Luận văn Tôpô metric mở rộng của trái đất

mpact Một không gian tôpô X gọi là không gian giả compact nếu X là một không gian Tychonoff và mọi hàm giá trị thực liên tục trên X đều bị chặn. 1.3. Không gian mêtric, không gian mêtric hóa được 1.3.1. Không gian mêtric Định nghĩa: Một không gian mêtric là một cặp ( ),X d gồm một tập X và một hàm [ ): 0,d X X× → +∞ thỏa mãn các điều kiện sau: (M1) ( ), 0d x y = khi và chỉ khi x=y, (M2) ( ) ( ), ,d x y d y x= với mọi ,x y X∈ , 13 (M3) ( ) ( ) ( ), , ,d x y d y z d x z+ ≥ với mọi , ,x y z X∈ . Nhận xét: Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, hàm d gọi là mêtric trên tập X và số ( ),d x y được gọi là khoảng cách giữa x và y. Nếu hàm [ ): 0,d X X× → +∞ thỏa điều kiện (M2), (M3) và điều kiện (M1’) ( , ) 0d x x = với mọi x X∈ thì được gọi là một giả mêtric trên tập X. Với mọi không gian mêtric ( ),X d , họ các tập mở theo mêtric d là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d . Không gian mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric. 1.3.2. Không gian mêtric hóa được Không gian tôpô ( , )X τ gọi là không gian mêtric hóa được nếu X đồng phôi với một không gian mêtric (nghĩa là tồn tại một mêtric d trên tập X sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô τ của X ( dτ τ= ). Không gian ( , )X τ mêtric hóa con được nếu tồn tại một tôpô 'τ trên X sao cho 'τ τ⊂ và ( , ')X τ mêtric hóa được. 1.3.3. Định lý phạm trù Baire Trong không gian metric đầy X, giao của một họ đếm được những tập trù mật trong X là trù mật trong X. 1.3.4. Định lý HANAI – MORITA – STONE Với mọi ánh xạ đóng :f X Y→ của không gian metric hóa được X lên một không gian Y các điều kiện sau là tương đương: ( )i Không gian Y là metric hóa được. ( )ii Không gian Y là đếm được thứ nhất. ( )iii Với mọi y Y∈ tập ( )1Fr f y− là tập compact. 14 1.3.5. Phép biến đổi Mobius và một số tính chất Định nghĩa: Một phép biến đổi Mobius là một hàm ( ) : , (1) ∞ ∞→ + = − ≠ +    T az bz T z ad bc o cz d Tính chất:  Phép biến đổi (1) là ánh xạ bảo giác 1-1 của mặt phẳng phức.  Các phép biến đổi Mobius dưới tích các ánh xạ tạo thành một nhóm phép biến đổi Mobius .  Phép biến đổi Mobius biến mọi đường tròn hoặc đường thẳng thành đường tròn hoặc đường thẳng.  Phép biến đổi Mobius T được xác định bởi 3 giá trị ( ) , 1,2,3= =i iT Z w i . Không mất tính tổng quát, phép biến đổi Mobius còn có dạng: ( ) 0 0 0 . , 1, 1 (2) 1 . − = = < − z zT z z z z µ µ Phép biến đổi (2) ánh xạ đường tròn đơn vị Γ lên chính nó, đĩa D lên chính nó. Chúng ta sẽ gọi hàm (2) là ánh xạ đĩa. 1.3.6. Tỷ số kép Cho 4 số phức 0 1 2 3, , ,z z z z phân biệt, chúng ta định nghĩa tỷ số kép như sau: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 0 3 1 0 1 2 3 1 0 3 2 . , , . − − = − − z z z z z z z z z z z z Nhận xét:  Thay 1 2,z z hoặc 0 3,z z chúng ta có tỷ số kép nghịch đảo: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 3 0 1 2 3 1 3 1 2 0 0 1 2 3 , , , , , , , , , , , , , . − − = = z z z z z z z z z z z z z z z z  Cho 1 2 3, ,z z z phân biệt, chúng ta xác định một phép biến đổi Mobius T: 15 ( ) ( ) 3 121 2 3 1 3 2 , , , .    −− = =   − −    z zz zT z z z z z z z z z  Với phép biến đổi Mobius T , ta có: . iZ 1Z 2Z 3Z iT(Z ) ∞ 0 1 1.3.7. Metric hyperbolic Trong mặt phẳng phức  , ta ký hiệu đĩa mở đơn vị { }1= ∈ < z z ( đĩa Poincaré  ). Đặt = = ∪ X S , =∂S là biên đường tròn đơn vị 1.=z Định nghĩa: Một không gian metric hyperbolic là cặp ( ),X ρ và một hàm ( ) ( ) ( ) : , , log , , , × → =   X X z w z w z w ρ ρ α β (với z, w là 2 điểm trên đường hyperbolic ( ),L α β ) thỏa mãn các điều kiện: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0& , 0 , , , , , , , , ≥ = ⇔ = = ≤ + ∀ ∈ i z w z w z w ii z w w z iii z w z y y w z w y X ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Nhận xét:  Tập X gọi là một không gian, các phần tử của X gọi là các điểm, hàm ρ gọi là metric hyperbolic trên tập X và ( ),z wρ là khoảng cách giữa z và w .  Thay z và w hoặc α và β ta có nghịch đảo của tỷ số kép nên giá trị tuyệt đối của logarit là không đổi. Chú ý rằng trong metric hyperbolic bất đẳng thức tam giác ( ) ( ) ( ), , ,< +z w z y y wρ ρ ρ , trừ trường hợp z, y, w cùng nằm trên h- đường thẳng với y giữa z và w ta có ( ) ( ) ( ), , ,= +z w z y y wρ ρ ρ . 16 1.4. Không gian paracompact 1.4.1. Không gian paracompact Cho không gian tôpô X -Hausdorff. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu mỗi phủ mở của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. 1.4.2. Không gian paracompact đếm được Cho không gian tôpô X -Hausdorff. Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu mỗi phủ mở đếm được của X có một cái mịn mở hữu hạn địa phương. 1.4.3. Không gian Fréchet tại một điểm Một không gian Y được gọi là Fréchet tại một điểm ∈y Y nếu khi ⊆A Y và ∈y clA , tồn tại một dãy hội tụ na trong A mà →na y . 1.5. Không gian phân tầng 1.5.1. Định nghĩa Một không gian Tôpô X là một không gian phân tầng nếu X là 1T và mỗi tập mở ⊂U X , ta có thể gán một dãy { } 1 ∞ =n n U của các tập con mở của X sao cho : ( )i ,nU U⊂ 1( ) , ∞ = = nnii U U ( ) ⊂n niii U V với bất kỳ .⊂U V 1.5.2. 1M - không gian, 3M - không gian  1M -không gian là không gian chính quy với một cơ sở mở σ - bảo toàn bao đóng.  3M -không gian là không gian chính quy với một tựa cơ sở σ - bảo toàn bao đóng 1.6. Không gian Nagata Định nghĩa: Một không gian Nagata X là 1 −T không gian sao cho với mỗi 17 x X∈ tồn tại dãy các lân cận của x , ( ){ } 1 ∞ =n nU x và ( ){ } 1 ∞ =n nS x sao cho: ( )1 Với mỗi ∈x X , ( ){ } 1 ∞ =n nU x là 1 cơ sở lân cận địa phương của x , ( )2 Với mọi ( ) ( ), ,∈ ∩ ≠ ∅n nx y X S x S y hàm ý ( )∈ nx U y . Nhận xét: Cặp thứ tự ( ){ } ( ){ }1 1, ∞ ∞ = =n nn nU x S x được gọi là 1 cấu trúc Nagata của X nếu và chỉ nếu với mỗi x , ( ){ } 1 ∞ =n nU x và ( ){ } 1 ∞ =n nS x là các dãy lân cận của x thỏa mãn hai điều kiện trên. 1.7. Hàm ceiling Hàm ceiling được ký hiệu ( ) =  f x x hoặc ( ) ( )=f x ceiling x là một hàm gán với x số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng x. 1.8. Arbelos Arbelos là một miền mặt phẳng được tạo bởi một nửa đường tròn đường kính bằng 1 với các nửa đường tròn đường kính lần lượt là r và 1 r− . Hình 1.2. Arbelos 18 CHƯƠNG 2: TÔPÔ METRIC MỞ RỘNG CỦA TRÁI ĐẤT Trong chương này của luận văn, chúng ta sẽ tìm hiểu một số cấu trúc của các tôpô bao gồm: Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic ρτ , tôpô phân tầng τ , tôpô ( )ctblτ , tôpô ( )fnτ và tôpô ( )Nτ . Trong phần 2.1 chúng ta giới thiệu Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic ρτ , không gian ( ),X τ của chúng ta trong phần 2.2 là không gian Lindelof khả đối xứng và phân tầng, nhưng không phải không gian Fréchet cũng không đơn liên. Chúng ta nghiên cứu cấu trúc của tôpô τ này trong phần 2.3 và sau đó trong phần 2.4 chúng ta sẽ hoàn thiện nó để có được ba tôpô địa phương co rút được, một trong số đó là đếm được thứ nhất.. 2.1. Tôpô đĩa tiếp xúc Hyperbolic Trong phần còn lại của luận văn này, chúng ta dùng ρ để chỉ metric hyperbolic, d là metric Euclide trên mặt phẳng phức . { }1= ∈ < z z là đĩa mở đơn vị trong mặt phẳng phức  . = = ∪ X S , S =∂ là biên đường tròn đơn vị 1.z = Cho bất kỳ hai điểm phân biệt ,z w∈ nằm trên một đường trắc địa ( ),L α β sao cho ( ),L α β là một cung tròn mở trực giao với S tại hai điểm đầu mút α và β thuộc S. Khoảng cách hyperbolic ( ),z wρ được xác định như sau: ( ) ( ), log , , ,ρ α β=z w z w Trong đó ( ), , ,z wα β ký hiệu tỷ số kép w zw z α α β β    − −    − −    , tỷ số kép này là một số thực dương do bốn điểm α , z, w và β trên đường tròn được xác định bởi đường trắc địa ( ), .α βL Một tính chất quan trọng của khoảng cách hyperbolic là nó bất biến dưới phép biến đổi Mobius. Như vậy, nếu một phép biến đổi Mobius biến đường trắc địa ( ),L α β thành đường kính ( )1, 1L − + sao cho bốn điểm , ,z wα và β biến đổi tương ứng 1 21 1r r− < < < + , thì khoảng cách ( ),z wρ có thể được tính như sau: ( ) ( ) ( ) 2 11 2 1 2 2 1 1 1* , log 1, , , 1 log log . 1 1 + + = − + = − − − r rr r r r r r ρ Nhận xét: 19  Khi z hoặc w tiến gần tới điểm biên α hoặc β thì khoảng cách ( ),z wρ tăng dần về vô cực.  Chúng ta có thể mở rộng ρ để =X bằng cách xác định ( ), = ∞x yρ khi một trong x hoặc y là trên biên S. Phần mở rộng ρ này mặc dù không phải là một “metric”, ý tưởng đưa ra rằng biên S là nằm vô cùng xa từ bên trong và những điểm biên là “rời rạc”.  Chú ý bên trong  , metric hyperbolic ρ và metric Euclide d cảm sinh cùng tôpô. Nhưng khi chúng ta xét tương ứng những quả cầu mở, chúng ta phải quan tâm đến vị trí của các tâm của chúng.  Quả cầu mở hyperbolic ( ) ( ){ }0 0 0 0; : ,= ∈ <B z r z z z rρ ρ Với tâm hyperbolic 0z ∈ và bán kính hyperbolic là 00 1r< < , đồng nhất với một số quả cầu mở Euclide ( ) ( ){ }1 1 1 1; : ,= ∈ <dB z r z d z z r Với tâm Euclide 1z ∈ và bán kính Euclide 10 1r< < , nhưng tâm hyperbolic 0z phụ thuộc tâm Euclide 1z đối với biên S; nghĩa là 0 1=z t z với mỗi 1t > nếu { }0 \ 0 .∈z  Vì vậy, nếu 0z tiến gần tới biên, những quả cầu hyperbolic đồng tâm ( )0 ;B z rρ với bán kính 0 r< < ∞ trông giống như những vòng cực hạn hoặc những quả cầu cực hạn (xem hình 2.1) 20 . Hình 2.1. Những vòng tròn đồng tâm Hyperbolic Chúng ta giới thiệu một tôpô ρτ trên đĩa đóng X = như sau:  Cho một điểm x S∈ và 0 2s< < , lấy ( );V x s ký hiệu hợp của điểm x với quả cầu mở Euclide, tiếp xúc trong tại x S∈ , đường kính của Euclide độ dài s. Chúng ta gọi ( );V x s này là một quả cầu cực hạn tại x kích thước s. Như vậy, định nghĩa bản thân của những quả cầu cực hạn hoàn toàn phụ thuộc vào metric Euclide d: ( ) { } ( )( ); 1 2 ; 2 .= ∪ −dV x s x B s x s  Xác định ρτ là một tôpô trên X S= ∪ được tạo ra bởi tất cả các quả cầu cực hạn với tôpô metric thông thường trên  . Chúng ta gọi một tôpô đĩa tiếp xúc hyperbolic này được cảm sinh từ các mở rộng “metric” ρ . Không gian ( ),X ρτ này là hợp của các đĩa Poincaré với không gian đóng S rời rạc không đếm được.  Ký hiệu ( );= ∂tC V x t là đường tròn biên của quả cầu cực hạn ( );V x t . ( );V x s có thể được viết 0 ,< < Ctt s với 1 20 ,< < <t t s khoảng cách hyperbolic { } { }( ) ( )21 1 2\ , \ 1 ,1= − −C Ctx x t ttρ ρ , và phụ thuộc này chỉ trên 1t và 2t (xem bổ đề 2.2.2). 21 Do đó, chúng ta có thể thấy rằng các quả cầu cực hạn ( );V x s bao gồm các “tâm” x và những đường tròn “hyperbolic đồng tâm” ( )0tC t s< < .  Vì vậy, giả sử một trận động đất xảy ra tại x thì sóng khối sẽ lan truyền trên ( );V x s đến thời gian s sẽ hình thành mặt sóng ( )0tC t s< < . Mặt khác, sóng bề mặt cũng sẽ truyền từ x tới một vài cung J chứa x trên biên S. Do đó, tập hợp các dạng ( );V x s J∪ sẽ đại diện cho những miền trên mà trận động đất tại x sẽ lan truyền đến thời gian s. Ngoài tôpô đĩa tiếp xúc hyperbolic, chúng ta sẽ đề cập một số tôpô khác chẳng hạn tôpô phân tầng được giới thiệu sau đây. 2.2. Tôpô phân tầng Cho =  J a b là một cung mở trên biên S với hai điểm đầu mút a và b, và ( ]: 0,1→g J là hàm bất kỳ, không nhất thiết liên tục. Đặt: ở đây ( )V g là hợp những quả cầu cực hạn tại ∈x J kích thước ( )0 1.< ≤g x Xác định τ là một tôpô trên X S= ∪ sinh bởi tôpô thông thường trên  và tất cả các tập của ( )V g , trong đó J và g được chọn một cách tùy ý (xem hình 2.2). Hình 2.2. Một số các lân cận điển hình. Nhận xét tôpô τ thô hơn ρτ (những quả cầu cực hạn không còn mở), và ( ),X τ là hợp của những đĩa Poincaré  và các đường tròn Euclide 1.=S S Tôpô τ là một trong những tôpô ( ) ( )( ); , ∈ =  x J V g V x g x 22 chúng ta nghiên cứu trong luận văn, chúng ta sẽ chỉ ra ( ),X τ là một không gian chính quy với một cơ sở mở σ -bảo toàn bao đóng, nghĩa là , một 1M -không gian. Nhận xét 2.2.1. Trong lý thuyết của các không gian metric mở rộng:  1M -không gian là không gian chính quy với một cơ sở mở σ - bảo toàn bao đóng.  3M -không gian hoặc không gian phân tầng là không gian chính quy với một tựa cơ sở σ - bảo toàn bao đóng. (Một tập hợp các tập con B của một không gian X là tựa cơ sở nếu bất kỳ x U∈ với U mở thì có một số B∈B với ( )intx B B U∈ ⊂ ⊂ ).  Các không gian metric hóa được Fσ là những không gian có thể được biểu diễn như một hợp đếm được các không gian con đóng metric hóa được. Tất cả không gian trong các ví dụ của luận văn chúng ta là Fσ -metric hóa được. Lớp các không gian phân tầng có các tính chất chẳng hạn như “tập con”, “tích đếm được”, và “ánh xạ đóng”. Cho ví dụ, Gary Gruenhage đã chỉ ra rằng có thể lấy bất kỳ 2 không gian phân tầng và dán chúng lại với nhau bởi ánh xạ đóng bất kỳ; các không gian tổng cũng là phân tầng.  Chúng ta có thể sử dụng “không gian mở rộng” như sau: Cho ( ),X ρτ là không gian trong phần 2.1 với tôpô tiếp xúc đĩa ,ρτ và chúng ta ký hiệu không gian này như 0 0X S= ∪ , trong đó 0S ký hiệu biên ∂ với các tôpô rời rạc, trong khi vẫn giữ ký hiệu S cho đường tròn Euclide thông thường. Lấy 0:S Sϕ → là ánh xạ đồng nhất; ánh xạ ϕ này có thể được xem như một song ánh liên tục từ không gian con đóng rời rạc 0S của 0X lên đường tròn đơn vị S. Chú ý rằng không gian tôpô mở rộng 0X Sϕ∪ này là đồng nhất với τ của chúng ta. Trong các tài liệu, các định lý bảo toàn khác cho những không gian mở rộng đã được chứng minh, nhưng tiếc là chúng ta không thể áp dụng chúng ở đây bởi vì chúng chủ yếu là các dạng mà các không gian mở rộng hY Z∪ có một tính chất P nếu cả hai Y và Z có P. Chúng có các tính chất “chuẩn tắc”, “đơn điệu chuẩn tắc”, và “phân tầng” đã được biết. 23 Nhưng trong trường hợp của chúng ta 0 ,X Sϕ∪ không gian 0X không chuẩn tắc cũng không phân tầng. Chúng ta thấy rằng τ là chính quy. Bổ đề dưới đây là quan trọng để chứng tỏ rằng sự liên hệ giữa Euclide và Hyperbolic được tính thông qua những quả cầu cực hạn. Bổ đề 2.2.2. Cho bất kỳ điểm x S∈ và bất kỳ 0 1s< ≤ , khoảng cách giữa quả cầu cực hạn ( )1;3V x s− và ( )\ ;V x s lớn hơn 1 tương ứng với metric hyperbolic: ( ) { } ( )( )1;3 \ , \ ; log 3 1.098... 1.− > = > eV x s x V x sρ Chứng minh. Bằng phép quay chúng ta có thể giả thiết rằng 1x = . Khoảng cách giữa ( )1;3V x s− và ( )\ ;V x s được tính bởi ( )1 2,r rρ , trong đó 1 1r s= − và 12 1 3r s−= − . Bởi công thức (*) trong phần 2.1, ( ) 2 11 2 1 2 1 1, log log . 1 1 r rr r r r ρ + − = + + − Số hạng đầu tiên là dương do 2 1r r> , trong đó số hạng thứ 2 là log3 . □ Cho ( )V g được xác định như trên. Bổ đề 2.2.3. Khoảng cách giữa ( )13V g− và ( )\V g lớn hơn 1 tương ứng với metric hyperbolic. Chứng minh. Theo định nghĩa, ( )13V g− là hợp của ( )( )1;3V x g x− với mọi x J∈ . Khoảng cách giữa ( )( )1;3V x g x− và ( )\V g là lớn hơn 1 (theo bổ đề 2.2.2.). Kết quả, chúng ta có được bổ đề 2.2.3. □ Bổ đề 2.2.4. Cho clτ ký hiệu bao đóng trong τ . Ta có: ( ) [ ] ( )( )\ ,ρτ = ∪V g J V g Jcl cl 24 trong đó [ ] { },= ∪J J a b là cung đóng và ( )( )\V g Jclρ là tập hợp của tất cả các điểm z trong  mà ( )( ), \ 0z V g Jρ = . Chứng minh. Đặt [ ] ( )( )\= ∪J V g JE clρ . Chúng ta cần chỉ ra rằng E là đóng tương ứng với tôpô τ ngay cả E là đóng tương ứng với tôpô metric Euclide. Lấy bất kỳ điểm \z X E∈ . Nếu z∈ thì tập ( )( )\ \cl V g Jρ rõ ràng là một ρ -lân cận mở (d-lân cận mở) của z ngoài E. Vì vậy, giả sử [ ]\z S J∈ . Lấy ( );1V x ký hiệu quả cầu cực hạn ( );1V x kích thước 1 cùng với đường tròn biên của nó, và đặt ( ) [ ]{ };1 :F V x x J= ∈ . Vậy F là một tập đóng Euclide chứa tập ( )V g và không chứa z. Do đó, \X F là một d-lân cận mở của z ngoài E. Tính chất 2.2.5. Tôpô τ là chính quy. Chứng minh. Chúng ta cần kiểm tra tính chính quy tại điểm x trên biên S. Cho ( )x V g∈ và ( ]: 0;1g J → . Lấy một cung K c d=  sao cho [ ] { },∈ ⊂ = ∪ ⊂K K Kx c d J , và h là hạn chế của g lên k. Theo bổ đề 2.2.4., chúng ta có ( ) ( ) [ ] ( )( )1 1 13 3 3 \− − −∈ ⊆ = ∪V h V h K V h Kx cl clτ ρ . Bổ đề 2.2.3. hàm ý rằng ( )( ) ( )13 \cl V h K V hρ − ⊆ . Do đó, ( )13−V hclτ được chứa trong ( ) ( )J V h V g∪ ⊆ . □ Do τ là chính quy nên τ tách được. Thật vậy, do ( ),X τ là một hợp đếm được của các tập compact (S là compact) nên nó là không gian Lindelof . Như vậy, τ là không gian Lindelof chính quy. Do đó,τ là paracompact. Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra rằng ( ),X τ có một cơ sở mở σ - bảo toàn bao đóng. Chọn một phủ B hữu hạn địa phương của  bao gồm những quả cầu mở đường kính 1≤ tương ứng với metric hyperbolic ρ ; chúng ta cố định phủ mở này của  . Cho bất kỳ tập con A X⊆ , xác định mở rộng của nó A bởi B như sau: { }:= ∪ ∈ ∩ ≠ ∅A A B A BB . 25 Chú ý rằng ( ) { } ( ) { }( ); ; \= ∪ V x s x V x s x và ( ) ( )( )\= ∪ V g J V g J . Bổ đề 2.2.2 và bổ đề 2.2.3 chỉ ra rằng các bao hàm thức ( ) ( ) ( )1 1;3 ;3 ;− −⊆ ⊆V x s V x s V x s và ( ) ( ) ( )1 13 3− −⊆ ⊆V g V g V g là đúng, và điều này có nghĩa là tập hợp của ( )V g là một cơ sở lân cận tại các điểm của S, cũng vậy tương ứng các tập hợp của ( ) .V g  Cố định một cung J mở trên biên S, và lấy ( )J ký hiệu tập của tất cả các tập hợp mở của dạng ( )V g  trong đó g chạy trên tất cả các hàm từ J tới nửa khoảng ( ]0,1 3 . Chúng ta có bổ đề sau đây. Bổ đề 2.2.6. ( ) J là bảo toàn bao đóng trong ( ),X τ Chứng minh. Cho  tập bất kỳ của các hàm ( ]: 0,1 3g J → . Chúng ta cần chỉ ra rằng ( )( )∈  g V gclτ được chứa trong ( )( )∈ g V gclτ . Lấy g∈ và x J∈ , do ( )( ) ( )( ) ( ); ;3 ;1⊆ ⊆V x g x V x g x V x nên chúng ta có ( )V g F⊆ và ( )∈ ⊆  g V g F , trong đó ( ) [ ]{ };1 :F V x x J= ∈ là tập đóng Euclide trong chứng minh của bổ đề 2.2.4. Tương tự như trong bổ đề 2.2.4, chúng ta có thể chỉ ra rằng: ( )( ) [ ] ( )( )\cl V g J cl V g Jτ ρ= ∪  và ( ) ( ) \ ∈∈               = ∪     gg V g J V gcl cl Jτ ρ . Vì vậy chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng tập mở ( ){ }\ : ∈ V g J g là bao đóng bảo toàn trong ( ),ρ . Điều này rõ ràng bởi vì ( ) \V g J bao gồm các phần tử của một phủ hữu hạn địa phương B của  . 26 Tính chất 2.2.7. Không gian ( ),X τ có một cơ sở mở σ - bảo toàn bao đóng , do đó là phân tầng. Chứng minh. Chọn một cơ sở mở đếm được ( )iJ i ω∈ của S bao gồm các cung mở. ( )∈ i iJω là cơ sở lân cận các điểm tại S, và ( ) iJ là bao đóng bảo toàn theo bổ đề 2.2.6. Do ( ),ρ là đếm được thứ hai, chúng ta có thể lấy một cơ sở mở i iω∈  mà i là một tập hợp đơn vị. Như vậy, chúng ta có một cơ sở mở σ - bảo toàn bao đóng ( )i i i iJω ω∈ ∈∪   với τ . □ Chú ý rằng không gian ( ),X τ của chúng ta không thể được biểu diễn như một ảnh của bất kỳ không gian metric bởi bất kỳ ánh xạ đóng. Điều này chứng tỏ rằng không gian của chúng ta không phải là “ Fréchet ” bởi vì không gian “Fréchet ” được bảo toàn bởi ánh xạ đóng. Tính chất 2.2.8. Không gian ( ),X τ không phải là không gian Fréchet. Do đó không đếm được thứ nhất, tại bất kỳ điểm nào trên biên S . Chứng minh Lấy bất kỳ điểm 0x trên biên S và lấy ( )0;1V x là quả cầu cực hạn đóng trong chứng minh của bổ đề 2.2.4. Xét một tập con ( )0\ ;1A V x= . Rõ ràng là 0x cl Aτ∈ . Giả sử có một τ -dãy hội tụ { }na trong A mà 0na x→ . Đặt { }:nC a n ω= ∈ . Do dãy hội tụ này cũng là một dãy hội tụ trong tôpô Euclide nên { }0C x∪ là một tập đóng Euclide. Lấy bất kỳ cung mở J chứa điểm 0x ,và với mỗi điểm { }0\x J x∈ chọn một quả cầu cực hạn ( ); xV x s tách rời { }0C x∪ . Xác định một hàm ( ]: 0,1g J → như sau ( )0 1g x = và ( ) xg x s= với { }0\x J x∈ ( hàm g này có thể được chọn như một hàm liên tục trên { }0\J x ). Vậy lân cận ( )V g của 0x ngoài C, mâu thuẫn. □ Nhận xét 2.2.9.  Không gian ( ),X τ của chúng ta là dãy. 27  Chúng ta có thể nhận xét rằng ở đây ( ),X τ là khả đối xứng và không gian khả đối xứng được biết là dãy. Theo A.V.Arhangel’skii, một không gian ( ),X τ là khả đối xứng nếu có một hàm ): 0,X Xδ × → ∞ (không nhất thiết liên tục) sao cho: (1) ( ), 0x yδ = nếu x y= (2) ( ) ( ), ,x y y xδ δ= (3) U τ∈ nếu với mỗi x U∈ tồn tại 0ε > sao cho ( );x B x Uδ ε∈ ⊂ , trong đó ( ) ( ){ }; : ,B x z X x zδ ε δ ε= ∈ < ký hiệu “quả cầu” đối với δ . Ở đây lưu ý rằng, vì thiếu điều kiện của bất đẳng thức tam giác, điều kiện (3) không xác định ( );B xδ ε τ∈ . Cho không gian của chúng ta X S= ∪ , xác định ( ),x yδ trong trường hợp một trong hai ,x y∈ hoặc ,x y S∈ , cho ( ),x yδ là khoảng cách Euclide ( ),d x y ; nếu x S∈ và y∈ thì xác định ( ) ( ), ,x y y x sδ δ= = , trong đó 0 2s< < , điểm y nằm trên biên của quả cầu cực hạn ( );V x s . Dễ dàng thấy rằng , δ thỏa mãn điều kiện (1), (2), và (3) và “quả cầu” tại x S∈ bán kính s đối với δ là ( ) ( ); ;B x s V x s Jδ = ∪ , trong đó J a b=  , ( ) ( ), ,d a x d x b s= = , cùng tập hợp như chúng ta đã đề cập ở cuối phần 2.1. 2.3. Dạng của các lân cận tại biên Ở đây chúng ta nghiên cứu dạng của các lân cận tại các điểm trên biên S. Chúng ta ký hiệu dτ tôpô Euclide trên đĩa đóng  . Nếu (: 0,1ch J → là một hàm hằng có giá trị (0,1c ∈ , lân cận dạng gối ( )cV h thuộc Euclide dτ . Tổng quát, cho một lân cận V τ∈ , chúng ta gọi điểm x V S∈ ∩ là một điểm Euclide của V nếu x có một lân cận Euclide dU τ∈ được chứa trong V. Một điểm của V S∩ khác những điểm Euclide, chúng ta gọi là những điểm phi Euclide của V. Chúng ta ký hiệu tập tất cả những điểm Euclide của V bởi ( )Ec V và gọi nó là phần Euclide của V. 28 Tập tất cả những điểm phi Euclide của V ký hiệu bởi ( )Nec V , chúng ta gọi là phần phi Euclide của V. Rõ ràng, ( )Ec V là một tập mở trong V S∩ . Tính chất 2.3.1. ( )Ec V là một tập con mở trù mật trong V S∩ . Chứng minh. Cho ( .: 0,1→g J Đặt (( )1 1 ,1nG g n− = , J là hợp đếm được của ( )2nG n ≥ . Do J là một đồng phôi của đường thẳng thực nên chúng ta có thể áp dụng định lý phạm trù Baire để có được một số m mà bao đóng của mG có một phần trong khác rỗng trong J. Nghĩa là, chúng ta có thể tìm một số cung mở riêng I trong J mà mI G∩ là trù mật trong I. Theo định nghĩa của mG , với mọi ,∈ ∩ mx I G quả cầu cực hạn ( );1V x m kích thước1 m được chứa trong ( )( ) ( );V x g x V g⊆ . Vì mI G∩ là trù mật trong I nên tập ( ){ };1 : mI V x m x I G∪ ∈ ∩ là tương tự như tập mở ( )V h cho một hàm hằng (: 0,1h I → có giá trị 1 m . Do ( ) dV h τ∈ nên chúng ta có ( )I Ec V⊂ . Thay thế g bởi thu hẹp của nó cho bất kỳ cung con của J, chúng ta có thể kết luận rằng ( )Ec V là mở trù mật trong J. □ Nói cách khác, phần phi Euclide ( )Nec V là không đâu trù mật đóng trong V S∩ . Cho mỗi điểm a trong S, lấy (: 0,1ah S → ký hiệu một hàm sao cho ( ) ( )1 cos 2ah x θ= − trong đó 0 θ π≤ ≤ là độ dài cung của a x  . Cho J a b=  là một cung mở độ dài π< trên biên S, và xác định một hàm (: 0,1Jh J → bởi a bh h∧ , nghĩa là, ( ) ( ) ( ){ },aJ bh x Min h x h x= . Chúng ta gọi hàm Jh này là hàm ceiling trên J. Khi một hàm h được xác định trên một số hợp rời của các cung mở và h là hàm ceiling trên mỗi cung mở, chúng ta cũng gọi một hàm h như vậy là hàm ceiling. Bổ đề 2.3.2. ( )JV h là tách rời từ ( ) ( );1 ;1V a V b∪ , trong đó J a b=  . 29 Chứng minh. Cố định một điểm x J∈ và cho θ là độ dài cung của a x  . Bởi tính đối xứng chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng ( )( ); aV x h x là tách rời từ ( );1V a . Cho ( );dB x ε là quả cầu mở Euclide (trong mặt phẳng) tâm x và bán kính ε sao cho tiếp xúc với ( );1V a . Vậy thì 5 4 cos 1 2ε θ= − − và ε này là lớn hơn ( ) ( )1 cos 2 ah xθ− = . Do đó, quả cầu cực hạn ( )( ); aV x h x được chứa trong ( );dB x ε và tách rời từ ( );1V a . □ Cho ,a bS là hình quạt tròn của đĩa đơn vị  được sinh bởi cung J a b=  , và đặt ( ) ( ) ( )( ), \ ;1 ;1a Jb a bA S V a V b V h= ∪ ∪ . Tập này là một tam giác cong có dạng như “arbelos”, và do đó chúng ta gọi tập a bA này như arbelos được xác định bởi a và b . Tập a bA này là đóng đối với τ , nhưng chú ý rằng tập này là không đóng đối với tôpô Euclide dτ , nghĩa là nó bao gồm hai điểm a và b trong bao đóng Euclide của nó. Ví dụ 2.3.3. Chúng ta trình bày một ví dụ điển hình của một lân cận với phần phi Euclide không đếm được: Cho J a b=  là một cung mở độ dài π< trên biên S và cho C là một đồng phôi của tập hợp Cantor trong J. Tập con mở trù mật \J C của J có thể được viết như một hợp rời n nJω∈ của các cung mở n nn a bJ =  . Cho (: 0,1h J → là một hàm mà h lấy giá trị hằng số 1 trên C và h là hàm ceiling trên \J C . Chúng ta chứng tỏ rằng ( )( )Nec V h C= . Đặt ( );1C y CV V y∈= . Do { }, |n na b n ω∈ là trù mật trong C nên chúng ta có ( ) ( )( );1 ;1n nC nV C V a V bω∈= ∪ ∪ . Do đó, bổ đề 2.3.2 chứng tỏ rằng ( )V h tạo thành một hợp rời ( ) ( )nJC nV h V V hω∈= ∪  . 30