Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình. . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Các hàm Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình. . . . . . . . 17
2 Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết 20
2.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết. . 31
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo 42
45 trang |
Chia sẻ: netpro | Lượt xem: 1457 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
thøc
ρ(f) = lim sup
r→∞
log T (r, f)
log r
.
NÕu ρ(f) = ∞ th× f ®îc gäi lµ cã cÊp v« h¹n, nÕu 0 < ρ(f) < ∞ th× f
®îc gäi lµ cã cÊp h÷u h¹n.
Gi¶ sö 0 < ρ(f) <∞, ®Æt
C = lim sup
r→∞
T (r, f)
rρ
.
Ta nãi f cã d¹ng tèi ®¹i nÕu C =∞, cã d¹ng trung b×nh nÕu 0 < C <∞,
cã d¹ng tèi tiÓu nÕu C = 0.
1.1.5 VÝ dô. NÕu f lµ hµm h÷u tû th× T (f, r) = O(log r), do ®ã hµm h÷u tû
cã cÊp 0. NÕu f = ez th× T (f, r) = r/pi + O(1), do ®ã ez cã cÊp 1, d¹ng
trung b×nh. Hµm ee
z
lµ hµm cã cÊp v« h¹n.
C«ng thøc Poisson - Jensen
1.1.6 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) 6≡ 0,∞ lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn
D = {|z| ≤ R} víi 0 < R <∞. Gi¶ sö aµ, µ = 1, ...,M lµ c¸c kh«ng ®iÓm
cña f trong D, mçi kh«ng ®iÓm ®îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã.
bν, (ν = 1, 2, ..., N) lµ c¸c cùc ®iÓm cña f trong trongD, mçi cùc ®iÓm ®îc
kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã.
Khi ®ã, víi mçi z = reiθ ∈ D sao cho f(z) 6= 0, f(z) 6=∞ ta cã
log |f(z)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiφ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(θ − φ) + r2dφ+
+
M∑
µ=1
log
∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz
∣∣∣∣− N∑
ν=1
log
∣∣∣∣R(z − bν)R2 − bνz
∣∣∣∣. (1.1)
8Chøng minh. Ta xÐt c¸c trêng hîp sau:
Trêng hîp 1: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong
{|z| ≤ R}, z = 0.
Khi ®ã ta cÇn chøng minh
log |f(0)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ.
Do f(z) 6= 0 trong D nªn log f(z) lµ hµm chØnh h×nh trong D. Theo §Þnh
lý Cauchy, ta cã:
log f(0) =
1
2pii
∫
|z|=R
log f(z)
dz
z
=
1
2pi
2pi∫
0
log f(Reiϕ)dϕ.
LÊy phÇn thùc hai vÕ ta cã:
log |f(0)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ dϕ.
Trêng hîp 2: Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong
{|z| ≤ R}, víi z tuú ý, z = reiθ(0 < r < R) .
XÐt ¸nh x¹ b¶o gi¸c:
{|ξ| 6 R} → {ω 6 1}
z 7→ 0
ξ 6= z 7→ ω = R (ξ − z)
R2 − zξ
Nh vËy |ς| = R t¬ng øng víi |ω| = 1, v×
|ω| = R |ξ − z||R2 − zξ|
9vµ |ξ| = R⇒ ξξ = |ξ|2 = R2
suy ra
|ω| = R |ξ − z|∣∣ξξ − zξ∣∣ = R |ξ − z||ξ| ∣∣ξ − z∣∣ = 1.
Do log f(z) lµ chØnh h×nh trong |ξ| ≤ R, theo ®Þnh lý Cauchy, ta cã
log f(z) =
1
2pii
∫
|ξ|=R
log f(ς)
dξ
ξ − z . (1.2)
MÆt kh¸c
1
2pii
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
zdξ
R2 − zξ =
1
2pii
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
−dξ
ξ − R
2
z
= 0. (1.3)
Do |z| = |z| < R nªn
∣∣∣∣R2z
∣∣∣∣ > R nghÜa lµ ®iÓm R2z n»m ngoµi |ξ| ≤ R nªn
hµm log f(ξ)
1
ξ − R
2
z
lµ hµm chØnh h×nh. KÕt hîp víi (1.2) vµ (1.3) ta cã
log f(z) =
1
2i
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
[
1
ξ − z +
1
ξ − R2z
]
dξ
=
1
2i
∫
|ξ|=R
log f(ξ)
[
1
ξ − z +
z
R2 − zξ
]
dξ,
víi
1
ξ − z +
z
R2 − zξ =
R2 − zξ + zξ − zz
(ξ − z) (R2 − zξ) =
R2 − r2
(ξ − z) (ξξ − zξ) = R2 − r2ξ |ξ − z|2 .
10
MÆt kh¸c
ξ = Reiϕ = R cosϕ+ iR sinϕ,
z = reiθ = r cos θ + ir sin θ,
ξ − z = (R cosϕ− r cos θ) + i (R sinϕ− r sin θ) ,
|ξ − z|2 = (R cosϕ− r cos θ)2 + (R sinϕ− r sin θ)2
= R2 + r2 − 2Rr cos(ϕ− θ).
VËy
log f(z) =
1
2pi
2pi∫
0
log f(Reiφ)
R2 − r2
R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ. (1.4)
LÊy phÇn thùc hai vÕ cña (1.4) ta ®îc
log |f(z)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(θ − ϕ) + r2dϕ.
Trêng hîp 3: Hµm f(z) cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z| = R}
nhng kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong miÒn {|z| < R}.
Ta cã sè kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm cña hµm f(z) trªn biªn {|z| = R} lµ
h÷u h¹n. ThËt vËy, gi¶ sö f(z) cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk} , khi ®ã {|ξ| = R}
compact, do ®ã
{
zkj
}
héi tô ®Õn zk0 ∈ {|ξ| = R} vµ f(zkj) = 0, do ®ã f = 0
trªn mét tËp hîp cã ®iÓm giíi h¹n. §iÒu nµy kÐo theo f ≡ 0 suy ra v« lý.
Gi¶ sö cã v« h¹n kh«ng ®iÓm {zk} , khi ®ã tån t¹i
{
zkj
} → z0 ∈
{|ξ| = R}, z0 lµ ®iÓm bÊt thêng; v× f lµ hµm ph©n h×nh nªn z0 lµ cùc
®iÓm nghÜa lµ trong mét l©n cËn cña z0 hµm f chØnh h×nh chØ trõ t¹i z0 suy
ra v« lý v×
{
zkj
}→ z0 nªn trong mäi l©n cËn cña z0 ®Òu chøa zkj nµo ®ã mµ
t¹i ®ã f cã cùc ®iÓm.
11
VËy f(z) cã h÷u h¹n kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn {|z| = R} . Gi¶
sö Z0 lµ kh«ng ®iÓm hoÆc cùc ®iÓm cÊp k cña f(ξ), Z0 ∈ ∂D. Trong mét
l©n cËn nµo ®ã cña Z0, ta cã khai triÓn sau:
f(ξ) = a(ξ − Z0)k + . . . , a 6= 0.
Khi ®ã,
log |f(ξ)| = k log |ξ − Z0|+ o(|ξ − Z0|).
XÐt vßng trßn Cδ t©m Z0, b¸n kÝnh δ ®ñ nhá. Thay vßng trßn |ξ| = R bëi
vßng trßn Cδ, khi ®ã f kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trªn biªn cña miÒn
míi nhËn ®îc.
Quay l¹i trêng hîp 2, ta cã tÝch ph©n bªn ph¶i cña bíc 2 chØ kh¸c tÝch
ph©n ë trªn vßng trßn |ξ| = R mét ®¹i lîng∑
Cδ
1
2pi
∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| . Ta
cã ∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| = Cδ. log δ.δ.
Do ®ã, ∑
Cδ
1
2pi
∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| ≈ A log δ.δ.
Cho δ → 0 ta cã∑
Cδ
1
2pi
∫
|ξ−Z0|=δ
log |f(ξ)| |dξ| → 0. C«ng thøc ®îc chøng
minh.
Trêng hîp 4: B©y giê ta xÐt trong trêng hîp f(z) cã c¸c kh«ng ®iÓm
vµ cùc ®iÓm trong |z| ≤ R.
XÐt hµm
ψ(z) = f(z)
∏N
γ=1
R(z−bγ)
R2−bγz∏M
µ=1
R(z−aµ)
R2−aµz
.
12
Khi ®ã ψ(z) suy ra kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm ë trong |ξ| 6 R v×
gi¶ sö ngîc l¹i ψ(z0) = 0 suy ra f(z0) = 0. Do ®ã ψ(ξ) bÞ khö ®i mÉu sè.
T¬ng tù ψ(ξ) còng kh«ng cã cùc ®iÓm.
¸p dông c«ng thøc ®· chøng minh ta cã:
log |ψ(z)| = 1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ.
Nªn
log |f(z)|+
N∑
γ=1
log
∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz
∣∣∣∣− M∑
µ=1
log
∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz
∣∣∣∣
=
1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣ψ(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ.
Khi |z| = R th×
∣∣∣R(z−bγ)
R2−bγz
∣∣∣ = 1, vµ ∣∣∣R(z−aµ)R2−aµz ∣∣∣ = 1.
Suy ra nÕu |z| = R th× |ψ(z)| = |f(z)| .
Do ®ã
log |f(z)|+
N∑
γ=1
log
∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz
∣∣∣∣− M∑
µ=1
log
∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz
∣∣∣∣
=
1
2pi
2pi∫
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ.
VËy
log |f(z)| = 1
2pi
∫ 2pi
0
log
∣∣f(Reiϕ)∣∣ R2 − r2
R2 − 2Rr cos(ϕ− θ) + r2dϕ
+
M∑
µ=1
log
∣∣∣∣R(z − aµ)R2 − aµz
∣∣∣∣− N∑
γ=1
log
∣∣∣∣R(z − bγ)R2 − bγz
∣∣∣∣.
13
Tõ C«ng thøc Poisson-Jensen ta cã ®Þnh lý sau ®©y.
1.1.7 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). Gi¶ sö f lµ hµm ph©n h×nh, a lµ mét
sè phøc tuú ý. Khi ®ã ta cã
m(f, a, r) +N(f, a, r) = T (f, r)− log |f(0)− a|+ (a, r),
trong ®ã (a, r) ≤ log a+ log 2.
Ta thêng dïng §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt díi d¹ng
T (f, a, r) = T (f, r) +O(1),
trong ®ã O(1) lµ ®¹i lîng bÞ chÆn khi r →∞.
§Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt cho ta thÊy vÕ tr¸i trong c«ng thøc kh«ng phô
thuéc a víi sai kh¸c mét ®¹i lîng bÞ chÆn.
1.1.8 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh trong
C vµ a1, . . . , aq lµ q sè phøc ph©n biÖt. Khi ®ã,
(q − 2)T (f, r) ≤
q∑
i=1
N(f, ai, r)−Nram(f, r) +O
(
log T (r, f)
)
,
cho r →∞ bªn ngoµi tËp hîp cã ®é ®o Lebesgue h÷u h¹n vµ
N
ram
(f, r) = N(f ′, 0, r) + 2N(f,∞, r)−N(f ′,∞, r).
1.2 Quan hÖ sè khuyÕt cho hµm ph©n h×nh
Quan hÖ sè khuyÕt lµ mét d¹ng ph¸t biÓu kh¸c cña §Þnh lý c¬ b¶n thø
hai cña Nevanlinna. Sè khuyÕt liªn quan chÆt chÏ ®Õn bµi to¸n ngîc cña
Nevanlinna trong [9]. Tríc hÕt ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa sè khuyÕt.
14
1.2.1 §Þnh nghÜa. Sè khuyÕt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®îc ®Þnh nghÜa bëi
δ(f, a) = lim inf
r→∞
{
1− N(f, a, r)
T (f, r)
}
.
Sè khuyÕt rÏ nh¸nh cña hµm f t¹i ®iÓm a ®îc ®Þnh nghÜa bëi
θ(f, a) = lim inf
r→∞
{N(f, a, r)−N(f, a, r)
T (f, r)
}
.
Sè khuyÕt bÞ chÆt cña hµm f t¹i ®iÓm a ®îc ®Þnh nghÜa bëi
Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) = lim inf
r→∞
{
1− N(f, a, r)
T (f, r)
}
.
1.2.2 §Þnh nghÜa. Cho a ∈ C∪{∞}, gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cña
hµm f nÕu δ(f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt cùc ®¹i cña hµm
f nÕu δ(f, a) = 1.
1.2.3 MÖnh ®Ò. Víi mäi a ∈ C ∪ {∞},
0 ≤ δ(f, a), 0 ≤ θ(f, a), vµ Θ(f, a) = θ(f, a) + δ(f, a) ≤ 1.
Cho hµm ph©n h×nh f vµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt a1, . . . , aq trong C ∪ {∞},
ký hiÖu
S(f, {aj}qj=1, r) = (q − 2)T (f, r)−
q∑
j=1
N(f, aj, r) +Nram(f, r).
Khi ®ã, §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cã thÓ ®îc ph¸t biÓu ë d¹ng yÕu h¬n nh
sau.
1.2.4 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trªn C vµ
a1, . . . , aq lµ c¸c phÇn tö ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Khi ®ã
lim inf
r→∞
S(f, {aj}qj=1, r)
T (f, r)
≤ 0.
15
1.2.5 §Þnh lý. Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh kh¸c h»ng sè trong |z| < R0.
Khi ®ã tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a mµ δ(f, a) > 0 vµ θ(f, a) > 0 lµ ®Õm ®îc,
®ång thêi ta cã∑
a∈C∪{∞}
{δ(f, a) + θ(f, a)} =
∑
a∈C∪{∞}
Θ(f, a) 6 2.
Chøng minh. XÐt q ®iÓm kh¸c nhau a1, a2, ...., aq trong C ∪ {∞}. Khi ®ã
q∑
j=1
(δ(f, aj) + θ(f, aj))
= lim inf
r→∞
qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +∑qj=1N(f, aj, r)−∑qj=1 N¯(f, aj, r)
T (f, r)
.
Râ rµng N(f, aj, r) − N¯(f, aj, r) ®Õm sè lÇn hµm f = a víi béi lín h¬n 1
vµ do ®ã
q∑
j=1
N(f, aj, r)−
q∑
j=1
N¯(f, aj, r) ≤ Nram(f, r) + nram(f, 0) log+ 1
r
.
Nh vËy
q∑
j=1
(δ(f, aj) + θ(f, aj)) ≤ lim inf
r→∞
qT (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
(q − 2)T (f, r)−∑qj=1N(f, aj, r) +Nram(f, r)
T (f, r)
= 2 + lim inf
r→∞
S(f, {aj}qj=1, r)
T (f, r)
≤ 2,
bëi ¸p dông §Þnh lý 1.2.4.
Víi mäi sè nguyªn d¬ng k, tån t¹i nhiÒu nhÊt h÷u h¹n gi¸ trÞ a sao cho
Θ(f, a) ≥ 1/k. Do
{a : Θ(f, a) ≥ 0} = ∪∞k=1{a : Θ(f, a) ≥ 1/k},
ta cã nhiÒu nhÊt ®Õm ®îc a nh vËy.
16
1.2.6 HÖ qu¶. NÕu f lµ hµm nguyªn th×∑
a∈C
Θ(f, a) 6 1.
Chøng minh. Do f lµ hµm nguyªn nªn Θ(f,∞) = 1.
Chóng ta cã ®Þnh lý sau lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña ®Þnh lý quan hÖ sè khuyÕt.
1.2.7 §Þnh lý (§Þnh lý Picard). Gi¶ sö f(z) lµ hµm ph©n h×nh, kh«ng nhËn
3 gi¸ trÞ 0, 1,∞ khi ®ã f lµ hµm h»ng.
Chøng minh. Gi¶ sö f kh«ng ph¶i lµ hµm h»ng, do f(z) kh«ng nhËn 3 gi¸
trÞ 0, 1,∞ nªn
N(f, 0, r) = 0; N(f, 1, r) = 0; N(f,∞, r) = 0.
Do ®ã
Θ(f, 0) = 0; Θ(f, 1) = 1; Θ(f,∞) = 1.
Nh thÕ ∑
a∈C∪{∞}
Θ(f, a) > 2,
m©u thuÉn víi ®Þnh lý vÒ sè khuyÕt, nh vËy f(z) ph¶i lµ hµm h»ng.
VÊn ®Ò ngîc cña Nevanlinna. Cho 1 ≤ i ≤ N ≤ ∞, gi¶ sö {δi} vµ
{θi} lµ d·y c¸c sè thùc kh«ng ©m sao cho
0 < δi + θi ≤ 1,
∑
i
(δi + θi) ≤ 2.
Gi¶ sö ai, 1 ≤ i < N lµ c¸c ®iÓm ph©n biÖt trong C ∪ {∞}. Nevanlinna ®·
®a ra c©u hái sau:
Tån t¹i hay kh«ng hµm ph©n h×nh f trªn C sao cho
δ(f, ai) = δi, θ(f, ai) = θi, 1 ≤ i < N
17
vµ δ(f, a) = θ(f, a) = 0 cho mäi a /∈ {ai}?
VÊn ®Ò nµy ®· ®îc gi¶i quyÕt trän vÑn bëi Drasin trong [3].
1.3 C¸c hµm Nevanlinna cho ®êng cong chØnh h×nh.
Tríc hÕt ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm kh«ng gian x¹ ¶nh.
1.3.1 §Þnh nghÜa. §Æt (C∗)n+1 = Cn+1 \ (0, . . . , 0). Ta ®Þnh nghÜa mét quan
hÖ t¬ng ®¬ng trªn (C∗)n+1 nh sau: (x0, . . . , xn) ∼ (y0, . . . , yn) nÕu tån
t¹i 0 6= λ ∈ C sao cho (x0, . . . , xn) = λ(y0, . . . , yn).
Kh«ng gian x¹ ¶nh n chiÒu trªn C, ký hiÖu lµ Pn(C) hay ®¬n gi¶n lµ Pn, lµ
kh«ng gian (C∗)n+1 víi quan hÖ t¬ng ®¬ng ∼ . Ta cã Pn = (C∗)n+1/ ∼ .
Mçi phÇn tö cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn lµ mét líp (x0, . . . , xn) theo quan hÖ
t¬ng ®¬ng ∼ . Mçi phÇn tö P cña kh«ng gian x¹ ¶nh Pn ®îc gäi lµ mét
®iÓm, kÝ hiÖu lµ P = (x0 : · · · : xn) vµ (x0 : · · · : xn) ®îc gäi lµ täa ®é
thuÇn nhÊt cña ®iÓm P .
1.3.2 §Þnh nghÜa. ¸nh x¹ f = (f0 : f1 : · · · : fn) : C→ Pn(C) ®îc gäi lµ
®êng cong chØnh h×nh nÕu fi lµ c¸c hµm nguyªn trªn C.
Ta cã thÓ viÕt f = (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) trong ®ã f˜i lµ c¸c hµm nguyªn kh«ng cã
c¸c kh«ng ®iÓm chung. Khi ®ã (f˜0, f˜1, . . . , f˜n) ®îc gäi lµ biÓu diÔn rót gän
cña ®êng cong f .
Gi¶ sö f : C→ Pn(C) lµ ®êng cong chØnh h×nh. Gi¶ sö f = (f0, . . . , fn)
lµ biÓu diÔn rót gän cña f , trong ®ã f0, . . . , fn lµ c¸c hµm nguyªn trong C
kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung.
§Æt
‖f(z)‖ = (|f0(z)|2 + · · ·+ |fn(z)|2) 12 .
18
Hµm ®Æc trng Nevanlinna-Cartan Tf(r) ®îc ®Þnh nghÜa bëi
T (r, f) =
1
2pi
∫ 2pi
0
log ‖f(reiθ)‖dθ.
Gi¶ söQ lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc d víi n+1 biÕn. Hµm xÊp xØm(r,Q, f)
cña ¸nh x¹ f øng víi ®a thøc Q ®îc ®Þnh nghÜa lµ
m(r,Q, f) =
1
2pi
∫ 2pi
0
log
‖f(reiθ)‖d
|Q ◦ f(reiθ)|dθ.
Ta gäi n(r,Q, f), (t¬ng øng, n(r,Q, f)), lµ sè c¸c kh«ng ®iÓm tÝnh c¶
béi, (t¬ng øng, kh«ng tÝnh béi), cña Q ◦ f trong ®Üa |z| ≤ r.
Hµm ®Õm tÝnh c¶ béi N(r,Q, f), (t¬ng øng, hµm ®Õm kh«ng tÝnh béi
N(r,Q, f)), ®îc ®Þnh nghÜa nh sau:
N(r,Q, f) =
∫ r
0
n(t, Q, f)− nf(0, Q)
t
dt− n(0, Q, f) log r,
(t¬ng øng, N(r,Q, f) =
∫ r
0
n(t, Q, f)− n(0, Q, f)
t
dt− n(0, Q, f) log r).
T¬ng tù nh ®èi víi hµm ph©n h×nh, ta còng cã hai ®Þnh lý c¬ b¶n cho
c¸c ®êng cong chØnh h×nh.
1.3.3 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø nhÊt). Gi¶ sö f : C → Pn(C) lµ ®êng
cong chØnh h×nh vµ Q lµ ®a thøc thuÇn nhÊt bËc d trong Pn(C). Gi¶ sö
Q ◦ f(C) 6≡ 0, th× víi mäi 0 < r <∞
m(r,Q, f) +N(r,Q, f) = dT (r, f) +O(1),
trong ®ã O(1) lµ ®¹i lîng bÞ chÆn kh«ng phô thuéc vµo r.
1.3.4 §Þnh lý (§Þnh lÝ c¬ b¶n thø hai). Gi¶ sö f : C→ Pn(C) lµ ®êng cong
chØnh h×nh kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö L1, . . . , Lq lµ c¸c ®a thøc tuyÕn
tÝnh Pn(C). Khi ®ã∫ 2pi
0
max
K
log
∏
j∈K
‖f(reiθ)‖‖Lj‖
|Lj(f)(reiθ)|
dθ
2pi
6 (n+ 1)T (r, f) + o(T (r, f)),
19
trong ®ã maximum ®îc lÊy trªn tÊt c¶ c¸c tËp con K cña {1, . . . , q} sao
cho Lj, j ∈ K lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ ‖Lj‖ lµ maximum cña c¸c gi¸ trÞ
tuyÖt ®èi cña c¸c hÖ sè trong Lj.
Ch¬ng 2
§êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ
khuyÕt
Trong Ch¬ng 1, ta ®· chøng minh r»ng tËp hîp c¸c gi¸ trÞ a sao cho
hµm sè khuyÕt cña mét hµm ph©n h×nh t¹i ®iÓm a d¬ng lµ ®Õm ®îc. Trong
ch¬ng nµy, chóng t«i sÏ x©y dùng c¸c ®êng cong chØnh h×nh cã v« sè hµm
sè khuyÕt d¬ng. Tríc hÕt ta ®a ra c¸c kÕt qu¶ dïng ®Ó hç trî cho viÖc
x©y dùng c¸c ®êng cong chØnh h×nh nh vËy.
2.1 C¸c kÕt qu¶ bæ trî
Cho a0z0 + · · · + anzn = 0 lµ mét d¹ng tuyÕn tÝnh x¸c ®Þnh mét siªu
ph¼ng H trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn. Khi ®ã, cã t¬ng øng 1-1 gi÷a siªu
ph¼ng H vµ ®iÓm a = (a0, . . . , an) ∈ Cn+1 \ {(0, ..., 0)}. Do ®ã, ta cã thÓ
thay viÖc xÐt mét siªu ph¼ng trong kh«ng gian x¹ ¶nh Pn b»ng viÖc xÐt mét
®iÓm trong Cn+1 vµ ta ký hiÖu
‖a‖ = (|a0|2 + ...+ |an|2) 12 ,
(a, f) = a0f0 + ...+ anfn,
(a, f(z)) = a0f0(z) + ...+ anfn(z),
20
21
trong ®ã f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) lµ ®êng cong chØnh h×nh kh¸c
h»ng. Khi ®ã, hµm ®Õm, hµm xÊp xØ cña Nevanlinna-Cartan ®îc viÕt l¹i nh
sau
2.1.1 §Þnh nghÜa. Víi a ∈ Cn+1 − {0}, ta cã
m(r, a, f) =
1
2pi
2pi∫
0
log
‖a‖∥∥f(reiθ)∥∥
|(a, f(reiθ))| dθ,
N(r, a, f) = N(r, 1/(a, f)).
2.1.2 §Þnh nghÜa. §êng cong chØnh h×nh f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C)
®îc gäi lµ kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh trªn C nÕu f0, ..., fn lµ ®éc lËp tuyÕn
tÝnh trªn C.
2.1.3 §Þnh nghÜa. §êng cong f := (f0, . . . , fn) : C → Pn(C) ®îc gäi lµ
siªu viÖt nÕu f lµ kh«ng suy biÕn tuyÕn tÝnh vµ lim
r→∞
T (r,f)
log r =∞.
2.1.4 §Þnh nghÜa.
ρ(f) = lim sup
r→∞
log T (r, f)
log r
®îc gäi lµ cÊp cña f.
2.1.5 §Þnh lý (§Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt). Cho f : C → Pn(C) lµ ¸nh x¹
chØnh h×nh, a ∈ Cn+1 − {0} tuú ý. Khi ®ã ta cã
T (r, f) = m(r, a, f) +N(r, a, f) +O(1), (2.1)
trong ®ã O(1) lµ ®¹i lîng giíi néi.
2.1.6 §Þnh nghÜa. Cho f : C→ Pn(C) lµ ¸nh x¹ chØnh h×nh, a ∈ Cn+1−{0}.
δ(f, a) = 1− lim sup
r→∞
N(r, a, f)
T (r, f)
= lim inf
r→∞
m(r, a, f)
T (r, f)
®îc gäi lµ sè khuyÕt cña f t¹i a.
22
NhËn xÐt. Tõ c«ng thøc (2.1) ta cã 0 6 δ(f, a) 6 1.
T¬ng tù nh ®èi víi hµm ph©n h×nh, ta cã c¸c ®Þnh nghÜa vÒ gi¸ trÞ khuyÕt
nh sau.
2.1.7 §Þnh nghÜa. Cho a ∈ Cn+1 − {0}, gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ khuyÕt
cña ®êng cong chØnh h×nh f nÕu δ(f, a) > 0; gi¸ trÞ a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ
khuyÕt cùc ®¹i cña hµm f nÕu δ(f, a) = 1.
2.1.8 §Þnh nghÜa. Cho X lµ mét tËp con cña Cn+1 − {0} , vµ N lµ mét
sè nguyªn tho¶ m·n N > n. X ®îc gäi lµ ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t nÕu
#X > N + 1 vµ N + 1 phÇn tö bÊt kú cña X sinh ra Cn+1.
Chóng ta nãi r»ng X lµ ë vÞ trÝ tæng qu¸t nÕu X ë n - vÞ trÝ tæng qu¸t.
§Þnh lý sau ®©y lµ mét më réng cña §Þnh lý c¬ b¶n thø hai cña Nevanlinna-
Cartan cho hä c¸c phÇn tö ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t. KÕt qu¶ nµy ®îc chøng
minh bëi Cartan [1] cho trêng hîp N = n vµ bëi Nocka [10] cho N > n.
2.1.9 §Þnh lý. Cho ¸nh x¹ chØnh h×nh f : C → Pn(C). Víi q phÇn tö
a1, ..., aq bÊt kú cña X ë N - vÞ trÝ tæng qu¸t. Khi ®ã
q∑
j=1
δ(aj, f) 6 2N − n+ 1,
trong ®ã 2N − n+ 1 6 q 6∞.
§Ó x©y dùng ®êng cong chØnh h×nh cã v« sè gi¸ trÞ khuyÕt, ta còng cÇn
c¸c kÕt qu¶ sau ®©y cña lý thuyÕt d·y.
Cho {ηv} lµ mét d·y gi¶m tho¶ m·n
ηv > 0,
∞∑
v=1
ηv = 1, η0 = η1.
§Æt
θ0 = 0, θk = pi
k−1∑
v=0
ηv, (k = 1, 2, 3, ...).
23
Khi ®ã {θk} lµ mét d·y t¨ng ngÆt vµ tiÕn tíi
pi
∞∑
v=0
ηv = piη0 + pi
∞∑
v=1
ηv 6 2pi,
khi k →∞.
2.1.10 Bæ ®Ò. Gi¶ sö k > 1, z = reiθ vµ θ tho¶ m·n
θk − 1
3
piηk < θ 6 θk +
1
3
piηk. (2.2)
Khi ®ã
(a.) cos(θv − θ) 6 cos(23piηk) víi ν 6= k.
(b.)
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 er cos 23piηk víi ν 6= k.
Chøng minh. Tríc hÕt ta chøng minh kh¼ng ®Þnh (a). Víi v < n
θ − θv > (θn − θn−1)− 1
3
piηn = pi(ηn−1 − 1
3
ηn) >
2
3
piηn,
vµ víi v > n ta cã
θv − θ > (θn+1 − θn)− 1
3
piηn =
2
3
piηn.
Suy ra
|θv − θ| > 2
3
piηn(mod2pi), (v 6= n).
VËy cos(θv − θ) 6 cos(23piηk).
Ta tiÕp tôc chøng minh kh¼ng ®Þnh (b). Sö dông (a), ta cã :∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θv) ∣∣∣ = er cos(θ−θv) 6 er cos 23piηk, (v 6= k).
VËy bæ ®Ò ®îc chøng minh.
24
Gi¶ sö m lµ mét sè nguyªn d¬ng bÊt kú, {ak} lµ mét d·y tuú ý c¸c sè
phøc trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 phÇn tö cña {ak}k>m ph©n biÖt vµ kh¸c kh«ng,
{bk} lµ mét d·y c¸c sè d¬ng tho¶ m·n:
S1 =
∞∑
k=1
bk |ak| <∞, S2 =
∞∑
k=1
bk <∞.
§Æt
u(z) =
∞∑
k=1
bkake
ze−iθk , vm(z) =
∞∑
k=m
bke
ze−iθk ,
vµ
w0(z) ≡ 0, wm−1(z) =
m−1∑
k=1
αke
ze−iθk , (m > 2)
víi sè phøc αk bÊt kú. H¬n n÷a ta ®Æt
A0 ≡ 0, Am−1 =
m−1∑
k=1
|αk|, (m > 2).
Ta cã c¸c mÖnh ®Ò sau.
2.1.11 MÖnh ®Ò. Cho z = reiθ. Khi ®ã
1. |u(z)| 6 S1er,
2. |vm(z)| 6 S2er,
3. |u(z) + wm−1(z)| 6 (S1 + Am−1)er,
4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 (S2 + Am−1)er.
Chøng minh. Tríc hÕt ta cã:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er.
Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh ®îc chøng minh nh sau:
1. |u(z)| =
∣∣∣∣ ∞∑
k=1
bkake
ze−iθk
∣∣∣∣ = ∞∑
k=1
bk |ak|
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S1er.
25
2. |vm(z)| =
∣∣∣∣ ∞∑
k=m
bke
ze−iθk
∣∣∣∣ = ∞∑
k=m
bk
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∞∑
k=1
bk
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 S2er.
3. |wm−1(z)| =
∣∣∣∣m−1∑
k=1
αke
ze−iθk
∣∣∣∣ = m−1∑
k=1
|αk|
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Am−1er, (m > 2),
|u(z) + wm−1(z)| 6 |u(z)|+ |wm−1(z)| 6 S1er +Am−1er = (S1 +Am−1)er.
4. |vm(z) + wm−1(z)| 6 |vm(z)|+ |wm−1(z)|
6 S2er + Am−1er = (S2 + Am−1)er.
2.1.12 Bæ ®Ò. Cho θ tho¶ m·n (2.2) vµ k > m, z = reiθ. Khi ®ã, ta cã c¸c
bÊt ®¼ng thøc sau:
1.
∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 (S1 + Am−1)er cos 23piηk. (2.3)
2.
∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk. (2.4)
3.
∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 (S2 + Am−1)er cos 23piηk, (2.5)
vµ víi r ®ñ lín
4. |u(z) + wm−1(z)| > 1
2
bk |ak| er cos 13piηk, (ak 6= 0). (2.6)
5. |vm(z)| > 1
2
bke
r cos 13piηk. (2.7)
6. |vm(z) + wm−1(z)| > 1
2
bke
r cos 13piηk. (2.8)
26
Chøng minh. Ta cã∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣u(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣
6
m−1∑
v=1
∣∣∣αveze−iθv ∣∣∣+∑
v 6=k
bv
∣∣∣aveze−iθv ∣∣∣
6
m−1∑
v=1
|αv|
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣+ ∞∑
v=1
bv |av|
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣
6 (S1 + Am−1)er cos
2
3piηk,
kh¼ng ®Þnh (1) ®îc chøng minh.
∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=m
bke
ze−iθk − bkeze−iθk
∣∣∣∣∣ 6
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
bke
ze−iθk − bkeze−iθk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
∑
v 6=k
bve
ze−iθv
∣∣∣∣∣∣ 6
∣∣∣∣∣
∞∑
v=1
bve
ze−iθv
∣∣∣∣∣
=
∞∑
v=1
bv
∣∣∣eze−iθv ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk,
bÊt ®¼ng thøc (2) ®îc chøng minh.
∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 |wm−1(z)|+ ∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣
6 Am−1er cos
2
3piηk + S2e
r cos 23piηk
= (S2 + Am−1)er cos
2
3piηk,
®a ra chøng minh cho bÊt ®¼ng thøc (3).
27
Gi¶ sö ak 6= 0, ta cã∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− |u(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkakeze−iθk − (u(z) + wm−1(z))∣∣∣
=
∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣
6 (S1 + Am−1)er cos
2
3piηk.
§iÒu nµy kÐo theo
|vm(z) + wm−1(z)| >
∣∣∣bkakeze−iθk ∣∣∣− (S1 + Am−1)er cos 23piηk
= bk |ak| er cos(θ−θk) − (S1 + Am−1)er cos 23piηk
> bk |ak| er cos 13piηk − (S1 + Am−1)er cos 23piηk
= er cos
1
3piηk(bk |ak| − (S1 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk))
> 1
2
bk |ak| er cos 13piηk,
kh¼ng ®Þnh (4) ®îc chøng minh.
BÊt ®¼ng thøc (5) ®îc chøng minh nh sau:∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z)∣∣∣
=
∣∣∣vm(z)− bkeze−iθk ∣∣∣ 6 S2er cos 23piηk,
do ®ã,
|vm(z)| >
∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− S2er cos 23piηk > bker cos 13piηk − S2er cos 23piηk
= er cos
1
3piηk(bk − S2er(cos 23piηk−cos 13piηk)) > 1
2
bke
r cos 13piηk.
28
BÊt ®¼ng thøc (6) ®îc suy ra tõ∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− |vm(z) + wm−1(z)| 6 ∣∣∣bkeze−iθk − vm(z) + wm−1(z)∣∣∣
=
∣∣∣vm(z) + wm−1(z)− bkeze−iθk ∣∣∣
6 (S2 + Am−1)er cos
2
3piηk,
®iÒu nµy kÐo theo
|vm(z) + wm−1(z)| >
∣∣∣bkeze−iθk ∣∣∣− (S2 + Am−1)er cos 23piηk
> bker cos
1
3piηk − (S2 + Am−1)er cos 23piηk
= er cos
1
3piηk(bk − (S2 + Am−1)er(cos 23piηk−cos 13piηk))
> 1
2
bke
r cos 13piηk.
Bæ ®Ò ®îc chøng minh.
2.1.13 Bæ ®Ò.
u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C.
Chøng minh. Tríc hÕt tõ bÊt ®¼ng thøc (2.6) vµ (2.7) ta nhËn thÊy c¶
u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) ®Òu kh«ng ®ång nhÊt b»ng kh«ng.
Gi¶ sö u(z) + wm−1(z) vµ vm(z) lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh trªn C, khi ®ã tån
t¹i mét h»ng sè a 6= 0 tho¶ m·n u(z)+wm−1(z)vm(z) ≡ a.
MÆt kh¸c do c¸ch chän d·y {ak} nªn cã Ýt nhÊt mét k > m ®Ó ak 6= 0, ak 6= a,
khi ®ã víi θ tho¶ m·n (2.2), víi z = reiθ vµ r ®ñ lín ta cã
29
0 6= |a− ak| =
∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− akvm(z)vm(z)
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze
−iθk − akvm(z) + bkakeze−iθk
vm(z)
∣∣∣∣∣
6
∣∣∣u(z) + wm−1(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣+ ∣∣∣akvm(z)− bkakeze−iθk ∣∣∣
|vm(z)|
6 (S1 + Am−1 + |ak|S2)e
r cos 23piηk
1
2bke
r cos 13piηk
= 2
S1 + Am−1 + |ak|S2
bk
er(cos
2
3piηk−cos 13piηk)
= 2
S1 + Am−1 + |ak|S2
bk
e−2r sin
pi
6 ηk sin
pi
2 ηk
= 2
S1 + Am−1 + |ak|S2
bke2r sin
pi
6 ηk sin
pi
2 ηk
r→∞−−−→ 0,
(do sin pi6ηk sin
pi
2ηk > 0.)
§iÒu nµy m©u thuÉn. VËy ®iÒu gi¶ sö kh«ng, tøc u(z) + wm−1(z) vµ vm(z)
lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn C.
Cho f := (f1 : ... : fn+1) lµ mét ®êng cong chØnh h×nh siªu viÖt; p lµ
mét sè nguyªn d¬ng tuú ý, ®Æt P (z) = zp, chóng ta xÐt ®êng cong chØnh
h×nh
f ◦ P = (f1 ◦ P, ..., fn+1 ◦ P ).
Chó ý r»ng f1 ◦P, ..., fn+1 ◦P kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung vµ ®éc lËp tuyÕn
tÝnh trªn C.
2.1.14 Bæ ®Ò. Cho a ∈ Cn+1 − {0}. Khi ®ã
1. T (r, f ◦ P ) = T (rp, f), vµ ρ(f ◦ P ) = pρ(f),
2. m(r, a, f ◦ P ) = m(rp, a, f),
3. δ(a, f ◦ P ) = δ(a, f).
30
Chøng minh. Bëi ®Þnh nghÜa cña hµm ®Æc trng vµ theo gi¶ thiÕt
‖f ◦ P (z)‖ = ‖f(zp)‖ = ∥∥f(rpeipθ)∥∥ ,
ta cã
T (r, f ◦ P ) = 1
2pi
2pi∫
0
log
∥∥f(rpeipθ)∥∥dθ − log ‖f(0)‖
=
1
2ppi
2ppi∫
0
log
∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖
=
1
2pi
2pi∫
0
log
∥∥f(rpeiφ)∥∥dφ− log ‖f(0)‖ = T (rp, f).
MÆt kh¸c
ρ(f ◦ P ) = lim sup
r→∞
log T (r, f ◦ P )
log r
= lim sup
r→∞
log T (rp, f)
1
p log r
p
= p lim sup
r→∞
log T (rp, f)
log rp
= p ρ(f).
Kh¼ng ®Þnh (1) ®îc chøng minh.
Ta sÏ chøng minh kh¼ng ®Þnh (2). ThËt vËy,
m(r, a, f ◦ P ) = 1
2pi
2pi∫
0
log
‖a‖∥∥f(rpeipθ)∥∥
|(a, f(rpeipθ))| dθ
=
1
2ppi
2ppi∫
0
log
‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥
|(a, f(rpeiφ))| dφ
=
1
2pi
2pi∫
0
log
‖a‖∥∥f(rpeiφ)∥∥
|(a, f(rpeiφ))| dφ = m(r
p, a, f).
31
Tõ (1) vµ (2) ta cã
δ(a, f ◦ P ) = lim inf
r→∞
m(r, a, f ◦ P )
T (r, f ◦ P )
= lim inf
r→∞
m(rp, a, f)
T (rp, f)
= δ(a, f),
suy ra (3) ®ù¬c chøng minh.
2.2 C¸c vÝ dô vÒ ®êng cong chØnh h×nh víi v« sè gi¸ trÞ
khuyÕt.
Nh ta ®· biÕt, bµi to¸n vÒ hµm ph©n h×nh víi h÷u h¹n hay v« h¹n gi¸ trÞ
khuyÕt ®· ®îc nghiªn cøu kh¸ trän vÑn trong c¸c c«ng tr×nh cña Le V. T.
[11], D. Drasin [3], Hayman [4],... Trong phÇn nµy ta nghiªn cøu bµi to¸n
nµy cho ®êng cong chØnh h×nh. Ta gi¶ thiÕt n > 2.
Cho {ηv}vµ {θk} lµ c¸c d·y sao cho {ηv} lµ mét d·y gi¶m víi
ηv > 0,
∞∑
v=1
ηv = 1, η0 = η1,
vµ {θk} lµ mét d·y t¨ng ngÆt víi
θ0 = 0, θk = pi
k−1∑
v=0
ηv, (k = 1, 2, 3...).
Cho Y = {ak = (a1k, ..., ank, 1) ∈ Cn+1} ë vÞ trÝ tæng qu¸t vµ {cjk}∞k=1 ,
(j = 1, ..., n) lµ nh÷ng d·y sè d¬ng tho¶ m·n:
det (cjk) 6= 0, (j, k = 1, ..., n),
c1k = c2k = ... = cnk = ck, (k = n, n+ 1, ...),
32
vµ
Sj =
∞∑
k=1
cjk <∞, (j = 1, ..., n),
Sn+1 =
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjk |ajk|) <∞.
§Æt
ϕj(z) =
∞∑
k=1
cjke
ze−iθk , (j = 1, ..., n)
ϕn+1(z) = −
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjkajk)e
ze−iθk ,
ψ1(z) =
∞∑
k=n
cke
ze−iθk ,
ϕj − ψ1 = hj,
trong ®ã hj(z) =
n−1∑
k=1
cjke
ze−iθk , (j = 1, ..., n).
Chó ý r»ng, nÕu ta ®Æt ak =
∑n
j=1 ajk, (k = 1, 2, ...), th× do Y lµ ë vÞ trÝ
tæng qu¸t, nªn d·y {ak} tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña d·y {ak} ®· nªu ë tríc
MÖnh ®Ò 2.1.11. Ta cã mÖnh ®Ò sau.
2.2.1 MÖnh ®Ò. Cho |z| = r. Khi ®ã
|ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1).
Chøng minh. Víi sè k bÊt kú vµ z = reiθ, ta cã:∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 ∣∣∣erei(θ−θk) ∣∣∣ = er cos(θ−θk) 6 er.
Khi ®ã:
|ϕj(z)| =
∞∑
k=1
cjk
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sjer, (j = 1, ..., n),
33
vµ
|ϕn+1(z)| =
∣∣∣∣∣−
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjkajk)e
ze−iθk
∣∣∣∣∣
=
∞∑
k=1
(
n∑
j=1
cjk |ajk|)
∣∣∣eze−iθk ∣∣∣ 6 Sn+1er.
VËy
|ϕj(z)| < Sjer, (j = 1, 2, ..., n+ 1).
2.2.2 MÖnh ®Ò. C¸c hµm ϕ1, ..., ϕn+1 kh«ng cã kh«ng ®iÓm chung.
Chøng minh. Chóng ta chØ ph¶i chøng minh ϕ1, ..., ϕn kh«ng cã kh«ng ®iÓm
chung. Gi¶ sö r»ng chóng cã kh«ng ®iÓm chung t¹i z = z0, th× tõ
ϕj(z) =
n−1∑
k=1
cjke
ze−iθk + ψ1(z), (j = 1, ..., n),
ta cã
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết.pdf