p,B), f : B1 −→ B lµ mét ¸nh x¹, vµ f ∗(ξ)

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfKhông gian phân thớ và một vài tính chất.pdf
Tài liệu liên quan