Luận văn Khái niệm Xác suất trong dạy và học toán ở Trung học phổ thông

ác suất xuất hiện trong sách giáo khoa một cách độc quyền trong phạm vi số học và đại số tổ hợp. Các bài toán gắn liền với khái niệm này đều yêu cầu tính xác suất xuất hiện của biến cố, tức tính khả năng xảy ra của biến cố. Chúng tôi không thấy có mặt các bài toán thuộc phạm vi hình học (tính gần đúng diện tích một hình hình học, tính gần đúng giá trị số pi, …) hay phạm vi giải tích … Như vậy câu hỏi Q4 đã được trả lời. III.3. Về các đối tượng liên quan đến khái niệm xác suất – Đối tượng phép thử ngẫu nhiên có mặt trong sách giáo khoa chỉ gồm loại phép thử có các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Như đã nói ở trên, thể chế dạy học ở Việt nam gắn liền với việc tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất nên không thể đưa vào sách giáo khoa các phép thử có các kết quả không đồng khả năng xuất hiện được. – Đại số tổ hợp có vai trò được nêu một cách tường minh là công cụ tính toán xác suất. Như vậy vai trò của nó trong lịch sử tiếp tục được lặp lại ở đây. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -58- – Khái niệm tần số, tần suất xuất hiện của một biến cố có mặt trong sách giáo khoa đã thể hiện sự liên quan mật thiết của thống kê với xác suất, dù chỉ với tư cách giải thích trong định nghĩa thống kê của khái niệm xác suất và để tính xác suất thực nghiệm. III.4. Nhìn từ khía cạnh hợp đồng didactique Tính toán xác suất dựa trên định nghĩa cổ điển chỉ hợp thức trong phạm vi các phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Việc lấy định nghĩa này làm trọng tâm đã kéo theo một ràng buộc đối với sách giáo khoa trong sự lựa chọn các phép thử. Trong sự lựa chọn đó, hiển nhiên là các giả thiết của định nghĩa cổ điển đã được thỏa mãn, và học sinh phải không chịu trách nhiệm kiểm tra điều kiện áp dụng định nghĩa để tính xác suất. Mặt khác, thể chế mong muốn học sinh nắm và vận dụng được các qui tắc tính xác suất, thao tác trên các phép toán của tập hợp và đại số tổ hợp để tính giá trị của xác suất. Từ những phân tích chương trình và sách giáo khoa trên, chúng tôi rút ra hai qui tắc hợp đồng didactique liên quan đến việc tính xác suất của một biến cố. Các qui tắc này được phát biểu lại như sau: R1: Muốn tìm xác suất của một biến cố thì phải sử dụng công thức của định nghĩa cổ điển của xác suất. R2: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tính có các kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử khi giải một bài toán về xác suất bằng định nghĩa cổ điển của xác suất. Hai qui tắc hợp đồng này đã cho chúng tôi câu trả lời cho Q3. Vấn đề là phải trở về với thực tế dạy-học để kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết về sự tồn tại hai quy tắc này. Vấn đề đó là một trong những mục đích nghiên cứu mà chúng tôi sẽ thực hiện ở chương sau. Mặt khác, những nghiên cứu ở trên cho thấy các hoạt động, ví dụ, bài tập,… liên quan đến định nghĩa thống kê của xác suất chiếm một vị trí quá khiêm tốn trong cả hai bộ sách giáo khoa nên « nghĩa thực tế » của khái niệm xác suất theo quan điểm thống kê ít có khả năng hình thành nơi học sinh. Vậy làm cách nào để học sinh nhận ra được trong tình huống nào thì không thể sử dụng định nghĩa cổ điển để tính toán xác suất mà phải nghĩ đến việc ước lượng giá trị xác suất qua thực nghiệm ? Điều này khiến chúng tôi nghĩ đến việc tìm cách thiết kế một số hoạt động nhằm bổ sung thêm cho học sinh một cơ hội mới để tiếp xúc với khái niệm xác suất theo tiếp cận thống kê. Chúng tôi cũng sẽ tìm cách giải quyết vấn đề này ở chương tiếp theo. www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trường THPT - 59 - Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM A. THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT Liên quan đến dạy-học khái niệm xác suất, nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa đã dẫn chúng tôi đến với hai giả thuyết sau đây: H1 Tồn tại hai qui tắc hợp đồng didactique: R1 Muốn tìm xác suất của một biến cố thì phải sử dụng công thức của định nghĩa cổ điển của xác suất. R2 Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tính có các kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử khi tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển. H2 Phương pháp thống kê1 chưa thực sự được học sinh vận dụng vào các tình huống mà trong đó họ cần phải tìm xác suất của một biến cố. Để kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết này, chúng tôi phải trở về với thực tế dạy-học. Thực nghiệm mà chúng tôi sẽ trình bày dưới đây nhằm tìm hiểu xem có đúng là hai quy tắc trên có tác động đến ứng xử của học sinh hay không. Nó cũng còn nhằm tìm hiểu xem đối với học sinh thì giữa xác suất và tần suất có mối liên hệ gì, định nghĩa thống kê của xác suất đã thực sự mang lại một phương tiện cho phép nghiên cứu xác suất của một biến cố hay chưa. § I. GIỚI THIỆU THỰC NGHIỆM Thực nghiệm được tiến hành trên 165 học sinh của 4 lớp 11 thuộc hai trường Trung học phổ thông trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh. Hai trường này đang sử dụng sách giáo khoa viết theo chương trình thí điểm. Cho đến thời điểm hiện nay, việc thí điểm đã tiến hành đến năm thứ hai, nghĩa là học sinh lớp 11 của các trường này sử dụng sách giáo khoa thí điểm ở cả lớp 10 lẫn lớp 11. Trong 4 lớp tham gia thực nghiệm, có hai lớp thuộc trường PTTH Mạc Đĩnh Chi (với 77 học sinh) sử dụng bộ sách giáo khoa của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh. Hai lớp còn lại thuộc trường PTTH Nguyễn Hữu Huân (với 88 học sinh), sử dụng bộ sách do Trần Văn Hạo làm tổng chủ biên. 1 Chúng tôi gọi phương pháp thống kê là phương pháp tìm xác suất bằng cách dựa vào bảng tần suất của biến cố khi số phép thử được thực hiện là đủ lớn. www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trường THPT - 60 - Thời điểm thực nghiệm được tiến hành sau khi học sinh đã học xong chương « Tổ hợp và xác suất ». Các học sinh làm việc cá nhân để trả lời từng câu trong hai câu hỏi liên quan đến hai tình huống được trình bày trong các phiếu phát cho mỗi em. Câu hỏi 1 thuộc dạng « cho điểm các lời giải của một số học sinh giả định ». Câu hỏi hai liên quan đến một tình huống mà ở đó việc tính xác suất theo phương pháp thống kê là cần thiết. • Tình huống 1 ♦ Cho bài toán: « Gieo hai con súc sắc cùng một lúc. Hãy tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc là 7 ». Sau đây là lời giải của bốn học sinh: Lời giải 1: Gọi A là biến cố « tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc là 7 ». Do việc gieo hai súc sắc có 36 kết quả nên không gian mẫu Ω gồm 36 phần tử, trong đó biến cố A = { }1) (6, 2), (5, 3), (4, 4), (3, 5), (2, 6), (1, gồm 6 phần tử nên xác suất P(A) = 36 6 = 6 1 Lời giải 2: Do tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc có thể là 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 nên không gian mẫu có 11 kết quả đồng khả năng xuất hiện. Vì vậy, xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc bằng 7 là 11 1 . Lời giải 3: Có Ω = { }6 j ,i 1 j) , (i ≤≤ nên Ω có 36 phần tử (các kết quả đồng khả năng xuất hiện) Do: 7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 4 + 3 = 5 + 2 = 6 + 1 nên xác suất cần tìm là: 36 6 = 6 1 Lời giải 4: Em đã thực hiện việc gieo ngẫu nhiên hai súc sắc 126 lần và đếm được 21 lần có tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai súc sắc bằng 7. Vậy xác suất cần tìm là 126 21 = 6 1 www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trường THPT - 61 - ♦ Câu hỏi đặt ra cho em: a) Em hãy cho điểm bốn lời giải trên theo thang điểm từ 0 đến 10. Hãy giải thích tại sao em cho mỗi lời giải số điểm này ? b) Trong trường hợp không có lời giải nào được em cho điểm tối đa, em hãy trình bày một lời giải mà em cho là tốt nhất. • Tình huống 2 ♦ Trò chơi « Đoán tích »: Biết rằng khi sử dụng chức năng Random của máy tính bỏ túi2, ta nhận được một số thập phân ngẫu nhiên lấy giá trị từ 0 đến 0,999 (phần thập phân chỉ có 3 chữ số). Người ta đã sử dụng chức năng này để thực hiện trò chơi « Đoán tích ». Hai người chơi có hai máy tính bỏ túi. Mỗi người sẽ phải đoán xem tích của hai số nhận được bằng quy trình « Tìm tích » mô tả dưới đây là một số bằng 0 hay khác 0. Quy trình « Tìm tích »: Mỗi người sử dụng chức năng Random của máy để có một số. - Người thứ nhất nhân số của mình với 3, nhận được một số thập phân thuộc đoạn [0; 2,997], rồi lấy phần nguyên của số mình đó. Như thế, số của người thứ nhất là một số nguyên a, có thể bằng 0, 1, hoặc 2. Người thứ nhất ghi số a này trên trang giấy chung. - Cùng lúc với người thứ nhất, người thứ hai nhân số của mình với 7, nhận được một số thập phân thuộc đoạn [0; 6,993], rồi lấy phần nguyên của số đó. Số của người thứ hai là số nguyên b, có thể nhận một trong các giá trị 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Người thứ hai cũng ghi số b này trên trang chung. Qui trình thao tác của mỗi người trên máy tính bỏ túi CASIO fx 500A để có các số a, b là như sau: Người thứ nhất Shift . X 3 = Lấy phần nguyên của số hiện trên màn hình máy tính bỏ túi Ghi kết quả Người thứ hai Shift . x 7 = Lấy phần nguyên của số hiện trên màn hình máy tính bỏ túi Ghi kết quả - Hai người cùng tính tích a.b rồi đánh dấu vào cột tương ứng trong bảng sau: Số a Số b a.b = 0 a.b ≠ 0 2 Hiệu CASIO fx 500A, fx-95, fx 500MS, fx 570MS, … www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trường THPT - 62 - ♦ Câu hỏi đặt ra cho em: Gọi A là biến cố « a.b = 0 », B là biến cố « a.b ≠ 0 ». Ba cột đầu tiên trong bảng dưới đây lập được từ kết quả để lại trên tờ giấy chung của nhiều cặp thực hiện trò chơi « Đoán tích »: Số ván chơi Tần số xuất hiện biến cố A Tần số xuất hiện biến cố B Tần suất xuất hiện biến cố A Tần suất xuất hiện biến cố B 100 55 45 200 87 113 500 230 270 1.000 431 569 2.000 838 1.162 4.000 1.725 2.275 5.000 2.166 2.834 10.000 4.262 5.738 15.000 6.418 8.582 20.000 8.602 11.398 25.000 10.728 14.272 a) Hãy điền thông tin còn thiếu vào hai cột cuối của bảng đó. b) Em có thể nói gì về xác suất xuất hiện biến cố A ? Giải thích ý kiến của em. c) Nếu chơi trò chơi « Đoán tích », em sẽ đặt cược cho kết quả là xảy ra biến cố A hay biến cố B ? Giải thích sự lựa chọn của em ? § II. PHÂN TÍCH A PRIORI CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NGHIỆM II.1. Tình huống 1 Câu hỏi thứ nhất liên quan đến tình huống 1, được thiết kế nhằm kiểm chứng giả thuyết H1. Để kiểm chứng sự tồn tại qui tắc hợp đồng R2, đó là « Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tính có các kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử khi giải một bài toán về xác suất bằng định nghĩa cổ điển của xác suất », chúng tôi đưa ra một bài toán quen thuộc với yêu cầu tính xác suất của một biến cố và cung cấp sẵn một số lời giải gíả định, trong đó có lời giải có kiểm tra (một cách hình thức) tính có một số kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử, và một số lời giải không có thao tác kiểm tra này. Chúng tôi muốn biết xem việc có kiểm tra này có phải là một trong các thao tác bắt buộc đối với học sinh khi giải bài toán yêu cầu tính xác suất hay không ? Bên cạnh đó, để kiểm tra qui tắc R1 , là « Muốn tìm xác suất của một biến cố thì phải sử dụng công thức của định nghĩa cổ điển của xác suất », chúng tôi đưa ra một lời giải giả định trong đó xác suất được tính bằng phương pháp thực hiện phép thử nhiều lần và lấy một giá trị tần suất xuất hiện của biến cố để trả lời cho giá trị xác suất cần tìm. www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trường THPT - 63 - Việc các học sinh tham gia làm thực nghiệm không chấp nhận cách giải này sẽ giúp chúng tôi khẳng định sự tồn tại của qui tắc cần kiểm tra. ¾ Biến tình huống, giá trị được chọn và giải thích sự lựa chọn Chúng tôi sẽ nói rõ các biến, giá trị có thể có của chúng và giải thích sự lựa chọn của chúng tôi trong việc thiết kế tình huống này. ■ Biến thứ nhất (V1): Cách đặt câu hỏi Trong tình huống này ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán (tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc là 7). Đây là một bài toán quen thuộc đối với học sinh. Lời giải được cung cấp cũng có thể cho phép kiểm chứng (hay bác bỏ) giả thuyết H1 về sự tồn tại của hai quy tắc R1, R2 của hợp đồng didactic. Tuy nhiên, việc khẳng định về sự tồn tại của quy tắc R2 sẽ thuyết phục hơn nếu có thể đảm bảo rằng không phải là học sinh đã « quên kiểm tra tính đồng khả năng xảy ra của biến cố ». Chính vì thế chúng tôi đã không chọn phương án đưa ra một lời giải duy nhất. Việc yêu cầu học sinh đánh giá nhiều lời giải, « cho điểm và giải thích lý do» sẽ tạo ra sự lưỡng lự, buộc họ phải cân nhắc, so sánh, tìm những chi tiết đúng, sai, thừa, thiếu,… Trong 4 lời giải đưa ra có 2 lời giải (một đúng, một sai) tính đến việc các biến cố đồng khả năng xuất hiện. Đó là một cách « nhắc » học sinh chú ý đến điều kiện này trong định nghĩa cổ điển của xác suất. Nếu họ vẫn không quan tâm đến điều đó thì có nghĩa là quy tắc R2 có hiệu lực khá mạnh. Bên cạnh đó, chúng tôi còn đề nghị học sinh trình bày thêm một lời giải riêng của mình nếu trong các lời giải cho sẵn, không có lời giải nào được học sinh này cho điểm 10. Như vậy học sinh có thể bộc lộ nhiều suy nghĩ, quan điểm riêng trong yêu cầu trình bày một lời giải cho bài toán tính xác suất. ■ Biến thứ hai (V2): Số súc sắc và số lần gieo của phép thử ngẫu nhiên Ký hiệu (p, q) là cặp số theo thứ tự chỉ số súc sắc và số lần gieo trong phép thử được xét. Cặp (p, q) có thể nhận các giá trị sau: • (p, q) = (1, 1): « Gieo một súc sắc một lần » Đây là phép thử có các kết quả đồng khả năng xuất hiện (6 kết quả) và dễ liệt kê không gian mẫu Ω. Không có dạng biến cố liên quan đến tổng số chấm trên mặt xuất hiện của xác suất. • (p, q) = (2, 1): « Gieo hai súc sắc một lần » Phép thử có 36 kết quả đồng khả năng xuất hiện (36 kết quả), mỗi kết quả là một biến cố sơ cấp có thể được biểu thị bởi cặp số (i; j) thể hiện số chấm lần lượt xuất hiện trên mặt của súc sắc thứ nhất và súc sắc thứ hai. Không gian mẫu có thể mô tả dễ dàng (tuy liệt kê thì hơi lâu). www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trường THPT - 64 - Với phép thử này, khi xét các biến cố liên quan đến tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai súc sắc sau một lần gieo thì sự nhầm lẫn theo kiểu « d’Alambert » có thể xảy ra. Cụ thể, theo sai lầm này, học sinh cho rằng phép thử có « 11 kết quả đồng khả năng xuất hiện » (có 11 dạng tổng các chấm, từ 2 đến 12). • (p, q) với p > 2, q > 1: « Gieo p súc sắc q lần » với p > 2, q > 1 Phép thử có không gian mẫu quá lớn, không thuận lợi cho việc liệt kê, cần phải mô tả. Việc đưa ra các phép thử loại này gây khó khăn không cần thiết cho học sinh. Giá trị mà chúng tôi lựa chọn là « Gieo hai súc sắc cùng lúc một lần ». Với giá trị này, học sinh sẽ dễ nhận ra sự phân biệt của 36 kết quả xuất hiện do phải tính đến số chấm trên mặt của từng con súc sắc. Phép thử gieo hai súc sắc cùng một lúc cũng là một ví dụ quen thuộc đối với học sinh. Ngoài ra, như đã nói ở trên, khi gieo hai súc sắc cùng một lúc, các biến cố « tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai súc sắc bằng s » là không đồng khả năng xuất hiện, và việc cố ý chọn một lời giải sai (lời giải 2) trong đó có nói « 11 kết quả đồng khả năng xuất hiện » là nhằm buộc học sinh phải chú ý đến tính đồng khả năng của các biến cố. Trong ngữ cảnh đó, nếu học sinh vẫn không đánh giá lời giả 3 cao hơn so với lời giải 1 thì có nghĩa là quy tắc R2 tác động khá mạnh đến ứng xử của học sinh. ■ Biến thứ ba (V3): Kiểu biến cố cần tính xác suất Với cặp (p, q) = (2,1) đã chọn, phép thử có không gian mẫu gồm 36 kết quả đồng khả năng xuất hiện. Có khá nhiều kiểu biến cố cần tính xác suất, sau đây là một số giá trị quen thuộc: • « Các mặt xuất hiện của hai súc sắc sau khi gieo được cho trước » Dùng cặp số sắp thứ tự (i, j) để chỉ số chấm lần lượt xuất hiện trên mặt của súc sắc thứ nhất và súc sắc thứ hai khi gieo chúng đồng thời. Các biến cố « thu được cặp (i, j) sau khi gieo cùng lúc hai súc sắc» là đồng khả năng xuất hiện với mọi i, j (1 ≤ i, j ≤ 6), ví dụ biến cố (3, 5) đồng khả năng xuất hiện với biến cố (5,3). Trong trường hợp này, xác suất cần tìm bằng 1/36. • « Gieo hai súc sắc cùng lúc, được một súc sắc i chấm và một súc sắc j chấm » Các biến cố này cũng là đồng khả năng xuất hiện với mọi i, j (1 ≤ i, j ≤ 6), do các cặp (i, j) và (j, i) cùng cho kết quả xuất hiện là một súc sắc i chấm và một súc sắc j chấm. Xác suất cần tìm trong đây bằng 1/18. • « Tổng số chấm xuất hiện khi gieo cùng lúc hai súc sắc là s » (2 ≤ s ≤ 12) Các biến cố kiểu này là không đồng khả năng xuất hiện khi s thay đổi giá trị, ví dụ biến cố « tổng các chấm bằng 2 » và biến cố « tổng các chấm bằng 7 » là không đồng khả năng xuất hiện. www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trường THPT - 65 - Ngoài ra có thể có các biến cố liên quan đến hiệu (ví dụ : i ≤ j, i>j,…), tích (ví dụ : tích i.j chẵn, lẻ,…), thương (ví dụ : i chia hết cho j,…), tính chất số học (ví dụ : i và j nguyên tố cùng nhau, i chẵn và j lẻ,…),… của số chấm xuất hiện trên mặt hai súc sắc. Giá trị được chọn cho biến thứ ba này là « tổng số chấm xuất hiện khi gieo cùng lúc hai súc sắc là s ». Với giá trị này, chúng tôi có thể đưa ra nhiều lời giải giả định hơn, đặc biệt là lời giải phạm sai lầm theo kiểu « d’Alambert » (lời giải 2). ■ Biến thứ tư (V4): Giá trị của tổng các chấm trên mặt xuất hiện của hai súc sắc Khi đã cố định giá trị của các biến V2, V3 theo cách lựa chọn của chúng tôi thì V4 có thể lấy các giá trị sau: • Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện là s = 2 (hay s = 12): Lúc này tập hợp mô tả biến cố có đúng một phần tử nên cách lập luận để tính xác suất giống như trường hợp gieo 1 súc sắc: không gian mẫu có n biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện thì xác suất của mỗi biến cố sơ cấp là 1/n; (ở đây, lời giải đúng là 1/ 36 với n = 36 và lời giải sai là 1/11 với n = 11). • Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện là s, với s bằng 3 (hoặc 11), 4 (hoặc 10), 5 (hoặc 9), 6 (hoặc 8), 7. Số phần tử của tập hợp mô tả biến cố khác lớn hơn 1 nên phải liệt kê tập hợp mô tả biến cố này. Chúng tôi chọn giá trị s = 7. Biến cố cần tính xác suất là « Tổng các chấm trên mặt xuất hiện của hai súc sắc là 7 ». Với giá trị này, như đã nói ở trên, các biến cố « tổng các chấm xuất hiện trên mặt hai súc sắc bằng s » khi s lấy giá trị từ 2 đến 12 là không đồng khả năng xuất hiện, và phải liệt kê tập hợp mô tả biến cố để tính số phần tử. ¾ Phân tích bốn lời giải giả định: Lời giải 1: - Lời giải này có đáp số đúng. - Xác suất được tính bằng định nghĩa cổ điển. - Lời giải sẽ là « hoàn hảo » nếu không thiếu đi chi tiết « các kết quả là đồng khả năng xuất hiện ». Lời giải 3: - Đây là một lời giải « hoàn hảo », có nêu lên rằng không gian mẫu có « các kết quả đồng khả năng xuất hiện ». www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trường THPT - 66 - - Cách viết « 7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 4 + 3 = 5 + 2 = 6 + 1 » nhằm làm cho Lời giải 1 và Lời giải 3 có sự khác nhau về hình thức trình bày. Hai lời giải trên được chúng tôi cố ý chọn cách trình bày lời giải khác nhau và để cách quãng nhau (bởi lời giải 2) để tránh tình trạng làm lộ rõ ý đồ của câu hỏi thực nghiệm. Nếu đưa ra hai lời giải y hệt nhau, chỉ hơn kém nhau ở chỗ có hay không câu « các kết quả đồng khả năng xuất hiện », thì sẽ khiến học sinh chú ý vào việc cho rằng độ hoàn chỉnh của một lời giải phụ thuộc việc có kiểm tra tính có các kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử hay không. Lời giải 2: - Cho đáp số sai. - Sử dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất. Sai lầm là ở chỗ : 11 biến cố được liệt kê trong lời giải là đồng khả năng xuất hiện. Đây là một sai lầm kiểu « d’Alambert » khi cho rằng các kết quả này đồng khả năng xuất hiện. - Lời giải nói « không gian mẫu có 11 kết quả đồng khả năng xuất hiện » để gây chú ý cho học sinh vào chi tiết « đồng khả năng xuất hiện ». Lời giải 4: - Trong lời giải này, chúng tôi sử dụng một kết quả thực nghiệm giả định và cố tình cho giá trị tần suất đúng bằng 1/6, tức là bằng giá trị tìm được trong các lời giải 1 và 3. Về mặt lý thuyết, tần suất chỉ được xem là một giá trị gần đúng của xác suất. Đặc biệt, khi số phép thử chỉ là 126 thì càng phải thận trọng trong việc đồng nhất tần suất (xác suất thực nghiệm) với xác suất. Nhưng nếu chọn cho tần suất một giá trị gần đúng với 1/6, có thể học sinh không chấp nhận lời giải giả định này chỉ vì lý do đáp số không chính xác chứ không hẳn vì lý do lời giải 4 đã không sử dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất, hay vì số phép thử chưa đủ lớn. Điều này rất có thể xảy ra vì trong thể chế dạy học ở Việt nam dường như người ta không chấp nhận việc đưa ra một giá trị gần đúng cho các bài tập dạng « tính … ». - Lời giải này tạo ra một sự ngắt quãng hợp đồng và cho phép kiểm chứng được sự tồn tại qui tắc R1 khi học sinh đứng trước câu hỏi « tính xác suất ». ¾ Những cái cần quan sát: Vấn đề không phải là điểm số do mỗi học sinh đưa ra cho từng lời giải, mà là trong khi đánh giá, học sinh có phân biệt biệt Lời giải 1 với Lời giải 3 hay không ? Nếu có thì phân biệt ở chỗ nào ? Học sinh có chấp nhận Lời giải 2 hay không ? Không chấp nhận nó vì « đáp số khác với Lời giải 1 và 3 đã được thừa nhận là đúng » hay vì « 11 kết quả không đồng khả năng xuất hiện » ? www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy-học toán ở trường THPT - 67 - Một điểm khác cần quan sát là đánh giá của học sinh đối với Lời giải 4. Học sinh có chấp nhận lời giải ấy không ? Vì sao ? Phải chăng là vì học sinh không chấp nhận việc sử dụng phương pháp thống kê trong bài toán « tính xác suất » ? Hay học sinh đã chấp nhận phương pháp này nhưng cho rằng số phép thử còn chưa đủ lớn ? ¾ Những câu trả lời có thể: Cụ thể, sau đây là những nhóm câu trả lời có thể và được mã hóa như sau: S1: Nhóm câu trả lời thể hiện sự tương quan giữa Lời giải 1 và Lời giải 3: - Hoặc Lời giải 1 được cho 10 điểm, hoặc Lời giải 1 được cho điểm bằng hay ít hơn Lời giải 3 nhưng lý do bị trừ điểm không phải vì Lời giải 1 đã không kiểm tra tính đồng khả năng xuất hiện của các biến cố. Đây là nhóm câu trả lời mong đợi của chúng tôi. Nó chứng tỏ rằng qui tắc R2 tồn tại vì học sinh tham gia làm thực nghiệm đã « không chú ý đến việc phải kiểm tra tính đồng khả năng xuất hiện của các biến cố » và được mã hóa là S1a. - Lời giải 1 bị trừ điểm vì lý do đã « không kiểm tra tính đồng khả năng xuất hiện của các kết quả ». Đây là câu trả lời « phủ nhận qui tắc R2 » nhưng chúng tôi cho rằng khả năng xuất hiện của câu trả lời này là rất thấp, và như vậy vẫn có thể kiểm chứng được qui tắc R2. Câu trả lời này được mã hóa S1b. S2: Nhóm câu trả lời liên quan đến Lời giải 2, gồm : - Lời giải 2 bị cho 0 điểm hoặc điểm rất thấp với giải thích: « Kết quả của Lời giải 2 là sai ». Chúng tôi cho rằng điều này là hợp lý vì lý do sau: thông thường khi đã có 3 lời giải có cùng đáp số (Lời giải 1, Lời giải 3, Lời giải 4) thì Lời giải 2 sẽ bị « qui kết » là lời giải sai ngay. Vấn đề là học sinh tham gia làm thực nghiệm: o Hoặc là dựa theo lập luận của các lời giải kia (trong trường hợp này, học sinh tham gia làm thực nghiệm đã đồng ý với đáp số của Lời giải 1 và Lời giải 3) để chỉ ra rằng Lời giải 2 sai, hoặc là kết luận ngay Lời giải 2 sai mà không nêu lý do. Chúng tôi cho rằng có thể nói là các học sinh này không để ý đến câu « 11 kết quả đồng khả năng xuất hiện » tức là học sinh không có nhiệm vụ kiểm tra tính đồng khả năng này. Như vậy chúng tôi có thể kiểm chứng qui tắc R2. Mặt khác, trong các lời giải giả định, chúng tôi cũng cần đưa vào cả lời giải đúng và lời giải sai. Câu trả lời này được mã hóa là S2a. o Hoặc chỉ ra lý do Lời giải 2 sai là vì « 11 kết quả không đồng khả năng xuất hiện », câu trả lời này được mã hóa S2b và là câu trả lời bác bỏ R2. Tuy vậy, nếu có ít câu trả lời S2b này, chúng tôi xem như có thể kiểm chứng qui tắc R2. - Lời giải 2 được cho đủ điểm (hoặc điểm cao, hoặc điểm trên trung bình) với lời giải thích là kết quả đúng. Chúng tôi cho rằng rất khó có khả năng xảy ra câu trả lời này. Tuy nhiên, sự có mặt (nếu có) của câu trả lời này: www.VNMATH.com Chương 3 : Nghiên cứu thực nghiệm Vũ Như Thư Hương Luận văn t